Ряд Дирихле

Для термина «Дирихле» см. также другие значения.

Рядом Дирихле называется ряд вида

<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},</math>

где s и a_n — комплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число <math>\sigma_c</math>, что при <math>\operatorname{Re}\,s>\sigma_c</math> он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число <math>\sigma_a</math>, что при <math>\operatorname{Re}\,s>\sigma_a</math> ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение <math>0\leqslant\sigma_a-\sigma_c\leqslant 1</math> (если <math>\sigma_c</math> и <math>\sigma_a</math> конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространённым примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана, а также L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разных точках

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке <math>s_0 = \sigma_0 + t_0 i </math>, то этот же ряд сходится в любой точке <math>s = \sigma + t i</math>, для которой <math>\sigma > \sigma_0</math>. Из этого следует, что существует некоторая точка <math>\sigma = \sigma_c</math> такая, что при <math>\operatorname{Re} s > \sigma_c</math> ряд сходится, а при <math>\operatorname{Re} s < \sigma_c</math> --- расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости <math>\sigma_a</math> для ряда <math>\sum \limits_{n=1}^{\infty} {\frac{a_n}{n^s}}</math> называется точка абсцисса сходимости ряда <math>\sum \limits_{n=1}^{\infty} {\frac{a_n}{n^s}}</math>. Справедливо утверждение о том, что <math>0\leqslant\sigma_a-\sigma_c\leqslant 1</math>.

Поведение функции при <math>\operatorname{Re} s</math> может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка <math>s=\sigma_c</math> является особой для некоторого ряда Дирихле, если <math>\sigma_c</math> - его абсцисса сходимости.

Примеры

<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},</math>

Где <math>\zeta(s)</math> — дзета-функция Римана.

<math>\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}</math>

где μ(n) — функция Мёбиуса.

<math>\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}</math>

где <math>L(\chi,s)</math> — L-функция Дирихле.

<math>

\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^s}. </math>, где Li_s(z) — полилогарифм.

<math>\sum_{k=1}^\mathcal{1} \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{k} + \cdots</math> Расходится

Отрывок, характеризующий Ряд Дирихле

Ах, вы, сени мои, сени!
«Сени новые мои…», подхватили двадцать голосов, и ложечник, несмотря на тяжесть амуниции, резво выскочил вперед и пошел задом перед ротой, пошевеливая плечами и угрожая кому то ложками. Солдаты, в такт песни размахивая руками, шли просторным шагом, невольно попадая в ногу. Сзади роты послышались звуки колес, похрускиванье рессор и топот лошадей.
Кутузов со свитой возвращался в город. Главнокомандующий дал знак, чтобы люди продолжали итти вольно, и на его лице и на всех лицах его свиты выразилось удовольствие при звуках песни, при виде пляшущего солдата и весело и бойко идущих солдат роты. Во втором ряду, с правого фланга, с которого коляска обгоняла роты, невольно бросался в глаза голубоглазый солдат, Долохов, который особенно бойко и грациозно шел в такт песни и глядел на лица проезжающих с таким выражением, как будто он жалел всех, кто не шел в это время с ротой. Гусарский корнет из свиты Кутузова, передразнивавший полкового командира, отстал от коляски и подъехал к Долохову.
Гусарский корнет Жерков одно время в Петербурге принадлежал к тому буйному обществу, которым руководил Долохов. За границей Жерков встретил Долохова солдатом, но не счел нужным узнать его. Теперь, после разговора Кутузова с разжалованным, он с радостью старого друга обратился к нему:
– Друг сердечный, ты как? – сказал он при звуках песни, ровняя шаг своей лошади с шагом роты.
– Я как? – отвечал холодно Долохов, – как видишь.
Бойкая песня придавала особенное значение тону развязной веселости, с которой говорил Жерков, и умышленной холодности ответов Долохова.
– Ну, как ладишь с начальством? – спросил Жерков.
– Ничего, хорошие люди. Ты как в штаб затесался?
– Прикомандирован, дежурю.
Они помолчали.
«Выпускала сокола да из правого рукава», говорила песня, невольно возбуждая бодрое, веселое чувство. Разговор их, вероятно, был бы другой, ежели бы они говорили не при звуках песни.
– Что правда, австрийцев побили? – спросил Долохов.