Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение

Семейство <math>\mathfrak{S}</math> подмножеств множества <math>X</math> называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. <math>\mathfrak{S}</math> содержит пустое множество.
2. Если <math>E\in \mathfrak{S}</math>, то и его дополнение <math>X\backslash E\in\mathfrak{S}</math>.
3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из <math>\mathfrak{S}</math> принадлежит <math>\mathfrak{S}</math> (достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало <math>\mathfrak{S}</math> поскольку <math>\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n = X\backslash (\bigcup_{n=1}^{\infty}(X\backslash A_n))</math>.

Замечания

• Для любой системы множеств <math>\mathcal{S}</math> существует минимальная сигма-алгебра <math>\sigma(\mathcal{S})</math>, являющаяся её надмножеством.
• Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств <math>\mathcal{S}</math>) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на <math>\sigma(\mathcal{S})</math>, то есть на минимальную сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
• σ-алгебра, порождённая случайной величиной <math>\xi:\,X\rightarrow \mathbb{R}</math>, определяется следующим образом:

<math>\sigma(\xi) = \left\{\xi^{-1}(B)\mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}</math>,

где <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — минимальная сигма-алгебра на пространстве <math>X</math>, относительно которой случайная величина <math>\xi</math> всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве <math>X</math> вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции <math>\xi</math> её можно ввести и наделить таким образом пространство <math>X</math> структурой измеримого пространства, так что функция <math>\xi</math> будет измеримой.

Связанные определения

• Измеримое пространство — это пара <math>(X, \mathcal F)</math>, где <math>X</math> — множество, а <math>\mathcal F</math> — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Примеры

• Борелевская сигма-алгебра
• Для любого множества <math>X</math> можно построить тривиа́льную σ-алгебру <math>\left\{X,\varnothing\right\}</math>, где <math>\varnothing</math> — пустое множество.
• Для любого множества <math>X</math> можно построить ещё одну тривиа́льную σ-алгебру, которая содержит все его подмножества.

Литература

• Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу. — БХВ-Петербург, 2011. — ISBN 978-5-9775-0631-1.

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Сигма-алгебра

– Bonjour, ma chere, je vous felicite, [Здравствуйте, моя милая, поздравляю вас,] – сказала гостья. – Quelle delicuse enfant! [Какое прелестное дитя!] – прибавила она, обращаясь к матери.
Черноглазая, с большим ртом, некрасивая, но живая девочка, с своими детскими открытыми плечиками, которые, сжимаясь, двигались в своем корсаже от быстрого бега, с своими сбившимися назад черными кудрями, тоненькими оголенными руками и маленькими ножками в кружевных панталончиках и открытых башмачках, была в том милом возрасте, когда девочка уже не ребенок, а ребенок еще не девушка. Вывернувшись от отца, она подбежала к матери и, не обращая никакого внимания на ее строгое замечание, спрятала свое раскрасневшееся лицо в кружевах материной мантильи и засмеялась. Она смеялась чему то, толкуя отрывисто про куклу, которую вынула из под юбочки.
– Видите?… Кукла… Мими… Видите.
И Наташа не могла больше говорить (ей всё смешно казалось). Она упала на мать и расхохоталась так громко и звонко, что все, даже чопорная гостья, против воли засмеялись.
– Ну, поди, поди с своим уродом! – сказала мать, притворно сердито отталкивая дочь. – Это моя меньшая, – обратилась она к гостье.
Наташа, оторвав на минуту лицо от кружевной косынки матери, взглянула на нее снизу сквозь слезы смеха и опять спрятала лицо.
Гостья, принужденная любоваться семейною сценой, сочла нужным принять в ней какое нибудь участие.
– Скажите, моя милая, – сказала она, обращаясь к Наташе, – как же вам приходится эта Мими? Дочь, верно?
Наташе не понравился тон снисхождения до детского разговора, с которым гостья обратилась к ней. Она ничего не ответила и серьезно посмотрела на гостью.
Между тем всё это молодое поколение: Борис – офицер, сын княгини Анны Михайловны, Николай – студент, старший сын графа, Соня – пятнадцатилетняя племянница графа, и маленький Петруша – меньшой сын, все разместились в гостиной и, видимо, старались удержать в границах приличия оживление и веселость, которыми еще дышала каждая их черта. Видно было, что там, в задних комнатах, откуда они все так стремительно прибежали, у них были разговоры веселее, чем здесь о городских сплетнях, погоде и comtesse Apraksine. [о графине Апраксиной.] Изредка они взглядывали друг на друга и едва удерживались от смеха.
Два молодые человека, студент и офицер, друзья с детства, были одних лет и оба красивы, но не похожи друг на друга. Борис был высокий белокурый юноша с правильными тонкими чертами спокойного и красивого лица; Николай был невысокий курчавый молодой человек с открытым выражением лица. На верхней губе его уже показывались черные волосики, и во всем лице выражались стремительность и восторженность.
Николай покраснел, как только вошел в гостиную. Видно было, что он искал и не находил, что сказать; Борис, напротив, тотчас же нашелся и рассказал спокойно, шутливо, как эту Мими куклу он знал еще молодою девицей с неиспорченным еще носом, как она в пять лет на его памяти состарелась и как у ней по всему черепу треснула голова. Сказав это, он взглянул на Наташу. Наташа отвернулась от него, взглянула на младшего брата, который, зажмурившись, трясся от беззвучного смеха, и, не в силах более удерживаться, прыгнула и побежала из комнаты так скоро, как только могли нести ее быстрые ножки. Борис не рассмеялся.