Кривизна

Кривизна́ — собирательное название ряда характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт локальное совпадение изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Кривизна кривой

Пусть <math>\gamma(t)</math> — регулярная кривая в <math>d</math>-мерном евклидовом пространстве, параметризованная её длиной <math>t</math>. Тогда

<math>\kappa=|\ddot\gamma(t)|</math>

называется кривизной кривой <math>\gamma</math> в точке <math>p=\gamma(t)</math>, здесь <math>\ddot\gamma(t)</math> обозначает вторую производную по <math>t</math>. Вектор

<math>k=\ddot\gamma(t)</math>

называется вектором кривизны <math>\gamma</math> в точке <math>p=\gamma(t)</math>.

Очевидно, это определение можно переписать через вектор касательной <math>\tau(t) = \dot\gamma(t)</math>:

<math>k=\dot\tau(t),</math>

где одна точка над буквой означает первую производную по t.

Для кривой, заданной параметрически, в общем случае кривизна выражается формулой

<math>\kappa=\frac{|\gamma'\times \gamma|}{|\gamma'|^3}</math>,

где <math>\gamma'</math> и <math>\gamma</math> соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора <math>\gamma</math> в требуемой точке по параметру (при этом под <math>\times</math> для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение, для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение, а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение).

Для кривой на декартовой плоскости, заданной уравнением <math>y = y(x)</math>, кривизна вычисляется по формуле:

<math>\kappa(x) = \frac{|y|}{(\sqrt{1+y'^2})^3}.</math>

Для того, чтобы кривая <math>\gamma</math> совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы её кривизна (или вектор кривизны) во всех точках тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой (<math>r=1/\kappa</math>), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.

Кривизна поверхности

Пусть <math>\Phi</math> есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть <math>p</math> — точка <math>\Phi,</math> <math>T_p</math> — касательная плоскость к <math>\Phi</math> в точке <math>p,</math> <math>n</math> — единичная нормаль к <math>\Phi</math> в точке <math>p,</math> а <math>\pi_e</math> — плоскость, проходящая через <math>n</math> и некоторый единичный вектор <math>e</math> в <math>T_p.</math> Кривая <math>\gamma_e,</math> получающаяся как пересечение плоскости <math>\pi_e</math> с поверхностью <math>\Phi,</math> называется нормальным сечением поверхности <math>\Phi</math> в точке <math>p</math> в направлении <math>e.</math> Величина

<math>\kappa_e=k\cdot n</math>

где <math>\cdot</math> обозначает скалярное произведение, а <math>k</math> — вектор кривизны <math>\gamma_e</math> в точке <math>p</math>, называется нормальной кривизной поверхности <math>\Phi</math> в направлении <math>e</math>. С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой <math>\gamma_e</math>.

В касательной плоскости <math>T_p</math> существуют два перпендикулярных направления <math>e_1</math> и <math>e_2</math> такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

<math>\kappa_e=\kappa_1\cos^2\alpha+\kappa_2\sin^2\alpha</math>

где <math>\alpha</math> — угол между этим направлением и <math>e_1</math>, a величины <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> нормальные кривизны в направлениях <math>e_1</math> и <math>e_2</math>, они называются главными кривизнами, а направления <math>e_1</math> и <math>e_2</math> — главными направлениями поверхности в точке <math>p</math>. Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

<math>H=\kappa_1+\kappa_2</math>, (иногда <math>\frac{\kappa_1+\kappa_2}2</math>)

называется средней кривизной поверхности. Величина

<math>K=\kappa_1\kappa_2</math>

называется гауссовой кривизной или полной кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности, не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также

• Аффинная кривизна
• Дифференциальная геометрия кривых
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Кривизна римановых многообразий
• Поверхность
• Тензор кривизны
• Форма кривизны

Литература

• Виленкин Н. [kvant.mccme.ru/1992/04/o_krivizne.htm О кривизне] // Квант. — 1992. — № 4.

• Погорелов А. В. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Pogorelov1974ru.djvu Дифференциальная геометрия (6-е издание).] М.: Наука, 1974.
• Рашевский П. К. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Rashevskij1950ru.djvu Курс дифференциальной геометрии (3-е издание).] М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

Отрывок, характеризующий Кривизна

– Что вам угодно? Просьба?…
– Qu'est ce que c'est? [Что это?] – спросил кто то из другой комнаты.
– Encore un petitionnaire, [Еще один проситель,] – отвечал человек в помочах.
– Скажите ему, что после. Сейчас выйдет, надо ехать.
– После, после, завтра. Поздно…
Ростов повернулся и хотел выйти, но человек в помочах остановил его.
– От кого? Вы кто?
– От майора Денисова, – отвечал Ростов.
– Вы кто? офицер?
– Поручик, граф Ростов.
– Какая смелость! По команде подайте. А сами идите, идите… – И он стал надевать подаваемый камердинером мундир.
Ростов вышел опять в сени и заметил, что на крыльце было уже много офицеров и генералов в полной парадной форме, мимо которых ему надо было пройти.
Проклиная свою смелость, замирая от мысли, что всякую минуту он может встретить государя и при нем быть осрамлен и выслан под арест, понимая вполне всю неприличность своего поступка и раскаиваясь в нем, Ростов, опустив глаза, пробирался вон из дома, окруженного толпой блестящей свиты, когда чей то знакомый голос окликнул его и чья то рука остановила его.
– Вы, батюшка, что тут делаете во фраке? – спросил его басистый голос.
Это был кавалерийский генерал, в эту кампанию заслуживший особенную милость государя, бывший начальник дивизии, в которой служил Ростов.
Ростов испуганно начал оправдываться, но увидав добродушно шутливое лицо генерала, отойдя к стороне, взволнованным голосом передал ему всё дело, прося заступиться за известного генералу Денисова. Генерал выслушав Ростова серьезно покачал головой.
– Жалко, жалко молодца; давай письмо.
Едва Ростов успел передать письмо и рассказать всё дело Денисова, как с лестницы застучали быстрые шаги со шпорами и генерал, отойдя от него, подвинулся к крыльцу. Господа свиты государя сбежали с лестницы и пошли к лошадям. Берейтор Эне, тот самый, который был в Аустерлице, подвел лошадь государя, и на лестнице послышался легкий скрип шагов, которые сейчас узнал Ростов. Забыв опасность быть узнанным, Ростов подвинулся с несколькими любопытными из жителей к самому крыльцу и опять, после двух лет, он увидал те же обожаемые им черты, то же лицо, тот же взгляд, ту же походку, то же соединение величия и кротости… И чувство восторга и любви к государю с прежнею силою воскресло в душе Ростова. Государь в Преображенском мундире, в белых лосинах и высоких ботфортах, с звездой, которую не знал Ростов (это была legion d'honneur) [звезда почетного легиона] вышел на крыльцо, держа шляпу под рукой и надевая перчатку. Он остановился, оглядываясь и всё освещая вокруг себя своим взглядом. Кое кому из генералов он сказал несколько слов. Он узнал тоже бывшего начальника дивизии Ростова, улыбнулся ему и подозвал его к себе.
Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю.
Государь сказал ему несколько слов и сделал шаг, чтобы подойти к лошади. Опять толпа свиты и толпа улицы, в которой был Ростов, придвинулись к государю. Остановившись у лошади и взявшись рукою за седло, государь обратился к кавалерийскому генералу и сказал громко, очевидно с желанием, чтобы все слышали его.
– Не могу, генерал, и потому не могу, что закон сильнее меня, – сказал государь и занес ногу в стремя. Генерал почтительно наклонил голову, государь сел и поехал галопом по улице. Ростов, не помня себя от восторга, с толпою побежал за ним.


На площади куда поехал государь, стояли лицом к лицу справа батальон преображенцев, слева батальон французской гвардии в медвежьих шапках.
В то время как государь подъезжал к одному флангу баталионов, сделавших на караул, к противоположному флангу подскакивала другая толпа всадников и впереди их Ростов узнал Наполеона. Это не мог быть никто другой. Он ехал галопом в маленькой шляпе, с Андреевской лентой через плечо, в раскрытом над белым камзолом синем мундире, на необыкновенно породистой арабской серой лошади, на малиновом, золотом шитом, чепраке. Подъехав к Александру, он приподнял шляпу и при этом движении кавалерийский глаз Ростова не мог не заметить, что Наполеон дурно и не твердо сидел на лошади. Батальоны закричали: Ура и Vive l'Empereur! [Да здравствует Император!] Наполеон что то сказал Александру. Оба императора слезли с лошадей и взяли друг друга за руки. На лице Наполеона была неприятно притворная улыбка. Александр с ласковым выражением что то говорил ему.
Ростов не спуская глаз, несмотря на топтание лошадьми французских жандармов, осаживавших толпу, следил за каждым движением императора Александра и Бонапарте. Его, как неожиданность, поразило то, что Александр держал себя как равный с Бонапарте, и что Бонапарте совершенно свободно, как будто эта близость с государем естественна и привычна ему, как равный, обращался с русским царем.
Александр и Наполеон с длинным хвостом свиты подошли к правому флангу Преображенского батальона, прямо на толпу, которая стояла тут. Толпа очутилась неожиданно так близко к императорам, что Ростову, стоявшему в передних рядах ее, стало страшно, как бы его не узнали.
– Sire, je vous demande la permission de donner la legion d'honneur au plus brave de vos soldats, [Государь, я прошу у вас позволенья дать орден Почетного легиона храбрейшему из ваших солдат,] – сказал резкий, точный голос, договаривающий каждую букву. Это говорил малый ростом Бонапарте, снизу прямо глядя в глаза Александру. Александр внимательно слушал то, что ему говорили, и наклонив голову, приятно улыбнулся.