Санкт-Петербургский парадокс

Санкт-Петербургский парадокс (или Санкт-Петербургская лотерея) — парадокс, иллюстрирующий расхождение математического ожидания выигрыша с его «здравой» оценкой людьми.

Формулировка парадокса

Рассматривается следующая задача. Вступая в игру, игрок платит некоторую сумму, а затем подбрасывает монету (вероятность каждого исхода — 50 %), пока не выпадет орёл. При выпадении орла игра заканчивается, а игрок получает выигрыш, рассчитанный по следующим правилам. Если орёл выпал при первом броске, игрок получает 2⁰ дукатов, при втором броске — 2¹ дукатов и так далее: при n-ном броске — 2^n-1 дукатов. Другими словами, выигрыш возрастает от броска к броску вдвое, пробегая по степеням двойки — 1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее.

Вопрос: какой размер вступительного взноса делает такую игру справедливой?

Если найти математическое ожидание выигрыша игрока, то это бесконечность:

<math>M=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{8}\cdot 4 + \frac{1}{16}\cdot 8 + \cdots=</math>

<math>=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots=</math>

<math>=\infty \,.</math>

Парадокс заключается в том, что хотя вычисленное значение этого справедливого взноса и равно бесконечности, то есть выше любого возможного выигрыша, но в то же время, реальные игроки ощущают, что даже 25 единиц денег (дукатов) — слишком высокая цена для входа в игру.

Разрешения парадокса

Разрешение через ограничения реального мира

Приведём оценки для решений парадокса через ограничение количества игр и времени.

Вероятность того, что в определённой игре количество бросков превысит некоторое n, равна (½)ⁿ. Пусть игрок может сыграть не более k игр. Тогда вероятность того, что количество бросков хотя бы в одной игре превысит n, равна <math>1-\left(1-\frac{1}{2^n}\right)^k</math>. Для больших n она приближённо равна k/2ⁿ.

Будем считать, что событие, имеющее вероятность меньше некоторого p, не произойдёт никогда. Тогда «реальное» количество бросков не превышает <math>log_2(k/p)</math>. При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:

<math>1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4}+...+2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{n}{2},</math> где <math>n=\log_2 \frac{k}{p}.</math>

То есть, средний выигрыш равен <math>\frac{1}{2} \log_2 \frac{k}{p}.</math>

Например, для 1000 игр и p=10⁻⁶ получаем средний выигрыш около 15.

Разрешение через функцию полезности

Другой вариант разрешения — через функцию полезности денег. Рассматривая выпуклую функцию предельной полезности (часто — логарифмическую), мы снова достигаем конечность её математического ожидания (англ.).

Так, если считать, что для игрока важно увеличение не на некоторое кол-во денег, а в некоторое кол-во раз, то он оценивает выигрыш с точки зрения логарифмической функции полезности: он хочет максимизировать <math>\ln{\frac{X}{X_0}}</math>, где X — выигрыш, а <math>X_0</math> — вклад в игру. При этом в классической постановке парадокса мат. ожидание полезности становится конечным:

<math>M \ln{\frac{X}{X_0}} = \sum_{i=1}^\infty \left(\ln\frac{2^i}{X_0}\right) 2^{-i} = \ln 4-\ln X_0.</math>

Откуда легко получить справедливую стоимость игры: <math>X_0=4</math>.

Это решение можно усовершенствовать, рассматривая полезность выигрыша с точки зрения увеличения уже имеющегося капитала игрока w (миллиардеру прирост в $1000 не так желателен, как нищему), однако это лишь немного изменяет ответ.

При этом можно так изменить систему выплат, что и данное решение будет неприемлемо: для каждой неограниченной функции полезности существует такая последовательность выплат за выпадение орла на i-том шаге, что ожидаемая полезность тоже будет равна бесконечности.

Взвешенные вероятности

Сам Николай Бернулли предложил другую идею для разрешения парадокса. Он обратил внимание, что люди пренебрегут маловероятными событиями (де Монмор, 1713). Поскольку в Санкт-Петербургском парадоксе лишь маловероятные события приносят высокие выигрыши, которые ведут к бесконечному значению математического ожидания выигрыша, это может помочь разрешить парадокс.

Идея взвешенных вероятностей появилась вновь много позднее в работе над теорией перспектив Даниеля Канемана и Амоса Тверски. Однако, их эксперименты показали, что люди, совершенно наоборот, склонны преувеличивать вес отдельных маловероятных событий. Возможно, именно поэтому предложенное Николаем Бернулли решение некоторыми^[кем?] не рассматривается как совершенно удовлетворительное.

Совокупная (кумулятивная) теория перспектив является одним из распространенных обобщений теории ожидаемой полезности, которое может предложить объяснения многим поведенческим закономерностям (Тверски, Канеман, 1992). Однако, преувеличение веса маловероятных событий, вводимое в совокупной теории перспектив, может восстановить Санкт-Петербургский парадокс. Совокупная теория перспектив разрешает парадокс только для случаев, когда показатель функции полезности меньше показателя функции взвешенной вероятности (Блаватский, 2005). Интуитивно, для разрешения парадокса, функция полезности должна быть не просто вогнутой, а она должна быть вогнутой относительно функции взвешенной вероятности.

Отказ использовать математическое ожидание как метод расчета

Различные авторы, включая Жана ле Рон д’Аламбера и Джона Мэйнарда Кейнса, отрицали метод максимизации мат. ожидания как правильный метод расчетов, даже саму полезность мат. ожидания для таких случаев. В частности, Кейнс настаивал, что относительный риск альтернативного события может быть достаточно высоким для того, чтобы отказаться от всех вариантов наступления этого альтернативного события, даже для случая, когда мат. ожидание положительного события сверхбольшое.

Другими словами, если казино предложит играть в эту игру за 25 дукатов, то подавляющее большинство игроков откажутся, посчитав более вероятность выигрыша при игре сумм меньше 25 дукатов.

Ответ, использующий испытания

Математически корректный подход с использованием испытаний предложил Уильям Феллер в 1937 году. Если не использовать строгое описание, то интуитивное объяснение таково. Метод использует методику «играть в эту игру с большим количеством людей, и потом вычислить математическое ожидание выигрыша в испытаниях». Согласно этой методике, если последовательность ожиданий сумм выигрыша расходится, то в этом случае требуется необходимость условия возможности бесконечного количества проведенных игр, а если количество проведенных игр в испытаниях с одним человеком ограничено неким числом, то ожидание сходится к некоторому намного меньшему, чем это число, значению.

История возникновения

Парадокс был впервые опубликован Даниилом Бернулли в «Комментариях Санкт-Петербургской Академии». Ранее ситуация была описана племянником Даниила, Николаем I Бернулли, в его переписке с французским математиком Пьером Монмором.

Иногда авторство парадокса приписывают Леонарду Эйлеру, а название связывают с тем, что Эйлер длительное время жил и работал в Петербурге.

См. также

• Пари Паскаля

Литература

• Кудрявцев А. А. Санкт-Петербургский парадокс и его значение для экономической теории // Вестн. С.-Петерб. ун-та.. — 2013. — Вып. 3. — С. 41–55.

Отрывок, характеризующий Санкт-Петербургский парадокс

– Смотрите! Анна Михайловна наша в токе какой!
– Карагины, Жюли и Борис с ними. Сейчас видно жениха с невестой. – Друбецкой сделал предложение!
– Как же, нынче узнал, – сказал Шиншин, входивший в ложу Ростовых.
Наташа посмотрела по тому направлению, по которому смотрел отец, и увидала, Жюли, которая с жемчугами на толстой красной шее (Наташа знала, обсыпанной пудрой) сидела с счастливым видом, рядом с матерью.
Позади их с улыбкой, наклоненная ухом ко рту Жюли, виднелась гладко причесанная, красивая голова Бориса. Он исподлобья смотрел на Ростовых и улыбаясь говорил что то своей невесте.
«Они говорят про нас, про меня с ним!» подумала Наташа. «И он верно успокоивает ревность ко мне своей невесты: напрасно беспокоятся! Ежели бы они знали, как мне ни до кого из них нет дела».
Сзади сидела в зеленой токе, с преданным воле Божией и счастливым, праздничным лицом, Анна Михайловна. В ложе их стояла та атмосфера – жениха с невестой, которую так знала и любила Наташа. Она отвернулась и вдруг всё, что было унизительного в ее утреннем посещении, вспомнилось ей.
«Какое право он имеет не хотеть принять меня в свое родство? Ах лучше не думать об этом, не думать до его приезда!» сказала она себе и стала оглядывать знакомые и незнакомые лица в партере. Впереди партера, в самой середине, облокотившись спиной к рампе, стоял Долохов с огромной, кверху зачесанной копной курчавых волос, в персидском костюме. Он стоял на самом виду театра, зная, что он обращает на себя внимание всей залы, так же свободно, как будто он стоял в своей комнате. Около него столпившись стояла самая блестящая молодежь Москвы, и он видимо первенствовал между ними.
Граф Илья Андреич, смеясь, подтолкнул краснеющую Соню, указывая ей на прежнего обожателя.
– Узнала? – спросил он. – И откуда он взялся, – обратился граф к Шиншину, – ведь он пропадал куда то?
– Пропадал, – отвечал Шиншин. – На Кавказе был, а там бежал, и, говорят, у какого то владетельного князя был министром в Персии, убил там брата шахова: ну с ума все и сходят московские барыни! Dolochoff le Persan, [Персианин Долохов,] да и кончено. У нас теперь нет слова без Долохова: им клянутся, на него зовут как на стерлядь, – говорил Шиншин. – Долохов, да Курагин Анатоль – всех у нас барынь с ума свели.
В соседний бенуар вошла высокая, красивая дама с огромной косой и очень оголенными, белыми, полными плечами и шеей, на которой была двойная нитка больших жемчугов, и долго усаживалась, шумя своим толстым шелковым платьем.
Наташа невольно вглядывалась в эту шею, плечи, жемчуги, прическу и любовалась красотой плеч и жемчугов. В то время как Наташа уже второй раз вглядывалась в нее, дама оглянулась и, встретившись глазами с графом Ильей Андреичем, кивнула ему головой и улыбнулась. Это была графиня Безухова, жена Пьера. Илья Андреич, знавший всех на свете, перегнувшись, заговорил с ней.
– Давно пожаловали, графиня? – заговорил он. – Приду, приду, ручку поцелую. А я вот приехал по делам и девочек своих с собой привез. Бесподобно, говорят, Семенова играет, – говорил Илья Андреич. – Граф Петр Кириллович нас никогда не забывал. Он здесь?
– Да, он хотел зайти, – сказала Элен и внимательно посмотрела на Наташу.
Граф Илья Андреич опять сел на свое место.
– Ведь хороша? – шопотом сказал он Наташе.
– Чудо! – сказала Наташа, – вот влюбиться можно! В это время зазвучали последние аккорды увертюры и застучала палочка капельмейстера. В партере прошли на места запоздавшие мужчины и поднялась занавесь.
Как только поднялась занавесь, в ложах и партере всё замолкло, и все мужчины, старые и молодые, в мундирах и фраках, все женщины в драгоценных каменьях на голом теле, с жадным любопытством устремили всё внимание на сцену. Наташа тоже стала смотреть.


На сцене были ровные доски по средине, с боков стояли крашеные картины, изображавшие деревья, позади было протянуто полотно на досках. В середине сцены сидели девицы в красных корсажах и белых юбках. Одна, очень толстая, в шелковом белом платье, сидела особо на низкой скамеечке, к которой был приклеен сзади зеленый картон. Все они пели что то. Когда они кончили свою песню, девица в белом подошла к будочке суфлера, и к ней подошел мужчина в шелковых, в обтяжку, панталонах на толстых ногах, с пером и кинжалом и стал петь и разводить руками.
Мужчина в обтянутых панталонах пропел один, потом пропела она. Потом оба замолкли, заиграла музыка, и мужчина стал перебирать пальцами руку девицы в белом платье, очевидно выжидая опять такта, чтобы начать свою партию вместе с нею. Они пропели вдвоем, и все в театре стали хлопать и кричать, а мужчина и женщина на сцене, которые изображали влюбленных, стали, улыбаясь и разводя руками, кланяться.
После деревни и в том серьезном настроении, в котором находилась Наташа, всё это было дико и удивительно ей. Она не могла следить за ходом оперы, не могла даже слышать музыку: она видела только крашеные картоны и странно наряженных мужчин и женщин, при ярком свете странно двигавшихся, говоривших и певших; она знала, что всё это должно было представлять, но всё это было так вычурно фальшиво и ненатурально, что ей становилось то совестно за актеров, то смешно на них. Она оглядывалась вокруг себя, на лица зрителей, отыскивая в них то же чувство насмешки и недоумения, которое было в ней; но все лица были внимательны к тому, что происходило на сцене и выражали притворное, как казалось Наташе, восхищение. «Должно быть это так надобно!» думала Наташа. Она попеременно оглядывалась то на эти ряды припомаженных голов в партере, то на оголенных женщин в ложах, в особенности на свою соседку Элен, которая, совершенно раздетая, с тихой и спокойной улыбкой, не спуская глаз, смотрела на сцену, ощущая яркий свет, разлитый по всей зале и теплый, толпою согретый воздух. Наташа мало по малу начинала приходить в давно не испытанное ею состояние опьянения. Она не помнила, что она и где она и что перед ней делается. Она смотрела и думала, и самые странные мысли неожиданно, без связи, мелькали в ее голове. То ей приходила мысль вскочить на рампу и пропеть ту арию, которую пела актриса, то ей хотелось зацепить веером недалеко от нее сидевшего старичка, то перегнуться к Элен и защекотать ее.
В одну из минут, когда на сцене всё затихло, ожидая начала арии, скрипнула входная дверь партера, на той стороне где была ложа Ростовых, и зазвучали шаги запоздавшего мужчины. «Вот он Курагин!» прошептал Шиншин. Графиня Безухова улыбаясь обернулась к входящему. Наташа посмотрела по направлению глаз графини Безуховой и увидала необыкновенно красивого адъютанта, с самоуверенным и вместе учтивым видом подходящего к их ложе. Это был Анатоль Курагин, которого она давно видела и заметила на петербургском бале. Он был теперь в адъютантском мундире с одной эполетой и эксельбантом. Он шел сдержанной, молодецкой походкой, которая была бы смешна, ежели бы он не был так хорош собой и ежели бы на прекрасном лице не было бы такого выражения добродушного довольства и веселия. Несмотря на то, что действие шло, он, не торопясь, слегка побрякивая шпорами и саблей, плавно и высоко неся свою надушенную красивую голову, шел по ковру коридора. Взглянув на Наташу, он подошел к сестре, положил руку в облитой перчатке на край ее ложи, тряхнул ей головой и наклонясь спросил что то, указывая на Наташу.
– Mais charmante! [Очень мила!] – сказал он, очевидно про Наташу, как не столько слышала она, сколько поняла по движению его губ. Потом он прошел в первый ряд и сел подле Долохова, дружески и небрежно толкнув локтем того Долохова, с которым так заискивающе обращались другие. Он, весело подмигнув, улыбнулся ему и уперся ногой в рампу.