Сингулярное распределение
Сингулярное распределение (по отношению к мере <math>\mu</math>) — это распределение вероятностей, которое сосредоточено на множестве <math>M</math> таком, что <math>\mu(M)=0</math>. Однако часто используют более узкое определение, гласящее, что сингулярным называют распределение в пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>, сосредоточенное на множестве нулевой меры Лебега и приписывающее каждому одноточечному множеству нулевую вероятность[1]. Важно отметить, что согласно общему определению любое дискретное распределение является сингулярным по отношению к мере Лебега, но в частном определении дискретные распределения выведены из множества сингулярных.
Для одномерного пространства также можно утверждать, что распределение сингулярно, если множество точек роста у функции распределения имеет нулевую меру.
Свойства
Сингулярное распределение не может являться абсолютно непрерывным (по теореме Радона — Никодима).
Любое вероятностное распределение <math>F</math> может быть представлено в виде следующей суммы:
- <math>F=pF_{s}+qF_{ac}</math>,
где <math>\quad p\geqslant 0</math>, <math>q\geqslant 0</math>, <math>p+q=1</math>, распределение <math>F_{s}</math> — сингулярно по отношению к мере <math>\mu</math>, а распределение <math>F_{ac}</math> — абсолютно непрерывно по отношению к этой же мере[2].
Примеры
Простейшим примером сингулярного распределения является распределение, сосредоточенное на канторовом множестве (его функцией распределения является лестница Кантора).
Более часто встречающимся в практических задачах сингулярным распределением является распределение случайных направлений в двухмерном евклидовом пространстве[2]. Случайное направление соответствует единичному вектору, повёрнутому на случайный угол относительно вектора <math>(1,0)</math>. Выбор случайного направления равнозначен выбору случайной точки на единичной окружности, которая, в свою очередь, имеет нулевую площадь, следовательно, это распределение — сингулярно.
Напишите отзыв о статье "Сингулярное распределение"
Примечания
- ↑ Сингулярное распределение // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.
- ↑ 1 2 Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — Т. 2. — С. 177—179.
Отрывок, характеризующий Сингулярное распределение
Берг улыбнулся с сознанием своего превосходства над слабой женщиной и замолчал, подумав, что всё таки эта милая жена его есть слабая женщина, которая не может постигнуть всего того, что составляет достоинство мужчины, – ein Mann zu sein [быть мужчиной]. Вера в то же время также улыбнулась с сознанием своего превосходства над добродетельным, хорошим мужем, но который всё таки ошибочно, как и все мужчины, по понятию Веры, понимал жизнь. Берг, судя по своей жене, считал всех женщин слабыми и глупыми. Вера, судя по одному своему мужу и распространяя это замечание, полагала, что все мужчины приписывают только себе разум, а вместе с тем ничего не понимают, горды и эгоисты.Берг встал и, обняв свою жену осторожно, чтобы не измять кружевную пелеринку, за которую он дорого заплатил, поцеловал ее в середину губ.
– Одно только, чтобы у нас не было так скоро детей, – сказал он по бессознательной для себя филиации идей.
– Да, – отвечала Вера, – я совсем этого не желаю. Надо жить для общества.
– Точно такая была на княгине Юсуповой, – сказал Берг, с счастливой и доброй улыбкой, указывая на пелеринку.
В это время доложили о приезде графа Безухого. Оба супруга переглянулись самодовольной улыбкой, каждый себе приписывая честь этого посещения.
«Вот что значит уметь делать знакомства, подумал Берг, вот что значит уметь держать себя!»
– Только пожалуйста, когда я занимаю гостей, – сказала Вера, – ты не перебивай меня, потому что я знаю чем занять каждого, и в каком обществе что надо говорить.
Берг тоже улыбнулся.
– Нельзя же: иногда с мужчинами мужской разговор должен быть, – сказал он.
Пьер был принят в новенькой гостиной, в которой нигде сесть нельзя было, не нарушив симметрии, чистоты и порядка, и потому весьма понятно было и не странно, что Берг великодушно предлагал разрушить симметрию кресла, или дивана для дорогого гостя, и видимо находясь сам в этом отношении в болезненной нерешительности, предложил решение этого вопроса выбору гостя. Пьер расстроил симметрию, подвинув себе стул, и тотчас же Берг и Вера начали вечер, перебивая один другого и занимая гостя.
Вера, решив в своем уме, что Пьера надо занимать разговором о французском посольстве, тотчас же начала этот разговор. Берг, решив, что надобен и мужской разговор, перебил речь жены, затрогивая вопрос о войне с Австриею и невольно с общего разговора соскочил на личные соображения о тех предложениях, которые ему были деланы для участия в австрийском походе, и о тех причинах, почему он не принял их. Несмотря на то, что разговор был очень нескладный, и что Вера сердилась за вмешательство мужского элемента, оба супруга с удовольствием чувствовали, что, несмотря на то, что был только один гость, вечер был начат очень хорошо, и что вечер был, как две капли воды похож на всякий другой вечер с разговорами, чаем и зажженными свечами.
