Серебряное сечение
| Иррациональные числа γ — ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ | |
| Система счисления | Оценка числа δs |
| Двоичная | 10.0110101000001001111… |
| Десятичная | 2.4142135623730950488… |
| Шестнадцатеричная | 2.6A09E667F3BCC908B2F… |
| Непрерывная дробь | <math>2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\ddots}}}}</math> |
Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая некоторое геометрическое соотношение, выделяемое эстетически. В отличие от золотого сечения, по аллюзии с которым оно названо, серебряное сечение не имеет единого определения, наиболее последовательным является следующее:
две величины находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы меньшей и удвоенной большей величины к большей то же самое, что и отношение большей величины к меньшей.
Серебряное сечение — иррациональное (но алгебраическое) число, равное приблизительно 2,4142135623 или точно 1 + √2.
По крайней мере в последнее время некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию динамических прямоугольников (англ.) Джея Хембриджа (англ.). Математики исследовали серебряное отношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами, числами Пелля, восьмиугольником и др.
Обозначим далее серебряное сечение за <math>\delta_S</math> (общепринятого обозначения нет). Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:
- <math> \frac{b+2a}{a} = \frac{a}{b} = \delta_S\,.</math>
Это уравнение имеет единственный положительный корень.
- <math>\frac{b+2a}{a}=\frac{a}{b}.</math>
- <math>b\cdot b+2a\cdot b = a^2.</math>
- <math>b^2 + 2ab + a^2 = 2a^2.</math>
- <math>(a+b)\cdot(a+b) = 2a^2.</math>
- <math>a+b = a\sqrt{2}.</math>
- <math>b = (\sqrt{2}-1)\cdot a.</math>
- <math>\frac{a}{b} = \frac{a}{(\sqrt{2}-1)\cdot a} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1\cdot(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \sqrt{2}+1 = \delta_S.</math>
- <math>\delta_S = {1+\sqrt{2
|frame-style = border:1px solid Plum |title-style = color:black;background-color:LavenderBlush;font-weight:bold |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-align:center |footer = |footer-style =
}}
На рисунке справа даётся геометрическое доказательство, что корень из двух — иррационален, при этом отношения <math> \frac{AB}{BE}=\frac{AC}{FC}=\delta_S</math>.
Формулы
2,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472
- <math>\delta_S = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}414\, 213\, 562\, 373\, 095\, 048\, 801\, 688\, 724\, 210</math>. Это следует из <math>(\delta_S-1)^2=2\, . </math>
- <math>\delta_S = [2; 2, 2, 2, \dots] </math> — в виде цепной дроби:
- <math>
\delta_S = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\, . </math>
подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениями последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.
- <math>\delta_S = 2\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}+...}}} </math> — в виде бесконечного вложенного радикала.
Другие определения
Встречаются и другие определения серебряного сечения.
Например, отталкиваясь от определения золотого сечения через цепную дробь, серебряными называют любые цепные дроби, в которых знаменатели постоянны:
- <math>[n; n, n, n, \dots]</math>.
Для использования в процентном делении используется отношение, близкое к одной из вышеуказанных подходящих дробей, — 71/29 (в сумме дают 100).
Также встречается определение серебряного сечения: отношение целого отрезка к меньшему как длины окружности к её диаметру, то есть пи. Особенно этим увлекается поэт, писатель и исследователь старины Андрей Чернов (см. библиографию).
|
Другими словами, надо развернуть окружность в отрезок прямой, а потом отложить с любого его конца диаметр окружности. Если «золото» — простая геометрическая симметрия и способ гармонизации прямого, то «серебро» — гармония, сопрягающая прямое и круглое. |
|
Так, он предполагает, что именно в серебряном сечении разбиваются части некоторых литературных произведений: Медный всадник" А. С. Пушкина и «Слово о полку Игореве». Также в отношении размаха рук человека к его росту Чернов видит число <math>\frac{2\Phi}{\pi}=1{,}03\dots</math>, где Φ — число Фидия.
Напишите отзыв о статье "Серебряное сечение"
Литература
- Жуков А.В. Такое разное π // Вездесущее число π. — М.: УРСС, 2004. — С. 195-196. — 214 с. — ISBN 5-354-00327-X.
- Чернов А. «Серебряное сечение» / Новая газета. — 13.01.1997. — № 2(422). — С. 8-9
- Чернов А. Ю. Семь раз отмерь // [rusarch.ru/chernov_a1.htm Хроники изнаночного времени]. — СПб., 2006.
- Аракелян Г. Б. Числа и величины в современной физике, с. 90-95, 252. Ереван: Изд. АН, 1989, 300 с.
- А. Ф. Черняев. Русская матрица — основа золотых пропорций // [orda2000.narod.ru/books/nchron/chernaev/chern2.htm Золото древней Руси].
- Андрей Чернов. Заметки о вечном. [chernov-trezin.narod.ru/ZS_1_4.htm «Серебряное сечение (введение в проблему)»]
Примечания
- ↑ [www.gutenberg.org/files/129/129.txt The Square Root of Two, to 5 million digits]
Ссылки
- [www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html#silver Explanation of Silver Means]
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html Silver Ratio] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Числа Пелля
- Пластическое число
- Золотое сечение
- Вера де Шпинадель (1999) [www.mi.sanu.ac.rs/vismath/spinadel/index.html The Family of Metallic Means], Vismath 1(3) from Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts
| ||||||||||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Серебряное сечение
Граф и Семен выскакали из опушки и налево от себя увидали волка, который, мягко переваливаясь, тихим скоком подскакивал левее их к той самой опушке, у которой они стояли. Злобные собаки визгнули и, сорвавшись со свор, понеслись к волку мимо ног лошадей.Волк приостановил бег, неловко, как больной жабой, повернул свою лобастую голову к собакам, и также мягко переваливаясь прыгнул раз, другой и, мотнув поленом (хвостом), скрылся в опушку. В ту же минуту из противоположной опушки с ревом, похожим на плач, растерянно выскочила одна, другая, третья гончая, и вся стая понеслась по полю, по тому самому месту, где пролез (пробежал) волк. Вслед за гончими расступились кусты орешника и показалась бурая, почерневшая от поту лошадь Данилы. На длинной спине ее комочком, валясь вперед, сидел Данила без шапки с седыми, встрепанными волосами над красным, потным лицом.
– Улюлюлю, улюлю!… – кричал он. Когда он увидал графа, в глазах его сверкнула молния.
– Ж… – крикнул он, грозясь поднятым арапником на графа.
– Про…ли волка то!… охотники! – И как бы не удостоивая сконфуженного, испуганного графа дальнейшим разговором, он со всей злобой, приготовленной на графа, ударил по ввалившимся мокрым бокам бурого мерина и понесся за гончими. Граф, как наказанный, стоял оглядываясь и стараясь улыбкой вызвать в Семене сожаление к своему положению. Но Семена уже не было: он, в объезд по кустам, заскакивал волка от засеки. С двух сторон также перескакивали зверя борзятники. Но волк пошел кустами и ни один охотник не перехватил его.
Николай Ростов между тем стоял на своем месте, ожидая зверя. По приближению и отдалению гона, по звукам голосов известных ему собак, по приближению, отдалению и возвышению голосов доезжачих, он чувствовал то, что совершалось в острове. Он знал, что в острове были прибылые (молодые) и матерые (старые) волки; он знал, что гончие разбились на две стаи, что где нибудь травили, и что что нибудь случилось неблагополучное. Он всякую секунду на свою сторону ждал зверя. Он делал тысячи различных предположений о том, как и с какой стороны побежит зверь и как он будет травить его. Надежда сменялась отчаянием. Несколько раз он обращался к Богу с мольбою о том, чтобы волк вышел на него; он молился с тем страстным и совестливым чувством, с которым молятся люди в минуты сильного волнения, зависящего от ничтожной причины. «Ну, что Тебе стоит, говорил он Богу, – сделать это для меня! Знаю, что Ты велик, и что грех Тебя просить об этом; но ради Бога сделай, чтобы на меня вылез матерый, и чтобы Карай, на глазах „дядюшки“, который вон оттуда смотрит, влепился ему мертвой хваткой в горло». Тысячу раз в эти полчаса упорным, напряженным и беспокойным взглядом окидывал Ростов опушку лесов с двумя редкими дубами над осиновым подседом, и овраг с измытым краем, и шапку дядюшки, чуть видневшегося из за куста направо.
«Нет, не будет этого счастья, думал Ростов, а что бы стоило! Не будет! Мне всегда, и в картах, и на войне, во всем несчастье». Аустерлиц и Долохов ярко, но быстро сменяясь, мелькали в его воображении. «Только один раз бы в жизни затравить матерого волка, больше я не желаю!» думал он, напрягая слух и зрение, оглядываясь налево и опять направо и прислушиваясь к малейшим оттенкам звуков гона. Он взглянул опять направо и увидал, что по пустынному полю навстречу к нему бежало что то. «Нет, это не может быть!» подумал Ростов, тяжело вздыхая, как вздыхает человек при совершении того, что было долго ожидаемо им. Совершилось величайшее счастье – и так просто, без шума, без блеска, без ознаменования. Ростов не верил своим глазам и сомнение это продолжалось более секунды. Волк бежал вперед и перепрыгнул тяжело рытвину, которая была на его дороге. Это был старый зверь, с седою спиной и с наеденным красноватым брюхом. Он бежал не торопливо, очевидно убежденный, что никто не видит его. Ростов не дыша оглянулся на собак. Они лежали, стояли, не видя волка и ничего не понимая. Старый Карай, завернув голову и оскалив желтые зубы, сердито отыскивая блоху, щелкал ими на задних ляжках.
– Улюлюлю! – шопотом, оттопыривая губы, проговорил Ростов. Собаки, дрогнув железками, вскочили, насторожив уши. Карай почесал свою ляжку и встал, насторожив уши и слегка мотнул хвостом, на котором висели войлоки шерсти.
– Пускать – не пускать? – говорил сам себе Николай в то время как волк подвигался к нему, отделяясь от леса. Вдруг вся физиономия волка изменилась; он вздрогнул, увидав еще вероятно никогда не виданные им человеческие глаза, устремленные на него, и слегка поворотив к охотнику голову, остановился – назад или вперед? Э! всё равно, вперед!… видно, – как будто сказал он сам себе, и пустился вперед, уже не оглядываясь, мягким, редким, вольным, но решительным скоком.
– Улюлю!… – не своим голосом закричал Николай, и сама собою стремглав понеслась его добрая лошадь под гору, перескакивая через водомоины в поперечь волку; и еще быстрее, обогнав ее, понеслись собаки. Николай не слыхал своего крика, не чувствовал того, что он скачет, не видал ни собак, ни места, по которому он скачет; он видел только волка, который, усилив свой бег, скакал, не переменяя направления, по лощине. Первая показалась вблизи зверя чернопегая, широкозадая Милка и стала приближаться к зверю. Ближе, ближе… вот она приспела к нему. Но волк чуть покосился на нее, и вместо того, чтобы наддать, как она это всегда делала, Милка вдруг, подняв хвост, стала упираться на передние ноги.
– Улюлюлюлю! – кричал Николай.
Красный Любим выскочил из за Милки, стремительно бросился на волка и схватил его за гачи (ляжки задних ног), но в ту ж секунду испуганно перескочил на другую сторону. Волк присел, щелкнул зубами и опять поднялся и поскакал вперед, провожаемый на аршин расстояния всеми собаками, не приближавшимися к нему.
– Уйдет! Нет, это невозможно! – думал Николай, продолжая кричать охрипнувшим голосом.
– Карай! Улюлю!… – кричал он, отыскивая глазами старого кобеля, единственную свою надежду. Карай из всех своих старых сил, вытянувшись сколько мог, глядя на волка, тяжело скакал в сторону от зверя, наперерез ему. Но по быстроте скока волка и медленности скока собаки было видно, что расчет Карая был ошибочен. Николай уже не далеко впереди себя видел тот лес, до которого добежав, волк уйдет наверное. Впереди показались собаки и охотник, скакавший почти на встречу. Еще была надежда. Незнакомый Николаю, муругий молодой, длинный кобель чужой своры стремительно подлетел спереди к волку и почти опрокинул его. Волк быстро, как нельзя было ожидать от него, приподнялся и бросился к муругому кобелю, щелкнул зубами – и окровавленный, с распоротым боком кобель, пронзительно завизжав, ткнулся головой в землю.
