Свёртка (математический анализ)

Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе.

По определению, свёртка — это математическая операция, применённая к двум функциям f и g, порождающая третью функцию, которая иногда может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования.

Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Операцию свертки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Также, свёртка может быть описана как вес одной функции в случае, если другая функция, будучи отраженной и сдвинутой, является весовой.

Определение свёртки функций

Пусть <math>f,g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}</math> — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве <math>\mathbb{R}^d</math>. Тогда их свёрткой называется функция <math>f * g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}</math>, определенная формулой

<math>(f * g)(x)\ </math>

<math>\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{\mathbf{R}^d} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{\mathbf{R}^d} f(x-y)\, g(y)\, dy.</math>

В частности, при <math>d=1</math> формула принимает вид:

<math>(f * g)(x)\ </math>

<math>\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x-y)\, g(y)\, dy.</math>

Свёртка <math>(f * g)(x)</math> определена при почти всех <math>x \in {\mathbb{R}^d}</math> и интегрируема.

В случае, когда <math>x \in \mathbb{R} </math>, а функции <math>f(x),~g(x)</math> определены на промежутке <math>[0,+\infty)</math> (то есть, значение функций считается равным нулю при отрицательном аргументе), свёртку записывают в виде:

<math>(f * g)(x)\ </math>

<math>\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{0}^{x} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{0}^{x} f(x-y)\, g(y)\, dy.</math>

Впервые интегралы, представляющие собой свёртку двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свёртка появляется у Лапласа, Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже).

Свойства

• Коммутативность:

<math>f * g = g * f </math>.

• Ассоциативность:

<math>f * (g * h) = (f * g) * h</math>.

• Линейность (дистрибутивность и умножение на число):

<math>(f_1+f_2) * g = f_1 * g + f_2 * g,\quad</math>

<math>f * (g_1+g_2) = f * g_1 + f * g_2,\quad</math>

<math>(a f) * g = a (f*g) = f * (ag), \quad \forall a \in \mathbb{R}</math>.

• Правило дифференцирования:

<math>\mathrm{D}(f * g) = \mathrm{D}f * g = f * \mathrm{D}g</math>,

где <math>\mathrm{D}f</math> обозначает производную функции <math>f</math> по любой переменной.

• Свойство Фурье-образа:

<math>\mathfrak{F}[f * g] = \mathfrak{F} [f] \cdot \mathfrak{F} [g]</math>,

где <math> \mathfrak{F}[f]</math> обозначает преобразование Фурье функции <math>f</math>.

Свёртка на группах

Пусть <math>G</math> — группа Ли, оснащённая мерой Хаара <math>m</math>, и <math>f,g:G \to \mathbb{R}</math> — две функции, определённые на <math>G</math>. Тогда их свёрткой называется функция

<math>f * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G</math>.

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> и две меры <math>\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}</math>. Тогда их свёрткой называется мера

<math>\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})</math>,

где <math>\mu \otimes \nu</math> обозначает произведение мер <math>\mu</math> и <math>\nu</math>.

Свойства

• Пусть <math>\mu,\nu</math> абсолютно непрерывны относительно меры Лебега <math>m</math>. Обозначим их производные Радона — Никодима:

<math>f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}</math>.

Тогда <math>\mu * \nu</math> также абсолютно непрерывна относительно <math>m</math>, и её производная Радона — Никодима <math>f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}</math> имеет вид

<math>f_{\mu * \nu} = f_{\mu} * f_{\nu}</math>.

• Если <math>\mu,\nu</math> — вероятностные меры, то <math>\mu * \nu</math> также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений

Если <math>\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y</math> — распределения двух независимых случайных величин <math>X</math> и <math>Y</math>, то

<math>\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y</math>,

где <math>\mathbb{P}^{X+Y}</math> — распределение суммы <math>X+Y</math>. В частности, если <math>X,Y</math> абсолютно непрерывны и имеют плотности <math>f_X,f_Y</math>, то случайная величина <math>X+Y</math> также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

<math>f_{X+Y} = f_X * f_Y</math>.

См. также

• Автокорреляционная функция
• Преобразование Фурье
• Свёртка последовательностей

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Ссылки

• [www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Java-Applet]
• [www.getsoft.net/fouriertrans/animationen/animation04.html Java-Applet]

• [www.dsplib.ru/content/conv/conv.html Линейная и циклическая свертка] (рус.). Проверено 15 ноября 2010. [www.webcitation.org/61DACQ9aI Архивировано из первоисточника 26 августа 2011].

Отрывок, характеризующий Свёртка (математический анализ)

– Mon cher, – сказала Анна Михайловна сыну, – je sais de bonne source que le Prince Basile envoie son fils a Moscou pour lui faire epouser Julieie. [Мой милый, я знаю из верных источников, что князь Василий присылает своего сына в Москву, для того чтобы женить его на Жюли.] Я так люблю Жюли, что мне жалко бы было ее. Как ты думаешь, мой друг? – сказала Анна Михайловна.
Мысль остаться в дураках и даром потерять весь этот месяц тяжелой меланхолической службы при Жюли и видеть все расписанные уже и употребленные как следует в его воображении доходы с пензенских имений в руках другого – в особенности в руках глупого Анатоля, оскорбляла Бориса. Он поехал к Карагиным с твердым намерением сделать предложение. Жюли встретила его с веселым и беззаботным видом, небрежно рассказывала о том, как ей весело было на вчерашнем бале, и спрашивала, когда он едет. Несмотря на то, что Борис приехал с намерением говорить о своей любви и потому намеревался быть нежным, он раздражительно начал говорить о женском непостоянстве: о том, как женщины легко могут переходить от грусти к радости и что у них расположение духа зависит только от того, кто за ними ухаживает. Жюли оскорбилась и сказала, что это правда, что для женщины нужно разнообразие, что всё одно и то же надоест каждому.
– Для этого я бы советовал вам… – начал было Борис, желая сказать ей колкость; но в ту же минуту ему пришла оскорбительная мысль, что он может уехать из Москвы, не достигнув своей цели и даром потеряв свои труды (чего с ним никогда ни в чем не бывало). Он остановился в середине речи, опустил глаза, чтоб не видать ее неприятно раздраженного и нерешительного лица и сказал: – Я совсем не с тем, чтобы ссориться с вами приехал сюда. Напротив… – Он взглянул на нее, чтобы увериться, можно ли продолжать. Всё раздражение ее вдруг исчезло, и беспокойные, просящие глаза были с жадным ожиданием устремлены на него. «Я всегда могу устроиться так, чтобы редко видеть ее», подумал Борис. «А дело начато и должно быть сделано!» Он вспыхнул румянцем, поднял на нее глаза и сказал ей: – «Вы знаете мои чувства к вам!» Говорить больше не нужно было: лицо Жюли сияло торжеством и самодовольством; но она заставила Бориса сказать ей всё, что говорится в таких случаях, сказать, что он любит ее, и никогда ни одну женщину не любил более ее. Она знала, что за пензенские имения и нижегородские леса она могла требовать этого и она получила то, что требовала.
Жених с невестой, не поминая более о деревьях, обсыпающих их мраком и меланхолией, делали планы о будущем устройстве блестящего дома в Петербурге, делали визиты и приготавливали всё для блестящей свадьбы.


Граф Илья Андреич в конце января с Наташей и Соней приехал в Москву. Графиня всё была нездорова, и не могла ехать, – а нельзя было ждать ее выздоровления: князя Андрея ждали в Москву каждый день; кроме того нужно было закупать приданое, нужно было продавать подмосковную и нужно было воспользоваться присутствием старого князя в Москве, чтобы представить ему его будущую невестку. Дом Ростовых в Москве был не топлен; кроме того они приехали на короткое время, графини не было с ними, а потому Илья Андреич решился остановиться в Москве у Марьи Дмитриевны Ахросимовой, давно предлагавшей графу свое гостеприимство.
Поздно вечером четыре возка Ростовых въехали во двор Марьи Дмитриевны в старой Конюшенной. Марья Дмитриевна жила одна. Дочь свою она уже выдала замуж. Сыновья ее все были на службе.
Она держалась всё так же прямо, говорила также прямо, громко и решительно всем свое мнение, и всем своим существом как будто упрекала других людей за всякие слабости, страсти и увлечения, которых возможности она не признавала. С раннего утра в куцавейке, она занималась домашним хозяйством, потом ездила: по праздникам к обедни и от обедни в остроги и тюрьмы, где у нее бывали дела, о которых она никому не говорила, а по будням, одевшись, дома принимала просителей разных сословий, которые каждый день приходили к ней, и потом обедала; за обедом сытным и вкусным всегда бывало человека три четыре гостей, после обеда делала партию в бостон; на ночь заставляла себе читать газеты и новые книги, а сама вязала. Редко она делала исключения для выездов, и ежели выезжала, то ездила только к самым важным лицам в городе.
Она еще не ложилась, когда приехали Ростовы, и в передней завизжала дверь на блоке, пропуская входивших с холода Ростовых и их прислугу. Марья Дмитриевна, с очками спущенными на нос, закинув назад голову, стояла в дверях залы и с строгим, сердитым видом смотрела на входящих. Можно бы было подумать, что она озлоблена против приезжих и сейчас выгонит их, ежели бы она не отдавала в это время заботливых приказаний людям о том, как разместить гостей и их вещи.
– Графские? – сюда неси, говорила она, указывая на чемоданы и ни с кем не здороваясь. – Барышни, сюда налево. Ну, вы что лебезите! – крикнула она на девок. – Самовар чтобы согреть! – Пополнела, похорошела, – проговорила она, притянув к себе за капор разрумянившуюся с мороза Наташу. – Фу, холодная! Да раздевайся же скорее, – крикнула она на графа, хотевшего подойти к ее руке. – Замерз, небось. Рому к чаю подать! Сонюшка, bonjour, – сказала она Соне, этим французским приветствием оттеняя свое слегка презрительное и ласковое отношение к Соне.