Множество Жюлиа

В голоморфной динамике, мно́жество Жюлиа́ <math>J(f)</math> рационального отображения <math>f:\C P^1\to \C P^1</math> — множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если f — полином, рассматривают также заполненное множество Жюлиа — множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

Множество Фату <math>F(f)</math> — дополнение к множеству Жюлиа. Иными словами, динамика итерирования f на <math>F(f)</math> регулярна, а на <math>J(f)</math> хаотична.

Дополняет большую теорему Пикара о «поведении аналитической функции в окрестности существенно особой точки».

Эти множества названы по именам французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату, положивших начало исследованию голоморфной динамики в начале XX века.

Определения

Пусть <math>f:\C P^1\to \C P^1</math> — рациональное отображение. Множество Фату состоит из точек z, таких, что в ограничении на достаточно малую окрестность z последовательность итераций

<math>(f^n)_{n\in\mathbb{N}}</math>

образует нормальное семейство в смысле Монтеля. Множество Жюлиа — дополнение к множеству Фату.

Это определение допускает следующую эквивалентную переформулировку: множество Фату это множество тех точек, орбиты которых устойчивы по Ляпунову. (Эквивалентность переформулировки неочевидна, но она следует из теоремы Монтеля.)

Свойства

• Как следует из определений, множество Жюлиа всегда замкнуто, а множество Фату открыто.
• Множество Жюлиа для отображения степени, большей 1, всегда непусто (иначе можно было бы выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность из итераций.) В отношении же множества Фату аналогичное утверждение неверно: существуют примеры, в которых множество Жюлиа оказывается всей сферой Римана. Такой пример можно построить, взяв отображение <math>z\mapsto 2z (mod\, \Z [i])</math> удвоения на торе <math>\C/\Z [i]</math> (динамика которого, очевидно, везде хаотична) и пропустив его через <math>\wp</math>-функцию Вейерштрасса <math>\wp: \C/\Z [i] \to \C P^1 </math>.
• Множество Жюлиа является замыканием объединения всех отталкивающих периодических орбит.
• Множества Фату и Жюлиа оба полностью инвариантны под действием f, то есть совпадают как со своим образом, так и с полным прообразом:

<math>\ f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f),</math>

<math>\ f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f).</math>

• Множество Жюлиа J(F) является границей (полного) бассейна притяжения любой притягивающей или суперпритягивающей орбиты; частным случаем этого является утверждение, что J(F) это граница заполненного множества Жюлиа (поскольку для полиномиального отображения бесконечность — суперпритягивающая неподвижная точка, а заполненное множество Жюлиа есть дополнение к её бассейну притяжения). Кроме того, взяв полиномиальное отображение с тремя различными притягивающими неподвижными точками, получаем пример трёх открытых (естественно, несвязных) множеств на плоскости с общей границей.
• Если открытое множество <math>U</math> пересекает множество Жюлиа, то, начиная с некоторого достаточно большого n, образ <math>f^n(U\cap J) = f^n(U) \cap J</math> совпадает со всем множеством Жюлиа <math>J</math>. Иными словами, итерации растягивают сколь угодно маленькую окрестность в множестве Жюлиа на всё множество Жюлиа.
• Поскольку указанное выше растяжение чаще всего происходит достаточно быстро, голоморфные отображения конформны, а множество Жюлиа инвариантно относительно динамики — оно оказывается имеющим фрактальную структуру: его маленькие части похожи на большие.
• Если множество Жюлиа отлично от всей сферы Римана, то оно не имеет внутренних точек.
• Для всех точек z сферы Римана, кроме, быть может, двух, множество предельных точек последовательности полных прообразов <math>f^{-n}(z)</math> есть множество Жюлиа. Это свойство применяется в компьютерных алгоритмах построения множества Жюлиа.
• Теорема Салливана утверждает, что любая компонента связности множества Фату предпериодична. В свою очередь, теорема о классификации периодических компонент множества Фату утверждает, что периодические компоненты бывают одного из четырёх типов: бассейн притяжения притягивающей или суперпритягивающей неподвижной или периодической точки, лепесток Фату параболической точки, диск Зигеля и кольцо Эрмана.

Связанные понятия

Квадратичное отображение <math>z\mapsto P_2(z)</math> заменой координат всегда приводится к виду <math>z\mapsto z^2 +c</math>. Оказывается, что множество Жюлиа будет связным, тогда и только тогда, когда критическая точка z=0 (или, что то же самое, её образ z=c) не уходит на бесконечность. В случае, если итерации 0 стремятся к бесконечности, множество Жюлиа (совпадающее, в этом случае, с заполненным множеством Жюлиа) оказывается гомеоморфным канторову множеству и имеет меру ноль. В этом случае его называют пылью Фату (несмотря на сбивающее с толку название, это именно множество Жюлиа — множество хаотической динамики!).

Множество параметров c, при которых множество Жюлиа квадратичной динамики связно, называется множеством Мандельброта. Оно также имеет фрактальную структуру (и является, вероятно, одним из наиболее знаменитых фракталов).

Численное построение

Метод сканирования границы (BSM)

Если функция f имеет несколько аттракторов (неподвижных или периодических притягивающих точек), множество Жюлиа является границей бассейна притяжения любого из них. На этом свойстве основан алгоритм построения изображения множества Жюлиа, названный «методом сканирования границы» (boundary scanning method, BSM). Он состоит в следующем. Рассмотрим сетку из прямоугольных пикселей. Чтобы определить, следует ли закрашивать пиксель как принадлежащий множеству Жюлиа, вычисляется образ каждого из его «углов» под действием большого числа итераций f. Если образы далеки друг от друга, значит, углы принадлежат бассейнам разных аттракторов. Из этого следует, что граница между бассейнами проходит через данный пиксель, и он закрашивается. Перебирая все пиксели, получаем изображение, приближающее множество Жюлиа.

Этот метод также можно использовать и в случае, когда двух аттракторов нет, но есть диски Зигеля, кольца Эрмана или параболические бассейны. (Если две близкие точки остаются близкими, значит, их орбиты устойчивы по Ляпунову, и небольшая окрестность этих точек принадлежит области Фату; иначе вблизи них имеются точки множества Жюлиа.) В то же время, данный метод не работает, когда отображение имеет лишь один аттрактор, и почти вся сфера Римана является его бассейном притяжения. (Например, <math>z\mapsto z^2+i</math>.)

Метод вычисления обратных итераций (IIM)

Множество Жюлиа является замыканием объединения всех полных прообразов любой отталкивающей неподвижной точки. Таким образом, если имеется эффективный алгоритм вычисления обратного отображения <math>f^{-1}</math>, и известна хотя бы одна отталкивающая неподвижная точка, для построения множества Жюлиа можно последовательно вычислять её обратные образы. На каждом шаге у каждой точки имеется столько же прообразов, какова степень f, поэтому общее число прообразов растет экспоненциально, и хранение их координат требует больших объёмов памяти. На практике также используется следующая модификация: на каждом шаге выбирается один случайный прообраз. При этом, однако, нужно учитывать, что такой алгоритм обходит множество Жюлиа не равномерно: в некоторые области может попасть только за очень большое (практически недостижимое) время, и они не будут изображены на получающемся графике.

Интересные факты

Математики доказали, что произвольная замкнутая фигура на плоскости может быть сколь угодно близко приближена множеством Жюлиа для подходящего многочлена. Среди прочего, в качестве демонстрации собственной техники, ученым удалось построить достаточно хорошее приближение силуэта кота. По словам ученых, их пример наглядно демонстрирует, что динамика полиномиальных (то есть задаваемых многочленами) динамических систем может быть устроена максимально разнообразно. Они говорят, что предложенный ими пример будет полезен в теории таких систем

Ссылки

• Милнор, Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 320 с. — ISBN 5-93972-006-4.
• [www.lizardie.com/links/download/fractal-generator Простая программа для генерирования множеств Жюлиа (Windows, 370 кБ)]
• [fractalworld.xaoc.ru/Mandelbrot_set_and_Julia_set Множества Мандельброта и Жюлиа на сайте FractalWorld]

Отрывок, характеризующий Множество Жюлиа

– Ребята! – сказал Растопчин металлически звонким голосом, – этот человек, Верещагин – тот самый мерзавец, от которого погибла Москва.
Молодой человек в лисьем тулупчике стоял в покорной позе, сложив кисти рук вместе перед животом и немного согнувшись. Исхудалое, с безнадежным выражением, изуродованное бритою головой молодое лицо его было опущено вниз. При первых словах графа он медленно поднял голову и поглядел снизу на графа, как бы желая что то сказать ему или хоть встретить его взгляд. Но Растопчин не смотрел на него. На длинной тонкой шее молодого человека, как веревка, напружилась и посинела жила за ухом, и вдруг покраснело лицо.
Все глаза были устремлены на него. Он посмотрел на толпу, и, как бы обнадеженный тем выражением, которое он прочел на лицах людей, он печально и робко улыбнулся и, опять опустив голову, поправился ногами на ступеньке.
– Он изменил своему царю и отечеству, он передался Бонапарту, он один из всех русских осрамил имя русского, и от него погибает Москва, – говорил Растопчин ровным, резким голосом; но вдруг быстро взглянул вниз на Верещагина, продолжавшего стоять в той же покорной позе. Как будто взгляд этот взорвал его, он, подняв руку, закричал почти, обращаясь к народу: – Своим судом расправляйтесь с ним! отдаю его вам!
Народ молчал и только все теснее и теснее нажимал друг на друга. Держать друг друга, дышать в этой зараженной духоте, не иметь силы пошевелиться и ждать чего то неизвестного, непонятного и страшного становилось невыносимо. Люди, стоявшие в передних рядах, видевшие и слышавшие все то, что происходило перед ними, все с испуганно широко раскрытыми глазами и разинутыми ртами, напрягая все свои силы, удерживали на своих спинах напор задних.
– Бей его!.. Пускай погибнет изменник и не срамит имя русского! – закричал Растопчин. – Руби! Я приказываю! – Услыхав не слова, но гневные звуки голоса Растопчина, толпа застонала и надвинулась, но опять остановилась.
– Граф!.. – проговорил среди опять наступившей минутной тишины робкий и вместе театральный голос Верещагина. – Граф, один бог над нами… – сказал Верещагин, подняв голову, и опять налилась кровью толстая жила на его тонкой шее, и краска быстро выступила и сбежала с его лица. Он не договорил того, что хотел сказать.
– Руби его! Я приказываю!.. – прокричал Растопчин, вдруг побледнев так же, как Верещагин.
– Сабли вон! – крикнул офицер драгунам, сам вынимая саблю.
Другая еще сильнейшая волна взмыла по народу, и, добежав до передних рядов, волна эта сдвинула переднии, шатая, поднесла к самым ступеням крыльца. Высокий малый, с окаменелым выражением лица и с остановившейся поднятой рукой, стоял рядом с Верещагиным.
– Руби! – прошептал почти офицер драгунам, и один из солдат вдруг с исказившимся злобой лицом ударил Верещагина тупым палашом по голове.
«А!» – коротко и удивленно вскрикнул Верещагин, испуганно оглядываясь и как будто не понимая, зачем это было с ним сделано. Такой же стон удивления и ужаса пробежал по толпе.
«О господи!» – послышалось чье то печальное восклицание.
Но вслед за восклицанием удивления, вырвавшимся У Верещагина, он жалобно вскрикнул от боли, и этот крик погубил его. Та натянутая до высшей степени преграда человеческого чувства, которая держала еще толпу, прорвалось мгновенно. Преступление было начато, необходимо было довершить его. Жалобный стон упрека был заглушен грозным и гневным ревом толпы. Как последний седьмой вал, разбивающий корабли, взмыла из задних рядов эта последняя неудержимая волна, донеслась до передних, сбила их и поглотила все. Ударивший драгун хотел повторить свой удар. Верещагин с криком ужаса, заслонясь руками, бросился к народу. Высокий малый, на которого он наткнулся, вцепился руками в тонкую шею Верещагина и с диким криком, с ним вместе, упал под ноги навалившегося ревущего народа.
Одни били и рвали Верещагина, другие высокого малого. И крики задавленных людей и тех, которые старались спасти высокого малого, только возбуждали ярость толпы. Долго драгуны не могли освободить окровавленного, до полусмерти избитого фабричного. И долго, несмотря на всю горячечную поспешность, с которою толпа старалась довершить раз начатое дело, те люди, которые били, душили и рвали Верещагина, не могли убить его; но толпа давила их со всех сторон, с ними в середине, как одна масса, колыхалась из стороны в сторону и не давала им возможности ни добить, ни бросить его.
«Топором то бей, что ли?.. задавили… Изменщик, Христа продал!.. жив… живущ… по делам вору мука. Запором то!.. Али жив?»
Только когда уже перестала бороться жертва и вскрики ее заменились равномерным протяжным хрипеньем, толпа стала торопливо перемещаться около лежащего, окровавленного трупа. Каждый подходил, взглядывал на то, что было сделано, и с ужасом, упреком и удивлением теснился назад.
«О господи, народ то что зверь, где же живому быть!» – слышалось в толпе. – И малый то молодой… должно, из купцов, то то народ!.. сказывают, не тот… как же не тот… О господи… Другого избили, говорят, чуть жив… Эх, народ… Кто греха не боится… – говорили теперь те же люди, с болезненно жалостным выражением глядя на мертвое тело с посиневшим, измазанным кровью и пылью лицом и с разрубленной длинной тонкой шеей.
Полицейский старательный чиновник, найдя неприличным присутствие трупа на дворе его сиятельства, приказал драгунам вытащить тело на улицу. Два драгуна взялись за изуродованные ноги и поволокли тело. Окровавленная, измазанная в пыли, мертвая бритая голова на длинной шее, подворачиваясь, волочилась по земле. Народ жался прочь от трупа.
В то время как Верещагин упал и толпа с диким ревом стеснилась и заколыхалась над ним, Растопчин вдруг побледнел, и вместо того чтобы идти к заднему крыльцу, у которого ждали его лошади, он, сам не зная куда и зачем, опустив голову, быстрыми шагами пошел по коридору, ведущему в комнаты нижнего этажа. Лицо графа было бледно, и он не мог остановить трясущуюся, как в лихорадке, нижнюю челюсть.
– Ваше сиятельство, сюда… куда изволите?.. сюда пожалуйте, – проговорил сзади его дрожащий, испуганный голос. Граф Растопчин не в силах был ничего отвечать и, послушно повернувшись, пошел туда, куда ему указывали. У заднего крыльца стояла коляска. Далекий гул ревущей толпы слышался и здесь. Граф Растопчин торопливо сел в коляску и велел ехать в свой загородный дом в Сокольниках. Выехав на Мясницкую и не слыша больше криков толпы, граф стал раскаиваться. Он с неудовольствием вспомнил теперь волнение и испуг, которые он выказал перед своими подчиненными. «La populace est terrible, elle est hideuse, – думал он по французски. – Ils sont сошше les loups qu'on ne peut apaiser qu'avec de la chair. [Народная толпа страшна, она отвратительна. Они как волки: их ничем не удовлетворишь, кроме мяса.] „Граф! один бог над нами!“ – вдруг вспомнились ему слова Верещагина, и неприятное чувство холода пробежало по спине графа Растопчина. Но чувство это было мгновенно, и граф Растопчин презрительно улыбнулся сам над собою. „J'avais d'autres devoirs, – подумал он. – Il fallait apaiser le peuple. Bien d'autres victimes ont peri et perissent pour le bien publique“, [У меня были другие обязанности. Следовало удовлетворить народ. Много других жертв погибло и гибнет для общественного блага.] – и он стал думать о тех общих обязанностях, которые он имел в отношении своего семейства, своей (порученной ему) столице и о самом себе, – не как о Федоре Васильевиче Растопчине (он полагал, что Федор Васильевич Растопчин жертвует собою для bien publique [общественного блага]), но о себе как о главнокомандующем, о представителе власти и уполномоченном царя. „Ежели бы я был только Федор Васильевич, ma ligne de conduite aurait ete tout autrement tracee, [путь мой был бы совсем иначе начертан,] но я должен был сохранить и жизнь и достоинство главнокомандующего“.
Слегка покачиваясь на мягких рессорах экипажа и не слыша более страшных звуков толпы, Растопчин физически успокоился, и, как это всегда бывает, одновременно с физическим успокоением ум подделал для него и причины нравственного успокоения. Мысль, успокоившая Растопчина, была не новая. С тех пор как существует мир и люди убивают друг друга, никогда ни один человек не совершил преступления над себе подобным, не успокоивая себя этой самой мыслью. Мысль эта есть le bien publique [общественное благо], предполагаемое благо других людей.
Для человека, не одержимого страстью, благо это никогда не известно; но человек, совершающий преступление, всегда верно знает, в чем состоит это благо. И Растопчин теперь знал это.
Он не только в рассуждениях своих не упрекал себя в сделанном им поступке, но находил причины самодовольства в том, что он так удачно умел воспользоваться этим a propos [удобным случаем] – наказать преступника и вместе с тем успокоить толпу.
«Верещагин был судим и приговорен к смертной казни, – думал Растопчин (хотя Верещагин сенатом был только приговорен к каторжной работе). – Он был предатель и изменник; я не мог оставить его безнаказанным, и потом je faisais d'une pierre deux coups [одним камнем делал два удара]; я для успокоения отдавал жертву народу и казнил злодея».
Приехав в свой загородный дом и занявшись домашними распоряжениями, граф совершенно успокоился.
Через полчаса граф ехал на быстрых лошадях через Сокольничье поле, уже не вспоминая о том, что было, и думая и соображая только о том, что будет. Он ехал теперь к Яузскому мосту, где, ему сказали, был Кутузов. Граф Растопчин готовил в своем воображении те гневные в колкие упреки, которые он выскажет Кутузову за его обман. Он даст почувствовать этой старой придворной лисице, что ответственность за все несчастия, имеющие произойти от оставления столицы, от погибели России (как думал Растопчин), ляжет на одну его выжившую из ума старую голову. Обдумывая вперед то, что он скажет ему, Растопчин гневно поворачивался в коляске и сердито оглядывался по сторонам.