Сходимость по распределению

Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> и определённые на нём случайные величины <math>X,X_n:\Omega \to \mathbb{R}^m,\,n =1,2,\ldots</math>. Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на <math>\mathbb{R}^m</math>, называемую её распределением.

Случайные величины <math>X_n</math> сходятся по распределению к случайной величине <math>X</math>, если распределения <math>\mathbb{P}^{X_n}</math> слабо сходятся к распределению <math>\mathbb{P}^X</math>, то есть

<math>\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X_n}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X}(dx)</math>

для любой непрерывной ограниченной функции <math>f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</math>.

Замечания

• Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:

<math>\lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}f(X_n) = \mathbb{E}f(X)</math>.

• Предел по распределению не единственен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределению

• Случайные величины <math>X_n</math> сходятся по распределению к <math>X</math>, если их функции распределения <math>F_{X_n}</math> сходятся к функции распределения предела <math>F_X</math> во всех точках непрерывности последней:

<math>F_X \in C(x) \Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty} F_{X_n}(x) = F_X(x) </math>.

• Если все случайные величины в определении дискретны, то <math>X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X</math> тогда и только тогда, когда имеется сходимость функций вероятности:

<math>\lim\limits_{n \to \infty} p_{X_n}(x) = p_X(x)</math>. Это утверждение вообще говоря неверно. Контрпример: <math>X_n </math> распределено между 0, <math>\frac 12</math> и <math>\frac 1n</math> с вероятностями соответственно

<math>\frac 14, \frac 12 </math> и <math>\frac 14</math> ; <math>X</math> распределено между 0 и <math>\frac 12</math> равновероятно. Тогда c одной стороны <math>X_n \xrightarrow[]{d} X</math> , а с другой стороны

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} p_{X_n} (0) = \frac 14 \neq \frac 12 = p_X(0)</math>

• Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:

<math>\lim\limits_{n\to \infty} f_{X_n}(x) \to f_X(x)</math> почти всюду,

то <math>X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X</math>. Обратное, вообще говоря, неверно!

• Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в <math>L^p</math>) влечёт сходимость по распределению:

<math>X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} X \Rightarrow X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X</math>.

Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Теорема Слуцкого

Отрывок, характеризующий Сходимость по распределению

– Сейчас, сейчас. – А вы готовы, мама?
– Только току приколоть.
– Не делайте без меня, – крикнула Наташа: – вы не сумеете!
– Да уж десять.
На бале решено было быть в половине одиннадцатого, a надо было еще Наташе одеться и заехать к Таврическому саду.
Окончив прическу, Наташа в коротенькой юбке, из под которой виднелись бальные башмачки, и в материнской кофточке, подбежала к Соне, осмотрела ее и потом побежала к матери. Поворачивая ей голову, она приколола току, и, едва успев поцеловать ее седые волосы, опять побежала к девушкам, подшивавшим ей юбку.
Дело стояло за Наташиной юбкой, которая была слишком длинна; ее подшивали две девушки, обкусывая торопливо нитки. Третья, с булавками в губах и зубах, бегала от графини к Соне; четвертая держала на высоко поднятой руке всё дымковое платье.
– Мавруша, скорее, голубушка!
– Дайте наперсток оттуда, барышня.
– Скоро ли, наконец? – сказал граф, входя из за двери. – Вот вам духи. Перонская уж заждалась.
– Готово, барышня, – говорила горничная, двумя пальцами поднимая подшитое дымковое платье и что то обдувая и потряхивая, высказывая этим жестом сознание воздушности и чистоты того, что она держала.
Наташа стала надевать платье.
– Сейчас, сейчас, не ходи, папа, – крикнула она отцу, отворившему дверь, еще из под дымки юбки, закрывавшей всё ее лицо. Соня захлопнула дверь. Через минуту графа впустили. Он был в синем фраке, чулках и башмаках, надушенный и припомаженный.
– Ах, папа, ты как хорош, прелесть! – сказала Наташа, стоя посреди комнаты и расправляя складки дымки.
– Позвольте, барышня, позвольте, – говорила девушка, стоя на коленях, обдергивая платье и с одной стороны рта на другую переворачивая языком булавки.
– Воля твоя! – с отчаянием в голосе вскрикнула Соня, оглядев платье Наташи, – воля твоя, опять длинно!
Наташа отошла подальше, чтоб осмотреться в трюмо. Платье было длинно.
– Ей Богу, сударыня, ничего не длинно, – сказала Мавруша, ползавшая по полу за барышней.
– Ну длинно, так заметаем, в одну минутую заметаем, – сказала решительная Дуняша, из платочка на груди вынимая иголку и опять на полу принимаясь за работу.
В это время застенчиво, тихими шагами, вошла графиня в своей токе и бархатном платье.
– Уу! моя красавица! – закричал граф, – лучше вас всех!… – Он хотел обнять ее, но она краснея отстранилась, чтоб не измяться.
– Мама, больше на бок току, – проговорила Наташа. – Я переколю, и бросилась вперед, а девушки, подшивавшие, не успевшие за ней броситься, оторвали кусочек дымки.
– Боже мой! Что ж это такое? Я ей Богу не виновата…
– Ничего, заметаю, не видно будет, – говорила Дуняша.