Скалярный потенциал

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Скалярный потенциал векторного поля <math>\mathbf{A}</math> (чаще просто потенциал векторного поля) — это скалярная функция <math>\phi</math> такая, что во всех точках области определения поля

<math>\mathbf{A}=\operatorname{grad}\,\phi,</math>

где <math>\operatorname{grad}\phi</math> обозначает градиент <math>\phi</math>. В физике обычно потенциалом называют величину, противоположную по знаку (потенциал силы, потенциал электрического поля).



Потенциальные поля

Поле называется потенциальным, если для него существует скалярный потенциал. Для потенциального поля криволинейный интеграл между двумя точками:

<math>\phi(\mathbf r) = \int\limits_C \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int\limits_a^b \mathbf{A}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{\dot r}(t)\,dt</math>

не зависит от пути интегрирования <math>C = \left\{ \mathbf{r}(t) | t \in [a,b] \right\}</math>, соединяющего эти точки. Это равносильно тому, что интеграл по любому замкнутому контуру <math>C</math> равен нулю:

<math>\oint\limits_C \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\, \mathbf{dr} = 0</math>

В физических терминах это означает, что механическая работа по перемещению пробного тела в силовом потенциальном поле не зависит от траектории перемещения, а только от положения начальной и конечной точек траектории.

Непрерывное векторное поле в односвязной области трёхмерного пространства потенциально тогда и только тогда, когда оно безвихревое:

<math>\mathbf{A} = \operatorname{grad}\,\phi \Leftrightarrow \operatorname{rot}\,\mathbf{A} = 0 </math>

Обобщением этой теоремы на случай произвольного конечномерного пространства является лемма Пуанкаре. Для таких пространств существует изоморфизм между векторными полями <math>\mathbf{A}</math> и 1-формами <math>\omega_{\mathbf{A}}</math>, при этом вопрос о существовании потенциала сводится к вопросу об обращении внешнего дифференцирования. Лемма Пуанкаре утверждает, что любая замкнутая форма в односвязной области конечномерного пространства точна.

Заметим, что в общем случае неодносвязного пространства условия замкнутости недостаточно. Легко проверить, что поле на плоскости

<math>\mathbf{A} = \left( \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right)</math>

является безвихревым в любой односвязной области, не содержащей точку <math>(0,0)</math>, однако

<math>\int\limits_C \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\, \mathbf{dr} = 2\pi</math>

для любого контура <math>C</math>, один раз обходящего вокруг начала координат против часовой стрелки.

Ньютонов потенциал

Из любого векторного поля в <math>\mathbb{R}^3</math> можно выделить его потенциальную составляющую. Соответствующий ей потенциал можно записать в явном виде, не производя разложение самого поля. Он определяется интегралом, называющимся ньютоновым потенциалом:

<math>\phi(\mathbf{r}_0) = \frac{1}{4\pi} \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\operatorname{div}\,\mathbf{A}}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 \right|} dV </math>

При этом дивергенция поля должна убывать на бесконечности быстрее, чем <math>\frac{1}{r^2}</math>. В случае безвихревого поля этот интеграл даёт скалярный потенциал поля.

Дивергенцию <math>\operatorname{div}\,\mathbf{A}</math> можно отождествить с плотностью зарядов <math>\rho(\mathbf{r})</math>. В частности, для поля

<math>\mathbf{A} = - \frac{\mathbf{r}}{r^3}</math>

получаем обычную формулу для ньютонова гравитационного потенциала точечной массы, расположенной в начале координат:

<math>\phi(\mathbf{r}_0) = \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta(\mathbf{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 \right|} dV = \frac{1}{r}</math>

где <math>\delta(\mathbf{r})</math> — трёхмерная дельта-функция Дирака.

См. также

Напишите отзыв о статье "Скалярный потенциал"

Отрывок, характеризующий Скалярный потенциал

В Кудрине, из Никитской, от Пресни, от Подновинского съехалось несколько таких же поездов, как был поезд Ростовых, и по Садовой уже в два ряда ехали экипажи и подводы.
Объезжая Сухареву башню, Наташа, любопытно и быстро осматривавшая народ, едущий и идущий, вдруг радостно и удивленно вскрикнула:
– Батюшки! Мама, Соня, посмотрите, это он!
– Кто? Кто?
– Смотрите, ей богу, Безухов! – говорила Наташа, высовываясь в окно кареты и глядя на высокого толстого человека в кучерском кафтане, очевидно, наряженного барина по походке и осанке, который рядом с желтым безбородым старичком в фризовой шинели подошел под арку Сухаревой башни.
– Ей богу, Безухов, в кафтане, с каким то старым мальчиком! Ей богу, – говорила Наташа, – смотрите, смотрите!
– Да нет, это не он. Можно ли, такие глупости.
– Мама, – кричала Наташа, – я вам голову дам на отсечение, что это он! Я вас уверяю. Постой, постой! – кричала она кучеру; но кучер не мог остановиться, потому что из Мещанской выехали еще подводы и экипажи, и на Ростовых кричали, чтоб они трогались и не задерживали других.
Действительно, хотя уже гораздо дальше, чем прежде, все Ростовы увидали Пьера или человека, необыкновенно похожего на Пьера, в кучерском кафтане, шедшего по улице с нагнутой головой и серьезным лицом, подле маленького безбородого старичка, имевшего вид лакея. Старичок этот заметил высунувшееся на него лицо из кареты и, почтительно дотронувшись до локтя Пьера, что то сказал ему, указывая на карету. Пьер долго не мог понять того, что он говорил; так он, видимо, погружен был в свои мысли. Наконец, когда он понял его, посмотрел по указанию и, узнав Наташу, в ту же секунду отдаваясь первому впечатлению, быстро направился к карете. Но, пройдя шагов десять, он, видимо, вспомнив что то, остановился.
Высунувшееся из кареты лицо Наташи сияло насмешливою ласкою.
– Петр Кирилыч, идите же! Ведь мы узнали! Это удивительно! – кричала она, протягивая ему руку. – Как это вы? Зачем вы так?
Пьер взял протянутую руку и на ходу (так как карета. продолжала двигаться) неловко поцеловал ее.
– Что с вами, граф? – спросила удивленным и соболезнующим голосом графиня.
– Что? Что? Зачем? Не спрашивайте у меня, – сказал Пьер и оглянулся на Наташу, сияющий, радостный взгляд которой (он чувствовал это, не глядя на нее) обдавал его своей прелестью.
– Что же вы, или в Москве остаетесь? – Пьер помолчал.
– В Москве? – сказал он вопросительно. – Да, в Москве. Прощайте.
– Ах, желала бы я быть мужчиной, я бы непременно осталась с вами. Ах, как это хорошо! – сказала Наташа. – Мама, позвольте, я останусь. – Пьер рассеянно посмотрел на Наташу и что то хотел сказать, но графиня перебила его:
– Вы были на сражении, мы слышали?
– Да, я был, – отвечал Пьер. – Завтра будет опять сражение… – начал было он, но Наташа перебила его:
– Да что же с вами, граф? Вы на себя не похожи…
– Ах, не спрашивайте, не спрашивайте меня, я ничего сам не знаю. Завтра… Да нет! Прощайте, прощайте, – проговорил он, – ужасное время! – И, отстав от кареты, он отошел на тротуар.
Наташа долго еще высовывалась из окна, сияя на него ласковой и немного насмешливой, радостной улыбкой.


Пьер, со времени исчезновения своего из дома, ужа второй день жил на пустой квартире покойного Баздеева. Вот как это случилось.
Проснувшись на другой день после своего возвращения в Москву и свидания с графом Растопчиным, Пьер долго не мог понять того, где он находился и чего от него хотели. Когда ему, между именами прочих лиц, дожидавшихся его в приемной, доложили, что его дожидается еще француз, привезший письмо от графини Елены Васильевны, на него нашло вдруг то чувство спутанности и безнадежности, которому он способен был поддаваться. Ему вдруг представилось, что все теперь кончено, все смешалось, все разрушилось, что нет ни правого, ни виноватого, что впереди ничего не будет и что выхода из этого положения нет никакого. Он, неестественно улыбаясь и что то бормоча, то садился на диван в беспомощной позе, то вставал, подходил к двери и заглядывал в щелку в приемную, то, махая руками, возвращался назад я брался за книгу. Дворецкий в другой раз пришел доложить Пьеру, что француз, привезший от графини письмо, очень желает видеть его хоть на минутку и что приходили от вдовы И. А. Баздеева просить принять книги, так как сама г жа Баздеева уехала в деревню.