Релятивистское замедление времени

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Под релятиви́стским замедле́нием вре́мени обычно подразумевают кинематический эффект специальной теории относительности, заключающийся в том, что в движущемся теле все физические процессы проходят медленнее, чем следовало бы для неподвижного тела по отсчётам времени неподвижной (лабораторной) системы отсчёта.

Релятивистское замедление времени проявляется[1], например, при наблюдении короткоживущих элементарных частиц, образующихся в верхних слоях атмосферы под действием космических лучей и успевающих благодаря ему достичь поверхности Земли.

Данный эффект, наряду с гравитационным замедлением времени учитывается в спутниковых системах навигации (например, в GPS) ход времени часов спутников скорректирован на разницу с поверхностью Земли[2], составляющую суммарно 38 микросекунд в день[3]. В качестве иллюстрации релятивистского замедления времени часто приводится парадокс близнецов.





Движение с постоянной скоростью

Количественное описание замедления времени может быть получено из преобразований Лоренца:

<math>\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math>

где <math>\Delta t</math> — время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения неподвижного наблюдателя, <math>\Delta t_0</math> — время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения наблюдателя, связанного с движущимся объектом, <math>v</math> — относительная скорость движения объекта, <math>c</math> — скорость света в вакууме. Точность формулы неоднократно проверена на элементарных частицах и атомах, так что относительная ошибка составляет менее 0,1 ppmК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 1394 дня].

Аналогичное обоснование имеет эффект лоренцева сокращения длины.

Замедление времени и инвариантность скорости света

Наиболее наглядно эффект замедления времени проявляется на примере световых часов, в которых импульс света периодически отражается от двух зеркал, расстояние между которыми равно <math>\textstyle L</math>. Время движения импульса от зеркала к зеркалу в системе отсчёта, связанной с часами, равно <math>\textstyle \Delta t_0=L/c</math>. Пусть относительно неподвижного наблюдателя часы двигаются со скоростью <math>\textstyle v</math> в направлении, перпендикулярном траектории светового импульса. Для этого наблюдателя время движения импульса от зеркала к зеркалу будет уже больше. А если часы будут двигаться в направлении, встречном траектории светового импульса, то время будет меньше.

Световой импульс проходит в неподвижной системе отсчёта вдоль гипотенузы треугольника с катетами <math>\textstyle L=c\, \Delta t_0</math> и <math>\textstyle v\,\Delta t</math>. Импульс распространяется с той же скоростью <math>\textstyle c</math>, что и в системе, связанной с часами. Поэтому по теореме Пифагора:

<math>(c\,\Delta t)^2=(c\,\Delta t_0)^2+(v\,\Delta t)^2.</math>

Выражая <math>\textstyle \Delta t</math> через <math>\textstyle \Delta t_0</math>, получаем формулу замедления времени.

Движение с переменной скоростью

Если тело двигается с переменной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}(t)</math>, то в каждый момент времени с ним можно связать локально инерциальную систему отсчёта. Для бесконечно малых интервалов <math>\textstyle dt</math> и <math>\textstyle dt_0</math> можно использовать формулу замедления времени, полученную из преобразований Лоренца. При вычислении конечного интервала времени <math>\textstyle \Delta t_0</math>, прошедшего по часам, связанным с телом, необходимо проинтегрировать вдоль его траектории движения:

<math>\Delta t_0 = \int\limits^{t_2}_{t_1}\sqrt{1-\mathbf{v}^2(\tau)/c^2}\,d\tau.</math>

Время <math>\textstyle \Delta t_0</math>, измеренное по часам, связанным с двигающемся объектом, часто называют собственным временем тела [4]. При этом предполагается, что замедление времени определяется только скоростью объекта, но не его ускорением. Это утверждение имеет достаточно надёжные экспериментальные подтверждения. Например, в циклическом ускорителе (CERN Storage-Ring experiment [5]) время жизни мюонов в пределах относительной экспериментальной ошибки <math>\textstyle 2\cdot 10^{-3}</math> увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. В эксперименте скорость мюонов составляла <math>\textstyle v=0{,}9994\,c</math>, и время замедлялось в <math>\textstyle 1/\sqrt{1-(v/c)^2}\approx 29</math> раз. При 7 метровом радиусе кольца ускорителя ускорение мюонов достигало значений <math>\textstyle a\sim 10^{18}\cdot g</math>, где <math>\textstyle g=9{,}8</math> м/c² — ускорение свободного падения.

Замедление времени при космическом полёте

Эффект замедления времени проявляется при космических полётах с релятивистскими скоростями. Такой полёт в одну сторону может состоять из трёх этапов: набор скорости (разгон), равномерное движение и торможение. Пусть по часам неподвижной системы отсчёта длительности разгона и торможения одинаковы и равны <math>\textstyle \tau_1</math>, а этап равномерного движения длится время <math>\textstyle \tau_2</math>. Если разгон и торможение проходят релятивистски равноускоренно (с параметром собственного ускорения <math>\textstyle a</math>), то по часам корабля пройдёт время[6]:

<math>\tau_0 = \frac{2c}{a}\,\ln\left[\frac{a\tau_1}{c}+\sqrt{1+\left(\frac{a\tau_1}{c}\right)^2}\right] + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2}}.</math>

За время разгона корабль достигнет скорости:

<math>v=\frac{a\tau_1}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2}},</math>

пройдя расстояние

<math>x = \frac{c^2}{a}\left[\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2}-1\right].</math>

Рассмотрим гипотетический полёт к звёздной системе Альфа Центавра, удалённой от Земли на расстояние в 4,3 световых года. Если время измеряется в годах, а расстояния — в световых годах, то скорость света <math>\textstyle c</math> равна единице, а единичное ускорение <math>\textstyle a=1</math> св. год/год² близко к ускорению свободного падения и примерно равно 9,5 м/c².

Пусть половину пути космический корабль двигается с единичным ускорением, а вторую половину — с таким же ускорением тормозит (<math>\textstyle \tau_2=0</math>). Затем корабль разворачивается и повторяет этапы разгона и торможения. В этой ситуации время полёта в земной системе отсчёта составит примерно 12 лет, тогда как по часам на корабле пройдёт 7,3 года. Максимальная скорость корабля достигнет 0,95 от скорости света.

Особенности метода измерения релятивистского замедления времени

Метод измерения релятивистского замедления времени имеет свою особенность. Она заключается в том, что показания двух движущихся друг относительно друга часов (и длительности жизни двух движущихся друг относительно друга мюонов) непосредственно сравнивать невозможно. Можно говорить, что единичные часы идут всегда замедленно по отношению к множеству синхронно идущих часов, если единичные часы движутся относительно этого множества. Показания же множества часов пролетающих мимо единичных часов, напротив, всегда меняются ускоренно по отношению к часам единичным. В этой связи термин «замедление времени» является бессмысленным без указания того, к чему это замедление относится — к единичным часам или к множеству синхронизированных и покоящихся друг относительно друга часов.[7][8] Это можно продемонстрировать с помощью опыта, схема которого изображена на рис. 1. Движущиеся со скоростью <math>v</math> часы, измеряющие время <math>t' </math> проходят последовательно мимо точки <math>x_{1} </math> в момент <math>t_{1} </math> и мимо точки <math>x_{2} </math> в момент <math>t_{2} </math>.

В эти моменты производится сравнение положений стрелок движущихся часов и соответствующих неподвижных, находящихся рядом с ними.

Пусть за время движения от точки <math>x_{1} </math> до точки <math>x_{2} </math> стрелки движущихся часов отмерят промежуток времени <math>\tau _{0} </math> а стрелки часов 1 и 2, предварительно синхронизированных в неподвижной системе <math>\sum</math>, отмерят промежуток времени <math>\tau </math>. Таким образом,

<math>\tau '=\tau _{0} =t'_{2} -t'_{1} </math>, <math>\tau =t_{2} -t_{1} </math> (1)

Но согласно обратным преобразованиям Лоренца имеем

<math>t_{2} -t_{1} ={(t'_{1} -t'_{2} )+{v\over c^{2} } (x'_{2} -x'_{1} )\over \sqrt{1-v^{2} /c^{2} } } </math> (2)

Подставляя (1) в (2) и замечая, что движущиеся часы все время находятся в одной и той же точке движущейся системы отсчёта <math>\sum ' </math>, то есть что

<math>x'_{1} =x'_{2} </math> (3)

получаем

<math>\tau ={\tau _{0} \over \sqrt{1-v^{2} /c^{2} } } , (t_{0} =\tau ') </math> (4)

Эта формула означает, что промежуток времени, отмеренный неподвижными часами, оказывается большим, чем промежуток времени, отмеренный движущимися часами. Но это и означает, что движущиеся часы отстают от неподвижных, то есть их ход замедляется.

Формула (4) так же обратима, как и соответствующая формула для длин линеек

<math>l=l_{0} \sqrt{1-v^{2} /c^{2} } </math>

Однако, написав формулу в виде

<math>\tau _{0} ={\tau \over \sqrt{1-v^{2} /c^{2} } } </math> (5)

мы должны иметь в виду, что <math>\tau '=\tau _{0} =t'_{2} -t'_{1} </math>, <math>\tau =t_{2} -t_{1} </math> измеряются уже не в опыте, изображенном на рис. 1, а в опыте, изображенном на рис. 2. В этом случае, согласно преобразованиям Лоренца

<math>t'_{2} -t'_{1} ={(t_{2} -t_{1} )-{v\over c^{2} } (x_{2} -x_{1} )\over \sqrt{1-v^{2} /c^{2} } } </math> (6)

при условии

<math>x_{2} =x_{1} </math> (7)

получаем формулу (5)

В схеме опыта, изображенного на рис. 1, тот результат, что часы 2 оказались впереди движущихся часов, с точки зрения движущейся системы <math>\sum' </math> объясняется тем, что часы 2 с самого начала шли не синхронно с часами 1 и опережали их (в силу неодновременности разобщенных событий, одновременных в другой движущейся системе отсчёта).

Таким образом, исходя из относительности одновременности пространственно разделённых событий замедление движущихся часов не является парадоксальным.

См. также

Напишите отзыв о статье "Релятивистское замедление времени"

Примечания

  1. [teachers.web.cern.ch/teachers/archiv/HST2000/teaching/expt/muoncalc/lifecalc.htm Cosmic ray muons and relativistic time dilation] (англ.). CERN. [www.webcitation.org/65CgisQhI Архивировано из первоисточника 4 февраля 2012].
  2. [www.npl.co.uk/upload/pdf/metromnia_issue18.pdf Einstein. News from the National Physical Laboratory] // National Physical Laboratory, Winter 2005
  3. Rizos, Chris.[www.gmat.unsw.edu.au/snap/gps/gps_survey/chap3/312.htm GPS Satellite Signals] // University of New South Wales, 1999 (недоступная ссылка с 06-05-2016 (1394 дня))
  4. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4
  5. Bailey J. et al. — Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit, Nature, v.268, p.301-305 (1977)
  6. [synset.com/ru/Ускоренное_движение Ускоренное движение] в специальной теории относительности
  7. Я.П. Терлецкий. Парадоксы Теории Относительности. — М.: Наука, 1966. — С. 40 – 42.
  8. Х.Х. Ыйглайне. В мире больших скоростей. — M.: Наука, 1966. — С. 100-105.

Отрывок, характеризующий Релятивистское замедление времени

– А это я у вас спрашиваю. Этого никто, и сам Бонапарте, не знает.
Болконский пожал плечами.
– Но ежели мост перейден, значит, и армия погибла: она будет отрезана, – сказал он.
– В этом то и штука, – отвечал Билибин. – Слушайте. Вступают французы в Вену, как я вам говорил. Всё очень хорошо. На другой день, то есть вчера, господа маршалы: Мюрат Ланн и Бельяр, садятся верхом и отправляются на мост. (Заметьте, все трое гасконцы.) Господа, – говорит один, – вы знаете, что Таборский мост минирован и контраминирован, и что перед ним грозный tete de pont и пятнадцать тысяч войска, которому велено взорвать мост и нас не пускать. Но нашему государю императору Наполеону будет приятно, ежели мы возьмем этот мост. Проедемте втроем и возьмем этот мост. – Поедемте, говорят другие; и они отправляются и берут мост, переходят его и теперь со всею армией по сю сторону Дуная направляются на нас, на вас и на ваши сообщения.
– Полноте шутить, – грустно и серьезно сказал князь Андрей.
Известие это было горестно и вместе с тем приятно князю Андрею.
Как только он узнал, что русская армия находится в таком безнадежном положении, ему пришло в голову, что ему то именно предназначено вывести русскую армию из этого положения, что вот он, тот Тулон, который выведет его из рядов неизвестных офицеров и откроет ему первый путь к славе! Слушая Билибина, он соображал уже, как, приехав к армии, он на военном совете подаст мнение, которое одно спасет армию, и как ему одному будет поручено исполнение этого плана.
– Полноте шутить, – сказал он.
– Не шучу, – продолжал Билибин, – ничего нет справедливее и печальнее. Господа эти приезжают на мост одни и поднимают белые платки; уверяют, что перемирие, и что они, маршалы, едут для переговоров с князем Ауэрспергом. Дежурный офицер пускает их в tete de pont. [мостовое укрепление.] Они рассказывают ему тысячу гасконских глупостей: говорят, что война кончена, что император Франц назначил свидание Бонапарту, что они желают видеть князя Ауэрсперга, и тысячу гасконад и проч. Офицер посылает за Ауэрспергом; господа эти обнимают офицеров, шутят, садятся на пушки, а между тем французский баталион незамеченный входит на мост, сбрасывает мешки с горючими веществами в воду и подходит к tete de pont. Наконец, является сам генерал лейтенант, наш милый князь Ауэрсперг фон Маутерн. «Милый неприятель! Цвет австрийского воинства, герой турецких войн! Вражда кончена, мы можем подать друг другу руку… император Наполеон сгорает желанием узнать князя Ауэрсперга». Одним словом, эти господа, не даром гасконцы, так забрасывают Ауэрсперга прекрасными словами, он так прельщен своею столь быстро установившеюся интимностью с французскими маршалами, так ослеплен видом мантии и страусовых перьев Мюрата, qu'il n'y voit que du feu, et oubl celui qu'il devait faire faire sur l'ennemi. [Что он видит только их огонь и забывает о своем, о том, который он обязан был открыть против неприятеля.] (Несмотря на живость своей речи, Билибин не забыл приостановиться после этого mot, чтобы дать время оценить его.) Французский баталион вбегает в tete de pont, заколачивают пушки, и мост взят. Нет, но что лучше всего, – продолжал он, успокоиваясь в своем волнении прелестью собственного рассказа, – это то, что сержант, приставленный к той пушке, по сигналу которой должно было зажигать мины и взрывать мост, сержант этот, увидав, что французские войска бегут на мост, хотел уже стрелять, но Ланн отвел его руку. Сержант, который, видно, был умнее своего генерала, подходит к Ауэрспергу и говорит: «Князь, вас обманывают, вот французы!» Мюрат видит, что дело проиграно, ежели дать говорить сержанту. Он с удивлением (настоящий гасконец) обращается к Ауэрспергу: «Я не узнаю столь хваленую в мире австрийскую дисциплину, – говорит он, – и вы позволяете так говорить с вами низшему чину!» C'est genial. Le prince d'Auersperg se pique d'honneur et fait mettre le sergent aux arrets. Non, mais avouez que c'est charmant toute cette histoire du pont de Thabor. Ce n'est ni betise, ni lachete… [Это гениально. Князь Ауэрсперг оскорбляется и приказывает арестовать сержанта. Нет, признайтесь, что это прелесть, вся эта история с мостом. Это не то что глупость, не то что подлость…]
– С'est trahison peut etre, [Быть может, измена,] – сказал князь Андрей, живо воображая себе серые шинели, раны, пороховой дым, звуки пальбы и славу, которая ожидает его.
– Non plus. Cela met la cour dans de trop mauvais draps, – продолжал Билибин. – Ce n'est ni trahison, ni lachete, ni betise; c'est comme a Ulm… – Он как будто задумался, отыскивая выражение: – c'est… c'est du Mack. Nous sommes mackes , [Также нет. Это ставит двор в самое нелепое положение; это ни измена, ни подлость, ни глупость; это как при Ульме, это… это Маковщина . Мы обмаковались. ] – заключил он, чувствуя, что он сказал un mot, и свежее mot, такое mot, которое будет повторяться.
Собранные до тех пор складки на лбу быстро распустились в знак удовольствия, и он, слегка улыбаясь, стал рассматривать свои ногти.
– Куда вы? – сказал он вдруг, обращаясь к князю Андрею, который встал и направился в свою комнату.
– Я еду.
– Куда?
– В армию.
– Да вы хотели остаться еще два дня?
– А теперь я еду сейчас.
И князь Андрей, сделав распоряжение об отъезде, ушел в свою комнату.
– Знаете что, мой милый, – сказал Билибин, входя к нему в комнату. – Я подумал об вас. Зачем вы поедете?
И в доказательство неопровержимости этого довода складки все сбежали с лица.
Князь Андрей вопросительно посмотрел на своего собеседника и ничего не ответил.
– Зачем вы поедете? Я знаю, вы думаете, что ваш долг – скакать в армию теперь, когда армия в опасности. Я это понимаю, mon cher, c'est de l'heroisme. [мой дорогой, это героизм.]
– Нисколько, – сказал князь Андрей.
– Но вы un philoSophiee, [философ,] будьте же им вполне, посмотрите на вещи с другой стороны, и вы увидите, что ваш долг, напротив, беречь себя. Предоставьте это другим, которые ни на что более не годны… Вам не велено приезжать назад, и отсюда вас не отпустили; стало быть, вы можете остаться и ехать с нами, куда нас повлечет наша несчастная судьба. Говорят, едут в Ольмюц. А Ольмюц очень милый город. И мы с вами вместе спокойно поедем в моей коляске.
– Перестаньте шутить, Билибин, – сказал Болконский.
– Я говорю вам искренно и дружески. Рассудите. Куда и для чего вы поедете теперь, когда вы можете оставаться здесь? Вас ожидает одно из двух (он собрал кожу над левым виском): или не доедете до армии и мир будет заключен, или поражение и срам со всею кутузовскою армией.
И Билибин распустил кожу, чувствуя, что дилемма его неопровержима.
– Этого я не могу рассудить, – холодно сказал князь Андрей, а подумал: «еду для того, чтобы спасти армию».
– Mon cher, vous etes un heros, [Мой дорогой, вы – герой,] – сказал Билибин.


В ту же ночь, откланявшись военному министру, Болконский ехал в армию, сам не зная, где он найдет ее, и опасаясь по дороге к Кремсу быть перехваченным французами.
В Брюнне всё придворное население укладывалось, и уже отправлялись тяжести в Ольмюц. Около Эцельсдорфа князь Андрей выехал на дорогу, по которой с величайшею поспешностью и в величайшем беспорядке двигалась русская армия. Дорога была так запружена повозками, что невозможно было ехать в экипаже. Взяв у казачьего начальника лошадь и казака, князь Андрей, голодный и усталый, обгоняя обозы, ехал отыскивать главнокомандующего и свою повозку. Самые зловещие слухи о положении армии доходили до него дорогой, и вид беспорядочно бегущей армии подтверждал эти слухи.
«Cette armee russe que l'or de l'Angleterre a transportee, des extremites de l'univers, nous allons lui faire eprouver le meme sort (le sort de l'armee d'Ulm)», [«Эта русская армия, которую английское золото перенесло сюда с конца света, испытает ту же участь (участь ульмской армии)».] вспоминал он слова приказа Бонапарта своей армии перед началом кампании, и слова эти одинаково возбуждали в нем удивление к гениальному герою, чувство оскорбленной гордости и надежду славы. «А ежели ничего не остается, кроме как умереть? думал он. Что же, коли нужно! Я сделаю это не хуже других».
Князь Андрей с презрением смотрел на эти бесконечные, мешавшиеся команды, повозки, парки, артиллерию и опять повозки, повозки и повозки всех возможных видов, обгонявшие одна другую и в три, в четыре ряда запружавшие грязную дорогу. Со всех сторон, назади и впереди, покуда хватал слух, слышались звуки колес, громыхание кузовов, телег и лафетов, лошадиный топот, удары кнутом, крики понуканий, ругательства солдат, денщиков и офицеров. По краям дороги видны были беспрестанно то павшие ободранные и неободранные лошади, то сломанные повозки, у которых, дожидаясь чего то, сидели одинокие солдаты, то отделившиеся от команд солдаты, которые толпами направлялись в соседние деревни или тащили из деревень кур, баранов, сено или мешки, чем то наполненные.
На спусках и подъемах толпы делались гуще, и стоял непрерывный стон криков. Солдаты, утопая по колена в грязи, на руках подхватывали орудия и фуры; бились кнуты, скользили копыта, лопались постромки и надрывались криками груди. Офицеры, заведывавшие движением, то вперед, то назад проезжали между обозами. Голоса их были слабо слышны посреди общего гула, и по лицам их видно было, что они отчаивались в возможности остановить этот беспорядок. «Voila le cher [„Вот дорогое] православное воинство“, подумал Болконский, вспоминая слова Билибина.
Желая спросить у кого нибудь из этих людей, где главнокомандующий, он подъехал к обозу. Прямо против него ехал странный, в одну лошадь, экипаж, видимо, устроенный домашними солдатскими средствами, представлявший середину между телегой, кабриолетом и коляской. В экипаже правил солдат и сидела под кожаным верхом за фартуком женщина, вся обвязанная платками. Князь Андрей подъехал и уже обратился с вопросом к солдату, когда его внимание обратили отчаянные крики женщины, сидевшей в кибиточке. Офицер, заведывавший обозом, бил солдата, сидевшего кучером в этой колясочке, за то, что он хотел объехать других, и плеть попадала по фартуку экипажа. Женщина пронзительно кричала. Увидав князя Андрея, она высунулась из под фартука и, махая худыми руками, выскочившими из под коврового платка, кричала:
– Адъютант! Господин адъютант!… Ради Бога… защитите… Что ж это будет?… Я лекарская жена 7 го егерского… не пускают; мы отстали, своих потеряли…