Тригонометрические функции

Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции

синус (<math>\sin x</math>)
косинус (<math>\cos x</math>)

производные тригонометрические функции

тангенс (<math>\mathrm{tg}\, x</math>)
котангенс (<math>\mathrm{ctg}\, x</math>)

другие тригонометрические функции

секанс (<math>\sec x</math>)
косеканс (<math>\mathrm{cosec}\, x</math>)

В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются <math>\tan x, \cot x, \csc x</math>.

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и бесконечно дифференцируемые в области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках <math>\pm \pi n + \frac{\pi}{2}</math>, а котангенс и косеканс — в точках <math>\pm \pi n</math>.
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Содержание

1 Способы определения
- 1.1 Геометрическое определение
- 1.2 Определение тригонометрических функций для острых углов
2 Исследование функций в математическом анализе
3 Значения тригонометрических функций для некоторых углов
- 3.1 Значения тригонометрических функций нестандартных углов
4 Свойства тригонометрических функций
5 Тригонометрические функции комплексного аргумента
- 5.1 Определение
- 5.2 Комплексные графики
6 История названий
7 См. также
8 Литература
9 Ссылки
10 Примечания

Способы определения

Геометрическое определение

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически^[1]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса <math>R</math> с центром в начале координат <math>O</math>. Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча <math>OB</math>, при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки <math>B</math> обозначим <math>x_B</math>, ординату обозначим <math>y_B</math> (см. рисунок).

Синусом называется отношение <math>\sin \alpha=\frac{y_B}{R}.</math>
Косинусом называется отношение <math>\cos \alpha=\frac{x_B}{R}.</math>
Тангенс определяется как <math>\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.</math>
Котангенс определяется как <math>\operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.</math>
Секанс определяется как <math>\sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.</math>
Косеканс определяется как <math>\operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}.</math>

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности <math>R</math> в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате <math>y_B</math>, а косинус — абсциссе <math>x_B</math>. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если <math>\alpha</math> — вещественное число, то синусом <math>\alpha</math> в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна <math>\alpha</math>, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника^[2]. Пусть OAB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:

Синусом угла <math>\alpha</math> называется отношение <math>\frac{AB}{OB}</math> (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
Косинусом угла <math>\alpha</math> называется отношение <math>\frac{OA}{OB}</math> (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
Тангенсом угла <math>\alpha</math> называется отношение <math>\frac{AB}{OA}</math> (отношение противолежащего катета к прилежащему).
Котангенсом угла <math>\alpha</math> называется отношение <math>\frac{OA}{AB}</math> (отношение прилежащего катета к противолежащему).
Секансом угла <math>\alpha</math> называется отношение <math>\frac{OB}{OA}</math> (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
Косекансом угла <math>\alpha</math> называется отношение <math>\frac{OB}{AB}</math> (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке <math>O</math>, направлением оси абсцисс вдоль <math>OA</math> и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).

Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами <math>2 \pi ~ (360^\circ)</math> для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и <math>\pi~(180^\circ)</math> для тангенса и котангенса.
Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.

Исследование функций в математическом анализе

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

<math>\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),</math>

с дополнительными условиями <math>R(0) = 1</math> для косинуса и <math>R'(0) = 1</math> для синуса, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

<math>\ \left(\cos x\right) = - \cos x,</math>

<math>\ \left(\sin x\right) = - \sin x.</math>

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить^[3] как решения (<math>f</math> и <math>g</math> соответственно) системы функциональных уравнений:

<math>\left\{ \begin{array}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y) \end{array} \right. </math>

при дополнительных условиях

<math> f(x)^2 + g(x)^2 = 1,</math> <math> g(\pi/2) = 1, </math> и <math> 0<g(x)<1 </math> при <math> 0<x<\pi/2 </math>.

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

<math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},</math>

<math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.</math>

Пользуясь этими формулами, а также равенствами <math>\operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},</math> <math>\operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},</math> <math>\sec x=\frac{1}{\cos x}</math> и <math>\operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x},</math> можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

<math>{\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}</math>

<math>{\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}</math>

<math>{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}</math>

<math>\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),</math>

где

<math>B_n</math> — числа Бернулли,

<math>E_n</math> — числа Эйлера.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

<math>( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},</math>

<math>( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x},</math>

<math>( \operatorname{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}. </math>

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом^[4]:

<math>\int\mathop{\operatorname{tg}}\, x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,</math>

<math>\int\mathop{\operatorname{ctg}}\, x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,,</math>

<math>\int\sec x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,</math>

<math>\int \operatorname{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.</math>

См. также: Список интегралов от тригонометрических функций

См. также: Интегральные тригонометрические функции

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

<math> \alpha</math>	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
<math> \sin \alpha</math>	<math>{0}</math>	<math> \frac{1}{2}</math>	<math> \frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math> \frac{ \sqrt{3}}{2}</math>	<math>{1}</math>	<math>{0}</math>	<math>{-1}</math>	<math>{0}</math>
<math> \cos \alpha</math>	<math>{1}</math>	<math> \frac{ \sqrt{3}}{2}</math>	<math> \frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math> \frac{1}{2}</math>	<math>{0}</math>	<math>{-1}</math>	<math>{0}</math>	<math>{1}</math>
<math> \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha</math>	<math>{0}</math>	<math> \frac{1}{\sqrt{3}}</math>	<math> {1}</math>	<math> \sqrt{3}</math>	<math>{\infty}</math>	<math>{0}</math>	<math>{\infty}</math>	<math>{0}</math>
<math> \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha</math>	<math>{\infty}</math>	<math> \sqrt{3}</math>	<math>{1}</math>	<math> \frac{1}{\sqrt{3}}</math>	<math> {0}</math>	<math>{\infty}</math>	<math>{0}</math>	<math>{\infty}</math>
<math> \sec \alpha</math>	<math>{1}</math>	<math> \frac{2}{\sqrt{3}}</math>	<math> \sqrt{2}</math>	<math> {2}</math>	<math>{\infty}</math>	<math>{-1}</math>	<math>{\infty}</math>	<math> {1}</math>
<math> \operatorname{cosec}\, \alpha</math>	<math>{\infty}</math>	<math> {2}</math>	<math> \sqrt{2}</math>	<math> \frac{2}{\sqrt{3}}</math>	<math>{1}</math>	<math>{\infty}</math>	<math>{-1}</math>	<math>{\infty}</math>

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

<math>\alpha</math>	<math>\frac{2\pi}{3} = 120^\circ</math>	<math>\frac{3\pi}{4} = 135^\circ</math>	<math>\frac{5\pi}{6} = 150^\circ</math>	<math>\frac{7\pi}{6} = 210^\circ</math>	<math>\frac{5\pi}{4} = 225^\circ</math>	<math>\frac{4\pi}{3} = 240^\circ</math>	<math>\frac{5\pi}{3} = 300^\circ</math>	<math>\frac{7\pi}{4} = 315^\circ</math>	<math>\frac{11\pi}{6} = 330^\circ</math>
<math>\sin \alpha</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>\frac{1}{2}</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>
<math>\cos \alpha</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>	<math>\frac{1}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>	<math>-\sqrt{3}</math>	<math>{-1}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>	<math>{1}</math>	<math>\sqrt{3}</math>	<math>-\sqrt{3}</math>	<math>{-1}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>	<math>{-1}</math>	<math>-\sqrt{3}</math>	<math>\sqrt{3}</math>	<math>{1}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>	<math>{-1}</math>	<math>-\sqrt{3}</math>

<math>\alpha</math>	<math>\frac{\pi}{12} = 15^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{10} = 18^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{8} = 22Шаблон:,5^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{5} = 36^\circ</math>	<math>\frac{3\,\pi}{10} = 54^\circ</math>	<math>\frac{3\,\pi}{8} = 67Шаблон:,5^\circ</math>	<math>\frac{2\,\pi}{5} = 72^\circ</math>	<math>\frac{5\,\pi}{12} = 75^\circ</math>
<math>\sin \alpha</math>	<math>\frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}</math>	<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>	<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>	<math>\frac{\sqrt{5}+1}{4}</math>	<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}</math>
<math>\cos \alpha</math>	<math>\frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}</math>	<math>\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>	<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{5}+1}{4}</math>	<math>\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>	<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}</math>
<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>	<math>2-\sqrt{3}</math>	<math>\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>	<math>\sqrt{2}-1</math>	<math>\sqrt{5-2\,\sqrt{5}}</math>	<math>\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>	<math>\sqrt{2}+1</math>	<math>\sqrt{5+2\,\sqrt{5}}</math>	<math>2 + \sqrt{3}</math>
<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>	<math>2 + \sqrt{3}</math>	<math>\sqrt{5+2\,\sqrt{5}}</math>	<math>\sqrt{2}+1</math>	<math>\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>	<math>\sqrt{5-2\,\sqrt{5}}</math>	<math>\sqrt{2}-1</math>	<math>\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>	<math>2-\sqrt{3}</math>

Значения тригонометрических функций для некоторых других углов

<math>\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5

}{16},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 3^\circ = \operatorname{ctg} 87^\circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 3^\circ = \operatorname{tg} 87^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{tg} 6^\circ = \operatorname{ctg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} 6^\circ = \operatorname{tg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 9^\circ = \operatorname{ctg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 9^\circ = \operatorname{tg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 12^\circ = \operatorname{ctg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 12^\circ = \operatorname{tg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 21^\circ = \operatorname{ctg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 21^\circ = \operatorname{tg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 24^\circ = \operatorname{ctg} 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 24^\circ = \operatorname{tg} 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 27^\circ = \operatorname{ctg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 27^\circ = \operatorname{tg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 33^\circ = \operatorname{ctg} 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 33^\circ = \operatorname{tg} 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 39^\circ = \operatorname{ctg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 39^\circ = \operatorname{tg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 42^\circ = \operatorname{ctg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 42^\circ = \operatorname{tg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{120} = \operatorname{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operatorname{tg} 1.5^\circ = \operatorname{ctg} 88.5^\circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})} }},</math>

<math>\cos \frac{\pi}{240} = \sin \frac{119\,\pi}{240} = \cos 0.75^\circ = \sin 89.25^\circ = \frac{1}{16} \left( \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}(1-\sqrt{5}) \right) + \right. </math> <math> \left. + \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right) \right),</math>

<math>\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.</math>

<math>\sin{\pi\over2^{n+1}}={1\over2}\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n}, n\in\mathbb N</math>

<math>\cos{\pi\over2^{n+1}}={1\over2}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n}, n\in\mathbb N</math>

<math>\sin{\pi\over3\cdot2^{n}}={1\over2}\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\dots+\sqrt{3}}}}_{n}, n\geq 2</math>

<math>\cos{\pi\over3\cdot2^{n}}={1\over2}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{3}}}}_{n}, n\geq 2</math> }}

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Основная статья: Тригонометрические тождества

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

<math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.</math>

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

<math> 1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha},</math>

<math> 1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha},</math>

<math> \mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.</math>

Непрерывность

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва <math>\pm90^\circ,\;\pm270^\circ,\;\pm450^\circ,\;\dots;</math> котангенс и косеканс — <math>0^\circ,\;\pm180^\circ,\;\pm360^\circ,\;\dots.</math>

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

<math> \sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,,</math>

<math> \cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,,</math>

<math> \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,</math>

<math> \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,</math>

<math> \sec \left( - \alpha \right) = \sec \alpha \,,</math>

<math> \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.</math>

Периодичность

Функции <math> y = \mathop{\mathrm{sin}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cos}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{sec}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cosec}}\, x </math> — периодические с периодом <math>2\pi</math>, функции <math> y = \mathop{\mathrm{tg}} \,x </math> и <math> y = \mathop{\mathrm{ctg}} \,x</math> — c периодом <math>\pi</math>.

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

<math> f ( n \pi + \alpha ) = \pm f (\alpha),</math>

<math> f ( n \pi - \alpha ) = \pm f (\alpha),</math>

<math> f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right) = \pm g (\alpha),</math>

<math> f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right) = \pm g (\alpha).</math>

Здесь <math>f</math> — любая тригонометрическая функция, <math>g</math> — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

<math> \cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,</math> или что то же самое <math> \cos \left( 90^\circ - \alpha \right) = \sin \alpha\,.</math>

Некоторые формулы приведения:

<math>\alpha</math>	<math>\frac{\pi}{2} - \alpha</math>	<math>\frac{\pi}{2} + \alpha</math>	<math>\pi - \alpha</math>	<math>\pi + \alpha</math>	<math>\frac{3\,\pi}{2} - \alpha</math>	<math>\frac{3\,\pi}{2} + \alpha</math>	<math>2\,\pi - \alpha</math>
<math>\sin\alpha</math>	<math>\cos\alpha</math>	<math>\cos\alpha</math>	<math>\sin\alpha</math>	<math>-\sin\alpha</math>	<math>-\cos\alpha</math>	<math>-\cos\alpha</math>	<math>-\sin\alpha</math>
<math>\cos\alpha</math>	<math>\sin\alpha</math>	<math>-\sin\alpha</math>	<math>-\cos\alpha</math>	<math>-\cos\alpha</math>	<math>-\sin\alpha</math>	<math>\sin\alpha</math>	<math>\cos\alpha</math>
<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>	<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>	<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>	<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>	<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>	<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>	<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>	<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>
<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>	<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>	<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>	<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>	<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>	<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>	<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>	<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>

Формулы сложения

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

<math> \sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,</math>

<math> \cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,</math>

<math> \operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},</math>

<math> \operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.</math>

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

<math>\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,</math>

<math>\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.</math>

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

<math>\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},</math>

<math>\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},</math>

<math>\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},</math>

<math>\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.</math>

Формулы тройного угла:

<math>\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,</math>

<math>\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,</math>

<math>\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},</math>

<math>\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.</math>

Прочие формулы для кратных углов:

<math>\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),</math>

<math>\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,</math>

<math>\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},</math>

<math>\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},</math>

<math>\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha, </math>

<math>\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha, </math>

<math>\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1}, </math>

<math>\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1}, </math>

<math> \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) </math> следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

<math>\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,</math>

<math>\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,</math>

<math>\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},</math>

<math>\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},</math>

где <math>[n]</math> — целая часть числа <math>n</math>, <math>\binom{n}{k}</math> — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

<math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,</math>

<math>\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,</math>

<math>\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},</math>

<math>\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},</math>

<math>\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha < \pi,</math>

<math>\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 < \alpha \leqslant \pi.</math>

Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

<math>\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},</math>

<math>\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},</math>

<math>\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},</math>

<math>\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},</math>

<math>\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},</math>

<math>\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.</math>

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

<math>\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>

<math>\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>

<math>\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>

<math>\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.</math>

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени

<math>\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2} = \frac{\operatorname{tg}^2\,\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\,\alpha} </math>	<math>\operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha} = \frac{\operatorname{sin}^2\,\alpha}{1 - \operatorname{sin}^2\,\alpha},</math>
<math>\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2} = \frac{\operatorname{ctg}^2\,\alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2\,\alpha},</math>	<math>\operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha}, = \frac{\operatorname{cos}^2\,\alpha}{1 - \operatorname{cos}^2\,\alpha},</math>
<math>\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},</math>	<math>\operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},</math>
<math>\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},</math>	<math>\operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},</math>
<math>\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},</math>	<math>\operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3},</math>
<math>\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},</math>	<math>\operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}.</math>

Суммы

<math> \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2} </math>

<math> \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} </math>

<math> \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} </math>

<math> \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} </math>

<math> \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{\sin (\beta \pm \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta} </math>

<math> 1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 .</math>

Существует представление:

<math>A \sin \alpha + B \cos \alpha = \sqrt{A^2 + B^2}\;\sin( \alpha + \phi ),</math>

где угол <math>\phi</math> находится из соотношений:

Универсальная тригонометрическая подстановка

Основная статья: Универсальная тригонометрическая подстановка

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

<math>\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}</math>

<math>\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}</math>

<math>\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}</math>

<math>\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}</math>

<math>\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}</math>

<math>\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}</math>

Тригонометрические функции комплексного аргумента

Определение

Формула Эйлера:

<math> e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta</math>

позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

<math>\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh} i z }{i}; </math>

<math>\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z; </math>

<math>\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})}; </math>

<math>\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}}; </math>

<math>\operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},</math> где <math>i^2=-1.</math>

Соответственно, для вещественного x,

<math>\cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}),</math>

<math>\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}).</math>

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

<math>\sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch}\, y + i \cos x\, \operatorname{sh}\, y,</math>

<math>\cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch}\, y - i \sin x\, \operatorname{sh}\, y.</math>

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графики

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

**Тригонометрические функции в комплексной плоскости**

<math> \sin\, z</math>	<math> \cos\, z</math>	<math> \operatorname{tg}\, z</math>	<math> \operatorname{ctg}\, z</math>	<math> \sec\, z</math>	<math> \operatorname{cosec}\, z</math>

История названий

Основная статья: История тригонометрии

Линия синуса (линия AB на рис. 2) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как: араб. جيب‎ — «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом лат. sinus — «синус», имеющим то же значение. Термин «косинус» (лат. cosinus) — это сокращение от лат. complementi sinus — дополнительный синус.

Современные краткие обозначения <math>\sin, ~ \cos</math> введены Б. Кавальери и Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.

Термины «тангенс» (лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

Позднее были введены и термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от лат. arcus — дуга), — Ж. Лагранжем и др.

См. также

Напишите отзыв о статье "Тригонометрические функции"

Литература

Бермант А. Ф. Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
Тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. 26. — с. 204—206.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
Выгодский М. Я. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu Справочник по элементарной математике]. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 стр.
Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
Маркушевич А. И. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1984. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/5654/%D0%A2%D0%A0%D0%98%D0%93%D0%9E%D0%9D%D0%9E%D0%9C%D0%95%D0%A2%D0%A0%D0%98%D0%A7%D0%95%D0%A1%D0%9A%D0%98%D0%95 Т. 5. — с. 436].
Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Ред. коллегия, Гнеденко Б. В. (гл. ред.), Савин А. П. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299—301—305. — 352 с., ил. ISBN 5-7155-0218-7 (стр. [padaread.com/?book=23595&pg=344 342], [padaread.com/?book=23595&pg=345 343] — таблицы тригонометрических функций 0°-90°, в том числе в радианах)
Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений) / Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240—258. — 480 с.

Ссылки

[glab.trixon.se/ GonioLab] — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)
Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/TrigonometricFunctions.html Тригонометрические функции] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
[planetcalc.ru/307/ Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций (в том числе нахождение углов треугольника по сторонам)]
[live.mephist.ru/show/unit-circle/ Интерактивная карта значений тригонометрических функций]
[ru.onlinemschool.com/math/formula/trigonometry_table/ Тригонометрические таблицы (0° — 360°)]
[ru.yasno.tv/article/math/43-sinus-i-cosinus-eto-procenty «Синус и косинус — это проценты»] — перевод статьи [betterexplained.com/articles/intuitive-trigonometry/ How To Learn Trigonometry Intuitively | BetterExplained] (англ.)

Примечания

↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 282—284.
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 271—272.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. — Москва: Наука, 1998. — ISBN 5-02-015231-5.
↑ В формулах, содержащих логарифм в правой части равенств, константы интегрирования <math>\scriptstyle C</math>, вообще говоря, различны для различных интервалов непрерывности.

Отрывок, характеризующий Тригонометрические функции

Во время этого акта Наташа всякий раз, как взглядывала в партер, видела Анатоля Курагина, перекинувшего руку через спинку кресла и смотревшего на нее. Ей приятно было видеть, что он так пленен ею, и не приходило в голову, чтобы в этом было что нибудь дурное.
Когда второй акт кончился, графиня Безухова встала, повернулась к ложе Ростовых (грудь ее совершенно была обнажена), пальчиком в перчатке поманила к себе старого графа, и не обращая внимания на вошедших к ней в ложу, начала любезно улыбаясь говорить с ним.
– Да познакомьте же меня с вашими прелестными дочерьми, – сказала она, – весь город про них кричит, а я их не знаю.
Наташа встала и присела великолепной графине. Наташе так приятна была похвала этой блестящей красавицы, что она покраснела от удовольствия.
– Я теперь тоже хочу сделаться москвичкой, – говорила Элен. – И как вам не совестно зарыть такие перлы в деревне!
Графиня Безухая, по справедливости, имела репутацию обворожительной женщины. Она могла говорить то, чего не думала, и в особенности льстить, совершенно просто и натурально.
– Нет, милый граф, вы мне позвольте заняться вашими дочерьми. Я хоть теперь здесь не надолго. И вы тоже. Я постараюсь повеселить ваших. Я еще в Петербурге много слышала о вас, и хотела вас узнать, – сказала она Наташе с своей однообразно красивой улыбкой. – Я слышала о вас и от моего пажа – Друбецкого. Вы слышали, он женится? И от друга моего мужа – Болконского, князя Андрея Болконского, – сказала она с особенным ударением, намекая этим на то, что она знала отношения его к Наташе. – Она попросила, чтобы лучше познакомиться, позволить одной из барышень посидеть остальную часть спектакля в ее ложе, и Наташа перешла к ней.
В третьем акте был на сцене представлен дворец, в котором горело много свечей и повешены были картины, изображавшие рыцарей с бородками. В середине стояли, вероятно, царь и царица. Царь замахал правою рукою, и, видимо робея, дурно пропел что то, и сел на малиновый трон. Девица, бывшая сначала в белом, потом в голубом, теперь была одета в одной рубашке с распущенными волосами и стояла около трона. Она о чем то горестно пела, обращаясь к царице; но царь строго махнул рукой, и с боков вышли мужчины с голыми ногами и женщины с голыми ногами, и стали танцовать все вместе. Потом скрипки заиграли очень тонко и весело, одна из девиц с голыми толстыми ногами и худыми руками, отделившись от других, отошла за кулисы, поправила корсаж, вышла на середину и стала прыгать и скоро бить одной ногой о другую. Все в партере захлопали руками и закричали браво. Потом один мужчина стал в угол. В оркестре заиграли громче в цимбалы и трубы, и один этот мужчина с голыми ногами стал прыгать очень высоко и семенить ногами. (Мужчина этот был Duport, получавший 60 тысяч в год за это искусство.) Все в партере, в ложах и райке стали хлопать и кричать изо всех сил, и мужчина остановился и стал улыбаться и кланяться на все стороны. Потом танцовали еще другие, с голыми ногами, мужчины и женщины, потом опять один из царей закричал что то под музыку, и все стали петь. Но вдруг сделалась буря, в оркестре послышались хроматические гаммы и аккорды уменьшенной септимы, и все побежали и потащили опять одного из присутствующих за кулисы, и занавесь опустилась. Опять между зрителями поднялся страшный шум и треск, и все с восторженными лицами стали кричать: Дюпора! Дюпора! Дюпора! Наташа уже не находила этого странным. Она с удовольствием, радостно улыбаясь, смотрела вокруг себя.
– N'est ce pas qu'il est admirable – Duport? [Неправда ли, Дюпор восхитителен?] – сказала Элен, обращаясь к ней.
– Oh, oui, [О, да,] – отвечала Наташа.

В антракте в ложе Элен пахнуло холодом, отворилась дверь и, нагибаясь и стараясь не зацепить кого нибудь, вошел Анатоль.
– Позвольте мне вам представить брата, – беспокойно перебегая глазами с Наташи на Анатоля, сказала Элен. Наташа через голое плечо оборотила к красавцу свою хорошенькую головку и улыбнулась. Анатоль, который вблизи был так же хорош, как и издали, подсел к ней и сказал, что давно желал иметь это удовольствие, еще с Нарышкинского бала, на котором он имел удовольствие, которое не забыл, видеть ее. Курагин с женщинами был гораздо умнее и проще, чем в мужском обществе. Он говорил смело и просто, и Наташу странно и приятно поразило то, что не только не было ничего такого страшного в этом человеке, про которого так много рассказывали, но что напротив у него была самая наивная, веселая и добродушная улыбка.
Курагин спросил про впечатление спектакля и рассказал ей про то, как в прошлый спектакль Семенова играя, упала.
– А знаете, графиня, – сказал он, вдруг обращаясь к ней, как к старой давнишней знакомой, – у нас устраивается карусель в костюмах; вам бы надо участвовать в нем: будет очень весело. Все сбираются у Карагиных. Пожалуйста приезжайте, право, а? – проговорил он.
Говоря это, он не спускал улыбающихся глаз с лица, с шеи, с оголенных рук Наташи. Наташа несомненно знала, что он восхищается ею. Ей было это приятно, но почему то ей тесно и тяжело становилось от его присутствия. Когда она не смотрела на него, она чувствовала, что он смотрел на ее плечи, и она невольно перехватывала его взгляд, чтоб он уж лучше смотрел на ее глаза. Но, глядя ему в глаза, она со страхом чувствовала, что между им и ей совсем нет той преграды стыдливости, которую она всегда чувствовала между собой и другими мужчинами. Она, сама не зная как, через пять минут чувствовала себя страшно близкой к этому человеку. Когда она отворачивалась, она боялась, как бы он сзади не взял ее за голую руку, не поцеловал бы ее в шею. Они говорили о самых простых вещах и она чувствовала, что они близки, как она никогда не была с мужчиной. Наташа оглядывалась на Элен и на отца, как будто спрашивая их, что такое это значило; но Элен была занята разговором с каким то генералом и не ответила на ее взгляд, а взгляд отца ничего не сказал ей, как только то, что он всегда говорил: «весело, ну я и рад».
В одну из минут неловкого молчания, во время которых Анатоль своими выпуклыми глазами спокойно и упорно смотрел на нее, Наташа, чтобы прервать это молчание, спросила его, как ему нравится Москва. Наташа спросила и покраснела. Ей постоянно казалось, что что то неприличное она делает, говоря с ним. Анатоль улыбнулся, как бы ободряя ее.
– Сначала мне мало нравилась, потому что, что делает город приятным, ce sont les jolies femmes, [хорошенькие женщины,] не правда ли? Ну а теперь очень нравится, – сказал он, значительно глядя на нее. – Поедете на карусель, графиня? Поезжайте, – сказал он, и, протянув руку к ее букету и понижая голос, сказал: – Vous serez la plus jolie. Venez, chere comtesse, et comme gage donnez moi cette fleur. [Вы будете самая хорошенькая. Поезжайте, милая графиня, и в залог дайте мне этот цветок.]
Наташа не поняла того, что он сказал, так же как он сам, но она чувствовала, что в непонятных словах его был неприличный умысел. Она не знала, что сказать и отвернулась, как будто не слыхала того, что он сказал. Но только что она отвернулась, она подумала, что он тут сзади так близко от нее.
«Что он теперь? Он сконфужен? Рассержен? Надо поправить это?» спрашивала она сама себя. Она не могла удержаться, чтобы не оглянуться. Она прямо в глаза взглянула ему, и его близость и уверенность, и добродушная ласковость улыбки победили ее. Она улыбнулась точно так же, как и он, глядя прямо в глаза ему. И опять она с ужасом чувствовала, что между ним и ею нет никакой преграды.
Опять поднялась занавесь. Анатоль вышел из ложи, спокойный и веселый. Наташа вернулась к отцу в ложу, совершенно уже подчиненная тому миру, в котором она находилась. Всё, что происходило перед ней, уже казалось ей вполне естественным; но за то все прежние мысли ее о женихе, о княжне Марье, о деревенской жизни ни разу не пришли ей в голову, как будто всё то было давно, давно прошедшее.
В четвертом акте был какой то чорт, который пел, махая рукою до тех пор, пока не выдвинули под ним доски, и он не опустился туда. Наташа только это и видела из четвертого акта: что то волновало и мучило ее, и причиной этого волнения был Курагин, за которым она невольно следила глазами. Когда они выходили из театра, Анатоль подошел к ним, вызвал их карету и подсаживал их. Подсаживая Наташу, он пожал ей руку выше локтя. Наташа, взволнованная и красная, оглянулась на него. Он, блестя своими глазами и нежно улыбаясь, смотрел на нее.

Только приехав домой, Наташа могла ясно обдумать всё то, что с ней было, и вдруг вспомнив князя Андрея, она ужаснулась, и при всех за чаем, за который все сели после театра, громко ахнула и раскрасневшись выбежала из комнаты. – «Боже мой! Я погибла! сказала она себе. Как я могла допустить до этого?» думала она. Долго она сидела закрыв раскрасневшееся лицо руками, стараясь дать себе ясный отчет в том, что было с нею, и не могла ни понять того, что с ней было, ни того, что она чувствовала. Всё казалось ей темно, неясно и страшно. Там, в этой огромной, освещенной зале, где по мокрым доскам прыгал под музыку с голыми ногами Duport в курточке с блестками, и девицы, и старики, и голая с спокойной и гордой улыбкой Элен в восторге кричали браво, – там под тенью этой Элен, там это было всё ясно и просто; но теперь одной, самой с собой, это было непонятно. – «Что это такое? Что такое этот страх, который я испытывала к нему? Что такое эти угрызения совести, которые я испытываю теперь»? думала она.
Одной старой графине Наташа в состоянии была бы ночью в постели рассказать всё, что она думала. Соня, она знала, с своим строгим и цельным взглядом, или ничего бы не поняла, или ужаснулась бы ее признанию. Наташа одна сама с собой старалась разрешить то, что ее мучило.
«Погибла ли я для любви князя Андрея или нет? спрашивала она себя и с успокоительной усмешкой отвечала себе: Что я за дура, что я спрашиваю это? Что ж со мной было? Ничего. Я ничего не сделала, ничем не вызвала этого. Никто не узнает, и я его не увижу больше никогда, говорила она себе. Стало быть ясно, что ничего не случилось, что не в чем раскаиваться, что князь Андрей может любить меня и такою . Но какою такою ? Ах Боже, Боже мой! зачем его нет тут»! Наташа успокоивалась на мгновенье, но потом опять какой то инстинкт говорил ей, что хотя всё это и правда и хотя ничего не было – инстинкт говорил ей, что вся прежняя чистота любви ее к князю Андрею погибла. И она опять в своем воображении повторяла весь свой разговор с Курагиным и представляла себе лицо, жесты и нежную улыбку этого красивого и смелого человека, в то время как он пожал ее руку.

Анатоль Курагин жил в Москве, потому что отец отослал его из Петербурга, где он проживал больше двадцати тысяч в год деньгами и столько же долгами, которые кредиторы требовали с отца.
Отец объявил сыну, что он в последний раз платит половину его долгов; но только с тем, чтобы он ехал в Москву в должность адъютанта главнокомандующего, которую он ему выхлопотал, и постарался бы там наконец сделать хорошую партию. Он указал ему на княжну Марью и Жюли Карагину.
Анатоль согласился и поехал в Москву, где остановился у Пьера. Пьер принял Анатоля сначала неохотно, но потом привык к нему, иногда ездил с ним на его кутежи и, под предлогом займа, давал ему деньги.
Анатоль, как справедливо говорил про него Шиншин, с тех пор как приехал в Москву, сводил с ума всех московских барынь в особенности тем, что он пренебрегал ими и очевидно предпочитал им цыганок и французских актрис, с главою которых – mademoiselle Georges, как говорили, он был в близких сношениях. Он не пропускал ни одного кутежа у Данилова и других весельчаков Москвы, напролет пил целые ночи, перепивая всех, и бывал на всех вечерах и балах высшего света. Рассказывали про несколько интриг его с московскими дамами, и на балах он ухаживал за некоторыми. Но с девицами, в особенности с богатыми невестами, которые были большей частью все дурны, он не сближался, тем более, что Анатоль, чего никто не знал, кроме самых близких друзей его, был два года тому назад женат. Два года тому назад, во время стоянки его полка в Польше, один польский небогатый помещик заставил Анатоля жениться на своей дочери.
Анатоль весьма скоро бросил свою жену и за деньги, которые он условился высылать тестю, выговорил себе право слыть за холостого человека.
Анатоль был всегда доволен своим положением, собою и другими. Он был инстинктивно всем существом своим убежден в том, что ему нельзя было жить иначе, чем как он жил, и что он никогда в жизни не сделал ничего дурного. Он не был в состоянии обдумать ни того, как его поступки могут отозваться на других, ни того, что может выйти из такого или такого его поступка. Он был убежден, что как утка сотворена так, что она всегда должна жить в воде, так и он сотворен Богом так, что должен жить в тридцать тысяч дохода и занимать всегда высшее положение в обществе. Он так твердо верил в это, что, глядя на него, и другие были убеждены в этом и не отказывали ему ни в высшем положении в свете, ни в деньгах, которые он, очевидно, без отдачи занимал у встречного и поперечного.
Он не был игрок, по крайней мере никогда не желал выигрыша. Он не был тщеславен. Ему было совершенно всё равно, что бы об нем ни думали. Еще менее он мог быть повинен в честолюбии. Он несколько раз дразнил отца, портя свою карьеру, и смеялся над всеми почестями. Он был не скуп и не отказывал никому, кто просил у него. Одно, что он любил, это было веселье и женщины, и так как по его понятиям в этих вкусах не было ничего неблагородного, а обдумать то, что выходило для других людей из удовлетворения его вкусов, он не мог, то в душе своей он считал себя безукоризненным человеком, искренно презирал подлецов и дурных людей и с спокойной совестью высоко носил голову.
У кутил, у этих мужских магдалин, есть тайное чувство сознания невинности, такое же, как и у магдалин женщин, основанное на той же надежде прощения. «Ей всё простится, потому что она много любила, и ему всё простится, потому что он много веселился».
Долохов, в этом году появившийся опять в Москве после своего изгнания и персидских похождений, и ведший роскошную игорную и кутежную жизнь, сблизился с старым петербургским товарищем Курагиным и пользовался им для своих целей.
Анатоль искренно любил Долохова за его ум и удальство. Долохов, которому были нужны имя, знатность, связи Анатоля Курагина для приманки в свое игорное общество богатых молодых людей, не давая ему этого чувствовать, пользовался и забавлялся Курагиным. Кроме расчета, по которому ему был нужен Анатоль, самый процесс управления чужою волей был наслаждением, привычкой и потребностью для Долохова.
Наташа произвела сильное впечатление на Курагина. Он за ужином после театра с приемами знатока разобрал перед Долоховым достоинство ее рук, плеч, ног и волос, и объявил свое решение приволокнуться за нею. Что могло выйти из этого ухаживанья – Анатоль не мог обдумать и знать, как он никогда не знал того, что выйдет из каждого его поступка.
– Хороша, брат, да не про нас, – сказал ему Долохов.
– Я скажу сестре, чтобы она позвала ее обедать, – сказал Анатоль. – А?
– Ты подожди лучше, когда замуж выйдет…
– Ты знаешь, – сказал Анатоль, – j'adore les petites filles: [обожаю девочек:] – сейчас потеряется.
– Ты уж попался раз на petite fille [девочке], – сказал Долохов, знавший про женитьбу Анатоля. – Смотри!
– Ну уж два раза нельзя! А? – сказал Анатоль, добродушно смеясь.

Следующий после театра день Ростовы никуда не ездили и никто не приезжал к ним. Марья Дмитриевна о чем то, скрывая от Наташи, переговаривалась с ее отцом. Наташа догадывалась, что они говорили о старом князе и что то придумывали, и ее беспокоило и оскорбляло это. Она всякую минуту ждала князя Андрея, и два раза в этот день посылала дворника на Вздвиженку узнавать, не приехал ли он. Он не приезжал. Ей было теперь тяжеле, чем первые дни своего приезда. К нетерпению и грусти ее о нем присоединились неприятное воспоминание о свидании с княжной Марьей и с старым князем, и страх и беспокойство, которым она не знала причины. Ей всё казалось, что или он никогда не приедет, или что прежде, чем он приедет, с ней случится что нибудь. Она не могла, как прежде, спокойно и продолжительно, одна сама с собой думать о нем. Как только она начинала думать о нем, к воспоминанию о нем присоединялось воспоминание о старом князе, о княжне Марье и о последнем спектакле, и о Курагине. Ей опять представлялся вопрос, не виновата ли она, не нарушена ли уже ее верность князю Андрею, и опять она заставала себя до малейших подробностей воспоминающею каждое слово, каждый жест, каждый оттенок игры выражения на лице этого человека, умевшего возбудить в ней непонятное для нее и страшное чувство. На взгляд домашних, Наташа казалась оживленнее обыкновенного, но она далеко была не так спокойна и счастлива, как была прежде.
В воскресение утром Марья Дмитриевна пригласила своих гостей к обедни в свой приход Успенья на Могильцах.
– Я этих модных церквей не люблю, – говорила она, видимо гордясь своим свободомыслием. – Везде Бог один. Поп у нас прекрасный, служит прилично, так это благородно, и дьякон тоже. Разве от этого святость какая, что концерты на клиросе поют? Не люблю, одно баловство!
Марья Дмитриевна любила воскресные дни и умела праздновать их. Дом ее бывал весь вымыт и вычищен в субботу; люди и она не работали, все были празднично разряжены, и все бывали у обедни. К господскому обеду прибавлялись кушанья, и людям давалась водка и жареный гусь или поросенок. Но ни на чем во всем доме так не бывал заметен праздник, как на широком, строгом лице Марьи Дмитриевны, в этот день принимавшем неизменяемое выражение торжественности.
Когда напились кофе после обедни, в гостиной с снятыми чехлами, Марье Дмитриевне доложили, что карета готова, и она с строгим видом, одетая в парадную шаль, в которой она делала визиты, поднялась и объявила, что едет к князю Николаю Андреевичу Болконскому, чтобы объясниться с ним насчет Наташи.
После отъезда Марьи Дмитриевны, к Ростовым приехала модистка от мадам Шальме, и Наташа, затворив дверь в соседней с гостиной комнате, очень довольная развлечением, занялась примериваньем новых платьев. В то время как она, надев сметанный на живую нитку еще без рукавов лиф и загибая голову, гляделась в зеркало, как сидит спинка, она услыхала в гостиной оживленные звуки голоса отца и другого, женского голоса, который заставил ее покраснеть. Это был голос Элен. Не успела Наташа снять примериваемый лиф, как дверь отворилась и в комнату вошла графиня Безухая, сияющая добродушной и ласковой улыбкой, в темнолиловом, с высоким воротом, бархатном платье.
– Ah, ma delicieuse! [О, моя прелестная!] – сказала она красневшей Наташе. – Charmante! [Очаровательна!] Нет, это ни на что не похоже, мой милый граф, – сказала она вошедшему за ней Илье Андреичу. – Как жить в Москве и никуда не ездить? Нет, я от вас не отстану! Нынче вечером у меня m lle Georges декламирует и соберутся кое кто; и если вы не привезете своих красавиц, которые лучше m lle Georges, то я вас знать не хочу. Мужа нет, он уехал в Тверь, а то бы я его за вами прислала. Непременно приезжайте, непременно, в девятом часу. – Она кивнула головой знакомой модистке, почтительно присевшей ей, и села на кресло подле зеркала, живописно раскинув складки своего бархатного платья. Она не переставала добродушно и весело болтать, беспрестанно восхищаясь красотой Наташи. Она рассмотрела ее платья и похвалила их, похвалилась и своим новым платьем en gaz metallique, [из газа цвета металла,] которое она получила из Парижа и советовала Наташе сделать такое же.
– Впрочем, вам все идет, моя прелестная, – говорила она.
С лица Наташи не сходила улыбка удовольствия. Она чувствовала себя счастливой и расцветающей под похвалами этой милой графини Безуховой, казавшейся ей прежде такой неприступной и важной дамой, и бывшей теперь такой доброй с нею. Наташе стало весело и она чувствовала себя почти влюбленной в эту такую красивую и такую добродушную женщину. Элен с своей стороны искренно восхищалась Наташей и желала повеселить ее. Анатоль просил ее свести его с Наташей, и для этого она приехала к Ростовым. Мысль свести брата с Наташей забавляла ее.
Несмотря на то, что прежде у нее была досада на Наташу за то, что она в Петербурге отбила у нее Бориса, она теперь и не думала об этом, и всей душой, по своему, желала добра Наташе. Уезжая от Ростовых, она отозвала в сторону свою protegee.
– Вчера брат обедал у меня – мы помирали со смеху – ничего не ест и вздыхает по вас, моя прелесть. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chere. [Он сходит с ума, но сходит с ума от любви к вам, моя милая.]
Наташа багрово покраснела услыхав эти слова.
– Как краснеет, как краснеет, ma delicieuse! [моя прелесть!] – проговорила Элен. – Непременно приезжайте. Si vous aimez quelqu'un, ma delicieuse, ce n'est pas une raison pour se cloitrer. Si meme vous etes promise, je suis sure que votre рromis aurait desire que vous alliez dans le monde en son absence plutot que de deperir d'ennui. [Из того, что вы любите кого нибудь, моя прелестная, никак не следует жить монашенкой. Даже если вы невеста, я уверена, что ваш жених предпочел бы, чтобы вы в его отсутствии выезжали в свет, чем погибали со скуки.]
«Стало быть она знает, что я невеста, стало быть и oни с мужем, с Пьером, с этим справедливым Пьером, думала Наташа, говорили и смеялись про это. Стало быть это ничего». И опять под влиянием Элен то, что прежде представлялось страшным, показалось простым и естественным. «И она такая grande dame, [важная барыня,] такая милая и так видно всей душой любит меня, думала Наташа. И отчего не веселиться?» думала Наташа, удивленными, широко раскрытыми глазами глядя на Элен.
К обеду вернулась Марья Дмитриевна, молчаливая и серьезная, очевидно понесшая поражение у старого князя. Она была еще слишком взволнована от происшедшего столкновения, чтобы быть в силах спокойно рассказать дело. На вопрос графа она отвечала, что всё хорошо и что она завтра расскажет. Узнав о посещении графини Безуховой и приглашении на вечер, Марья Дмитриевна сказала:
– С Безуховой водиться я не люблю и не посоветую; ну, да уж если обещала, поезжай, рассеешься, – прибавила она, обращаясь к Наташе.

Граф Илья Андреич повез своих девиц к графине Безуховой. На вечере было довольно много народу. Но всё общество было почти незнакомо Наташе. Граф Илья Андреич с неудовольствием заметил, что всё это общество состояло преимущественно из мужчин и дам, известных вольностью обращения. M lle Georges, окруженная молодежью, стояла в углу гостиной. Было несколько французов и между ними Метивье, бывший, со времени приезда Элен, домашним человеком у нее. Граф Илья Андреич решился не садиться за карты, не отходить от дочерей и уехать как только кончится представление Georges.
Анатоль очевидно у двери ожидал входа Ростовых. Он, тотчас же поздоровавшись с графом, подошел к Наташе и пошел за ней. Как только Наташа его увидала, тоже как и в театре, чувство тщеславного удовольствия, что она нравится ему и страха от отсутствия нравственных преград между ею и им, охватило ее. Элен радостно приняла Наташу и громко восхищалась ее красотой и туалетом. Вскоре после их приезда, m lle Georges вышла из комнаты, чтобы одеться. В гостиной стали расстанавливать стулья и усаживаться. Анатоль подвинул Наташе стул и хотел сесть подле, но граф, не спускавший глаз с Наташи, сел подле нее. Анатоль сел сзади.
M lle Georges с оголенными, с ямочками, толстыми руками, в красной шали, надетой на одно плечо, вышла в оставленное для нее пустое пространство между кресел и остановилась в ненатуральной позе. Послышался восторженный шопот. M lle Georges строго и мрачно оглянула публику и начала говорить по французски какие то стихи, где речь шла о ее преступной любви к своему сыну. Она местами возвышала голос, местами шептала, торжественно поднимая голову, местами останавливалась и хрипела, выкатывая глаза.
– Adorable, divin, delicieux! [Восхитительно, божественно, чудесно!] – слышалось со всех сторон. Наташа смотрела на толстую Georges, но ничего не слышала, не видела и не понимала ничего из того, что делалось перед ней; она только чувствовала себя опять вполне безвозвратно в том странном, безумном мире, столь далеком от прежнего, в том мире, в котором нельзя было знать, что хорошо, что дурно, что разумно и что безумно. Позади ее сидел Анатоль, и она, чувствуя его близость, испуганно ждала чего то.
После первого монолога всё общество встало и окружило m lle Georges, выражая ей свой восторг.
– Как она хороша! – сказала Наташа отцу, который вместе с другими встал и сквозь толпу подвигался к актрисе.
– Я не нахожу, глядя на вас, – сказал Анатоль, следуя за Наташей. Он сказал это в такое время, когда она одна могла его слышать. – Вы прелестны… с той минуты, как я увидал вас, я не переставал….
– Пойдем, пойдем, Наташа, – сказал граф, возвращаясь за дочерью. – Как хороша!
Наташа ничего не говоря подошла к отцу и вопросительно удивленными глазами смотрела на него.
После нескольких приемов декламации m lle Georges уехала и графиня Безухая попросила общество в залу.
Граф хотел уехать, но Элен умоляла не испортить ее импровизированный бал. Ростовы остались. Анатоль пригласил Наташу на вальс и во время вальса он, пожимая ее стан и руку, сказал ей, что она ravissante [обворожительна] и что он любит ее. Во время экосеза, который она опять танцовала с Курагиным, когда они остались одни, Анатоль ничего не говорил ей и только смотрел на нее. Наташа была в сомнении, не во сне ли она видела то, что он сказал ей во время вальса. В конце первой фигуры он опять пожал ей руку. Наташа подняла на него испуганные глаза, но такое самоуверенно нежное выражение было в его ласковом взгляде и улыбке, что она не могла глядя на него сказать того, что она имела сказать ему. Она опустила глаза.
– Не говорите мне таких вещей, я обручена и люблю другого, – проговорила она быстро… – Она взглянула на него. Анатоль не смутился и не огорчился тем, что она сказала.
– Не говорите мне про это. Что мне зa дело? – сказал он. – Я говорю, что безумно, безумно влюблен в вас. Разве я виноват, что вы восхитительны? Нам начинать.
Наташа, оживленная и тревожная, широко раскрытыми, испуганными глазами смотрела вокруг себя и казалась веселее чем обыкновенно. Она почти ничего не помнила из того, что было в этот вечер. Танцовали экосез и грос фатер, отец приглашал ее уехать, она просила остаться. Где бы она ни была, с кем бы ни говорила, она чувствовала на себе его взгляд. Потом она помнила, что попросила у отца позволения выйти в уборную оправить платье, что Элен вышла за ней, говорила ей смеясь о любви ее брата и что в маленькой диванной ей опять встретился Анатоль, что Элен куда то исчезла, они остались вдвоем и Анатоль, взяв ее за руку, нежным голосом сказал:
– Я не могу к вам ездить, но неужели я никогда не увижу вас? Я безумно люблю вас. Неужели никогда?… – и он, заслоняя ей дорогу, приближал свое лицо к ее лицу.
Блестящие, большие, мужские глаза его так близки были от ее глаз, что она не видела ничего кроме этих глаз.
– Натали?! – прошептал вопросительно его голос, и кто то больно сжимал ее руки.
– Натали?!
«Я ничего не понимаю, мне нечего говорить», сказал ее взгляд.
Горячие губы прижались к ее губам и в ту же минуту она почувствовала себя опять свободною, и в комнате послышался шум шагов и платья Элен. Наташа оглянулась на Элен, потом, красная и дрожащая, взглянула на него испуганно вопросительно и пошла к двери.
– Un mot, un seul, au nom de Dieu, [Одно слово, только одно, ради Бога,] – говорил Анатоль.
Она остановилась. Ей так нужно было, чтобы он сказал это слово, которое бы объяснило ей то, что случилось и на которое она бы ему ответила.
– Nathalie, un mot, un seul, – всё повторял он, видимо не зная, что сказать и повторял его до тех пор, пока к ним подошла Элен.
Элен вместе с Наташей опять вышла в гостиную. Не оставшись ужинать, Ростовы уехали.
Вернувшись домой, Наташа не спала всю ночь: ее мучил неразрешимый вопрос, кого она любила, Анатоля или князя Андрея. Князя Андрея она любила – она помнила ясно, как сильно она любила его. Но Анатоля она любила тоже, это было несомненно. «Иначе, разве бы всё это могло быть?» думала она. «Ежели я могла после этого, прощаясь с ним, улыбкой ответить на его улыбку, ежели я могла допустить до этого, то значит, что я с первой минуты полюбила его. Значит, он добр, благороден и прекрасен, и нельзя было не полюбить его. Что же мне делать, когда я люблю его и люблю другого?» говорила она себе, не находя ответов на эти страшные вопросы.

Пришло утро с его заботами и суетой. Все встали, задвигались, заговорили, опять пришли модистки, опять вышла Марья Дмитриевна и позвали к чаю. Наташа широко раскрытыми глазами, как будто она хотела перехватить всякий устремленный на нее взгляд, беспокойно оглядывалась на всех и старалась казаться такою же, какою она была всегда.
После завтрака Марья Дмитриевна (это было лучшее время ее), сев на свое кресло, подозвала к себе Наташу и старого графа.
– Ну с, друзья мои, теперь я всё дело обдумала и вот вам мой совет, – начала она. – Вчера, как вы знаете, была я у князя Николая; ну с и поговорила с ним…. Он кричать вздумал. Да меня не перекричишь! Я всё ему выпела!
– Да что же он? – спросил граф.
– Он то что? сумасброд… слышать не хочет; ну, да что говорить, и так мы бедную девочку измучили, – сказала Марья Дмитриевна. – А совет мой вам, чтобы дела покончить и ехать домой, в Отрадное… и там ждать…
– Ах, нет! – вскрикнула Наташа.
– Нет, ехать, – сказала Марья Дмитриевна. – И там ждать. – Если жених теперь сюда приедет – без ссоры не обойдется, а он тут один на один с стариком всё переговорит и потом к вам приедет.
Илья Андреич одобрил это предложение, тотчас поняв всю разумность его. Ежели старик смягчится, то тем лучше будет приехать к нему в Москву или Лысые Горы, уже после; если нет, то венчаться против его воли можно будет только в Отрадном.
– И истинная правда, – сказал он. – Я и жалею, что к нему ездил и ее возил, – сказал старый граф.
– Нет, чего ж жалеть? Бывши здесь, нельзя было не сделать почтения. Ну, а не хочет, его дело, – сказала Марья Дмитриевна, что то отыскивая в ридикюле. – Да и приданое готово, чего вам еще ждать; а что не готово, я вам перешлю. Хоть и жалко мне вас, а лучше с Богом поезжайте. – Найдя в ридикюле то, что она искала, она передала Наташе. Это было письмо от княжны Марьи. – Тебе пишет. Как мучается, бедняжка! Она боится, чтобы ты не подумала, что она тебя не любит.
– Да она и не любит меня, – сказала Наташа.
– Вздор, не говори, – крикнула Марья Дмитриевна.
– Никому не поверю; я знаю, что не любит, – смело сказала Наташа, взяв письмо, и в лице ее выразилась сухая и злобная решительность, заставившая Марью Дмитриевну пристальнее посмотреть на нее и нахмуриться.
– Ты, матушка, так не отвечай, – сказала она. – Что я говорю, то правда. Напиши ответ.
Наташа не отвечала и пошла в свою комнату читать письмо княжны Марьи.
Княжна Марья писала, что она была в отчаянии от происшедшего между ними недоразумения. Какие бы ни были чувства ее отца, писала княжна Марья, она просила Наташу верить, что она не могла не любить ее как ту, которую выбрал ее брат, для счастия которого она всем готова была пожертвовать.
«Впрочем, писала она, не думайте, чтобы отец мой был дурно расположен к вам. Он больной и старый человек, которого надо извинять; но он добр, великодушен и будет любить ту, которая сделает счастье его сына». Княжна Марья просила далее, чтобы Наташа назначила время, когда она может опять увидеться с ней.
Прочтя письмо, Наташа села к письменному столу, чтобы написать ответ: «Chere princesse», [Дорогая княжна,] быстро, механически написала она и остановилась. «Что ж дальше могла написать она после всего того, что было вчера? Да, да, всё это было, и теперь уж всё другое», думала она, сидя над начатым письмом. «Надо отказать ему? Неужели надо? Это ужасно!»… И чтоб не думать этих страшных мыслей, она пошла к Соне и с ней вместе стала разбирать узоры.
После обеда Наташа ушла в свою комнату, и опять взяла письмо княжны Марьи. – «Неужели всё уже кончено? подумала она. Неужели так скоро всё это случилось и уничтожило всё прежнее»! Она во всей прежней силе вспоминала свою любовь к князю Андрею и вместе с тем чувствовала, что любила Курагина. Она живо представляла себя женою князя Андрея, представляла себе столько раз повторенную ее воображением картину счастия с ним и вместе с тем, разгораясь от волнения, представляла себе все подробности своего вчерашнего свидания с Анатолем.
«Отчего же бы это не могло быть вместе? иногда, в совершенном затмении, думала она. Тогда только я бы была совсем счастлива, а теперь я должна выбрать и ни без одного из обоих я не могу быть счастлива. Одно, думала она, сказать то, что было князю Андрею или скрыть – одинаково невозможно. А с этим ничего не испорчено. Но неужели расстаться навсегда с этим счастьем любви князя Андрея, которым я жила так долго?»
– Барышня, – шопотом с таинственным видом сказала девушка, входя в комнату. – Мне один человек велел передать. Девушка подала письмо. – Только ради Христа, – говорила еще девушка, когда Наташа, не думая, механическим движением сломала печать и читала любовное письмо Анатоля, из которого она, не понимая ни слова, понимала только одно – что это письмо было от него, от того человека, которого она любит. «Да она любит, иначе разве могло бы случиться то, что случилось? Разве могло бы быть в ее руке любовное письмо от него?»

[.D0.A1.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.BE.D1.87.D0.BD.D0.B8.D0.BA_.D0.BF.D0.BE_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B5.E2.80.941978.E2.80.94.E2.80.94282.E2.80.94284-1] Справочник по элементарной математике, 1978, с. 282—284.

[.D0.A1.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.BE.D1.87.D0.BD.D0.B8.D0.BA_.D0.BF.D0.BE_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B5.E2.80.941978.E2.80.94.E2.80.94271.E2.80.94272-2] Справочник по элементарной математике, 1978, с. 271—272.

[3] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. — Москва: Наука, 1998. — ISBN 5-02-015231-5.

[4] В формулах, содержащих логарифм в правой части равенств, константы интегрирования <math>\scriptstyle C</math>, вообще говоря, различны для различных интервалов непрерывности.

[1]

[2]

[3]

[4]