Сапог Шварца

Сапог Шварца (от немецкого Schwarzscher Stiefel) — семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей.

Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.

История

Данная конструкция предложена Карлом Шварцем и использовалась Эрмитом в его курсе лекций в 1881—82.

Конструкция

Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на <math>n</math> равных частей. В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные <math>k</math>-угольники, причём соседние <math>k</math>-угольники повёрнуты относительно друг друга на угол <math>\pi/k</math>. Затем вершины <math>k</math>-угольников соединяются так, что образуется поверхность из <math>2nk</math> треугольников; каждый её «слой» — антипризма. Полученная полиэдральная поверхность называется сапогом Шварца.

Если <math>n, k\to\infty</math>, то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми, то есть сапог Шварца стремится к цилиндру.

Свойства

• Простой подсчёт показывает, что
  • при <math>k, n/k^2\to\infty</math> площадь, то есть сумма площадей всех треугольных граней сапога Шварца, стремится к бесконечности.
  • при <math>n, k^2/n\to\infty</math> площадь сапога Шварца, стремится к площади кругового цилиндра.
• Относительно его внутренней метрики, сапог Шварца изометричен некоторому круговому цилиндру.

Литература

• Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Мир, 1969. — Т. 3.
• Берже М. Геометрия. — М.: Мир, 1984. — Т. 1.

Отрывок, характеризующий Сапог Шварца

– По обстоятельствам нынешним, Софья Даниловна с детьми уехали в торжковскую деревню, ваше сиятельство.
– Я все таки войду, мне надо книги разобрать, – сказал Пьер.
– Пожалуйте, милости просим, братец покойника, – царство небесное! – Макар Алексеевич остались, да, как изволите знать, они в слабости, – сказал старый слуга.
Макар Алексеевич был, как знал Пьер, полусумасшедший, пивший запоем брат Иосифа Алексеевича.
– Да, да, знаю. Пойдем, пойдем… – сказал Пьер и вошел в дом. Высокий плешивый старый человек в халате, с красным носом, в калошах на босу ногу, стоял в передней; увидав Пьера, он сердито пробормотал что то и ушел в коридор.
– Большого ума были, а теперь, как изволите видеть, ослабели, – сказал Герасим. – В кабинет угодно? – Пьер кивнул головой. – Кабинет как был запечатан, так и остался. Софья Даниловна приказывали, ежели от вас придут, то отпустить книги.
Пьер вошел в тот самый мрачный кабинет, в который он еще при жизни благодетеля входил с таким трепетом. Кабинет этот, теперь запыленный и нетронутый со времени кончины Иосифа Алексеевича, был еще мрачнее.
Герасим открыл один ставень и на цыпочках вышел из комнаты. Пьер обошел кабинет, подошел к шкафу, в котором лежали рукописи, и достал одну из важнейших когда то святынь ордена. Это были подлинные шотландские акты с примечаниями и объяснениями благодетеля. Он сел за письменный запыленный стол и положил перед собой рукописи, раскрывал, закрывал их и, наконец, отодвинув их от себя, облокотившись головой на руки, задумался.
Несколько раз Герасим осторожно заглядывал в кабинет и видел, что Пьер сидел в том же положении. Прошло более двух часов. Герасим позволил себе пошуметь в дверях, чтоб обратить на себя внимание Пьера. Пьер не слышал его.
– Извозчика отпустить прикажете?
– Ах, да, – очнувшись, сказал Пьер, поспешно вставая. – Послушай, – сказал он, взяв Герасима за пуговицу сюртука и сверху вниз блестящими, влажными восторженными глазами глядя на старичка. – Послушай, ты знаешь, что завтра будет сражение?..
– Сказывали, – отвечал Герасим.
– Я прошу тебя никому не говорить, кто я. И сделай, что я скажу…