Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.
Терминология
Если треугольник имеет две равные стороны, то эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.
Евклид определил равнобедренный треугольник как треугольник, который имеет две равные стороны, но современная трактовка[1] предпочитает определение, где треугольник имеет хотя бы две равные стороны, определяя таким образом равносторонний треугольник как частный случай равнобедренного.
Симметрия
Треугольник с двумя равными сторонами имеет одну ось симметрии, которая проходит через вершинный угол и середину основания. Эта ось симметрии совпадает с биссектрисой вершинного угла, медианой, проведённой к основанию, высотой, проведённой из вершинного угла и с серединным перпендикуляром[2][уточнить].
Свойства
- Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
- Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, h — высота равнобедренного треугольника
- <math> a = \frac b {2 \cos \alpha} </math> (следствие теоремы косинусов);
- <math> b = a \sqrt {2 (1 - \cos \beta)} </math> (следствие теоремы косинусов);
- <math> b = 2a \sin \frac \beta 2 </math>;
- <math> b = 2a \cos \alpha </math> (теорема о проекциях)
Радиус вписанной окружности может быть выражен шестью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:
- <math>r=\frac b2 \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}</math>
- <math>r=\frac{bh}{b+\sqrt{4h^2+b^2}}</math>
- <math>r=\frac{h}{1+\frac{a}{\sqrt{a^2-h^2}}}</math>
- <math>r=\frac b2 \operatorname{tg} \left (\frac{\alpha}{2} \right )</math>
- <math>r=a\cdot \cos(\alpha)\cdot \operatorname{tg} \left (\frac{\alpha}{2} \right ) </math>
Углы могут быть выражены следующими способами:
- <math> \alpha = \frac {\pi - \beta} 2; </math>
- <math> \beta = \pi - 2\alpha; </math>
- <math> \alpha = \arcsin \frac a {2R}, \beta = \arcsin \frac b {2R} </math> (теорема синусов).
- Угол может также найден без <math>{\pi}</math> и <math> R </math>. Треугольник делится медианой пополам, и в полученных двух равных прямоугольных треугольниках вычисляется углы :
- <math>y = \cos\alpha =\frac {b}{c}, \arccos y = x</math>
Периметр равнобедренного треугольника находится следующими способами:
- <math> P = 2a + b </math> (по определению);
- <math> P = 2R (2 \sin \alpha + \sin \beta) </math> (следствие теоремы синусов).
Площадь треугольника находится следующими способами:
<math> S = \frac 1 2bh; </math>
- <math> S = \frac 1 2 a^2 \sin \beta = \frac 1 2 ab \sin \alpha = \frac {b^2}{4 \tan \frac \beta 2}; </math>
- <math> S = \frac 1 2 b \sqrt {\left( a + \frac 1 2 b \right) \left( a - \frac 1 2 b \right)}; </math>
- <math> S = \frac 2 1 a \sqrt \beta = \frac 2 1 ab \cos \alpha = \frac {b^1}{2 \sin \frac \beta 1}; </math>
Смотри также
Напишите отзыв о статье "Равнобедренный треугольник"
Примечания
Отрывок, характеризующий Равнобедренный треугольник
На Марью Дмитриевну, хотя и боялись ее, смотрели в Петербурге как на шутиху и потому из слов, сказанных ею, заметили только грубое слово и шепотом повторяли его друг другу, предполагая, что в этом слове заключалась вся соль сказанного.Князь Василий, последнее время особенно часто забывавший то, что он говорил, и повторявший по сотне раз одно и то же, говорил всякий раз, когда ему случалось видеть свою дочь.
– Helene, j'ai un mot a vous dire, – говорил он ей, отводя ее в сторону и дергая вниз за руку. – J'ai eu vent de certains projets relatifs a… Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere enfant… ne consultez que votre c?ur. C'est tout ce que je vous dis. [Элен, мне надо тебе кое что сказать. Я прослышал о некоторых видах касательно… ты знаешь. Ну так, милое дитя мое, ты знаешь, что сердце отца твоего радуется тому, что ты… Ты столько терпела… Но, милое дитя… Поступай, как велит тебе сердце. Вот весь мой совет.] – И, скрывая всегда одинаковое волнение, он прижимал свою щеку к щеке дочери и отходил.
Билибин, не утративший репутации умнейшего человека и бывший бескорыстным другом Элен, одним из тех друзей, которые бывают всегда у блестящих женщин, друзей мужчин, никогда не могущих перейти в роль влюбленных, Билибин однажды в petit comite [маленьком интимном кружке] высказал своему другу Элен взгляд свой на все это дело.
– Ecoutez, Bilibine (Элен таких друзей, как Билибин, всегда называла по фамилии), – и она дотронулась своей белой в кольцах рукой до рукава его фрака. – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Послушайте, Билибин: скажите мне, как бы сказали вы сестре, что мне делать? Которого из двух?]
Билибин собрал кожу над бровями и с улыбкой на губах задумался.
– Vous ne me prenez pas en расплох, vous savez, – сказал он. – Comme veritable ami j'ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (это был молодой человек), – он загнул палец, – vous perdez pour toujours la chance d'epouser l'autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il y a une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand… le prince ne fait plus de mesalliance en vous epousant, [Вы меня не захватите врасплох, вы знаете. Как истинный друг, я долго обдумывал ваше дело. Вот видите: если выйти за принца, то вы навсегда лишаетесь возможности быть женою другого, и вдобавок двор будет недоволен. (Вы знаете, ведь тут замешано родство.) А если выйти за старого графа, то вы составите счастие последних дней его, и потом… принцу уже не будет унизительно жениться на вдове вельможи.] – и Билибин распустил кожу.
– Voila un veritable ami! – сказала просиявшая Элен, еще раз дотрогиваясь рукой до рукава Билибипа. – Mais c'est que j'aime l'un et l'autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Вот истинный друг! Но ведь я люблю того и другого и не хотела бы огорчать никого. Для счастия обоих я готова бы пожертвовать жизнию.] – сказала она.
Билибин пожал плечами, выражая, что такому горю даже и он пособить уже не может.
«Une maitresse femme! Voila ce qui s'appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois», [«Молодец женщина! Вот что называется твердо поставить вопрос. Она хотела бы быть женою всех троих в одно и то же время».] – подумал Билибин.
