Сетка Аполлония
Сетка Аполлония — фрактал, строящийся по трём попарно касающимся окружностям. Представляет собой предельное множество всевозможных последовательностей окружностей, каждая из которых касается трёх уже построенных. Назван в честь греческого математика Аполлония Пергского.
Содержание
Построение
Начнём с трех окружностей, каждая из которых является касательной к двум другим. Далее добавляем к имеющейся фигуре рекурсивно окружности, каждая из которых касается каких-нибудь трёх уже построенных окружностей. На первом шаге мы добавим две, на втором шесть, и так далее.
Продолжая построение, мы добавляем 2·3n новых окружностей на n-ом шаге.
Замыкание построенных окружностей называется сеткой Аполлония.
Свойства
- Сетка Аполлония имеет Хаусдорфову размерность около 1.3057[1].
- Сетку Аполлония можно представить как объединение двух подмножеств, гомеоморфных треугольнику Серпинского, с общими вершинами.
- Подгруппа группы преобразований Мёбиуса, состоящая из таких преобразований, которые переводят сетку Аполлония в себя, действует транзитивно на окружностях сетки.
- Сетку Апполония можно определить как предельное множество группы преобразований плоскости образованной инверсиями в четырёх попарно касательных окружностях.
Кривизны
Кривизна окружности определяется как обратное к его радиусу.
- Отрицательная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются эту окружность изнутри. Это ограничивающая окружность.
- Нулевая кривизна дает линию (круг с бесконечным радиусом).
- Положительная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются эту окружность снаружи. Этот круг находится внутри круга с отрицательной кривизной.
В сетке Аполлония все окружности имеют положительную кривизну, кроме одной, ограничивающей окружности.
Целые сетки Аполлония
Предположим, <math>a,b,c,d</math> обозначают кривизны четырёх попарно касающихся окружностей. По теореме Декарта:
- <math>a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \tfrac12\cdot(a+b+c+d)^2</math>
Отсюда следует, что если четыре попарно касающиеся окружности имеют целые кривизны, то и все остальные окружности в их сетке Аполлония имеют целые кривизны. Имеется бесконечно много таких целых сеток. [2] Ниже приведены несколько целых сеток с отмеченными кривизнами окружностей.
- ApollonianGasket-1 2 2 3-Labels.png
- ApollonianGasket-3 5 8 8-Labels.png
- ApollonianGasket-12 25 25 28-Labels.png
- ApollonianGasket-6 10 15 19-Labels.png
- ApollonianGasket-10 18 23 27-Labels.png
Вариации и обобщения
- Трехмерный эквивалент сетки Аполлония — Аполлониева упаковка сфер.
Напишите отзыв о статье "Сетка Аполлония"
Примечания
- ↑ Curtis T. McMullen. [abel.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/dimIII/dimIII.pdf Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Computation of Dimension] // American Journal of Mathematics. — Vol. 120. — P. 691-721. — DOI:10.1353/ajm.1998.0031.</span>
- ↑ [citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs/15837/http:zSzzSzwww.math.tamu.eduzSz~catherine.yanzSz.zSzFileszSzPart4_10.pdf/apollonian-circle-packings-number.pdf Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks, and Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory" J. Number Theory, 100 (2003), 1-45]
</ol>
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
