Релятивистская механика

Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.

Общие принципы

В классической механике пространственные координаты и время являются независимыми (при отсутствии голономных связей, зависящих от времени), время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта, и действуют преобразования Галилея. В релятивистской же механике события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.

Основные законы релятивистской механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса — являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.

Второй закон Ньютона в релятивистской механике

Сила определяется как <math>\vec F= \frac {d\vec p}{dt}</math>, также известно выражение для релятивистского импульса:

<math>\vec p = \frac{m \vec {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}.</math>

Взяв для определения силы производную по времени от последнего выражения, получим:

<math>\frac {d\vec {p}}{dt}=m\gamma\vec a +m\gamma^3\vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ),</math>

где введены обозначения: <math>\vec{\beta}\equiv \frac {\vec{v}}{c}</math> и <math>\gamma \equiv \frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>.

В результате выражение для силы приобретает вид:

<math>\vec F= m\gamma\vec a +m\gamma^3 \vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ).</math>

Отсюда видно, что в релятивистской механике в отличие от нерелятивистского случая ускорение не обязательно направлено по силе, в общем случае ускорение имеет также и составляющую, направленную по скорости.

Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: <math>S= -\int\limits_{a}^{b}\alpha ds</math>, где <math>\alpha</math>-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) <math>ds=c \sqrt{1-v^2/c^2}dt</math>, подставляя в интеграл движения, находим: <math>S=- \int\limits_{t_1}^{t_2} \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}dt</math>. Но, с другой стороны, интеграл движения, можно выразить через функцию Лагранжа: <math>S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt</math>. Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть:

<math>\mathcal{L}=- \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}</math>.

Далее, разложим последнее выражение по степеням <math>\frac{v}{c}</math>, получим:

<math>\mathcal{L}\simeq \alpha c + \frac{\alpha v^2}{2c}</math>, первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: <math> \frac{m v^2}{2}</math>, нетрудно определить константу <math>\alpha</math>:

<math>\alpha = mc</math>. Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы:

<math>\mathcal{L}=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}</math>.

Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.

Релятивистская частица как неголономная система

Поскольку квадрат 4-вектора импульса <math>P_{\alpha}</math> является постоянной величиной:

<math> P_{\alpha} P^{\alpha} - m^2 c^2=0, </math>

то релятивистская частица может рассматриваться как механическая система с неголономной связью в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве.

См. также

• Теория относительности
• Специальная теория относительности
• Общая теория относительности
• Релятивистски равноускоренное движение
• Релятивистская электродинамика

Литература

• Паули В. [www.lib.prometey.org/?id=15113 Теория относительности.] М.: Наука, 1991. 328 с.
• [ivanik3.narod.ru/linksPO73.html Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности.] М.: Атомиздат, 1973.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 3-е, переработанное. — М.: Физматгиз, 1960. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II).
• Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

Отрывок, характеризующий Релятивистская механика

Но допустим, что должны были люди Европы, под предводительством Наполеона, зайти в глубь России и там погибнуть, и вся противуречащая сама себе, бессмысленная, жестокая деятельность людей – участников этой войны, становится для нас понятною.
Провидение заставляло всех этих людей, стремясь к достижению своих личных целей, содействовать исполнению одного огромного результата, о котором ни один человек (ни Наполеон, ни Александр, ни еще менее кто либо из участников войны) не имел ни малейшего чаяния.
Теперь нам ясно, что было в 1812 м году причиной погибели французской армии. Никто не станет спорить, что причиной погибели французских войск Наполеона было, с одной стороны, вступление их в позднее время без приготовления к зимнему походу в глубь России, а с другой стороны, характер, который приняла война от сожжения русских городов и возбуждения ненависти к врагу в русском народе. Но тогда не только никто не предвидел того (что теперь кажется очевидным), что только этим путем могла погибнуть восьмисоттысячная, лучшая в мире и предводимая лучшим полководцем армия в столкновении с вдвое слабейшей, неопытной и предводимой неопытными полководцами – русской армией; не только никто не предвидел этого, но все усилия со стороны русских были постоянно устремляемы на то, чтобы помешать тому, что одно могло спасти Россию, и со стороны французов, несмотря на опытность и так называемый военный гений Наполеона, были устремлены все усилия к тому, чтобы растянуться в конце лета до Москвы, то есть сделать то самое, что должно было погубить их.
В исторических сочинениях о 1812 м годе авторы французы очень любят говорить о том, как Наполеон чувствовал опасность растяжения своей линии, как он искал сражения, как маршалы его советовали ему остановиться в Смоленске, и приводить другие подобные доводы, доказывающие, что тогда уже будто понята была опасность кампании; а авторы русские еще более любят говорить о том, как с начала кампании существовал план скифской войны заманивания Наполеона в глубь России, и приписывают этот план кто Пфулю, кто какому то французу, кто Толю, кто самому императору Александру, указывая на записки, проекты и письма, в которых действительно находятся намеки на этот образ действий. Но все эти намеки на предвидение того, что случилось, как со стороны французов так и со стороны русских выставляются теперь только потому, что событие оправдало их. Ежели бы событие не совершилось, то намеки эти были бы забыты, как забыты теперь тысячи и миллионы противоположных намеков и предположений, бывших в ходу тогда, но оказавшихся несправедливыми и потому забытых. Об исходе каждого совершающегося события всегда бывает так много предположений, что, чем бы оно ни кончилось, всегда найдутся люди, которые скажут: «Я тогда еще сказал, что это так будет», забывая совсем, что в числе бесчисленных предположений были делаемы и совершенно противоположные.
Предположения о сознании Наполеоном опасности растяжения линии и со стороны русских – о завлечении неприятеля в глубь России – принадлежат, очевидно, к этому разряду, и историки только с большой натяжкой могут приписывать такие соображения Наполеону и его маршалам и такие планы русским военачальникам. Все факты совершенно противоречат таким предположениям. Не только во все время войны со стороны русских не было желания заманить французов в глубь России, но все было делаемо для того, чтобы остановить их с первого вступления их в Россию, и не только Наполеон не боялся растяжения своей линии, но он радовался, как торжеству, каждому своему шагу вперед и очень лениво, не так, как в прежние свои кампании, искал сражения.
При самом начале кампании армии наши разрезаны, и единственная цель, к которой мы стремимся, состоит в том, чтобы соединить их, хотя для того, чтобы отступать и завлекать неприятеля в глубь страны, в соединении армий не представляется выгод. Император находится при армии для воодушевления ее в отстаивании каждого шага русской земли, а не для отступления. Устроивается громадный Дрисский лагерь по плану Пфуля и не предполагается отступать далее. Государь делает упреки главнокомандующим за каждый шаг отступления. Не только сожжение Москвы, но допущение неприятеля до Смоленска не может даже представиться воображению императора, и когда армии соединяются, то государь негодует за то, что Смоленск взят и сожжен и не дано пред стенами его генерального сражения.