Рациональная нормальная кривая

Рациональная нормальная кривая — гладкая рациональная кривая степени n в n-мерном проективном пространстве <math>\mathbb P^n.</math> Она является одним из сравнительно простых проективных многообразий, более формально, она является образом вложения Веронезе, применённого к проективной прямой.

Определение

Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как образ отображения

<math>\nu:\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^n</math>

которое переводит точку с однородными координатами <math>[s:t]</math> в точку

<math>[s^n:s^{n-1}t:s^{n-2}t^2:\ldots:t^n].</math>

В аффинной карте <math> x_0 = 1 </math> это отображение записывается более простым образом:

<math>\nu:x \mapsto (x,x^2, \ldots ,x^n).</math>

Нетрудно видеть, что рациональная нормальная кривая получается замыканием аффинной кривой <math>(x,x^2,\dots,x^n)</math> при помощи единственной бесконечно удалённой точки.

Эквивалентным образом, рациональную нормальную кривую можно задать как множество общих нулей однородных многочленов

<math>F_{i,j}(x_0,\ldots,x_n) = x_ix_j - x_{i+1}x_{j-1},</math>

где <math>[x_0:\ldots:x_n]</math> — однородные координаты на <math>\mathbb{P}^n</math>. Рассматривать все эти эти многочлены не обязательно, для задания кривой достаточно выбрать, например, <math>F_{i,i}</math> и <math>F_{1,n-1}.</math>

Альтернативная параметризация

Пусть <math>[a_i:b_i]</math> — <math>n+1</math> различных точек на <math>\mathbb{P}^1.</math> Тогда многочлен

<math>G(s,t) = \Pi_{i=0}^n (a_is - b_it)</math>

является однородным многочленом степени <math>n+1</math> с различными корнями. Многочлены

<math>H_i(s,t) = \frac{G(s,t)} {(a_is-b_it)}</math>

образуют базис пространства однородных многочленов степени n. Отображение

<math>[s:t] \mapsto [H_0(s,t) : H_1(s,t) : \ldots : H_n (s,t) ]</math>

также задаёт рациональную нормальную кривую. Действительно, мономы <math>s^n,s^{n-1}t,s^{n-2}t^2,\ldots,t^n</math> являются всего лишь одним из возможных базисов в пространстве однородных многочленов, и его можно перевести линейным преобразованием в любой другой базис.

Данное отображение отправляет нули многочлена <math>G(s,t)</math> в «координатные точки», то есть точки, все однородные координаты которых, кроме одной, равны нулю. Обратно, рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки, может быть задана параметрически при помощи некоторого многочлена <math>G.</math>

Свойства

• Любые <math>n+1</math> точки на рациональной нормальной кривой в <math>\mathbb P^n</math> линейно независимы. Обратно, любая кривая с таким свойством является рациональной нормальной.
• Для любых <math>n+3</math> точек в <math>\mathbb P^n,</math> таких что любые <math>n+1</math> из них линейно независимы, существует единственная рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки. Для построения такой кривой достаточно перевести <math>n+1</math> из точек в «координатные», а затем, если оставшиеся точки перешли в <math>[c_0 : c_1 : \ldots : c_n], [d_0 : d_1 : \ldots : d_n],</math> в качестве многочлена <math>G</math> выбрать многочлен, зануляющийся в точках <math>[a_i : b_1] = [c_i^{-1} : d_i^{-1}].</math>
• Рациональная нормальная кривая в случае <math>n>2</math> не является полным пересечением, то есть её невозможно задать числом уравнений, равным её коразмерности.

Литература

• Харрис, Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.