Пфаффово уравнение
Пфа́ффово уравнение — уравнение вида <math>\omega=0</math>, где <math>\omega</math> — дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия <math>M^n</math> размерности <math>n</math>. Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.
Если на многообразии <math>M^n</math> введены (локальные) координаты <math>x=(x_1, \ldots, x_n)</math>, то пфаффово уравнение (локально) имеет вид
- <math>a_1(x)\,dx_1+ a_2(x)\,dx_2 + \cdots+ a_n(x)\,dx_n = 0,</math>
где <math>a_i(x)</math> — скалярные функции, заданные на <math>M^n</math>. Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:
- <math>P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0, \quad x,y \in \R</math>.
Пфаффова система
Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида <math>\omega_1=0, \omega_2=0, \ldots, \omega_m=0</math>, где <math>\omega_i</math> — дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия <math>M^n</math> размерности <math>n</math>. В координатах пфаффова система имеет вид
<math> \left\{ \begin{matrix} a_{11}(x)\,dx_1+ a_{12}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{1n}(x)\,dx_n &= 0 \\ a_{21}(x)\,dx_1+ a_{22}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{2n}(x)\,dx_n &= 0 \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}(x)\,dx_1+ a_{m2}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{mn}(x)\,dx_n &= 0. \\ \end{matrix} \right. \qquad \qquad (*) </math>
Рангом пфаффовой системы в точке <math>x=(x_1, \ldots, x_n)</math> называется число <math>r(x)</math>, равное рангу матрицы <math>(a_{ij}(x))</math>. Обычно бывает <math>r(x)<n</math>.
Пфаффова система (*) задает в касательном пространстве <math>T_x M^n</math> векторное подпространство размерности <math>n-r(x)</math>, которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на <math>M^n</math> называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при <math>r(x) \equiv n-1</math> распределение является полем направлений на <math>M^n</math>, при <math>r(x) \equiv n-2</math> распределение является полем двумерных плоскостей, а при <math>r(x) \equiv 1</math> распределение является полем гиперплоскостей.
Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат <math>x_1, \ldots, x_n</math> одну (например, <math>x_n</math>) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на <math>dx_n</math>, получаем систему ОДУ первого порядка:
<math> \left\{ \begin{matrix} a_{11}(x)\,x_1'+ a_{12}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{1n-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{1n}(x) &=0 \\ a_{21}(x)\,x_1'+ a_{22}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{2n-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{2n}(x) &=0 \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}(x)\,x_1'+ a_{m2}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{mn-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{mn}(x) &=0, \\ \end{matrix} \right. \qquad \qquad (**) </math>
где <math>x_i'=dx_i/dx_n</math>.
Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат <math>(dx_1, \ldots, dx_n)</math> к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию <math>M^n</math>.
Интегрирование пфаффовых систем
Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей <math>1,2, \ldots, n-1</math> в многообразии <math>M^n</math>, на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность <math>S</math> в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т.е. касательное пространство к <math>S</math> содержится в допустимом подпространстве системы (*).
Пфаффова система (*) постоянного ранга <math>m<n</math> называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия <math>M^n</math> проходит интегральная поверхность <math>S_{n-m}</math> максимально возможной размерности <math>n-m</math>.
В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга <math>m<n</math> с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии <math>M^n</math> приводится к каноническому виду
- <math>dx_1=0, \ dx_2=0, \, \ldots, \, dx_m=0.</math>
Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:
- <math>\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_m\wedge d\omega_i=0 \quad \ i=1,\ldots,m,
\qquad \qquad (***)</math> где <math>d\omega_i</math> означает внешний дифференциал 1-формы и <math>\wedge</math> означает внешнее произведение форм.
Примеры
- Пфаффово уравнение <math>\omega = dx_1+ dx_2 + dx_3 = 0</math> вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости <math>x_1+ x_2 + x_3 = c</math> в трёхмерном пространстве. С помощью замены <math>\tilde x_1 = x_1+ x_2 + x_3</math> это уравнение приводится к каноническому виду <math>d \tilde x_1 = 0.</math> Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как <math>d\omega = 0.</math>
- Пфаффово уравнение <math>\omega = x_3\,dx_1+ dx_2 = 0</math> не является вполне интегрируемым. В этом случае <math>d\omega = dx_3 \wedge dx_1</math> и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:
- <math>\omega \wedge d\omega = (x_3\,dx_1+ dx_2) \wedge (dx_3 \wedge dx_1) =
dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \neq 0.</math>
См. также
Напишите отзыв о статье "Пфаффово уравнение"
Литература
- Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
- Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
Отрывок, характеризующий Пфаффово уравнение
Московское общество всё, начиная от старух до детей, как своего давно жданного гостя, которого место всегда было готово и не занято, – приняло Пьера. Для московского света, Пьер был самым милым, добрым, умным веселым, великодушным чудаком, рассеянным и душевным, русским, старого покроя, барином. Кошелек его всегда был пуст, потому что открыт для всех.Бенефисы, дурные картины, статуи, благотворительные общества, цыгане, школы, подписные обеды, кутежи, масоны, церкви, книги – никто и ничто не получало отказа, и ежели бы не два его друга, занявшие у него много денег и взявшие его под свою опеку, он бы всё роздал. В клубе не было ни обеда, ни вечера без него. Как только он приваливался на свое место на диване после двух бутылок Марго, его окружали, и завязывались толки, споры, шутки. Где ссорились, он – одной своей доброй улыбкой и кстати сказанной шуткой, мирил. Масонские столовые ложи были скучны и вялы, ежели его не было.
Когда после холостого ужина он, с доброй и сладкой улыбкой, сдаваясь на просьбы веселой компании, поднимался, чтобы ехать с ними, между молодежью раздавались радостные, торжественные крики. На балах он танцовал, если не доставало кавалера. Молодые дамы и барышни любили его за то, что он, не ухаживая ни за кем, был со всеми одинаково любезен, особенно после ужина. «Il est charmant, il n'a pas de seхе», [Он очень мил, но не имеет пола,] говорили про него.
Пьер был тем отставным добродушно доживающим свой век в Москве камергером, каких были сотни.
Как бы он ужаснулся, ежели бы семь лет тому назад, когда он только приехал из за границы, кто нибудь сказал бы ему, что ему ничего не нужно искать и выдумывать, что его колея давно пробита, определена предвечно, и что, как он ни вертись, он будет тем, чем были все в его положении. Он не мог бы поверить этому! Разве не он всей душой желал, то произвести республику в России, то самому быть Наполеоном, то философом, то тактиком, победителем Наполеона? Разве не он видел возможность и страстно желал переродить порочный род человеческий и самого себя довести до высшей степени совершенства? Разве не он учреждал и школы и больницы и отпускал своих крестьян на волю?
А вместо всего этого, вот он, богатый муж неверной жены, камергер в отставке, любящий покушать, выпить и расстегнувшись побранить легко правительство, член Московского Английского клуба и всеми любимый член московского общества. Он долго не мог помириться с той мыслью, что он есть тот самый отставной московский камергер, тип которого он так глубоко презирал семь лет тому назад.
Иногда он утешал себя мыслями, что это только так, покамест, он ведет эту жизнь; но потом его ужасала другая мысль, что так, покамест, уже сколько людей входили, как он, со всеми зубами и волосами в эту жизнь и в этот клуб и выходили оттуда без одного зуба и волоса.
В минуты гордости, когда он думал о своем положении, ему казалось, что он совсем другой, особенный от тех отставных камергеров, которых он презирал прежде, что те были пошлые и глупые, довольные и успокоенные своим положением, «а я и теперь всё недоволен, всё мне хочется сделать что то для человечества», – говорил он себе в минуты гордости. «А может быть и все те мои товарищи, точно так же, как и я, бились, искали какой то новой, своей дороги в жизни, и так же как и я силой обстановки, общества, породы, той стихийной силой, против которой не властен человек, были приведены туда же, куда и я», говорил он себе в минуты скромности, и поживши в Москве несколько времени, он не презирал уже, а начинал любить, уважать и жалеть, так же как и себя, своих по судьбе товарищей.
На Пьера не находили, как прежде, минуты отчаяния, хандры и отвращения к жизни; но та же болезнь, выражавшаяся прежде резкими припадками, была вогнана внутрь и ни на мгновенье не покидала его. «К чему? Зачем? Что такое творится на свете?» спрашивал он себя с недоумением по нескольку раз в день, невольно начиная вдумываться в смысл явлений жизни; но опытом зная, что на вопросы эти не было ответов, он поспешно старался отвернуться от них, брался за книгу, или спешил в клуб, или к Аполлону Николаевичу болтать о городских сплетнях.
«Елена Васильевна, никогда ничего не любившая кроме своего тела и одна из самых глупых женщин в мире, – думал Пьер – представляется людям верхом ума и утонченности, и перед ней преклоняются. Наполеон Бонапарт был презираем всеми до тех пор, пока он был велик, и с тех пор как он стал жалким комедиантом – император Франц добивается предложить ему свою дочь в незаконные супруги. Испанцы воссылают мольбы Богу через католическое духовенство в благодарность за то, что они победили 14 го июня французов, а французы воссылают мольбы через то же католическое духовенство о том, что они 14 го июня победили испанцев. Братья мои масоны клянутся кровью в том, что они всем готовы жертвовать для ближнего, а не платят по одному рублю на сборы бедных и интригуют Астрея против Ищущих манны, и хлопочут о настоящем Шотландском ковре и об акте, смысла которого не знает и тот, кто писал его, и которого никому не нужно. Все мы исповедуем христианский закон прощения обид и любви к ближнему – закон, вследствие которого мы воздвигли в Москве сорок сороков церквей, а вчера засекли кнутом бежавшего человека, и служитель того же самого закона любви и прощения, священник, давал целовать солдату крест перед казнью». Так думал Пьер, и эта вся, общая, всеми признаваемая ложь, как он ни привык к ней, как будто что то новое, всякий раз изумляла его. – «Я понимаю эту ложь и путаницу, думал он, – но как мне рассказать им всё, что я понимаю? Я пробовал и всегда находил, что и они в глубине души понимают то же, что и я, но стараются только не видеть ее . Стало быть так надо! Но мне то, мне куда деваться?» думал Пьер. Он испытывал несчастную способность многих, особенно русских людей, – способность видеть и верить в возможность добра и правды, и слишком ясно видеть зло и ложь жизни, для того чтобы быть в силах принимать в ней серьезное участие. Всякая область труда в глазах его соединялась со злом и обманом. Чем он ни пробовал быть, за что он ни брался – зло и ложь отталкивали его и загораживали ему все пути деятельности. А между тем надо было жить, надо было быть заняту. Слишком страшно было быть под гнетом этих неразрешимых вопросов жизни, и он отдавался первым увлечениям, чтобы только забыть их. Он ездил во всевозможные общества, много пил, покупал картины и строил, а главное читал.
