Разложение матрицы

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Разложе́ние ма́трицы — представление матрицы <math>A</math> в виде произведения матриц, обладающих некоторыми определёнными свойствами, например, ортогональностью, симметричностью, диагональностью — и потому облегчающих рассмотрение свойств линейного оператора с матрицей <math>A</math>.





Классификация

Количественное рассмотрение

[1]

Полярное разложение

Полярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной и симметричной с неотрицательными собственными значениями матриц.

Так как <math>{\left(A^T A\right)}^T = A^T A</math>, то матрица <math>A^T A</math> симметричная. Существует[2] базис, который можно обозначить через <math>\vec{e}</math>, состоящий из ортонормированных векторов матрицы <math>A^T A</math>, расположенных в порядке убывания собственных значений.

Так как <math>(A^T(x), y) = (x, A(y))</math>, то для любых векторов <math>e_i</math> и <math>e_j</math> базиса <math>e</math> выполняется <math>\lambda_i (\vec{e_i}, \vec{e_j})=(A^T A(\vec{e_i}), \vec{e_j})=(A(\vec{e_i}), A(\vec{e_j}))</math>. Значит, образ базиса <math>\vec{e}</math> относительно преобразования <math>A</math> ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования <math>A</math> векторы <math>\vec{e_i}</math> базиса <math>e</math> преобразуются в векторы <math>\sqrt{\lambda_i} \vec{e_k}</math>.

Сингулярные числа матрицы <math>A</math> — квадратные корни <math>\sqrt{\lambda_i}</math> из собственных значений матрицы <math>A^TA</math>.

Отсюда очевидно, что <math>\lambda_i \ge 0</math>. Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число <math>r</math>, что <math>\forall i \le r \rightarrow \lambda_i > 0</math>.

Пусть <math>f</math> — система векторов <math>\vec{f_i} = {{\vec{A(e_i)}} \over {\sqrt{\lambda_i}}}</math> при <math>i < r</math>, дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть <math>Q</math> — матрица перехода из базиса <math>e</math> в базис <math>f</math>. Так как оба базиса ортонормированные, то матрица <math>Q</math> ортогональная. Так как <math>Q^{-1} A(e_i) = Q^{-1} \left( \sqrt{\lambda_i} f_i\right)=\sqrt{\lambda_i} e_i</math>, то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы <math>Q^{-1} A</math>. Это значит, что матрица <math>Q^{-1} A</math> в базисе <math>\vec{e}</math> имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.

Итак, <math>A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A)</math>, где матрица <math>Q</math> ортогональная, а матрица <math>Q^{-1} A</math> симметричная.

Сингулярное разложение

Основная статья: Сингулярное разложение

Сингулярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной, диагональной с сингулярными числами на диагонали, и ортогональной матриц.

Имеется полярное разложение A=QS, где Q ортогональна и S симметрична. Можно обозначить через <math>P</math> матрицу перехода в базис, в котором симметричная матрица <math>S</math> имеет диагональный вид <math>D</math>; тогда <math>D=P^{-1}SP</math>, и <math>S=PDP^{-1}</math>; соответственно <math>A=QPDP^{-1}</math>; матрица <math>QP</math> ортогональна как произведение ортогональных. Матрица <math>D</math>, действительно, имеет сингулярные числа данного преобразования на диагонали (см. доказательство полярного разложения); обозначая <math>Q_1=QP</math>, <math>Q_2=P^{-1}</math>, получаем <math>A = Q_1 D Q_2</math>, где <math>Q_1</math> и <math>Q_2</math> ортогональны, <math>D</math> диагональна с сингулярными числами на диагонали.

Источники

  1. ↑ Беклемишев, Д. В. Глава VI. Линейные пространства // Курс аналитическое геометрии и линейной алгебры. — 10-е изд., испр.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 232-233. — 304 с. — ISBN 5-9221-0304-0.
  2. ↑ собственные значения симметричной матрицы

Напишите отзыв о статье "Разложение матрицы"

Отрывок, характеризующий Разложение матрицы

Почти всякий раз, как подъезжал новый экипаж, в толпе пробегал шопот и снимались шапки.
– Государь?… Нет, министр… принц… посланник… Разве не видишь перья?… – говорилось из толпы. Один из толпы, одетый лучше других, казалось, знал всех, и называл по имени знатнейших вельмож того времени.
Уже одна треть гостей приехала на этот бал, а у Ростовых, долженствующих быть на этом бале, еще шли торопливые приготовления одевания.
Много было толков и приготовлений для этого бала в семействе Ростовых, много страхов, что приглашение не будет получено, платье не будет готово, и не устроится всё так, как было нужно.
Вместе с Ростовыми ехала на бал Марья Игнатьевна Перонская, приятельница и родственница графини, худая и желтая фрейлина старого двора, руководящая провинциальных Ростовых в высшем петербургском свете.
В 10 часов вечера Ростовы должны были заехать за фрейлиной к Таврическому саду; а между тем было уже без пяти минут десять, а еще барышни не были одеты.
Наташа ехала на первый большой бал в своей жизни. Она в этот день встала в 8 часов утра и целый день находилась в лихорадочной тревоге и деятельности. Все силы ее, с самого утра, были устремлены на то, чтобы они все: она, мама, Соня были одеты как нельзя лучше. Соня и графиня поручились вполне ей. На графине должно было быть масака бархатное платье, на них двух белые дымковые платья на розовых, шелковых чехлах с розанами в корсаже. Волоса должны были быть причесаны a la grecque [по гречески].
Все существенное уже было сделано: ноги, руки, шея, уши были уже особенно тщательно, по бальному, вымыты, надушены и напудрены; обуты уже были шелковые, ажурные чулки и белые атласные башмаки с бантиками; прически были почти окончены. Соня кончала одеваться, графиня тоже; но Наташа, хлопотавшая за всех, отстала. Она еще сидела перед зеркалом в накинутом на худенькие плечи пеньюаре. Соня, уже одетая, стояла посреди комнаты и, нажимая до боли маленьким пальцем, прикалывала последнюю визжавшую под булавкой ленту.
– Не так, не так, Соня, – сказала Наташа, поворачивая голову от прически и хватаясь руками за волоса, которые не поспела отпустить державшая их горничная. – Не так бант, поди сюда. – Соня присела. Наташа переколола ленту иначе.
– Позвольте, барышня, нельзя так, – говорила горничная, державшая волоса Наташи.
– Ах, Боже мой, ну после! Вот так, Соня.
– Скоро ли вы? – послышался голос графини, – уж десять сейчас.
– Сейчас, сейчас. – А вы готовы, мама?
– Только току приколоть.
– Не делайте без меня, – крикнула Наташа: – вы не сумеете!
– Да уж десять.
На бале решено было быть в половине одиннадцатого, a надо было еще Наташе одеться и заехать к Таврическому саду.
Окончив прическу, Наташа в коротенькой юбке, из под которой виднелись бальные башмачки, и в материнской кофточке, подбежала к Соне, осмотрела ее и потом побежала к матери. Поворачивая ей голову, она приколола току, и, едва успев поцеловать ее седые волосы, опять побежала к девушкам, подшивавшим ей юбку.
Дело стояло за Наташиной юбкой, которая была слишком длинна; ее подшивали две девушки, обкусывая торопливо нитки. Третья, с булавками в губах и зубах, бегала от графини к Соне; четвертая держала на высоко поднятой руке всё дымковое платье.
– Мавруша, скорее, голубушка!
– Дайте наперсток оттуда, барышня.
– Скоро ли, наконец? – сказал граф, входя из за двери. – Вот вам духи. Перонская уж заждалась.
– Готово, барышня, – говорила горничная, двумя пальцами поднимая подшитое дымковое платье и что то обдувая и потряхивая, высказывая этим жестом сознание воздушности и чистоты того, что она держала.
Наташа стала надевать платье.
– Сейчас, сейчас, не ходи, папа, – крикнула она отцу, отворившему дверь, еще из под дымки юбки, закрывавшей всё ее лицо. Соня захлопнула дверь. Через минуту графа впустили. Он был в синем фраке, чулках и башмаках, надушенный и припомаженный.
– Ах, папа, ты как хорош, прелесть! – сказала Наташа, стоя посреди комнаты и расправляя складки дымки.
– Позвольте, барышня, позвольте, – говорила девушка, стоя на коленях, обдергивая платье и с одной стороны рта на другую переворачивая языком булавки.
– Воля твоя! – с отчаянием в голосе вскрикнула Соня, оглядев платье Наташи, – воля твоя, опять длинно!
Наташа отошла подальше, чтоб осмотреться в трюмо. Платье было длинно.
– Ей Богу, сударыня, ничего не длинно, – сказала Мавруша, ползавшая по полу за барышней.
– Ну длинно, так заметаем, в одну минутую заметаем, – сказала решительная Дуняша, из платочка на груди вынимая иголку и опять на полу принимаясь за работу.
В это время застенчиво, тихими шагами, вошла графиня в своей токе и бархатном платье.
– Уу! моя красавица! – закричал граф, – лучше вас всех!… – Он хотел обнять ее, но она краснея отстранилась, чтоб не измяться.
– Мама, больше на бок току, – проговорила Наташа. – Я переколю, и бросилась вперед, а девушки, подшивавшие, не успевшие за ней броситься, оторвали кусочек дымки.
– Боже мой! Что ж это такое? Я ей Богу не виновата…
– Ничего, заметаю, не видно будет, – говорила Дуняша.
– Красавица, краля то моя! – сказала из за двери вошедшая няня. – А Сонюшка то, ну красавицы!…
В четверть одиннадцатого наконец сели в кареты и поехали. Но еще нужно было заехать к Таврическому саду.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Разложение_матрицы&oldid=78267626»