Симметричная матрица
Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу <math>A</math>, что <math> \forall i,j: a_{ij}=a_{ji}</math>.
Это означает, что она равна её транспонированной матрице:
- <math>A = A^T</math>
Примеры
- <math>
\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 6 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}
</math>
Свойства
Симметричная матрица всегда квадратная.
Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:
- она имеет вещественные собственные значения
- её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:
- <math>Av = \lambda_1 v,\ Aw = \lambda_2 w,\ \lambda_1 \ne \lambda_2 \implies v^T w = 0</math>
- из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
- матрицу A можно привести к диагональному виду: <math>A = QDQ^{T}</math>, где <math>Q</math> — ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
- Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение <math>\lambda</math>, то она имеет диагональный вид: <math>A = \lambda E</math>, где <math>E</math> — единичная матрица, в любом базисе.
Положительно (отрицательно) определённые матрицы
Симметричная матрица <math>A</math> размерностью <math>k \times k</math> называется положительно определённой если <math>\forall z \in R^{k}: z^{T}Az>0</math>. </br>Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с изменением оператора сравнения в последнем неравенстве. </br>Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.
Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
|
Напишите отзыв о статье "Симметричная матрица"
Отрывок, характеризующий Симметричная матрица
– Ха, ха, ха! – смеялся Пьер. И он проговорил вслух сам с собою: – Не пустил меня солдат. Поймали меня, заперли меня. В плену держат меня. Кого меня? Меня! Меня – мою бессмертную душу! Ха, ха, ха!.. Ха, ха, ха!.. – смеялся он с выступившими на глаза слезами.Какой то человек встал и подошел посмотреть, о чем один смеется этот странный большой человек. Пьер перестал смеяться, встал, отошел подальше от любопытного и оглянулся вокруг себя.
Прежде громко шумевший треском костров и говором людей, огромный, нескончаемый бивак затихал; красные огни костров потухали и бледнели. Высоко в светлом небе стоял полный месяц. Леса и поля, невидные прежде вне расположения лагеря, открывались теперь вдали. И еще дальше этих лесов и полей виднелась светлая, колеблющаяся, зовущая в себя бесконечная даль. Пьер взглянул в небо, в глубь уходящих, играющих звезд. «И все это мое, и все это во мне, и все это я! – думал Пьер. – И все это они поймали и посадили в балаган, загороженный досками!» Он улыбнулся и пошел укладываться спать к своим товарищам.
В первых числах октября к Кутузову приезжал еще парламентер с письмом от Наполеона и предложением мира, обманчиво означенным из Москвы, тогда как Наполеон уже был недалеко впереди Кутузова, на старой Калужской дороге. Кутузов отвечал на это письмо так же, как на первое, присланное с Лористоном: он сказал, что о мире речи быть не может.
Вскоре после этого из партизанского отряда Дорохова, ходившего налево от Тарутина, получено донесение о том, что в Фоминском показались войска, что войска эти состоят из дивизии Брусье и что дивизия эта, отделенная от других войск, легко может быть истреблена. Солдаты и офицеры опять требовали деятельности. Штабные генералы, возбужденные воспоминанием о легкости победы под Тарутиным, настаивали у Кутузова об исполнении предложения Дорохова. Кутузов не считал нужным никакого наступления. Вышло среднее, то, что должно было совершиться; послан был в Фоминское небольшой отряд, который должен был атаковать Брусье.