Эрмитов оператор

В математике оператор <math>A</math> в комплексном или действительном гильбертовом пространстве <math>\mathfrak H</math> называется эрмитовым, симметрическим, если он удовлетворяет равенству <math>(Ax,y)=(x,Ay)</math> для всех <math>x,y</math> из области определения <math>A</math>. Здесь и далее полагается, что <math>(x, y)</math> — скалярное произведение в <math>\mathfrak H</math>. Название дано в честь французского математика Шарля Эрмита.

Оператор в <math>\mathfrak H</math> называется самосопряжённым, или гипермаксимальным эрмитовым, если он совпадает со своим сопряжённым.

Самосопряжённый оператор является симметрическим; обратное, вообще говоря, не верно. Для непрерывных операторов, определённых на всём пространстве, понятия симметрический и самосопряжённый совпадают.

Свойства

1. Спектр (множество собственных чисел) самосопряжённого оператора является вещественным.

Доказательство  

Для всякого собственного значения <math>\lambda</math> по определению верно <math>A\left( x \right) = \lambda x</math>. Следовательно, по определению самосопряжённого преобразования равны следующие выражения:

<math>\left( {A\left( x \right),x} \right) = \left( {\lambda x,x} \right) = \lambda \left( {x,x} \right)</math>

и

<math>\left( {x,A\left( x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right)</math>,

откуда <math>\lambda = \overline \lambda</math> — число <math>\lambda </math> вещественное.

2. В унитарных конечномерных пространствах матрица самосопряжённого оператора является эрмитовой. (В частности, в евклидовом пр-ве матрица самосопряжённого оператора является симметрической.)

Доказательство  

В унитарном пространстве скалярное произведение определяется как <math>\left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta</math>, где <math>\xi </math> и <math>\eta</math> - координатные столбцы векторов <math>x</math> и <math>y</math> соответственно. Отсюда по определению самосопряжённого оператора равны выражения

<math>\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi } \right)^T \overline \eta = \xi ^T A^T \overline \eta </math>

и

<math>\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta </math>

Следовательно, <math>A^T = \overline A</math>, что и есть определение эрмитовой матрицы.

3. У эрмитовой матрицы всегда существует ортонормированный базис из собственных векторов — собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство  

Лемма 1. Собственные подпространства самосопряжённого преобразования попарно ортогональны.

Доказательство леммы 1: Имеются два различных собственных значения <math>\lambda </math> и <math>\mu </math>. Соответственно для векторов <math>x</math> и <math>y</math> из соответствующих им собственных подпространств выполняется <math>A\left( x \right) = \lambda x</math> и <math>A\left( y \right) = \mu y</math>. Отсюда <math>\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {\lambda x,y} \right) = \lambda \left( {x,y} \right)</math> равно <math>\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right)</math>. Но собственные значения самосопряжённого преобразования вещественны, можно из последнего выражения вынести <math>\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right)</math>. Таким образом, по определению самосопряжённого преобразования можно получить <math>\left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0</math>, откуда при различности собственных значений <math>\lambda \ne \mu </math> ясно, что <math>\left( {x,y} \right) = 0</math>, что и требовалось доказать.

Лемма 2. Если подпространство <math>E'</math> инвариантно относительно самосопряжённого преобразования <math>A</math>, то ортогональное дополнение этого подпространства также инвариантно относительно <math>A</math>.

Доказательство леммы 2: Известно, что образ любого вектора <math>x</math>, принадлежащего подпространству <math>E'</math>, лежит в нём. Следовательно, для любого вектора <math>y \in \left( {E'} \right)^ \bot </math> выполняется <math>\left( {A\left( x \right),y} \right) = 0</math>. Так как преобразование <math>A</math> самосопряжённое, то отсюда следует, что <math>\left( {x,A\left( y \right)} \right) = 0</math>, то есть образ любого вектора <math>y</math> из <math>\left( {E'} \right)^ \bot </math> принадлежит <math>\left( {E'} \right)^ \bot </math>, что и означает, что подпространство <math>\left( {E'} \right)^ \bot </math> инвариантно относительно преобразования A, что и требовалось доказать.

Доказательство свойства 3:

Для оператора R в n-мерном пространстве существует по крайней мере одно собственное значение<math> \lambda_1 </math>. По свойству 1 это собственное значение вещественно. Можно найти отвечающий ему собственный вектор е₁. Без ограничения общности можно считать, что <math>

Матрицы

Матрицей, эрмитово сопряжённой к данной, называют матрицу <math>\frac{}{}A^\dagger,</math> получаемую из исходной матрицы <math>\frac{}{}A</math> путём её транспонирования и перехода к комплексно сопряжённой, то есть <math>\frac{}{}(A^\dagger)_{ij}=A^*_{ji}.</math> Матрицу, равную своему эрмитовому сопряжению, называют эрмитовой, или самосопряжённой: <math> \frac{}{} A^\dagger = A.</math>

Применение

Эрмитовы операторы играют важную роль в квантовой механике, где с их помощью представляют наблюдаемые физические величины, см. Принцип неопределённости Гейзенберга.

См. также

• Сопряжённый оператор

Отрывок, характеризующий Эрмитов оператор

– Вам это будет интересно, – сказал он.
– Да, очень интересно, – сказал Пьер.
Через полчаса Кутузов уехал в Татаринову, и Бенигсен со свитой, в числе которой был и Пьер, поехал по линии.


Бенигсен от Горок спустился по большой дороге к мосту, на который Пьеру указывал офицер с кургана как на центр позиции и у которого на берегу лежали ряды скошенной, пахнувшей сеном травы. Через мост они проехали в село Бородино, оттуда повернули влево и мимо огромного количества войск и пушек выехали к высокому кургану, на котором копали землю ополченцы. Это был редут, еще не имевший названия, потом получивший название редута Раевского, или курганной батареи.
Пьер не обратил особенного внимания на этот редут. Он не знал, что это место будет для него памятнее всех мест Бородинского поля. Потом они поехали через овраг к Семеновскому, в котором солдаты растаскивали последние бревна изб и овинов. Потом под гору и на гору они проехали вперед через поломанную, выбитую, как градом, рожь, по вновь проложенной артиллерией по колчам пашни дороге на флеши [род укрепления. (Примеч. Л.Н. Толстого.) ], тоже тогда еще копаемые.
Бенигсен остановился на флешах и стал смотреть вперед на (бывший еще вчера нашим) Шевардинский редут, на котором виднелось несколько всадников. Офицеры говорили, что там был Наполеон или Мюрат. И все жадно смотрели на эту кучку всадников. Пьер тоже смотрел туда, стараясь угадать, который из этих чуть видневшихся людей был Наполеон. Наконец всадники съехали с кургана и скрылись.
Бенигсен обратился к подошедшему к нему генералу и стал пояснять все положение наших войск. Пьер слушал слова Бенигсена, напрягая все свои умственные силы к тому, чтоб понять сущность предстоящего сражения, но с огорчением чувствовал, что умственные способности его для этого были недостаточны. Он ничего не понимал. Бенигсен перестал говорить, и заметив фигуру прислушивавшегося Пьера, сказал вдруг, обращаясь к нему:
– Вам, я думаю, неинтересно?
– Ах, напротив, очень интересно, – повторил Пьер не совсем правдиво.
С флеш они поехали еще левее дорогою, вьющеюся по частому, невысокому березовому лесу. В середине этого
леса выскочил перед ними на дорогу коричневый с белыми ногами заяц и, испуганный топотом большого количества лошадей, так растерялся, что долго прыгал по дороге впереди их, возбуждая общее внимание и смех, и, только когда в несколько голосов крикнули на него, бросился в сторону и скрылся в чаще. Проехав версты две по лесу, они выехали на поляну, на которой стояли войска корпуса Тучкова, долженствовавшего защищать левый фланг.
Здесь, на крайнем левом фланге, Бенигсен много и горячо говорил и сделал, как казалось Пьеру, важное в военном отношении распоряжение. Впереди расположения войск Тучкова находилось возвышение. Это возвышение не было занято войсками. Бенигсен громко критиковал эту ошибку, говоря, что было безумно оставить незанятою командующую местностью высоту и поставить войска под нею. Некоторые генералы выражали то же мнение. Один в особенности с воинской горячностью говорил о том, что их поставили тут на убой. Бенигсен приказал своим именем передвинуть войска на высоту.
Распоряжение это на левом фланге еще более заставило Пьера усумниться в его способности понять военное дело. Слушая Бенигсена и генералов, осуждавших положение войск под горою, Пьер вполне понимал их и разделял их мнение; но именно вследствие этого он не мог понять, каким образом мог тот, кто поставил их тут под горою, сделать такую очевидную и грубую ошибку.
Пьер не знал того, что войска эти были поставлены не для защиты позиции, как думал Бенигсен, а были поставлены в скрытое место для засады, то есть для того, чтобы быть незамеченными и вдруг ударить на подвигавшегося неприятеля. Бенигсен не знал этого и передвинул войска вперед по особенным соображениям, не сказав об этом главнокомандующему.


Князь Андрей в этот ясный августовский вечер 25 го числа лежал, облокотившись на руку, в разломанном сарае деревни Князькова, на краю расположения своего полка. В отверстие сломанной стены он смотрел на шедшую вдоль по забору полосу тридцатилетних берез с обрубленными нижними сучьями, на пашню с разбитыми на ней копнами овса и на кустарник, по которому виднелись дымы костров – солдатских кухонь.
Как ни тесна и никому не нужна и ни тяжка теперь казалась князю Андрею его жизнь, он так же, как и семь лет тому назад в Аустерлице накануне сражения, чувствовал себя взволнованным и раздраженным.
Приказания на завтрашнее сражение были отданы и получены им. Делать ему было больше нечего. Но мысли самые простые, ясные и потому страшные мысли не оставляли его в покое. Он знал, что завтрашнее сражение должно было быть самое страшное изо всех тех, в которых он участвовал, и возможность смерти в первый раз в его жизни, без всякого отношения к житейскому, без соображений о том, как она подействует на других, а только по отношению к нему самому, к его душе, с живостью, почти с достоверностью, просто и ужасно, представилась ему. И с высоты этого представления все, что прежде мучило и занимало его, вдруг осветилось холодным белым светом, без теней, без перспективы, без различия очертаний. Вся жизнь представилась ему волшебным фонарем, в который он долго смотрел сквозь стекло и при искусственном освещении. Теперь он увидал вдруг, без стекла, при ярком дневном свете, эти дурно намалеванные картины. «Да, да, вот они те волновавшие и восхищавшие и мучившие меня ложные образы, – говорил он себе, перебирая в своем воображении главные картины своего волшебного фонаря жизни, глядя теперь на них при этом холодном белом свете дня – ясной мысли о смерти. – Вот они, эти грубо намалеванные фигуры, которые представлялись чем то прекрасным и таинственным. Слава, общественное благо, любовь к женщине, самое отечество – как велики казались мне эти картины, какого глубокого смысла казались они исполненными! И все это так просто, бледно и грубо при холодном белом свете того утра, которое, я чувствую, поднимается для меня». Три главные горя его жизни в особенности останавливали его внимание. Его любовь к женщине, смерть его отца и французское нашествие, захватившее половину России. «Любовь!.. Эта девочка, мне казавшаяся преисполненною таинственных сил. Как же я любил ее! я делал поэтические планы о любви, о счастии с нею. О милый мальчик! – с злостью вслух проговорил он. – Как же! я верил в какую то идеальную любовь, которая должна была мне сохранить ее верность за целый год моего отсутствия! Как нежный голубок басни, она должна была зачахнуть в разлуке со мной. А все это гораздо проще… Все это ужасно просто, гадко!