Ряд Фурье

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Ряд Фурье́ — представление произвольной функции <math>f</math> с периодом <math>\tau</math> в виде ряда

<math> f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\cos\left(2\pi \frac{k}{\tau}x+\theta_k\right)</math>

Этот ряд может быть также записан в виде

<math>f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{i2\pi \frac{k}{\tau}x},</math>

где

<math>A_k</math> — амплитуда <math>k</math>-го гармонического колебания,
<math>2\pi \frac{k}{\tau} = k\omega</math> — круговая частота гармонического колебания,
<math>\theta_k</math> — начальная фаза <math>k</math>-го колебания,
<math>\hat{f}_k</math> — <math>k</math>-я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье элемента пространства функций называется разложение этого элемента по базису, состоящему из ортогональных функций. Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Уолша, Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).





Тригонометрический ряд Фурье

Основная статья: Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math> называют функциональный ряд вида

<math>f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>
 (1)

где

<math>a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,</math>
<math>a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,</math>
<math>b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,</math>

Числа <math>a_0</math>, <math>a_n</math> и <math>b_n</math> (<math>n = 1, 2, \ldots</math>) называются коэффициентами Фурье функции <math>f</math>. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию <math>f\in L_2([0,2\pi])</math> в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты <math>a_0</math>, <math>a_n</math> и <math>b_n</math>. Если умножить правую часть (1) на <math>\cos(kx)</math> и проинтегрировать по промежутку <math>[-\pi,\pi]</math>, благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент <math>a_k</math>. Аналогично для <math>b_k</math>

Ряд (1) сходится к функции <math>f</math> в пространстве <math>L_2([-\pi,\pi])</math>. Иными словами, если обозначить через <math>S_k(x)</math> частичные суммы ряда (1):

<math>S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>,

то их среднеквадратичное отклонение от функции <math>f</math> будет стремиться к нулю:

<math>\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0</math>.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство <math>L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> комплекснозначных функций со скалярным произведением

<math>\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math>.

Мы также рассматриваем систему функций

<math>\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}</math>.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция <math>f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> может быть разложена по ним в ряд Фурье:

<math>f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}</math>,

где ряд в правой части сходится к <math>f</math> по норме в <math>f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math>. Здесь

<math>\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx</math>.

Коэффициенты : <math>\hat{f}_k</math> связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

<math>\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0</math>
<math>\hat{f}_0 = a_0/2</math>
<math>\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0</math>
<math>a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0</math>
<math>b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0</math>
  • Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения <math>\hat{f}_k</math> и <math>\hat{f}_{-k}</math> не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства <math>L^2[-\pi,\pi]</math> с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система <math>\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}</math> в гильбертовом пространстве <math>R</math> и <math>f</math> — произвольный элемент из <math>R</math>. Предположим, мы хотим представить <math>f</math> в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов <math>\{\varphi_k\}</math>:

<math>f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n</math>

Домножим это выражение на <math>\varphi_k</math>. С учётом ортогональности системы функций <math>\{\varphi_k\}</math> все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при <math>n=k</math>:

<math> (f, \varphi_k) = c_k\|\varphi_k\|^2 </math>

Последовательность чисел

<math>c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{\|\varphi_k\|^2}</math>

называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента <math>f</math> по системе <math>\{\varphi_k\}</math>, а ряд

<math>\sum_k c_k \varphi_k</math>

называется рядом Фурье элемента <math>f</math> по ортогональной системе <math>\{\varphi_k\}</math>.

Ряд Фурье любого элемента <math>f</math> по любой ортогональной системе сходится в пространстве <math>R</math>, но его сумма не обязательно равна <math>f</math>. Для ортонормированной системы <math>{\varphi_k}</math> в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

  • система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
  • система является полной, то есть в <math>R</math> не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math> одновременно.
  • система является замкнутой, то есть для любого <math>f\in R</math> выполнено равенство Парсеваля
<math>\sum_{k=1}^\infty c_k^2 = \|f\|^2</math>.
  • линейные комбинации элементов <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math> плотны в пространстве <math>R</math>.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента <math>f</math> равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math>. В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

<math>\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \leqslant \|f\|^2</math>


Двойственность Понтрягина

Основная статья: Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через <math>S_N(f,x)</math> частичные суммы ряда Фурье функции <math>f(x)</math>:

<math>S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}</math>.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций <math>S_N(f,x)</math> к функции <math>f(x)</math> в различных смыслах. Функция <math>f</math> предполагается <math>2\pi</math>-периодической (если она задана только на промежутке <math>[-\pi,\pi]</math>, её можно периодически продолжить).

  • Если <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math>, то последовательность <math>S_N(f,x)</math> сходится к функции <math>f(x)</math> в смысле <math>L_2</math>. Кроме того, <math>S_N(f,x)</math> являются наилучшим (в смысле расстояния в <math>L_2</math>) приближением функции <math>f</math> тригонометрическим многочленом степени не выше <math>N</math>.
  • Сходимость ряда Фурье в заданной точке <math>x_0</math> — локальное свойство, то есть, если функции <math>f</math> и <math>g</math> совпадают в некоторой окрестности <math>x_0</math>, то последовательности <math>S_N(f,x_0)</math> и <math>S_N(g,x_0)</math> либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. ( Принцип локализации )
  • Если функция <math>f</math> дифференцируема в точке <math>x_0</math>, то её ряд Фурье в этой точке сходится к <math>f(x_0)</math>. Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции <math>f</math> задаются признаком Дини.
  • Функция, непрерывная в точке <math>x_0</math>, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к <math>f(x_0)</math>. Это следует из того, что для непрерывной в <math>x_0</math> функции <math>f</math> последовательность <math>S_N(f,x_0)</math> сходится по Чезаро к <math>f(x_0)</math>.
  • Если функция <math>f</math> разрывна в точке <math>x_0</math>, но имеет пределы в этой точке справа и слева <math>f(x_0+0)\neq f(x_0-0),</math> то при некоторых дополнительных условиях <math>S_N(f,x_0)</math> сходятся к <math>(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2</math>. Подробнее см. модифицированный признак Дини.
  • Теорема Карлесона: если <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math>, то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если <math>f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1</math>. Однако, существуют функции из <math>L_1([-\pi,\pi])</math>, ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым).
  • Зафиксируем точку <math>x_0\in(-\pi,\pi)</math>. Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве <math>C([-\pi,\pi])</math>. В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса <math>C^{(k)}</math>, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

  • Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана — Лебега[en]).
  • Если функция <math>f</math> принадлежит классу <math>C^{(k)}([-\pi,\pi])</math>, то есть дифференцируема <math>k</math> раз и её <math>k</math>-я производная непрерывна, то <math>\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)</math>
  • Если ряд <math>\sum n^{\alpha}\hat{f}_n</math> сходится абсолютно, то <math>f\in C^{(k)}([-\pi,\pi])</math> при всех <math>k<\alpha</math>.
  • Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем <math>\alpha>1/2</math>, то ряд <math>\sum \hat{f}_n</math> сходится абсолютно (теорема Бернштейна).
  • Если <math>\hat{f}_n=O(a^n),0<a<1</math>, то функция <math>f</math> является аналитической. Верно и обратное.

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 5259 дней]

См. также

Напишите отзыв о статье "Ряд Фурье"

Литература

  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
  • Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
  • Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.


Отрывок, характеризующий Ряд Фурье

Он исписал альбомы девочек стихами и нотами, и не простившись ни с кем из своих знакомых, отослав наконец все 43 тысячи и получив росписку Долохова, уехал в конце ноября догонять полк, который уже был в Польше.



После своего объяснения с женой, Пьер поехал в Петербург. В Торжке на cтанции не было лошадей, или не хотел их смотритель. Пьер должен был ждать. Он не раздеваясь лег на кожаный диван перед круглым столом, положил на этот стол свои большие ноги в теплых сапогах и задумался.
– Прикажете чемоданы внести? Постель постелить, чаю прикажете? – спрашивал камердинер.
Пьер не отвечал, потому что ничего не слыхал и не видел. Он задумался еще на прошлой станции и всё продолжал думать о том же – о столь важном, что он не обращал никакого .внимания на то, что происходило вокруг него. Его не только не интересовало то, что он позже или раньше приедет в Петербург, или то, что будет или не будет ему места отдохнуть на этой станции, но всё равно было в сравнении с теми мыслями, которые его занимали теперь, пробудет ли он несколько часов или всю жизнь на этой станции.
Смотритель, смотрительша, камердинер, баба с торжковским шитьем заходили в комнату, предлагая свои услуги. Пьер, не переменяя своего положения задранных ног, смотрел на них через очки, и не понимал, что им может быть нужно и каким образом все они могли жить, не разрешив тех вопросов, которые занимали его. А его занимали всё одни и те же вопросы с самого того дня, как он после дуэли вернулся из Сокольников и провел первую, мучительную, бессонную ночь; только теперь в уединении путешествия, они с особенной силой овладели им. О чем бы он ни начинал думать, он возвращался к одним и тем же вопросам, которых он не мог разрешить, и не мог перестать задавать себе. Как будто в голове его свернулся тот главный винт, на котором держалась вся его жизнь. Винт не входил дальше, не выходил вон, а вертелся, ничего не захватывая, всё на том же нарезе, и нельзя было перестать вертеть его.
Вошел смотритель и униженно стал просить его сиятельство подождать только два часика, после которых он для его сиятельства (что будет, то будет) даст курьерских. Смотритель очевидно врал и хотел только получить с проезжего лишние деньги. «Дурно ли это было или хорошо?», спрашивал себя Пьер. «Для меня хорошо, для другого проезжающего дурно, а для него самого неизбежно, потому что ему есть нечего: он говорил, что его прибил за это офицер. А офицер прибил за то, что ему ехать надо было скорее. А я стрелял в Долохова за то, что я счел себя оскорбленным, а Людовика XVI казнили за то, что его считали преступником, а через год убили тех, кто его казнил, тоже за что то. Что дурно? Что хорошо? Что надо любить, что ненавидеть? Для чего жить, и что такое я? Что такое жизнь, что смерть? Какая сила управляет всем?», спрашивал он себя. И не было ответа ни на один из этих вопросов, кроме одного, не логического ответа, вовсе не на эти вопросы. Ответ этот был: «умрешь – всё кончится. Умрешь и всё узнаешь, или перестанешь спрашивать». Но и умереть было страшно.
Торжковская торговка визгливым голосом предлагала свой товар и в особенности козловые туфли. «У меня сотни рублей, которых мне некуда деть, а она в прорванной шубе стоит и робко смотрит на меня, – думал Пьер. И зачем нужны эти деньги? Точно на один волос могут прибавить ей счастья, спокойствия души, эти деньги? Разве может что нибудь в мире сделать ее и меня менее подверженными злу и смерти? Смерть, которая всё кончит и которая должна притти нынче или завтра – всё равно через мгновение, в сравнении с вечностью». И он опять нажимал на ничего не захватывающий винт, и винт всё так же вертелся на одном и том же месте.
Слуга его подал ему разрезанную до половины книгу романа в письмах m mе Suza. [мадам Сюза.] Он стал читать о страданиях и добродетельной борьбе какой то Аmelie de Mansfeld. [Амалии Мансфельд.] «И зачем она боролась против своего соблазнителя, думал он, – когда она любила его? Не мог Бог вложить в ее душу стремления, противного Его воле. Моя бывшая жена не боролась и, может быть, она была права. Ничего не найдено, опять говорил себе Пьер, ничего не придумано. Знать мы можем только то, что ничего не знаем. И это высшая степень человеческой премудрости».
Всё в нем самом и вокруг него представлялось ему запутанным, бессмысленным и отвратительным. Но в этом самом отвращении ко всему окружающему Пьер находил своего рода раздражающее наслаждение.
– Осмелюсь просить ваше сиятельство потесниться крошечку, вот для них, – сказал смотритель, входя в комнату и вводя за собой другого, остановленного за недостатком лошадей проезжающего. Проезжающий был приземистый, ширококостый, желтый, морщинистый старик с седыми нависшими бровями над блестящими, неопределенного сероватого цвета, глазами.
Пьер снял ноги со стола, встал и перелег на приготовленную для него кровать, изредка поглядывая на вошедшего, который с угрюмо усталым видом, не глядя на Пьера, тяжело раздевался с помощью слуги. Оставшись в заношенном крытом нанкой тулупчике и в валеных сапогах на худых костлявых ногах, проезжий сел на диван, прислонив к спинке свою очень большую и широкую в висках, коротко обстриженную голову и взглянул на Безухого. Строгое, умное и проницательное выражение этого взгляда поразило Пьера. Ему захотелось заговорить с проезжающим, но когда он собрался обратиться к нему с вопросом о дороге, проезжающий уже закрыл глаза и сложив сморщенные старые руки, на пальце одной из которых был большой чугунный перстень с изображением Адамовой головы, неподвижно сидел, или отдыхая, или о чем то глубокомысленно и спокойно размышляя, как показалось Пьеру. Слуга проезжающего был весь покрытый морщинами, тоже желтый старичек, без усов и бороды, которые видимо не были сбриты, а никогда и не росли у него. Поворотливый старичек слуга разбирал погребец, приготовлял чайный стол, и принес кипящий самовар. Когда всё было готово, проезжающий открыл глаза, придвинулся к столу и налив себе один стакан чаю, налил другой безбородому старичку и подал ему. Пьер начинал чувствовать беспокойство и необходимость, и даже неизбежность вступления в разговор с этим проезжающим.
Слуга принес назад свой пустой, перевернутый стакан с недокусанным кусочком сахара и спросил, не нужно ли чего.
– Ничего. Подай книгу, – сказал проезжающий. Слуга подал книгу, которая показалась Пьеру духовною, и проезжающий углубился в чтение. Пьер смотрел на него. Вдруг проезжающий отложил книгу, заложив закрыл ее и, опять закрыв глаза и облокотившись на спинку, сел в свое прежнее положение. Пьер смотрел на него и не успел отвернуться, как старик открыл глаза и уставил свой твердый и строгий взгляд прямо в лицо Пьеру.
Пьер чувствовал себя смущенным и хотел отклониться от этого взгляда, но блестящие, старческие глаза неотразимо притягивали его к себе.


– Имею удовольствие говорить с графом Безухим, ежели я не ошибаюсь, – сказал проезжающий неторопливо и громко. Пьер молча, вопросительно смотрел через очки на своего собеседника.
– Я слышал про вас, – продолжал проезжающий, – и про постигшее вас, государь мой, несчастье. – Он как бы подчеркнул последнее слово, как будто он сказал: «да, несчастье, как вы ни называйте, я знаю, что то, что случилось с вами в Москве, было несчастье». – Весьма сожалею о том, государь мой.
Пьер покраснел и, поспешно спустив ноги с постели, нагнулся к старику, неестественно и робко улыбаясь.
– Я не из любопытства упомянул вам об этом, государь мой, но по более важным причинам. – Он помолчал, не выпуская Пьера из своего взгляда, и подвинулся на диване, приглашая этим жестом Пьера сесть подле себя. Пьеру неприятно было вступать в разговор с этим стариком, но он, невольно покоряясь ему, подошел и сел подле него.
– Вы несчастливы, государь мой, – продолжал он. – Вы молоды, я стар. Я бы желал по мере моих сил помочь вам.
– Ах, да, – с неестественной улыбкой сказал Пьер. – Очень вам благодарен… Вы откуда изволите проезжать? – Лицо проезжающего было не ласково, даже холодно и строго, но несмотря на то, и речь и лицо нового знакомца неотразимо привлекательно действовали на Пьера.
– Но если по каким либо причинам вам неприятен разговор со мною, – сказал старик, – то вы так и скажите, государь мой. – И он вдруг улыбнулся неожиданно, отечески нежной улыбкой.
– Ах нет, совсем нет, напротив, я очень рад познакомиться с вами, – сказал Пьер, и, взглянув еще раз на руки нового знакомца, ближе рассмотрел перстень. Он увидал на нем Адамову голову, знак масонства.
– Позвольте мне спросить, – сказал он. – Вы масон?
– Да, я принадлежу к братству свободных каменьщиков, сказал проезжий, все глубже и глубже вглядываясь в глаза Пьеру. – И от себя и от их имени протягиваю вам братскую руку.
– Я боюсь, – сказал Пьер, улыбаясь и колеблясь между доверием, внушаемым ему личностью масона, и привычкой насмешки над верованиями масонов, – я боюсь, что я очень далек от пониманья, как это сказать, я боюсь, что мой образ мыслей насчет всего мироздания так противоположен вашему, что мы не поймем друг друга.
– Мне известен ваш образ мыслей, – сказал масон, – и тот ваш образ мыслей, о котором вы говорите, и который вам кажется произведением вашего мысленного труда, есть образ мыслей большинства людей, есть однообразный плод гордости, лени и невежества. Извините меня, государь мой, ежели бы я не знал его, я бы не заговорил с вами. Ваш образ мыслей есть печальное заблуждение.
– Точно так же, как я могу предполагать, что и вы находитесь в заблуждении, – сказал Пьер, слабо улыбаясь.
– Я никогда не посмею сказать, что я знаю истину, – сказал масон, всё более и более поражая Пьера своею определенностью и твердостью речи. – Никто один не может достигнуть до истины; только камень за камнем, с участием всех, миллионами поколений, от праотца Адама и до нашего времени, воздвигается тот храм, который должен быть достойным жилищем Великого Бога, – сказал масон и закрыл глаза.
– Я должен вам сказать, я не верю, не… верю в Бога, – с сожалением и усилием сказал Пьер, чувствуя необходимость высказать всю правду.
Масон внимательно посмотрел на Пьера и улыбнулся, как улыбнулся бы богач, державший в руках миллионы, бедняку, который бы сказал ему, что нет у него, у бедняка, пяти рублей, могущих сделать его счастие.
– Да, вы не знаете Его, государь мой, – сказал масон. – Вы не можете знать Его. Вы не знаете Его, оттого вы и несчастны.
– Да, да, я несчастен, подтвердил Пьер; – но что ж мне делать?
– Вы не знаете Его, государь мой, и оттого вы очень несчастны. Вы не знаете Его, а Он здесь, Он во мне. Он в моих словах, Он в тебе, и даже в тех кощунствующих речах, которые ты произнес сейчас! – строгим дрожащим голосом сказал масон.
Он помолчал и вздохнул, видимо стараясь успокоиться.
– Ежели бы Его не было, – сказал он тихо, – мы бы с вами не говорили о Нем, государь мой. О чем, о ком мы говорили? Кого ты отрицал? – вдруг сказал он с восторженной строгостью и властью в голосе. – Кто Его выдумал, ежели Его нет? Почему явилось в тебе предположение, что есть такое непонятное существо? Почему ты и весь мир предположили существование такого непостижимого существа, существа всемогущего, вечного и бесконечного во всех своих свойствах?… – Он остановился и долго молчал.
Пьер не мог и не хотел прерывать этого молчания.
– Он есть, но понять Его трудно, – заговорил опять масон, глядя не на лицо Пьера, а перед собою, своими старческими руками, которые от внутреннего волнения не могли оставаться спокойными, перебирая листы книги. – Ежели бы это был человек, в существовании которого ты бы сомневался, я бы привел к тебе этого человека, взял бы его за руку и показал тебе. Но как я, ничтожный смертный, покажу всё всемогущество, всю вечность, всю благость Его тому, кто слеп, или тому, кто закрывает глаза, чтобы не видать, не понимать Его, и не увидать, и не понять всю свою мерзость и порочность? – Он помолчал. – Кто ты? Что ты? Ты мечтаешь о себе, что ты мудрец, потому что ты мог произнести эти кощунственные слова, – сказал он с мрачной и презрительной усмешкой, – а ты глупее и безумнее малого ребенка, который бы, играя частями искусно сделанных часов, осмелился бы говорить, что, потому что он не понимает назначения этих часов, он и не верит в мастера, который их сделал. Познать Его трудно… Мы веками, от праотца Адама и до наших дней, работаем для этого познания и на бесконечность далеки от достижения нашей цели; но в непонимании Его мы видим только нашу слабость и Его величие… – Пьер, с замиранием сердца, блестящими глазами глядя в лицо масона, слушал его, не перебивал, не спрашивал его, а всей душой верил тому, что говорил ему этот чужой человек. Верил ли он тем разумным доводам, которые были в речи масона, или верил, как верят дети интонациям, убежденности и сердечности, которые были в речи масона, дрожанию голоса, которое иногда почти прерывало масона, или этим блестящим, старческим глазам, состарившимся на том же убеждении, или тому спокойствию, твердости и знанию своего назначения, которые светились из всего существа масона, и которые особенно сильно поражали его в сравнении с своей опущенностью и безнадежностью; – но он всей душой желал верить, и верил, и испытывал радостное чувство успокоения, обновления и возвращения к жизни.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Ряд_Фурье&oldid=80720464»