Теорема о распределении простых чисел

Поделись знанием:


Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

(перенаправлено с «Распределение простых чисел»)
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. А именно, она утверждает, что функция распределения простых чисел <math>\pi(n)</math> (количество простых чисел на отрезке <math>[1;n]</math>) растёт с увеличением <math>n</math> как <math>\frac{n}{\ln n}</math>, то есть:

<math> \frac{\pi(n)}{n/\ln n} \to 1,</math> когда <math> n\to \infty.</math>

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до <math>n</math> шанс оказаться простым примерно равен <math>\frac{1}{\ln n}</math>.

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения <math>k</math>-го простого числа <math>p_k</math>: она утверждает, что

<math> p_k \sim k\ln k, \quad k\to\infty </math>

(здесь и далее запись <math>\ f\sim g</math> означает, что <math>f/g \to 1</math> когда аргумент функций стремится к бесконечности).

Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно[1]

<math>\pi(n)={li}\,(n)+O(\sqrt{n}\ln n).</math>




История

Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»[2]. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределения простых чисел <math>\pi(x)</math> (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:

<math>\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)-B}</math>

где <math>B \approx 1{,}08366.</math> Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:

<math>\mathrm{Li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\ln x} \, dx</math>

Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций <math>\pi(x)</math> и <math>x / \ln(x)</math>, указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает[3], что верхний M и нижний m пределы отношения

<math>\frac{\pi(x)}{x/\ln x} \qquad</math> (1)

заключены в пределах <math>0{,}92129 \leqslant m \leqslant M \leqslant 1{,}10555</math>, а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) <math>\zeta</math>-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и Валле-Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.

Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство ЭрдешаСельберга.

Общий ход доказательства

Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва, определяемой как

<math>

\psi(x)=\sum_{p^k \le x} \log p, \qquad \qquad (*) </math> иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:

<math>

\psi(x)=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \qquad \Lambda(n)= \begin{cases} \log p, & n=p^k, \, k\ge 1, \quad p \,\text{is a prime} \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} </math>

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что

<math>

\psi(x)\sim x, \quad x\to \infty. </math>

Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка <math>[1,n]</math>, а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы <math>\ln p</math> примерно равны <math>\ln x</math>, и функция <math>\psi(x)</math> асимптотически ведёт себя так же, как <math>\pi(x) \cdot \ln x</math>.

Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана

Как следует из тождества Эйлера,

<math>

\zeta(s)=\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}, </math> ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:

<math>

\sum_n \Lambda(n) n^{-s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}. </math>

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции <math>a^s/s</math> равен <math>2\pi i</math> при <math>a>1</math> и 0 при <math>0<a<1</math>. Поэтому, умножение правой и левой части на <math>\frac{1}{2\pi i} x^s/s</math> и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) интегрирование по вертикальной прямой по <math>ds</math> оставляет в левой части в точности сумму <math>\Lambda(n)</math> с <math>n\leqslant x</math>. С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке <math>s=1</math> — полюс первого порядка с вычетом, равным <math>(-1)</math>.

Строгая реализация этой программы позволяет получить[4] явную формула Римана (англ.)[5]:

<math>

\psi(x) =x-\sum_{{\rho: \, \zeta(\rho)=0, \atop 0<\operatorname{Re}(\rho)<1}}\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\frac{1}{2}\log(1-x^{-2}). \qquad \qquad (**) </math> Суммирование тут ведётся по нулям <math>\rho</math> дзета-функции, лежащим в критической полосе <math>0<\operatorname{Re}(s)<1</math>, слагаемое <math>-\log(2\pi)=-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}</math> отвечает полюсу <math>\frac{x^s}{s}</math> в нуле, а слагаемое <math>-\log(1-x^{-2})/2</math> — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции <math>s=-2,-4,-6,\dots</math>.

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение <math>\psi(x)\sim x</math> (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем <math>x</math>). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения <math>\psi(x)</math> от <math>x</math>, и, соответственно, на отклонения <math>\pi(x)</math> от <math>x/\ln x</math>.

Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как

<math>

\ln n = \sum_{p,k: \, p^k|n} \ln p </math> тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как

<math>

\ln = \Lambda * \mathbf{1}, </math> где <math>\ln</math> и <math>\mathbf{1}</math> — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести <math>\mathbf{1}</math> в правую часть:

<math>

\Lambda= \ln * \mu, \qquad \qquad (**) </math> где <math>\mu</math> — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция <math>\psi</math>. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме <math>\sum\limits_k L\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k),</math> где <math>L</math> — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать <math>L(n)</math> как

<math>L(n)=n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + \gamma + o(1),</math>

где <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид <math>\sum\limits_k F\left(\frac{n}{k}\right)</math> для подходящим образом подобранной функции F (а именно, <math>F(x)=x-\gamma-1</math>), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

<math>\Lambda = F + \sum\limits_k R\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k).</math>

Поскольку <math>F(x)\sim x,</math> остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид <math>o(x)</math>. Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения <math>M(x)=o(x),</math> где <math>M(x)=\sum\limits_{n\leqslant x} \mu(n)</math> — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции <math>1/n</math>.

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

<math>\mu'=-\mu*\Lambda,</math>

где <math>f'(n)=f(n)\cdot \ln n</math> — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

<math>\mu= \mu*(\Lambda*\Lambda - \Lambda').</math>

«Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции <math>\Lambda_2=\Lambda*\Lambda+\Lambda</math> оценивается лучше асимптотики сумм <math>\Lambda</math>, позволяет оценивать отношение <math>\frac{M(x)}{x}</math> через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку <math>M(x)=o(x)</math>.

См. также

Напишите отзыв о статье "Теорема о распределении простых чисел"

Примечания

  1. [dx.doi.org/10.4213/book231 Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11. - с. 30-31]
  2. Дербишир, 2010, с. 178-179..
  3. Ахиезер Н. И. П. Л. Чебышёв и его научное наследие.
  4. [people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf Sketch of the Riemann--von Mangoldt explicit formula]
  5. Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/ExplicitFormula.html Explicit Formula] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

Классические труды

  • Jacques Hadamard. [archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1896__24_/BSMF_1896__24__199_1/BSMF_1896__24__199_1.pdf Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta(s)</math> et ses conséquences arithmétiques]. Bull. Soc. Math. France, № 24 (1896), 199—220.
  • Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
  • Чебышёв П. Л. Об определении числа простых чисел, меньших данной величины, 1848.
  • Чебышёв П. Л. О простых числах, 1850.
  • Bernhard Riemann. [www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse] // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Современная литература

  • Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
  • Диамонд Г. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=4716&option_lang=rus Элементарные методы в изучении распределения простых чисел], УМН, 45:2(272) (1990), 79-114.
  • Постников А. Г., Романов Н. П. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=8019&option_lang=rus Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел], УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87
  • Erdős, P. Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
  • Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html Prime Number Theorem] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Теорема о распределении простых чисел

– Как рана?
– Моя то с? Ничего. Вот вы то? – Князь Андрей опять задумался, как будто припоминая что то.
– Нельзя ли достать книгу? – сказал он.
– Какую книгу?
– Евангелие! У меня нет.
Доктор обещался достать и стал расспрашивать князя о том, что он чувствует. Князь Андрей неохотно, но разумно отвечал на все вопросы доктора и потом сказал, что ему надо бы подложить валик, а то неловко и очень больно. Доктор и камердинер подняли шинель, которою он был накрыт, и, морщась от тяжкого запаха гнилого мяса, распространявшегося от раны, стали рассматривать это страшное место. Доктор чем то очень остался недоволен, что то иначе переделал, перевернул раненого так, что тот опять застонал и от боли во время поворачивания опять потерял сознание и стал бредить. Он все говорил о том, чтобы ему достали поскорее эту книгу и подложили бы ее туда.
– И что это вам стоит! – говорил он. – У меня ее нет, – достаньте, пожалуйста, подложите на минуточку, – говорил он жалким голосом.
Доктор вышел в сени, чтобы умыть руки.
– Ах, бессовестные, право, – говорил доктор камердинеру, лившему ему воду на руки. – Только на минуту не досмотрел. Ведь вы его прямо на рану положили. Ведь это такая боль, что я удивляюсь, как он терпит.
– Мы, кажется, подложили, господи Иисусе Христе, – говорил камердинер.
В первый раз князь Андрей понял, где он был и что с ним было, и вспомнил то, что он был ранен и как в ту минуту, когда коляска остановилась в Мытищах, он попросился в избу. Спутавшись опять от боли, он опомнился другой раз в избе, когда пил чай, и тут опять, повторив в своем воспоминании все, что с ним было, он живее всего представил себе ту минуту на перевязочном пункте, когда, при виде страданий нелюбимого им человека, ему пришли эти новые, сулившие ему счастие мысли. И мысли эти, хотя и неясно и неопределенно, теперь опять овладели его душой. Он вспомнил, что у него было теперь новое счастье и что это счастье имело что то такое общее с Евангелием. Потому то он попросил Евангелие. Но дурное положение, которое дали его ране, новое переворачиванье опять смешали его мысли, и он в третий раз очнулся к жизни уже в совершенной тишине ночи. Все спали вокруг него. Сверчок кричал через сени, на улице кто то кричал и пел, тараканы шелестели по столу и образам, в осенняя толстая муха билась у него по изголовью и около сальной свечи, нагоревшей большим грибом и стоявшей подле него.
Душа его была не в нормальном состоянии. Здоровый человек обыкновенно мыслит, ощущает и вспоминает одновременно о бесчисленном количестве предметов, но имеет власть и силу, избрав один ряд мыслей или явлений, на этом ряде явлений остановить все свое внимание. Здоровый человек в минуту глубочайшего размышления отрывается, чтобы сказать учтивое слово вошедшему человеку, и опять возвращается к своим мыслям. Душа же князя Андрея была не в нормальном состоянии в этом отношении. Все силы его души были деятельнее, яснее, чем когда нибудь, но они действовали вне его воли. Самые разнообразные мысли и представления одновременно владели им. Иногда мысль его вдруг начинала работать, и с такой силой, ясностью и глубиною, с какою никогда она не была в силах действовать в здоровом состоянии; но вдруг, посредине своей работы, она обрывалась, заменялась каким нибудь неожиданным представлением, и не было сил возвратиться к ней.
«Да, мне открылась новое счастье, неотъемлемое от человека, – думал он, лежа в полутемной тихой избе и глядя вперед лихорадочно раскрытыми, остановившимися глазами. Счастье, находящееся вне материальных сил, вне материальных внешних влияний на человека, счастье одной души, счастье любви! Понять его может всякий человек, но сознать и предписать его мот только один бог. Но как же бог предписал этот закон? Почему сын?.. И вдруг ход мыслей этих оборвался, и князь Андрей услыхал (не зная, в бреду или в действительности он слышит это), услыхал какой то тихий, шепчущий голос, неумолкаемо в такт твердивший: „И пити пити питии“ потом „и ти тии“ опять „и пити пити питии“ опять „и ти ти“. Вместе с этим, под звук этой шепчущей музыки, князь Андрей чувствовал, что над лицом его, над самой серединой воздвигалось какое то странное воздушное здание из тонких иголок или лучинок. Он чувствовал (хотя это и тяжело ему было), что ему надо было старательна держать равновесие, для того чтобы воздвигавшееся здание это не завалилось; но оно все таки заваливалось и опять медленно воздвигалось при звуках равномерно шепчущей музыки. „Тянется! тянется! растягивается и все тянется“, – говорил себе князь Андрей. Вместе с прислушаньем к шепоту и с ощущением этого тянущегося и воздвигающегося здания из иголок князь Андрей видел урывками и красный, окруженный кругом свет свечки и слышал шуршанъе тараканов и шуршанье мухи, бившейся на подушку и на лицо его. И всякий раз, как муха прикасалась к егв лицу, она производила жгучее ощущение; но вместе с тем его удивляло то, что, ударяясь в самую область воздвигавшегося на лице его здания, муха не разрушала его. Но, кроме этого, было еще одно важное. Это было белое у двери, это была статуя сфинкса, которая тоже давила его.
«Но, может быть, это моя рубашка на столе, – думал князь Андрей, – а это мои ноги, а это дверь; но отчего же все тянется и выдвигается и пити пити пити и ти ти – и пити пити пити… – Довольно, перестань, пожалуйста, оставь, – тяжело просил кого то князь Андрей. И вдруг опять выплывала мысль и чувство с необыкновенной ясностью и силой.
«Да, любовь, – думал он опять с совершенной ясностью), но не та любовь, которая любит за что нибудь, для чего нибудь или почему нибудь, но та любовь, которую я испытал в первый раз, когда, умирая, я увидал своего врага и все таки полюбил его. Я испытал то чувство любви, которая есть самая сущность души и для которой не нужно предмета. Я и теперь испытываю это блаженное чувство. Любить ближних, любить врагов своих. Все любить – любить бога во всех проявлениях. Любить человека дорогого можно человеческой любовью; но только врага можно любить любовью божеской. И от этого то я испытал такую радость, когда я почувствовал, что люблю того человека. Что с ним? Жив ли он… Любя человеческой любовью, можно от любви перейти к ненависти; но божеская любовь не может измениться. Ничто, ни смерть, ничто не может разрушить ее. Она есть сущность души. А сколь многих людей я ненавидел в своей жизни. И из всех людей никого больше не любил я и не ненавидел, как ее». И он живо представил себе Наташу не так, как он представлял себе ее прежде, с одною ее прелестью, радостной для себя; но в первый раз представил себе ее душу. И он понял ее чувство, ее страданья, стыд, раскаянье. Он теперь в первый раз поняд всю жестокость своего отказа, видел жестокость своего разрыва с нею. «Ежели бы мне было возможно только еще один раз увидать ее. Один раз, глядя в эти глаза, сказать…»
И пити пити пити и ти ти, и пити пити – бум, ударилась муха… И внимание его вдруг перенеслось в другой мир действительности и бреда, в котором что то происходило особенное. Все так же в этом мире все воздвигалось, не разрушаясь, здание, все так же тянулось что то, так же с красным кругом горела свечка, та же рубашка сфинкс лежала у двери; но, кроме всего этого, что то скрипнуло, пахнуло свежим ветром, и новый белый сфинкс, стоячий, явился пред дверью. И в голове этого сфинкса было бледное лицо и блестящие глаза той самой Наташи, о которой он сейчас думал.
«О, как тяжел этот неперестающий бред!» – подумал князь Андрей, стараясь изгнать это лицо из своего воображения. Но лицо это стояло пред ним с силою действительности, и лицо это приближалось. Князь Андрей хотел вернуться к прежнему миру чистой мысли, но он не мог, и бред втягивал его в свою область. Тихий шепчущий голос продолжал свой мерный лепет, что то давило, тянулось, и странное лицо стояло перед ним. Князь Андрей собрал все свои силы, чтобы опомниться; он пошевелился, и вдруг в ушах его зазвенело, в глазах помутилось, и он, как человек, окунувшийся в воду, потерял сознание. Когда он очнулся, Наташа, та самая живая Наташа, которую изо всех людей в мире ему более всего хотелось любить той новой, чистой божеской любовью, которая была теперь открыта ему, стояла перед ним на коленях. Он понял, что это была живая, настоящая Наташа, и не удивился, но тихо обрадовался. Наташа, стоя на коленях, испуганно, но прикованно (она не могла двинуться) глядела на него, удерживая рыдания. Лицо ее было бледно и неподвижно. Только в нижней части его трепетало что то.
Князь Андрей облегчительно вздохнул, улыбнулся и протянул руку.
– Вы? – сказал он. – Как счастливо!
Наташа быстрым, но осторожным движением подвинулась к нему на коленях и, взяв осторожно его руку, нагнулась над ней лицом и стала целовать ее, чуть дотрогиваясь губами.
– Простите! – сказала она шепотом, подняв голову и взглядывая на него. – Простите меня!
– Я вас люблю, – сказал князь Андрей.
– Простите…
– Что простить? – спросил князь Андрей.
– Простите меня за то, что я сделала, – чуть слышным, прерывным шепотом проговорила Наташа и чаще стала, чуть дотрогиваясь губами, целовать руку.
– Я люблю тебя больше, лучше, чем прежде, – сказал князь Андрей, поднимая рукой ее лицо так, чтобы он мог глядеть в ее глаза.
Глаза эти, налитые счастливыми слезами, робко, сострадательно и радостно любовно смотрели на него. Худое и бледное лицо Наташи с распухшими губами было более чем некрасиво, оно было страшно. Но князь Андрей не видел этого лица, он видел сияющие глаза, которые были прекрасны. Сзади их послышался говор.
Петр камердинер, теперь совсем очнувшийся от сна, разбудил доктора. Тимохин, не спавший все время от боли в ноге, давно уже видел все, что делалось, и, старательно закрывая простыней свое неодетое тело, ежился на лавке.
– Это что такое? – сказал доктор, приподнявшись с своего ложа. – Извольте идти, сударыня.