Релятивистски равноускоренное движение
Релятиви́стски равноуско́ренное движе́ние (или релятивистское равномерно ускоренное движение) — такое движение объекта, при котором ускорение постоянно в сопутствующей (собственной) системе отсчета, то есть в системе, в которой мгновенная скорость объекта равна нулю. Примером может быть движение тела постоянной массы под действием постоянной (в сопутствующей системе отсчёта) силы.
В отличие от классической механики, физическое тело не может всё время двигаться с неизменным (в фиксированной инерциальной системе отсчёта) ускорением, так как в этом случае его скорость рано или поздно превысит скорость света. В релятивистской механике постоянная сила, действующая на объект, непрерывно изменяет его скорость, оставляя её, тем не менее, меньше скорости света. Простейшим примером релятивистски равноускоренного движения является одномерное движение заряженной частицы в однородном электрическом поле, направленном вдоль скорости[1].
Для наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением в пространстве Минковского, существуют два горизонта событий, так называемые горизонты Риндлера (см. координаты Риндлера).
Содержание
Зависимость скорости от времени
При воздействии силы[2] <math>\textstyle \mathbf{f}</math> на объект с постоянной массой <math>\textstyle m,</math> его импульс изменяется следующим образом [3]:
-
<math>\mathbf{f} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}}.</math>
Если сила постоянна, то это уравнение легко интегрируется:
-
<math>\frac{\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}}=\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t,</math>
где <math>\textstyle \mathbf{a}=\mathbf{f}/m</math> — постоянный вектор в направлении силы, а <math>\textstyle \mathbf{w}_0</math> — константа интегрирования, выражающаяся через начальную скорость объекта <math>\textstyle \mathbf{u}_0</math> в момент времени <math>\textstyle t=0</math>:
-
<math>\mathbf{w}_0=\frac{\mathbf{u}_0}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2_0/c^2}}.</math>
Явное выражение скорости через время имеет вид:
-
<math>\mathbf{u}(t) = \frac{\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t}{\sqrt{1+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2/c^2}}.</math>
Скорость частицы под воздействием постоянной силы стремится к скорости света, но никогда её не превышает. В нерелятивистском пределе малых скоростей зависимость скорости от времени принимает классический вид:
-
<math>\mathbf{u} \approx \mathbf{u}_0+\mathbf{a}\,t.</math>
Траектория движения
Траектория равноускоренного движения в общем случае зависит от ориентации постоянных векторов <math>\textstyle \mathbf{a}</math> и <math>\textstyle \mathbf{w}_0.</math> После интегрирования уравнения <math>\textstyle \mathbf{u}(t)=d\mathbf{r}/dt</math> получается следующее выражение:
-
<math>\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0+\frac{\displaystyle\mathbf{a}\,c}{\displaystyle a^2}\, \left( \sqrt{c^2+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2} - \sqrt{c^2+\mathbf{w}_0^2}\right) +\frac{[\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times \mathbf{a}]]}{a^2}\cdot\tau_0,</math>
где <math>\textstyle \mathbf{r}_0</math> — радиус-вектор положения тела в момент времени <math>\textstyle t=0,</math> а <math>\textstyle \tau_0</math> — собственное время объекта [4]:
-
<math>\tau_0 = \frac{c}{a}\cdot \ln\frac{\displaystyle \sqrt{c^2+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}t)^2}+at+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a}{\displaystyle \sqrt{c^2+\mathbf{w}^2_0}+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a}.</math>
Жирным шрифтом обозначены вектора, а обычным — их длины. Если собственное ускорение <math>\textstyle \mathbf{a}</math> и начальная скорость <math>\textstyle \mathbf{u}_0</math> параллельны друг другу, то векторное произведение <math>\textstyle [\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times \mathbf{a}]]</math> равно нулю, и выражение для траектории заметно упрощается. В этом случае, если объект двигается вдоль оси x, то временная диаграмма на плоскости (x, t) является гиперболой <math>x(t) = \mathrm{const} + \sqrt{c^2t^2+c^4/a^2}.</math> Поэтому одномерное равноускоренное релятивистское движение иногда называют гиперболическим.
Собственное время <math>\textstyle \tau_0</math> равно времени, прошедшему на часах, связанных с объектом, от начального момента <math>\textstyle t=0</math> до момента времени <math>\textstyle t</math> в неподвижной системе отсчёта, относительно которой наблюдается движение. В результате замедления времени всегда <math>\textstyle \tau_0<t.</math>
В нерелятивистском пределе <math>\textstyle c\to\infty</math> (малые скорости) получается классическое уравнение равноускоренного движения:
-
<math>\mathbf{r}(t)\approx \mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0\, t+ \frac{\mathbf{a}\,t^2}{2}.</math>
Собственное ускорение
Постоянный вектор <math>\textstyle \mathbf{a}</math> имеет смысл обычного ускорения в мгновенной системе отсчёта, связанной с ускоряющимся телом. Если тело относительно своего предыдущего положения постоянно увеличивает скорость на <math>\textstyle a\,dt',</math> то в неподвижной системе отсчёта такое движение будет релятивистски равноускоренным. По этой причине параметр <math>\textstyle a</math> называется собственным ускорением. Приняв такое определение движения, можно получить зависимость скорости от времени, не обращаясь к динамике, оставаясь только в рамках кинематики теории относительности [5].
Излучение равномерно ускоренного заряда
Заряд e, движущийся с постоянным собственным ускорением a, излучает электромагнитные волны с мощностью <math>P=\frac{2e^2 a^2}{3c^3}</math> (в гауссовой системе). При этом радиационное трение отсутствует[6].
См. также
Напишите отзыв о статье "Релятивистски равноускоренное движение"
Примечания
- ↑ Движение заряженной частицы под углом, не равным 0 или 180°, к однородному электрическому полю не является равноускоренным, поскольку, вообще говоря, при лоренцевском преобразовании электромагнитное поле изменяется, что приводит к изменению действующей на тело силы в сопутствующей системе отсчёта. Исключение составляет лишь лоренцевское преобразование вдоль однородного электрического поля; в этом случае поле не меняется.
- ↑ В этой статье векторы выделены жирным шрифтом.
- ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
- ↑ Логунов А. А. — Лекции по теории относительности и гравитации: Современный анализ проблемы, М.: «Наука», 1987.
- ↑ [synset.com/ru/Ускоренное_движение Ускоренное движение] в теории относительности
- ↑ В. Л. Гинзбург. [ufn.ru/ru/articles/1969/7/f/ Об излучении и силе радиационного трения при равномерно ускоренном движении заряда.] // УФН, 98 (1969) 569—585.
Отрывок, характеризующий Релятивистски равноускоренное движение
– Да как же, он так и говорит?– Да, как человек, всё как должно быть, и стал, и стал уговаривать, а ей бы надо занять его разговором до петухов; а она заробела; – только заробела и закрылась руками. Он ее и подхватил. Хорошо, что тут девушки прибежали…
– Ну, что пугать их! – сказала Пелагея Даниловна.
– Мамаша, ведь вы сами гадали… – сказала дочь.
– А как это в амбаре гадают? – спросила Соня.
– Да вот хоть бы теперь, пойдут к амбару, да и слушают. Что услышите: заколачивает, стучит – дурно, а пересыпает хлеб – это к добру; а то бывает…
– Мама расскажите, что с вами было в амбаре?
Пелагея Даниловна улыбнулась.
– Да что, я уж забыла… – сказала она. – Ведь вы никто не пойдете?
– Нет, я пойду; Пепагея Даниловна, пустите меня, я пойду, – сказала Соня.
– Ну что ж, коли не боишься.
– Луиза Ивановна, можно мне? – спросила Соня.
Играли ли в колечко, в веревочку или рублик, разговаривали ли, как теперь, Николай не отходил от Сони и совсем новыми глазами смотрел на нее. Ему казалось, что он нынче только в первый раз, благодаря этим пробочным усам, вполне узнал ее. Соня действительно этот вечер была весела, оживлена и хороша, какой никогда еще не видал ее Николай.
«Так вот она какая, а я то дурак!» думал он, глядя на ее блестящие глаза и счастливую, восторженную, из под усов делающую ямочки на щеках, улыбку, которой он не видал прежде.
– Я ничего не боюсь, – сказала Соня. – Можно сейчас? – Она встала. Соне рассказали, где амбар, как ей молча стоять и слушать, и подали ей шубку. Она накинула ее себе на голову и взглянула на Николая.
«Что за прелесть эта девочка!» подумал он. «И об чем я думал до сих пор!»
Соня вышла в коридор, чтобы итти в амбар. Николай поспешно пошел на парадное крыльцо, говоря, что ему жарко. Действительно в доме было душно от столпившегося народа.
На дворе был тот же неподвижный холод, тот же месяц, только было еще светлее. Свет был так силен и звезд на снеге было так много, что на небо не хотелось смотреть, и настоящих звезд было незаметно. На небе было черно и скучно, на земле было весело.
«Дурак я, дурак! Чего ждал до сих пор?» подумал Николай и, сбежав на крыльцо, он обошел угол дома по той тропинке, которая вела к заднему крыльцу. Он знал, что здесь пойдет Соня. На половине дороги стояли сложенные сажени дров, на них был снег, от них падала тень; через них и с боку их, переплетаясь, падали тени старых голых лип на снег и дорожку. Дорожка вела к амбару. Рубленная стена амбара и крыша, покрытая снегом, как высеченная из какого то драгоценного камня, блестели в месячном свете. В саду треснуло дерево, и опять всё совершенно затихло. Грудь, казалось, дышала не воздухом, а какой то вечно молодой силой и радостью.
С девичьего крыльца застучали ноги по ступенькам, скрыпнуло звонко на последней, на которую был нанесен снег, и голос старой девушки сказал:
– Прямо, прямо, вот по дорожке, барышня. Только не оглядываться.
– Я не боюсь, – отвечал голос Сони, и по дорожке, по направлению к Николаю, завизжали, засвистели в тоненьких башмачках ножки Сони.
Соня шла закутавшись в шубку. Она была уже в двух шагах, когда увидала его; она увидала его тоже не таким, каким она знала и какого всегда немножко боялась. Он был в женском платье со спутанными волосами и с счастливой и новой для Сони улыбкой. Соня быстро подбежала к нему.
«Совсем другая, и всё та же», думал Николай, глядя на ее лицо, всё освещенное лунным светом. Он продел руки под шубку, прикрывавшую ее голову, обнял, прижал к себе и поцеловал в губы, над которыми были усы и от которых пахло жженой пробкой. Соня в самую середину губ поцеловала его и, выпростав маленькие руки, с обеих сторон взяла его за щеки.
– Соня!… Nicolas!… – только сказали они. Они подбежали к амбару и вернулись назад каждый с своего крыльца.
Когда все поехали назад от Пелагеи Даниловны, Наташа, всегда всё видевшая и замечавшая, устроила так размещение, что Луиза Ивановна и она сели в сани с Диммлером, а Соня села с Николаем и девушками.
Николай, уже не перегоняясь, ровно ехал в обратный путь, и всё вглядываясь в этом странном, лунном свете в Соню, отыскивал при этом всё переменяющем свете, из под бровей и усов свою ту прежнюю и теперешнюю Соню, с которой он решил уже никогда не разлучаться. Он вглядывался, и когда узнавал всё ту же и другую и вспоминал, слышав этот запах пробки, смешанный с чувством поцелуя, он полной грудью вдыхал в себя морозный воздух и, глядя на уходящую землю и блестящее небо, он чувствовал себя опять в волшебном царстве.
– Соня, тебе хорошо? – изредка спрашивал он.
– Да, – отвечала Соня. – А тебе ?
На середине дороги Николай дал подержать лошадей кучеру, на минутку подбежал к саням Наташи и стал на отвод.
– Наташа, – сказал он ей шопотом по французски, – знаешь, я решился насчет Сони.
– Ты ей сказал? – спросила Наташа, вся вдруг просияв от радости.
– Ах, какая ты странная с этими усами и бровями, Наташа! Ты рада?
– Я так рада, так рада! Я уж сердилась на тебя. Я тебе не говорила, но ты дурно с ней поступал. Это такое сердце, Nicolas. Как я рада! Я бываю гадкая, но мне совестно было быть одной счастливой без Сони, – продолжала Наташа. – Теперь я так рада, ну, беги к ней.
– Нет, постой, ах какая ты смешная! – сказал Николай, всё всматриваясь в нее, и в сестре тоже находя что то новое, необыкновенное и обворожительно нежное, чего он прежде не видал в ней. – Наташа, что то волшебное. А?
– Да, – отвечала она, – ты прекрасно сделал.
«Если б я прежде видел ее такою, какою она теперь, – думал Николай, – я бы давно спросил, что сделать и сделал бы всё, что бы она ни велела, и всё бы было хорошо».
– Так ты рада, и я хорошо сделал?
– Ах, так хорошо! Я недавно с мамашей поссорилась за это. Мама сказала, что она тебя ловит. Как это можно говорить? Я с мама чуть не побранилась. И никому никогда не позволю ничего дурного про нее сказать и подумать, потому что в ней одно хорошее.
– Так хорошо? – сказал Николай, еще раз высматривая выражение лица сестры, чтобы узнать, правда ли это, и, скрыпя сапогами, он соскочил с отвода и побежал к своим саням. Всё тот же счастливый, улыбающийся черкес, с усиками и блестящими глазами, смотревший из под собольего капора, сидел там, и этот черкес был Соня, и эта Соня была наверное его будущая, счастливая и любящая жена.
