Матрица сдвига

Ма́трица сдви́га (также сдви́говая ма́трица) — бинарная матрица с единицами только на главных наддиагонали или поддиагонали и нулями в остальных местах. Сдвиговая матрица U с единицами на наддиагонали называется верхне-сдвиговой матрицей. Соответствующая поддиагональная матрица L называется нижне-сдвиговой матрицей. Компоненты матриц U и L с индексами (i, j) имеют вид

<math> U_{ij} = \delta_{i+1,j}, \quad L_{ij} = \delta_{i,j+1},</math>

где <math>\delta_{ij}</math> — дельта-символ Кронекера.

Например, сдвиговая 5×5-матрица

<math>

U_5=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad L_5=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. </math>

Очевидно, при транспонировании нижне-сдвиговой матрицы получается верхне-сдвиговая матрица, и наоборот. Умножение слева произвольной матрицы A на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу элементов матрицы A вниз на одну позицию, причём верхняя строчка результирующей матрицы заполняется нулями. Умножение справа произвольной матрицы A на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу влево на одну позицию с заполнением нулями правого столбца. Аналогичные операции с участием верхне-сдвиговой матрицы приводят к противоположным сдвигам.

Все сдвиговые матрицы нильпотентны: сдвиговая n×n-матрица S в степени, равной её размерности n, равна нулевой матрице.

Свойства

Пусть L и U — n×n-матрицы сдвига, нижняя и верхняя, соответственно. Следующие свойства верны для обеих матриц U и L (поэтому приведём их только для U):

• Определитель det(U) = 0 (вырожденность);
• След tr(U) = 0;
• Ранг rank(U) = n − 1
• Характеристический многочлен матрицы U имеет вид:

<math>p_U(\lambda) = (-1)^n\lambda^n.</math>

• Uⁿ = 0 (нильпотентность). Это свойство следует из предыдущего по теореме Гамильтона — Кэли.

• Перманент per(U) = 0.

Следующие свойства показывают, как матрицы U и L связаны между собой:

• L^T = U; U^T = L.

• Ядра матриц U и L:

<math>\operatorname{ker}(U) = \operatorname{span}\{ (1,0,\ldots, 0)^T \}, </math>

<math> \operatorname{ker}(L) = \operatorname{span}\{ (0,\ldots, 0, 1)^T \}.</math>

• Спектр матриц U и L нулевой (т.е. они имеют единственное собственное значение, и оно равно нулю): <math>\{0\}</math>. Алгебраическая кратность этого нуля равна n, а его геометрическая кратность равна 1. Из выражений для ядер следует, что единственный (с точностью до масштабирования) собственный вектор матрицы U имеет вид <math>(1,0,\ldots, 0)^T,</math> а единственный собственный вектор матрицы L имеет вид <math>(0,\ldots, 0,1)^T.</math>

• Для произведений LU и UL имеем:

<math>UL = I - \operatorname{diag}(0,\ldots, 0,1),</math>

<math>LU = I - \operatorname{diag}(1,0,\ldots, 0).</math>

Обе эти матрицы идемпотентны, симметричны и имеют то же ранг, что и U и L.

• L^{n − a}U^{n − a} + L^aU^a = U^{n − a}L^{n − a} + U^aL^a = I (единичная матрица), для любого целого a от 0 до n включительно.

Примеры

<math>

S=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}; \quad A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.</math>

Тогда: <math> SA=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}; \quad AS=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.</math>

Очевидно, существует много различных перестановок. Например, матрица <math>S^{T}AS</math> соответствует сдвигу матрицы A вверх и влево вдоль главной диагонали.

<math>

S^{T}AS=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.</math>

См. также

• Нильпотентная матрица

Ссылки

[www.ee.imperial.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/special.html#Shift_Matrix Shift Matrix — entry in the Matrix Reference Manual]

Отрывок, характеризующий Матрица сдвига

Историки Наполеона описывают нам искусный маневр его на Тарутино и Малоярославец и делают предположения о том, что бы было, если бы Наполеон успел проникнуть в богатые полуденные губернии.
Но не говоря о том, что ничто не мешало Наполеону идти в эти полуденные губернии (так как русская армия давала ему дорогу), историки забывают то, что армия Наполеона не могла быть спасена ничем, потому что она в самой себе несла уже тогда неизбежные условия гибели. Почему эта армия, нашедшая обильное продовольствие в Москве и не могшая удержать его, а стоптавшая его под ногами, эта армия, которая, придя в Смоленск, не разбирала продовольствия, а грабила его, почему эта армия могла бы поправиться в Калужской губернии, населенной теми же русскими, как и в Москве, и с тем же свойством огня сжигать то, что зажигают?
Армия не могла нигде поправиться. Она, с Бородинского сражения и грабежа Москвы, несла в себе уже как бы химические условия разложения.
Люди этой бывшей армии бежали с своими предводителями сами не зная куда, желая (Наполеон и каждый солдат) только одного: выпутаться лично как можно скорее из того безвыходного положения, которое, хотя и неясно, они все сознавали.
Только поэтому, на совете в Малоярославце, когда, притворяясь, что они, генералы, совещаются, подавая разные мнения, последнее мнение простодушного солдата Мутона, сказавшего то, что все думали, что надо только уйти как можно скорее, закрыло все рты, и никто, даже Наполеон, не мог сказать ничего против этой всеми сознаваемой истины.
Но хотя все и знали, что надо было уйти, оставался еще стыд сознания того, что надо бежать. И нужен был внешний толчок, который победил бы этот стыд. И толчок этот явился в нужное время. Это было так называемое у французов le Hourra de l'Empereur [императорское ура].
На другой день после совета Наполеон, рано утром, притворяясь, что хочет осматривать войска и поле прошедшего и будущего сражения, с свитой маршалов и конвоя ехал по середине линии расположения войск. Казаки, шнырявшие около добычи, наткнулись на самого императора и чуть чуть не поймали его. Ежели казаки не поймали в этот раз Наполеона, то спасло его то же, что губило французов: добыча, на которую и в Тарутине и здесь, оставляя людей, бросались казаки. Они, не обращая внимания на Наполеона, бросились на добычу, и Наполеон успел уйти.
Когда вот вот les enfants du Don [сыны Дона] могли поймать самого императора в середине его армии, ясно было, что нечего больше делать, как только бежать как можно скорее по ближайшей знакомой дороге. Наполеон, с своим сорокалетним брюшком, не чувствуя в себе уже прежней поворотливости и смелости, понял этот намек. И под влиянием страха, которого он набрался от казаков, тотчас же согласился с Мутоном и отдал, как говорят историки, приказание об отступлении назад на Смоленскую дорогу.
То, что Наполеон согласился с Мутоном и что войска пошли назад, не доказывает того, что он приказал это, но что силы, действовавшие на всю армию, в смысле направления ее по Можайской дороге, одновременно действовали и на Наполеона.


Когда человек находится в движении, он всегда придумывает себе цель этого движения. Для того чтобы идти тысячу верст, человеку необходимо думать, что что то хорошее есть за этими тысячью верст. Нужно представление об обетованной земле для того, чтобы иметь силы двигаться.
Обетованная земля при наступлении французов была Москва, при отступлении была родина. Но родина была слишком далеко, и для человека, идущего тысячу верст, непременно нужно сказать себе, забыв о конечной цели: «Нынче я приду за сорок верст на место отдыха и ночлега», и в первый переход это место отдыха заслоняет конечную цель и сосредоточивает на себе все желанья и надежды. Те стремления, которые выражаются в отдельном человеке, всегда увеличиваются в толпе.