Распределение Коши

Распределение Коши

Плотность вероятности Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши
Функция распределения Цвета находятся в соответствии с графиком выше
Обозначение	<math>\mathrm{C}(x_0,\gamma)</math>
Параметры	<math>x_0</math> — коэффициент сдвига <math>\gamma > 0</math> — коэффициент масштаба
Носитель	<math>x \in (-\infty; +\infty)</math>
Плотность вероятности	<math>\frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]}</math>
Функция распределения	<math>\frac{1}{\pi} \mathrm{arctg}\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}</math>
Математическое ожидание	не существует
Медиана	<math>x_0</math>
Мода	<math>x_0</math>
Дисперсия	<math>+\infty</math>
Коэффициент асимметрии	не существует
Коэффициент эксцесса	не существует
Дифференциальная энтропия	<math>\ln(4\,\pi\,\gamma)</math>
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция	<math>\exp(x_0\,i\,t-\gamma\,

Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца и распределе́нием Бре́йта — Ви́гнера) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Определение

Пусть распределение случайной величины <math>X</math> задаётся плотностью <math>f_X(x)</math>, имеющей вид:

<math>f_X(x) = \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right]</math>,

где

• <math>x_0 \in \mathbb{R}</math> — параметр сдвига;
• <math>\gamma > 0 </math> — параметр масштаба.

Тогда говорят, что <math>X</math> имеет распределение Коши и пишут <math>X \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma)</math>. Если <math>x_0 = 0</math> и <math>\gamma = 1</math>, то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределения

Функция распределения Коши имеет вид:

<math>F_X(x) = \frac{1}{\pi}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}</math>.

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

<math>F^{-1}_X(x) = x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\,\left(x-{1 \over 2}\right)\right].</math>

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

Моменты

Так как интеграл Лебега

<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x^{\alpha}f_X(x)\, dx</math>

не определён для <math>\alpha \geqslant 1</math>, ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: <math>\lim\limits_{c \rightarrow \infty} \int\limits_{-c}^{c} x \cdot { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right]\, dx = x_0</math> ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойства

• Распределение Коши бесконечно делимо.
• Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если <math>X_1,\ldots, X_n \sim \mathrm{C}(0,1)</math>, то

<math>\overline{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{C}(0,1)</math>

Связь с другими распределениями

• Если <math>U \sim U[0,1]</math>, то

<math> x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\left(U-{1 \over 2}\right)\right] \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma)</math>.

• Если <math>X_1,X_2</math> — независимые нормальные случайные величины, такие что <math>X_i \sim \mathrm{N}(0,1),\; i=1,2 </math>, то

<math>\frac{X_1}{X_2} \sim \mathrm{C}(0,1)</math>.

• Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

<math>\mathrm{C}(0,1) \equiv \mathrm{t}(1)</math>.

Появление в практических задачах

• Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (т.е. направление прямой изотропно на плоскости).
• В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
• Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.

</center>

Отрывок, характеризующий Распределение Коши

Ростов дал шпоры лошади, окликнул унтер офицера Федченку и еще двух гусар, приказал им ехать за собою и рысью поехал под гору по направлению к продолжавшимся крикам. Ростову и жутко и весело было ехать одному с тремя гусарами туда, в эту таинственную и опасную туманную даль, где никто не был прежде его. Багратион закричал ему с горы, чтобы он не ездил дальше ручья, но Ростов сделал вид, как будто не слыхал его слов, и, не останавливаясь, ехал дальше и дальше, беспрестанно обманываясь, принимая кусты за деревья и рытвины за людей и беспрестанно объясняя свои обманы. Спустившись рысью под гору, он уже не видал ни наших, ни неприятельских огней, но громче, яснее слышал крики французов. В лощине он увидал перед собой что то вроде реки, но когда он доехал до нее, он узнал проезженную дорогу. Выехав на дорогу, он придержал лошадь в нерешительности: ехать по ней, или пересечь ее и ехать по черному полю в гору. Ехать по светлевшей в тумане дороге было безопаснее, потому что скорее можно было рассмотреть людей. «Пошел за мной», проговорил он, пересек дорогу и стал подниматься галопом на гору, к тому месту, где с вечера стоял французский пикет.
– Ваше благородие, вот он! – проговорил сзади один из гусар.
И не успел еще Ростов разглядеть что то, вдруг зачерневшееся в тумане, как блеснул огонек, щелкнул выстрел, и пуля, как будто жалуясь на что то, зажужжала высоко в тумане и вылетела из слуха. Другое ружье не выстрелило, но блеснул огонек на полке. Ростов повернул лошадь и галопом поехал назад. Еще раздались в разных промежутках четыре выстрела, и на разные тоны запели пули где то в тумане. Ростов придержал лошадь, повеселевшую так же, как он, от выстрелов, и поехал шагом. «Ну ка еще, ну ка еще!» говорил в его душе какой то веселый голос. Но выстрелов больше не было.
Только подъезжая к Багратиону, Ростов опять пустил свою лошадь в галоп и, держа руку у козырька, подъехал к нему.
Долгоруков всё настаивал на своем мнении, что французы отступили и только для того, чтобы обмануть нас, разложили огни.
– Что же это доказывает? – говорил он в то время, как Ростов подъехал к ним. – Они могли отступить и оставить пикеты.
– Видно, еще не все ушли, князь, – сказал Багратион. – До завтрашнего утра, завтра всё узнаем.
– На горе пикет, ваше сиятельство, всё там же, где был с вечера, – доложил Ростов, нагибаясь вперед, держа руку у козырька и не в силах удержать улыбку веселья, вызванного в нем его поездкой и, главное, звуками пуль.
– Хорошо, хорошо, – сказал Багратион, – благодарю вас, г. офицер.
– Ваше сиятельство, – сказал Ростов, – позвольте вас просить.
– Что такое?
– Завтра эскадрон наш назначен в резервы; позвольте вас просить прикомандировать меня к 1 му эскадрону.
– Как фамилия?
– Граф Ростов.
– А, хорошо. Оставайся при мне ординарцем.
– Ильи Андреича сын? – сказал Долгоруков.
Но Ростов не отвечал ему.
– Так я буду надеяться, ваше сиятельство.
– Я прикажу.
«Завтра, очень может быть, пошлют с каким нибудь приказанием к государю, – подумал он. – Слава Богу».

Крики и огни в неприятельской армии происходили оттого, что в то время, как по войскам читали приказ Наполеона, сам император верхом объезжал свои бивуаки. Солдаты, увидав императора, зажигали пуки соломы и с криками: vive l'empereur! бежали за ним. Приказ Наполеона был следующий:
«Солдаты! Русская армия выходит против вас, чтобы отмстить за австрийскую, ульмскую армию. Это те же баталионы, которые вы разбили при Голлабрунне и которые вы с тех пор преследовали постоянно до этого места. Позиции, которые мы занимаем, – могущественны, и пока они будут итти, чтоб обойти меня справа, они выставят мне фланг! Солдаты! Я сам буду руководить вашими баталионами. Я буду держаться далеко от огня, если вы, с вашей обычной храбростью, внесете в ряды неприятельские беспорядок и смятение; но если победа будет хоть одну минуту сомнительна, вы увидите вашего императора, подвергающегося первым ударам неприятеля, потому что не может быть колебания в победе, особенно в тот день, в который идет речь о чести французской пехоты, которая так необходима для чести своей нации.