Силлогистические теории

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Силлогизм»)
Перейти к: навигация, поиск

Силлогистика (др.-греч. συλλογιστικός умозаключающий) — теория логического вывода, исследующая умозаключения, состоящие из т. н. категорических высказываний (суждений). В силлогистике рассматриваются, например, выводы заключения из одной посылки (т. н. непосредственные умозаключения), «сложные силлогизмы», или полисиллогизмы, имеющие не менее трёх посылок. Однако основное внимание силлогистика уделяет теории категорического силлогизма, имеющего ровно две посылки и одно заключение указанного вида. Классификацию различных форм (модусов) силлогизмов и их обоснование дал основатель логики как науки Аристотель. В дальнейшем силлогистика усовершенствовалась различными школами античных (перипатетики, стоики) и средневековых логиков. Несмотря на ограниченный характер применения, отмечавшийся ещё Ф. Бэконом, Р. Декартом, Дж. С. Миллем и другими учёными, силлогистика долгое время являлась неотъемлемым традиционным элементом «классического» гуманитарного образования, из-за чего её часто называют традиционной логикой. С созданием исчислений математической логики роль силлогистики стала весьма скромной. Оказалось, в частности, что почти всё её содержание (а именно все выводы, не зависящие от характерного для силлогистики предположения о непустоте предметной области) может быть получено средствами фрагмента исчисления предикатов — т. н. одноместного исчисления предикатов. Получен также (начиная с Я. Лукасевича, 1939) ряд аксиоматических изложений силлогистики в терминах современной математической логики.





Типы суждений

Высказывание, в котором утверждается, что все предметы класса обладают или не обладают определенным свойством, называется общим (соответственно общеутвердительным или общеотрицательным). Высказывание, в котором утверждается, что некоторые предметы класса обладают или не обладают определенным свойством, называется частным (соответственно частноутвердительным или частноотрицательным). По Аристотелю, все простые высказывания делятся на следующие шесть типов: единичноутвердительные, единичноотрицательные, общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные, частноотрицательные.

Типы простых высказываний, относящихся к классам предметов, обозначаются гласными буквами латинского алфавита: A — общеутвердительные, E — общеотрицательные, I — частноутвердительные, O — частноотрицательные. Далее класс предметов обозначается буквой S, свойство — буквой P. При этом S называется субъектом, а P — предикатом. Эти четыре типа простых высказываний, имеют следующую общелогическую форму:

A (общеутвердительное суждение): "Все предметы класса S обладают свойством P". ("Все S суть P".) Символически: SaP;

E (общеотрицательное суждение): "Ни один предмет класса S не обладает свойством P". ("Ни один S не есть P".) Символически: SeP;

I (частноутвердительное суждение): "Некоторые предметы класса S обладают свойством P". ("Некоторые S суть P".) Символически: SiP;

O (частноотрицательное суждение): "Некоторые предметы класса S не обладают свойством P". ("Некоторые S не суть P".) Символически: SoP.

Все эти суждения на языке логики предикатов имеют вид:

<math>A\colon (\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr).</math>

<math>E\colon (\forall x)\bigl(S(x)\to\lnot P(x)\bigr).</math>

<math>I\colon (\exists x)\bigl(S(x)\land P(x)\bigr).</math>

<math>O\colon (\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr).</math>

Эти же формулы можно равносильно преобразовать следующим образом:

<math>A\colon \lnot (\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr). </math>

<math>E\colon \lnot (\exists x)\bigl(S(x)\land P(x)\bigr).</math>

<math>I\colon \lnot (\forall x)\bigl(S(x)\to\lnot P(x)\bigr). </math>

<math>O\colon \lnot(\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr).</math>

Силлогистические умозаключения

Аристотель выделяет важнейший вид дедуктивных умозаключений — так называемые силлогистические умозаключения, или силлогизмы. Аристотелев силлогизм представляет собой схему логического вывода (умозаключения), состоящую из трех простых высказываний S,M,P одного из четырех указанных видов A,E,I,O: два первых высказывания S,M — посылки, третье P — заключение. В результате, возможно всего 4 типа силлогизмов:

<math> \begin{array}{cccc}\dfrac{\begin{matrix}\text{Figure I}\\[2pt] MxP\\ SyM\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure II}\\[2pt] PxM\\ SyM\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure III}\\[2pt] MxP\\ MyS\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure IV}\\[2pt] PxM\\ MyS\end{matrix}}{SzP} \end{array} </math>

Здесь <math>x,y,z\in\{a,e,i,o\}</math> и запись SzP (как и MxP и SyM и т. п.) обозначает в зависимости от значения z одно из четырех суждений видов A,E,I,O. Каждая фигура доставляет следующее количество силлогизмов (схем): <math>4\cdot4\cdot4=64</math>. Поскольку фигур 4, то получаем <math>4\cdot64=256</math> силлогизмов.

Задача аристотелевой силлогистики, блестяще решенная самим Аристотелем, состоит в том, чтобы обнаружить все те силлогизмы (схемы умозаключений), которые справедливы, т.е. представляют собой логические следования. Таких силлогизмов, как установил Аристотель, имеется ровно 19, остальные — неверны. При этом 4 из 19 правильных силлогизмов оказываются условно правильными.

Для запоминания правильных силлогизмов средневековыми схоластами было придумано следующее мнемотехническое латинское стихотворение:

BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO que prioris;

CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO sedundae;

Tertia DARAPTI*, DISAMIS, DATISI, FELAPTON*, BOCARDO, FERISON habet; quarta insuper addit

BAMALIP*, CAMENES, DIMATIS, FESAPO*, FRESISON.

Здесь слова, выделенные большими буквами, а точнее, гласные в этих словах, означают суждения A,E,I,O, подставляемые на место x,y,z в каждой фигуре силлогизма (слова в первой строке стиха соответствуют первой фигуре, второй строке -второй и т.д.) То есть для первой фигуры будут верны варианты силлогизмов (т.н.модусы) первой строки BARBARA (AAA), CELARENT (EAE), DARII (AII), FERIO (EIO):

<math> \begin{array}{cccc}\dfrac{\begin{matrix}\text{BARBARA}\\[2pt] MAP\\ SAM\end{matrix}}{SAP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{CELARENT}\\[2pt] MEP\\ SAM\end{matrix}}{SEP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{DARII}\\[2pt] MAP\\ SIM\end{matrix}}{SIP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{FERIO}\\[2pt] MEP\\ SIM\end{matrix}}{SOP} \end{array} </math>

аналогично для других фигур силлогизма применяются модусы из строки стиха, соответствующей номеру фигуры.

При этом необходимо отметить, что в аристотелевской логике все классы M, P, S считаются непустыми, то есть имеющие хотя бы один элемент. Если это не учитывать, то получаются очевидные ошибки. Пример Рассела: Пусть M означает класс (пустой) "золотые горы", P - класс "золотые объекты", а S - класс "горы" Тогда имеем по модусу DARAPTI третьей фигуры:

Все золотые горы - золотые.

Все золотые горы - горы. -

Следовательно некоторые горы золотые.

Таким образом из двух верных (тавтологичных) утверждений мы получим отнюдь не тавтологичное, но заведомо неверное утверждение.

Так как в современной математике, физике и даже структурной лингвистике часто работают с пустыми множествами, то в этом случае нельзя применять модусы, выделенные у нас звездочками (DARAPTI, FELAPTON, BAMALIP, FESAPO)

Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики

Формализация теории аристотелевых силлогизмов

Описанная формализация придумана в 1950-х годах польским логиком Лукасевичем.

Пусть строчные латинские буквы a,b,c,... обозначают переменные термины силлогистики, две прописные латинские буквы A и I — два силлогических бинарных отношения: Aab: «Всякое a есть b», Iab: «Некоторое a есть b».

Понятие формулы дается посредством следующего индуктивного определения:

1) Aab и Iab — простые (или атомарные) формулы силлогистики;

2) если <math>F,G</math> — формулы силлогистики, то формулами силлогистики будут также <math>(F\wedge G),(F\vee G),(F\to G),(\neg F)</math>;

3) никаких других формул, кроме получающихся по правилам пунктов 1 и 2, нет.

Формулировка аксиом. Во-первых, считаем, что имеется некоторое формализованное исчисление высказываний, так что его аксиомы открывают список аксиом формальной силлогистики. В качестве специальных аксиом принимаются такие силлогические предложения:

<math>(FS1)\colon Aaa;</math>

<math>(FS2)\colon Iaa;</math>

<math>(FS3)\colon (Abc\wedge Aab) \to Aac</math> (силлогизм Barbara);

<math>(FS4)\colon (Abe \wedge Iba) \to Iac</math> (силлогизм Datisi).

С помощью следующих определений введем еще два силлогических бинарных отношения E' и O: Eab означает <math>\neg Iab</math>, Oab означает <math>\neg Aab</math>.

В качестве правил вывода в системе формализованной силлогистики FS принимаются два правила подстановки и правило заключения modus ponens:

Напишите отзыв о статье "Силлогистические теории"

Литература

  • Аристотель. Сочинения: В 4 т.. — М., 1976-1981.
  • Ахманов А.С. Логическое учение Аристотеля.. — М., 1960.
  • Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. — Academia, 2008.
  • Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения формальной логики: Пер. с англ.. — М., 1959.

См. также

Категорический силлогизм


Отрывок, характеризующий Силлогистические теории

Под предлогом увода раненых не расстроивать ряда! Каждый да будет вполне проникнут мыслию, что надо победить этих наемников Англии, воодушевленных такою ненавистью против нашей нации. Эта победа окончит наш поход, и мы можем возвратиться на зимние квартиры, где застанут нас новые французские войска, которые формируются во Франции; и тогда мир, который я заключу, будет достоин моего народа, вас и меня.
Наполеон».


В 5 часов утра еще было совсем темно. Войска центра, резервов и правый фланг Багратиона стояли еще неподвижно; но на левом фланге колонны пехоты, кавалерии и артиллерии, долженствовавшие первые спуститься с высот, для того чтобы атаковать французский правый фланг и отбросить его, по диспозиции, в Богемские горы, уже зашевелились и начали подниматься с своих ночлегов. Дым от костров, в которые бросали всё лишнее, ел глаза. Было холодно и темно. Офицеры торопливо пили чай и завтракали, солдаты пережевывали сухари, отбивали ногами дробь, согреваясь, и стекались против огней, бросая в дрова остатки балаганов, стулья, столы, колеса, кадушки, всё лишнее, что нельзя было увезти с собою. Австрийские колонновожатые сновали между русскими войсками и служили предвестниками выступления. Как только показывался австрийский офицер около стоянки полкового командира, полк начинал шевелиться: солдаты сбегались от костров, прятали в голенища трубочки, мешочки в повозки, разбирали ружья и строились. Офицеры застегивались, надевали шпаги и ранцы и, покрикивая, обходили ряды; обозные и денщики запрягали, укладывали и увязывали повозки. Адъютанты, батальонные и полковые командиры садились верхами, крестились, отдавали последние приказания, наставления и поручения остающимся обозным, и звучал однообразный топот тысячей ног. Колонны двигались, не зная куда и не видя от окружавших людей, от дыма и от усиливающегося тумана ни той местности, из которой они выходили, ни той, в которую они вступали.
Солдат в движении так же окружен, ограничен и влеком своим полком, как моряк кораблем, на котором он находится. Как бы далеко он ни прошел, в какие бы странные, неведомые и опасные широты ни вступил он, вокруг него – как для моряка всегда и везде те же палубы, мачты, канаты своего корабля – всегда и везде те же товарищи, те же ряды, тот же фельдфебель Иван Митрич, та же ротная собака Жучка, то же начальство. Солдат редко желает знать те широты, в которых находится весь корабль его; но в день сражения, Бог знает как и откуда, в нравственном мире войска слышится одна для всех строгая нота, которая звучит приближением чего то решительного и торжественного и вызывает их на несвойственное им любопытство. Солдаты в дни сражений возбужденно стараются выйти из интересов своего полка, прислушиваются, приглядываются и жадно расспрашивают о том, что делается вокруг них.
Туман стал так силен, что, несмотря на то, что рассветало, не видно было в десяти шагах перед собою. Кусты казались громадными деревьями, ровные места – обрывами и скатами. Везде, со всех сторон, можно было столкнуться с невидимым в десяти шагах неприятелем. Но долго шли колонны всё в том же тумане, спускаясь и поднимаясь на горы, минуя сады и ограды, по новой, непонятной местности, нигде не сталкиваясь с неприятелем. Напротив того, то впереди, то сзади, со всех сторон, солдаты узнавали, что идут по тому же направлению наши русские колонны. Каждому солдату приятно становилось на душе оттого, что он знал, что туда же, куда он идет, то есть неизвестно куда, идет еще много, много наших.
– Ишь ты, и курские прошли, – говорили в рядах.
– Страсть, братец ты мой, что войски нашей собралось! Вечор посмотрел, как огни разложили, конца краю не видать. Москва, – одно слово!
Хотя никто из колонных начальников не подъезжал к рядам и не говорил с солдатами (колонные начальники, как мы видели на военном совете, были не в духе и недовольны предпринимаемым делом и потому только исполняли приказания и не заботились о том, чтобы повеселить солдат), несмотря на то, солдаты шли весело, как и всегда, идя в дело, в особенности в наступательное. Но, пройдя около часу всё в густом тумане, большая часть войска должна была остановиться, и по рядам пронеслось неприятное сознание совершающегося беспорядка и бестолковщины. Каким образом передается это сознание, – весьма трудно определить; но несомненно то, что оно передается необыкновенно верно и быстро разливается, незаметно и неудержимо, как вода по лощине. Ежели бы русское войско было одно, без союзников, то, может быть, еще прошло бы много времени, пока это сознание беспорядка сделалось бы общею уверенностью; но теперь, с особенным удовольствием и естественностью относя причину беспорядков к бестолковым немцам, все убедились в том, что происходит вредная путаница, которую наделали колбасники.
– Что стали то? Аль загородили? Или уж на француза наткнулись?
– Нет не слыхать. А то палить бы стал.
– То то торопили выступать, а выступили – стали без толку посереди поля, – всё немцы проклятые путают. Эки черти бестолковые!
– То то я бы их и пустил наперед. А то, небось, позади жмутся. Вот и стой теперь не емши.
– Да что, скоро ли там? Кавалерия, говорят, дорогу загородила, – говорил офицер.
– Эх, немцы проклятые, своей земли не знают, – говорил другой.
– Вы какой дивизии? – кричал, подъезжая, адъютант.
– Осьмнадцатой.
– Так зачем же вы здесь? вам давно бы впереди должно быть, теперь до вечера не пройдете.
– Вот распоряжения то дурацкие; сами не знают, что делают, – говорил офицер и отъезжал.
Потом проезжал генерал и сердито не по русски кричал что то.
– Тафа лафа, а что бормочет, ничего не разберешь, – говорил солдат, передразнивая отъехавшего генерала. – Расстрелял бы я их, подлецов!
– В девятом часу велено на месте быть, а мы и половины не прошли. Вот так распоряжения! – повторялось с разных сторон.
И чувство энергии, с которым выступали в дело войска, начало обращаться в досаду и злобу на бестолковые распоряжения и на немцев.
Причина путаницы заключалась в том, что во время движения австрийской кавалерии, шедшей на левом фланге, высшее начальство нашло, что наш центр слишком отдален от правого фланга, и всей кавалерии велено было перейти на правую сторону. Несколько тысяч кавалерии продвигалось перед пехотой, и пехота должна была ждать.
Впереди произошло столкновение между австрийским колонновожатым и русским генералом. Русский генерал кричал, требуя, чтобы остановлена была конница; австриец доказывал, что виноват был не он, а высшее начальство. Войска между тем стояли, скучая и падая духом. После часовой задержки войска двинулись, наконец, дальше и стали спускаться под гору. Туман, расходившийся на горе, только гуще расстилался в низах, куда спустились войска. Впереди, в тумане, раздался один, другой выстрел, сначала нескладно в разных промежутках: тратта… тат, и потом всё складнее и чаще, и завязалось дело над речкою Гольдбахом.
Не рассчитывая встретить внизу над речкою неприятеля и нечаянно в тумане наткнувшись на него, не слыша слова одушевления от высших начальников, с распространившимся по войскам сознанием, что было опоздано, и, главное, в густом тумане не видя ничего впереди и кругом себя, русские лениво и медленно перестреливались с неприятелем, подвигались вперед и опять останавливались, не получая во время приказаний от начальников и адъютантов, которые блудили по туману в незнакомой местности, не находя своих частей войск. Так началось дело для первой, второй и третьей колонны, которые спустились вниз. Четвертая колонна, при которой находился сам Кутузов, стояла на Праценских высотах.
В низах, где началось дело, был всё еще густой туман, наверху прояснело, но всё не видно было ничего из того, что происходило впереди. Были ли все силы неприятеля, как мы предполагали, за десять верст от нас или он был тут, в этой черте тумана, – никто не знал до девятого часа.
Было 9 часов утра. Туман сплошным морем расстилался по низу, но при деревне Шлапанице, на высоте, на которой стоял Наполеон, окруженный своими маршалами, было совершенно светло. Над ним было ясное, голубое небо, и огромный шар солнца, как огромный пустотелый багровый поплавок, колыхался на поверхности молочного моря тумана. Не только все французские войска, но сам Наполеон со штабом находился не по ту сторону ручьев и низов деревень Сокольниц и Шлапаниц, за которыми мы намеревались занять позицию и начать дело, но по сю сторону, так близко от наших войск, что Наполеон простым глазом мог в нашем войске отличать конного от пешего. Наполеон стоял несколько впереди своих маршалов на маленькой серой арабской лошади, в синей шинели, в той самой, в которой он делал итальянскую кампанию. Он молча вглядывался в холмы, которые как бы выступали из моря тумана, и по которым вдалеке двигались русские войска, и прислушивался к звукам стрельбы в лощине. В то время еще худое лицо его не шевелилось ни одним мускулом; блестящие глаза были неподвижно устремлены на одно место. Его предположения оказывались верными. Русские войска частью уже спустились в лощину к прудам и озерам, частью очищали те Праценские высоты, которые он намерен был атаковать и считал ключом позиции. Он видел среди тумана, как в углублении, составляемом двумя горами около деревни Прац, всё по одному направлению к лощинам двигались, блестя штыками, русские колонны и одна за другой скрывались в море тумана. По сведениям, полученным им с вечера, по звукам колес и шагов, слышанным ночью на аванпостах, по беспорядочности движения русских колонн, по всем предположениям он ясно видел, что союзники считали его далеко впереди себя, что колонны, двигавшиеся близ Працена, составляли центр русской армии, и что центр уже достаточно ослаблен для того, чтобы успешно атаковать его. Но он всё еще не начинал дела.