Распределение Максвелла

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Распределение Больцмана»)
Перейти к: навигация, поиск

Распределение Ма́ксвеллараспределение вероятности, встречающееся в физике и химии. Оно лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включая давление и диффузию. Распределение Максвелла также применимо для электронных процессов переноса и других явлений. Распределение Максвелла применимо к множеству свойств индивидуальных молекул в газе. О нём обычно думают как о распределении энергий молекул в газе, но оно может также применяться к распределению скоростей, импульсов, и модуля импульсов молекул. Также оно может быть выражено как дискретное распределение по множеству дискретных уровней энергии, или как непрерывное распределение по некоторому континууму энергии.

Распределение Максвелла может и должно быть получено при помощи статистической механики (см. происхождение статсуммы). Как распределение энергии, оно соответствует самому вероятному распределению энергии, в столкновительно-доминируемой системе, состоящей из большого количества невзаимодействующих частиц, в которой квантовые эффекты являются незначительными. Так как взаимодействие между молекулами в газе является обычно весьма небольшим, распределение Максвелла даёт довольно хорошее приближение ситуации, существующей в газе.

Во многих других случаях, однако, даже приблизительно не выполнено условие доминирования упругих соударений над всеми другими процессами. Это верно, например, в физике ионосферы и космической плазмы, где процессы рекомбинации и столкновительного возбуждения (то есть излучательные процессы) имеют большое значение, в особенности для электронов. Предположение о применимости распределения Максвелла дало бы в этом случае не только количественно неверные результаты, но даже предотвратило бы правильное понимание физики процессов на качественном уровне. Также, в том случае где квантовая де Бройлева длина волны частиц газа не является малой по сравнению с расстоянием между частицами, будут наблюдаться отклонения от распределения Максвелла из-за квантовых эффектов.

Распределение энергии Максвелла может быть выражено как дискретное распределение энергии:

<math> \frac {N_i} {N} = \frac {\exp\left (-E_i/kT \right)} {\sum _ {j} ^ {} {\exp\left (-E_j/kT\right)}} \qquad\qquad (1) </math>,

где <math>N_i</math> является числом молекул имеющих энергию <math>E_i</math> при температуре системы <math>T</math>, <math>N</math> является общим числом молекул в системе и <math>k</math> — постоянная Больцмана. (Отметьте, что иногда вышеупомянутое уравнение записывается с множителем <math>g_i</math>, обозначающим степень вырождения энергетических уровней. В этом случае сумма будет по всем энергиям, а не всем состояниям системы). Поскольку скорость связана с энергией, уравнение (1) может использоваться для получения связи между температурой и скоростями молекул в газе. Знаменатель в уравнении (1) известен как каноническая статистическая сумма.





Распределение Максвелла

Распределение по вектору импульса

Представленное ниже очень сильно отличается от вывода, предложенного Джеймсом Клерком Максвеллом и позже описанного с меньшим количеством предположений Людвигом Больцманом.

В случае идеального газа, состоящего из невзаимодействующих атомов в основном состоянии, вся энергия находится в форме кинетической энергии. Кинетическая энергия соотносится с импульсом частицы следующим образом

<math> E =\frac {p^2} {2m} </math>,

где <math>p^2</math> — квадрат вектора импульса <math>\mathbf{p}=[p_x,p_y,p_z]</math>.

Мы можем поэтому переписать уравнение (1) как:

<math> \frac {N_i} {N} = \frac {1} {Z} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \qquad\qquad (3) </math>,

где <math>Z</math> — статсумма, соответствующая знаменателю в уравнении (1), <math>m</math> — молекулярная масса газа, <math>T</math> — термодинамическая температура, и <math>k</math> — постоянная Больцмана. Это распределение <math>N_i/N</math> пропорционально функции плотности вероятности <math>f_\mathbf{p}</math> нахождения молекулы в состоянии с этими значениями компонентов импульса. Таким образом:

<math> f_\mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) = \frac {C} {Z} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \qquad\qquad (4) </math>

Постоянная нормировки C, определяется из условия, в соответствии с которым вероятность того, что молекулы имеют какой-либо вообще импульс, должна быть равна единице. Поэтому интеграл уравнения (4) по всем значениям <math>p_x\,,p_y</math> и <math>p_z</math> должен быть равен единице. Можно показать, что:

<math> \iiint\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac {1} {Z} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \, dp_x \, dp_y \, dp_z = \frac {1} {Z} \left (2\pi m kT \right) ^ {3/2} \qquad\qquad (5) </math>.

Таким образом, чтобы интеграл в уравнении (4) имел значение 1 необходимо, чтобы

<math> c = \frac {Z} {(\sqrt {2 \pi mkT}) ^ 3} \qquad\qquad (6) </math>.

Подставляя выражение (6) в уравнение (4) и используя тот факт, что <math>p_i=mv_i</math>, мы получим

<math> f_\mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) = \sqrt {\left (\frac {1} {2 \pi mkT} \right) ^3} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \qquad\qquad (7) </math>.

Распределение по вектору скорости

Учитывая, что плотность распределения по скоростям <math>f_\mathbf{v}</math> пропорциональна плотности распределения по импульсам:

<math> f_\mathbf {v} d^3v = f_\mathbf {p} \left (\frac {dp} {dv} \right) ^3 d^3v </math>

и используя <math>\mathbf{p}=m\mathbf{v}</math> мы получим:

<math> f_\mathbf {v} (v_x, v_y, v_z) = \sqrt {\left (\frac {m} {2 \pi kT} \right) ^3} \exp \left [\frac {-m (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)} {2kT} \right] \qquad\qquad (8) </math>,

что является распределением Максвелла по скоростям. Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом элементе <math>dv_x\,,dv_y\,,dv_z</math> около скорости <math>\mathbf{v}=[v_x,v_y,v_z]</math> равна

<math> f_\mathbf {v} \left (v_x, v_y, v_z\right) dv_x dv_y dv_z </math>

Распределение по абсолютной величине импульса

Интегрируя, мы можем найти распределение по абсолютной величине импульса

<math> f_p = \int _ {\theta=0} ^ {\pi} \int _ {\phi=0} ^ {2\pi} ~ f_\mathbf {p} p^2 \sin (\theta) \, d\theta \, d\phi=4\pi\sqrt {\left (\frac {1} {2 \pi mkT} \right) ^3} ~p^2 \exp \left [\frac {-p^2} {2mkT} \right] </math>

Распределение по энергии

Наконец, используя соотношения <math>p^2=2\,mE</math> и <math>f_E\, dE=f_p\, dp </math>, мы получаем распределение по кинетической энергии:

<math> f_E=f_p \frac{dp} {dE} =\frac {2\pi}{\sqrt{(\pi kT)^3}} \sqrt{E} {} ~ \exp\left [\frac {-E} {kT} \right] </math>

Распределение по проекции скорости

Распределение Максвелла для вектора скорости <math>[v_x,v_y,v_z]</math> — является произведением распределений для каждого из трех направлений:

<math> f_v \left (v_x, v_y, v_z\right) = f_v (v_x) f_v (v_y) f_v (v_z) </math>,

где распределение по одному направлению:

<math> f_v (v_i) = \sqrt {\frac {m} {2 \pi kT}} \exp \left [\frac {-mv_i^2} {2kT} \right] \qquad\qquad (9) </math>

Это распределение имеет форму нормального распределения. Как и следует ожидать для покоящегося газа, средняя скорость в любом направлении равна нулю.

Распределение по модулю скоростей

Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как:

<math> v = \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \qquad\qquad (10) </math>

поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все <math>v_i</math> распределены нормально, то <math>v^2</math> будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы. Если <math>f(\mathbf{v})</math> — функция плотности вероятности для модуля скорости, то:

<math> f\left (v\right) dv = P (\chi^2|3) d\chi^2 </math>,

где

<math> \chi^2 = \frac {mv^2} {kT} </math>

таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна

<math> f (v) dv = 4 \pi v^2 \left ( \frac {m} {2 \pi kT} \right) ^ {3/2} \exp \left (\frac {-mv^2} {2kT} \right) dv \qquad\qquad (11) </math>

Характерная скорость

Хотя Уравнение (11) дает распределение скоростей, или, другими словами, долю молекул, имеющих специфическую скорость, часто более интересны другие величины, такие как средние скорости частиц. В следующих подразделах мы определим и получим наиболее вероятную скорость, среднюю скорость и среднеквадратичную скорость.

Наиболее вероятная скорость

наиболее вероятная скорость, <math>v_p</math> — вероятность обладания которой любой молекулой системы максимальна, и которая соответствует максимальному значению плотности вероятности распределения <math>F(v)</math> (а значит, соответствует моде этого распределения). Чтобы найти её, необходимо вычислить <math>dF/dv</math>, приравнять её нулю и решить относительно <math>v</math>:

<math> \frac {dF(v)} {dv} = \left (\frac {m} {2 \pi kT} \right) ^ {3/2} \exp \left (-mv^2/2kT \right) \left [8\pi v + 4 \pi v^2 (-mv/kT) \right] = 0\qquad\qquad (12) </math>
<math> v_p = \sqrt {\frac {2kT} {m}} = \sqrt {\frac {2RT} {\mu}} \qquad\qquad (13) </math>

где <math> {m} </math> - масса рассматриваемой частицы, <math> {\mu} </math> - молярная масса.

Средняя скорость

<math> \langle v \rangle = \int\limits_0 ^ {\infin} v \, F (v) \, dv \qquad\qquad (14) </math>

Подставляя <math>F(v)</math> и интегрируя, мы получим

<math> \langle v \rangle = \sqrt {\frac {8kT} {\pi m}} = \sqrt {\frac {8RT} {\pi\mu}} \qquad\qquad (15) </math>

Среднеквадратичная скорость

<math> \langle v'^2 \rangle = \int\limits_0 ^ {\infin} v^2 \, F (v) \, dv \qquad\qquad (16) </math>

Подставляя <math>F(v)</math> и интегрируя, мы получим

<math> \sqrt{\langle v'^2\rangle} = \sqrt {\frac {3kT} {m}} = \sqrt{\frac {3RT} {\mu}} \qquad\qquad (17) </math>

Вывод распределения по Максвеллу

Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Джеймс Клерк МаксвеллК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 5070 дней].
Рассмотрим пространство скоростных точек (каждую скорость молекулы представляем как точку (скоростную точку) в системе координат <math> Ov_x v_y v_z</math>) в стационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объема <math> dv_x dv_y dv_z</math>. Так как газ стационарный, количество скоростных точек в <math> dv_x dv_y dv_z</math> остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно, поэтому функции плотности вероятности для всех направлений одинаковы.

<math> dP(v_x) = \varphi(v_x)dv_x \qquad dP(v_y) = \varphi(v_y)dv_y \qquad dP(v_z) = \varphi(v_z)dv_z</math>

Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента <math> v_x</math> скорости молекулы не зависит от <math> y-</math> и <math> z-</math> компонент.

<math> dP(v_x, v_y, v_z) = \underbrace{\varphi(v_x)\varphi(v_y)\varphi(v_z)}_{f(v)} dv_xdv_ydv_z</math> - фактически вероятность нахождения скоростной точки в объеме <math> dv_x dv_y dv_z</math>.
<math> f(v) = \varphi(v_x)\varphi(v_y)\varphi(v_z)</math>
<math> \ln f(v) = \ln \varphi(v_x)+\ln \varphi(v_y)+\ln \varphi(v_z) \quad \bigg| \quad \frac{\partial}{\partial v_x}</math>
<math> \frac{f'(v)}{f(v)} \frac{\partial v}{\partial v_x} = \frac{\varphi '(v_x)}{\varphi(v_x)}</math>
<math> \frac{\partial v}{\partial v_x} = \frac{v_x}{v} </math>
<math> \frac{1}{v} \frac{f'(v)}{f(v)} = \frac{1}{v_x} \frac{\varphi '(v_x)}{\varphi(v_x)}</math>

Правая часть не зависит от <math> v_y</math> и <math> v_z</math>, значит и левая от <math> v_y</math> и <math> v_z</math> не зависит. Однако <math> v_x</math> и <math> v_y</math> равноправны, следовательно левая часть не зависит также и от <math> v_x</math>. Значит данное выражение может лишь равняться некоторой константе.

<math> \frac{1}{v} \frac{f'(v)}{f(v)} = - \alpha</math>
<math> \frac{\varphi '(v_x)}{\varphi(v_x)} = - \alpha v_x</math>
<math> \varphi (v_x) = A e^{-\frac{\alpha {v_x}^2}{2}}</math>
<math> \int\limits_{-\infin} ^ {\infin} \varphi(v_x) \, dv_x = 1 \qquad \Rightarrow \qquad A \int\limits_{-\infin} ^ {\infin} e^{-\frac{\alpha {v_x}^2}{2}} \, dv_x = A \, \sqrt{\frac{2}{\alpha}} \, \sqrt{\pi} = 1 \qquad \Rightarrow \qquad A = \sqrt{\frac{\alpha}{2 \pi}}</math>
<math> \varphi (v_x) = \sqrt{\frac{\alpha}{2 \pi}} e^{-\frac{\alpha {v_x}^2}{2}}</math>

Теперь нужно сделать принципиальный шаг — ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):

<math> \left\langle\frac{mv^2}{2}\right\rangle = \frac{3}{2}kT,</math>

где <math> k = 1.38 \cdot 10^{-23}</math> Дж/К - постоянная Больцмана.

<math> v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}</math>

Ввиду равноправия всех направлений:

<math> \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle = \frac{kT}{m}</math>

Чтобы найти среднее значение <math> v_x^2</math>, проинтегрируем её вместе с функцией плотности вероятности от минус до плюс бесконечности:

<math> \frac{kT}{m} = \int\limits_{-\infin} ^ {\infin} {v_x}^2 \, \varphi(v_x) \, dv_x = \sqrt{\frac{\alpha}{2 \pi}} \, \int\limits_{-\infin} ^ {\infin} v_x^2 \, e^{-\frac{\alpha {v_x}^2}{2}} \, dv_x = \sqrt{\frac{\alpha}{2 \pi}}\left[ -2 \, \frac{d}{d \alpha} \, \int\limits_{-\infin} ^ {\infin} e^{-\frac{\alpha {v_x}^2}{2}} \, dv_x \right] = -2 \, \sqrt{\frac{\alpha}{2 \pi}} \, \frac{\delta}{\delta \alpha} \sqrt{\frac{2 \pi}{\alpha}} = - 2 \sqrt{\alpha} (-\frac{1}{2} \alpha^{-\frac{3}{2}}) = \frac{1}{\alpha}</math>

Отсюда найдём <math> \alpha</math>:

<math> \alpha = \frac{m}{kT}</math>

Функция распределения плотности вероятности для <math> v_x</math> (для <math> v_y</math> и <math> v_z</math> аналогично):

<math> \varphi (v_x) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{1}{2}} \, e^{-\frac{mv_x^2}{2kT}}</math>

Теперь рассмотрим распределение по величине скорости. Вернемся в пространство скоростных точек. Все точки с модулем скорости <math> v \subset [v; v+dv]</math> лежат в шаровом слое радиуса <math> v</math> и толщины <math> dv</math>, и <math> dv_x dv_y dv_z</math> - объем этого шарового слоя.

<math> dP(v_x, v_y, v_z) = \varphi(v_x)\varphi(v_y)\varphi(v_z) dv_xdv_ydv_z</math>
<math> \underbrace{dP (v_x, v_y, v_z)}_{dP(v)} = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} \, e^{-\frac{mv_x^2 + mv_y^2 + mv_z^2}{2kT}} \underbrace{dv_x dv_y dv_z}_{4\pi v^2 dv}</math>
<math> dP(v) = \underbrace{4\pi \, \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} \, v^2 \, e^{-\frac{mv^2}{2kT}}}_{F(v)} dv</math>

Таким образом, мы получили функцию плотности вероятности <math> F(v)</math>, которая и является распределением Максвелла.

Границы применимости

Условия применимости распределения Максвелла:

1. Равновесное состояние системы, состоящей из большого числа частиц.
2. Изотропная система.
3. Классическая система. Это значит, что система должна быть не релятивистской и не квантовой (взаимодействие частиц допускается, но только зависящее от относительного положения частиц).

Условия классического рассмотрения

Рассматриваем объем xyz в газе, на который в среднем приходится 1 частица. Чтобы неопределенности в координате и импульсе не играли роли и применялась бы классическая, а не квантовая механика, должны выполняться соотношения:

<math> x p_x \gg h \qquad y p_y \gg h \qquad z p_z \gg h, \qquad</math> где <math> h</math> - постоянная Планка.
<math> V p^3 \gg h^3 ; \qquad V = \frac{1}{n} \qquad</math> - объем, приходящийся на частицу - это полный (единичный) объем, поделенный на количество частиц.
<math> n \, {\left(\frac{h}{p}\right)}^3 \ll 1</math>
<math> n^{\frac{1}{3}} \, \frac{h}{m \, \sqrt{\frac{3kT}{m}}} \ll 1</math>
<math> \frac{n^{\frac{2}{3}} h^2}{3mkT} \ll 1</math>
<math> T \gg \frac{n^{\frac{2}{3}} h^2}{3mk} = T_{deg} \qquad</math> - температура вырождения.


При температурах (1.2.3) ниже <math> T_{deg}</math> газ становится вырожденным, и распределение Максвелла к нему применять нельзя.

См. также

Напишите отзыв о статье "Распределение Максвелла"

Ссылки

www.falstad.com/gas/


Отрывок, характеризующий Распределение Максвелла


В недостроенном доме на Варварке, внизу которого был питейный дом, слышались пьяные крики и песни. На лавках у столов в небольшой грязной комнате сидело человек десять фабричных. Все они, пьяные, потные, с мутными глазами, напруживаясь и широко разевая рты, пели какую то песню. Они пели врозь, с трудом, с усилием, очевидно, не для того, что им хотелось петь, но для того только, чтобы доказать, что они пьяны и гуляют. Один из них, высокий белокурый малый в чистой синей чуйке, стоял над ними. Лицо его с тонким прямым носом было бы красиво, ежели бы не тонкие, поджатые, беспрестанно двигающиеся губы и мутные и нахмуренные, неподвижные глаза. Он стоял над теми, которые пели, и, видимо воображая себе что то, торжественно и угловато размахивал над их головами засученной по локоть белой рукой, грязные пальцы которой он неестественно старался растопыривать. Рукав его чуйки беспрестанно спускался, и малый старательно левой рукой опять засучивал его, как будто что то было особенно важное в том, чтобы эта белая жилистая махавшая рука была непременно голая. В середине песни в сенях и на крыльце послышались крики драки и удары. Высокий малый махнул рукой.
– Шабаш! – крикнул он повелительно. – Драка, ребята! – И он, не переставая засучивать рукав, вышел на крыльцо.
Фабричные пошли за ним. Фабричные, пившие в кабаке в это утро под предводительством высокого малого, принесли целовальнику кожи с фабрики, и за это им было дано вино. Кузнецы из соседних кузень, услыхав гульбу в кабаке и полагая, что кабак разбит, силой хотели ворваться в него. На крыльце завязалась драка.
Целовальник в дверях дрался с кузнецом, и в то время как выходили фабричные, кузнец оторвался от целовальника и упал лицом на мостовую.
Другой кузнец рвался в дверь, грудью наваливаясь на целовальника.
Малый с засученным рукавом на ходу еще ударил в лицо рвавшегося в дверь кузнеца и дико закричал:
– Ребята! наших бьют!
В это время первый кузнец поднялся с земли и, расцарапывая кровь на разбитом лице, закричал плачущим голосом:
– Караул! Убили!.. Человека убили! Братцы!..
– Ой, батюшки, убили до смерти, убили человека! – завизжала баба, вышедшая из соседних ворот. Толпа народа собралась около окровавленного кузнеца.
– Мало ты народ то грабил, рубахи снимал, – сказал чей то голос, обращаясь к целовальнику, – что ж ты человека убил? Разбойник!
Высокий малый, стоя на крыльце, мутными глазами водил то на целовальника, то на кузнецов, как бы соображая, с кем теперь следует драться.
– Душегуб! – вдруг крикнул он на целовальника. – Вяжи его, ребята!
– Как же, связал одного такого то! – крикнул целовальник, отмахнувшись от набросившихся на него людей, и, сорвав с себя шапку, он бросил ее на землю. Как будто действие это имело какое то таинственно угрожающее значение, фабричные, обступившие целовальника, остановились в нерешительности.
– Порядок то я, брат, знаю очень прекрасно. Я до частного дойду. Ты думаешь, не дойду? Разбойничать то нонче никому не велят! – прокричал целовальник, поднимая шапку.
– И пойдем, ишь ты! И пойдем… ишь ты! – повторяли друг за другом целовальник и высокий малый, и оба вместе двинулись вперед по улице. Окровавленный кузнец шел рядом с ними. Фабричные и посторонний народ с говором и криком шли за ними.
У угла Маросейки, против большого с запертыми ставнями дома, на котором была вывеска сапожного мастера, стояли с унылыми лицами человек двадцать сапожников, худых, истомленных людей в халатах и оборванных чуйках.
– Он народ разочти как следует! – говорил худой мастеровой с жидкой бородйой и нахмуренными бровями. – А что ж, он нашу кровь сосал – да и квит. Он нас водил, водил – всю неделю. А теперь довел до последнего конца, а сам уехал.
Увидав народ и окровавленного человека, говоривший мастеровой замолчал, и все сапожники с поспешным любопытством присоединились к двигавшейся толпе.
– Куда идет народ то?
– Известно куда, к начальству идет.
– Что ж, али взаправду наша не взяла сила?
– А ты думал как! Гляди ко, что народ говорит.
Слышались вопросы и ответы. Целовальник, воспользовавшись увеличением толпы, отстал от народа и вернулся к своему кабаку.
Высокий малый, не замечая исчезновения своего врага целовальника, размахивая оголенной рукой, не переставал говорить, обращая тем на себя общее внимание. На него то преимущественно жался народ, предполагая от него получить разрешение занимавших всех вопросов.
– Он покажи порядок, закон покажи, на то начальство поставлено! Так ли я говорю, православные? – говорил высокий малый, чуть заметно улыбаясь.
– Он думает, и начальства нет? Разве без начальства можно? А то грабить то мало ли их.
– Что пустое говорить! – отзывалось в толпе. – Как же, так и бросят Москву то! Тебе на смех сказали, а ты и поверил. Мало ли войсков наших идет. Так его и пустили! На то начальство. Вон послушай, что народ то бает, – говорили, указывая на высокого малого.
У стены Китай города другая небольшая кучка людей окружала человека в фризовой шинели, держащего в руках бумагу.
– Указ, указ читают! Указ читают! – послышалось в толпе, и народ хлынул к чтецу.
Человек в фризовой шинели читал афишку от 31 го августа. Когда толпа окружила его, он как бы смутился, но на требование высокого малого, протеснившегося до него, он с легким дрожанием в голосе начал читать афишку сначала.
«Я завтра рано еду к светлейшему князю, – читал он (светлеющему! – торжественно, улыбаясь ртом и хмуря брови, повторил высокий малый), – чтобы с ним переговорить, действовать и помогать войскам истреблять злодеев; станем и мы из них дух… – продолжал чтец и остановился („Видал?“ – победоносно прокричал малый. – Он тебе всю дистанцию развяжет…»)… – искоренять и этих гостей к черту отправлять; я приеду назад к обеду, и примемся за дело, сделаем, доделаем и злодеев отделаем».
Последние слова были прочтены чтецом в совершенном молчании. Высокий малый грустно опустил голову. Очевидно было, что никто не понял этих последних слов. В особенности слова: «я приеду завтра к обеду», видимо, даже огорчили и чтеца и слушателей. Понимание народа было настроено на высокий лад, а это было слишком просто и ненужно понятно; это было то самое, что каждый из них мог бы сказать и что поэтому не мог говорить указ, исходящий от высшей власти.
Все стояли в унылом молчании. Высокий малый водил губами и пошатывался.
– У него спросить бы!.. Это сам и есть?.. Как же, успросил!.. А то что ж… Он укажет… – вдруг послышалось в задних рядах толпы, и общее внимание обратилось на выезжавшие на площадь дрожки полицеймейстера, сопутствуемого двумя конными драгунами.
Полицеймейстер, ездивший в это утро по приказанию графа сжигать барки и, по случаю этого поручения, выручивший большую сумму денег, находившуюся у него в эту минуту в кармане, увидав двинувшуюся к нему толпу людей, приказал кучеру остановиться.
– Что за народ? – крикнул он на людей, разрозненно и робко приближавшихся к дрожкам. – Что за народ? Я вас спрашиваю? – повторил полицеймейстер, не получавший ответа.
– Они, ваше благородие, – сказал приказный во фризовой шинели, – они, ваше высокородие, по объявлению сиятельнейшего графа, не щадя живота, желали послужить, а не то чтобы бунт какой, как сказано от сиятельнейшего графа…
– Граф не уехал, он здесь, и об вас распоряжение будет, – сказал полицеймейстер. – Пошел! – сказал он кучеру. Толпа остановилась, скучиваясь около тех, которые слышали то, что сказало начальство, и глядя на отъезжающие дрожки.
Полицеймейстер в это время испуганно оглянулся, что то сказал кучеру, и лошади его поехали быстрее.
– Обман, ребята! Веди к самому! – крикнул голос высокого малого. – Не пущай, ребята! Пущай отчет подаст! Держи! – закричали голоса, и народ бегом бросился за дрожками.
Толпа за полицеймейстером с шумным говором направилась на Лубянку.
– Что ж, господа да купцы повыехали, а мы за то и пропадаем? Что ж, мы собаки, что ль! – слышалось чаще в толпе.


Вечером 1 го сентября, после своего свидания с Кутузовым, граф Растопчин, огорченный и оскорбленный тем, что его не пригласили на военный совет, что Кутузов не обращал никакого внимания на его предложение принять участие в защите столицы, и удивленный новым открывшимся ему в лагере взглядом, при котором вопрос о спокойствии столицы и о патриотическом ее настроении оказывался не только второстепенным, но совершенно ненужным и ничтожным, – огорченный, оскорбленный и удивленный всем этим, граф Растопчин вернулся в Москву. Поужинав, граф, не раздеваясь, прилег на канапе и в первом часу был разбужен курьером, который привез ему письмо от Кутузова. В письме говорилось, что так как войска отступают на Рязанскую дорогу за Москву, то не угодно ли графу выслать полицейских чиновников, для проведения войск через город. Известие это не было новостью для Растопчина. Не только со вчерашнего свиданья с Кутузовым на Поклонной горе, но и с самого Бородинского сражения, когда все приезжавшие в Москву генералы в один голос говорили, что нельзя дать еще сражения, и когда с разрешения графа каждую ночь уже вывозили казенное имущество и жители до половины повыехали, – граф Растопчин знал, что Москва будет оставлена; но тем не менее известие это, сообщенное в форме простой записки с приказанием от Кутузова и полученное ночью, во время первого сна, удивило и раздражило графа.
Впоследствии, объясняя свою деятельность за это время, граф Растопчин в своих записках несколько раз писал, что у него тогда было две важные цели: De maintenir la tranquillite a Moscou et d'en faire partir les habitants. [Сохранить спокойствие в Москве и выпроводить из нее жителей.] Если допустить эту двоякую цель, всякое действие Растопчина оказывается безукоризненным. Для чего не вывезена московская святыня, оружие, патроны, порох, запасы хлеба, для чего тысячи жителей обмануты тем, что Москву не сдадут, и разорены? – Для того, чтобы соблюсти спокойствие в столице, отвечает объяснение графа Растопчина. Для чего вывозились кипы ненужных бумаг из присутственных мест и шар Леппиха и другие предметы? – Для того, чтобы оставить город пустым, отвечает объяснение графа Растопчина. Стоит только допустить, что что нибудь угрожало народному спокойствию, и всякое действие становится оправданным.
Все ужасы террора основывались только на заботе о народном спокойствии.
На чем же основывался страх графа Растопчина о народном спокойствии в Москве в 1812 году? Какая причина была предполагать в городе склонность к возмущению? Жители уезжали, войска, отступая, наполняли Москву. Почему должен был вследствие этого бунтовать народ?
Не только в Москве, но во всей России при вступлении неприятеля не произошло ничего похожего на возмущение. 1 го, 2 го сентября более десяти тысяч людей оставалось в Москве, и, кроме толпы, собравшейся на дворе главнокомандующего и привлеченной им самим, – ничего не было. Очевидно, что еще менее надо было ожидать волнения в народе, ежели бы после Бородинского сражения, когда оставление Москвы стало очевидно, или, по крайней мере, вероятно, – ежели бы тогда вместо того, чтобы волновать народ раздачей оружия и афишами, Растопчин принял меры к вывозу всей святыни, пороху, зарядов и денег и прямо объявил бы народу, что город оставляется.
Растопчин, пылкий, сангвинический человек, всегда вращавшийся в высших кругах администрации, хотя в с патриотическим чувством, не имел ни малейшего понятия о том народе, которым он думал управлять. С самого начала вступления неприятеля в Смоленск Растопчин в воображении своем составил для себя роль руководителя народного чувства – сердца России. Ему не только казалось (как это кажется каждому администратору), что он управлял внешними действиями жителей Москвы, но ему казалось, что он руководил их настроением посредством своих воззваний и афиш, писанных тем ёрническим языком, который в своей среде презирает народ и которого он не понимает, когда слышит его сверху. Красивая роль руководителя народного чувства так понравилась Растопчину, он так сжился с нею, что необходимость выйти из этой роли, необходимость оставления Москвы без всякого героического эффекта застала его врасплох, и он вдруг потерял из под ног почву, на которой стоял, в решительно не знал, что ему делать. Он хотя и знал, но не верил всею душою до последней минуты в оставление Москвы и ничего не делал с этой целью. Жители выезжали против его желания. Ежели вывозили присутственные места, то только по требованию чиновников, с которыми неохотно соглашался граф. Сам же он был занят только тою ролью, которую он для себя сделал. Как это часто бывает с людьми, одаренными пылким воображением, он знал уже давно, что Москву оставят, но знал только по рассуждению, но всей душой не верил в это, не перенесся воображением в это новое положение.
Вся деятельность его, старательная и энергическая (насколько она была полезна и отражалась на народ – это другой вопрос), вся деятельность его была направлена только на то, чтобы возбудить в жителях то чувство, которое он сам испытывал, – патриотическую ненависть к французам и уверенность в себе.