Рациональный кубоид
Совершенный кубоид[1] (или целочисленный кирпич) — прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, совершенный кубоид — целочисленное решение системы диофантовых уравнений
- <math>a^2 + b^2 = d^2</math>
- <math>b^2 + c^2 = e^2</math>
- <math>a^2 + c^2 = f^2</math>
- <math>a^2 + b^2 + c^2 = g^2</math>
До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 3·1012.[2] [3]Впрочем, найдено несколько «почти целочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:
- <math>(672, 153, 104)</math> — одна из лицевых диагоналей нецелая.
- <math>(18720, \sqrt{211773121}, 7800)</math>, <math>(520, 576, \sqrt{618849})</math> — одно из рёбер нецелое.
- Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже).
- Косоугольные параллелепипеды, у которых все линейные размеры целые. При этом достаточно одного непрямого угла[4][5][6].
Рациональный кубоид — это почти то же самое, что и совершенный кубоид, только рёбра, диагонали на гранях и пространственная диагональ у него не целые, а рациональные числа. Рациональный кубоид легко превращается в целочисленный путём умножения всех его линейных размеров на одно и то же целое число, поэтому нахождение рационального кубоида равносильно нахождению целочисленного кубоида.
Эйлеров параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов — (240, 117, 44), с лицевыми диагоналями 267, 244 и 125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:
- (275, 252, 240),
- (693, 480, 140),
- (720, 132, 85),
- (792, 231, 160).
Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название). Впрочем, полного описания всех эйлеровых параллелепипедов также нет.
Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу)[7]:
- Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, НОД(a, b, c)=1).
- Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9.
- Одно ребро делится на 5.
- Одно ребро делится на 11.
См. также
Напишите отзыв о статье "Рациональный кубоид"
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html Perfect Cuboid] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Bill Butler, [www.durangobill.com/IntegerBrick.html The «Integer Brick» Problem]
- ↑ Стюарт, 2016, с. 407.
- ↑ J. F. Sawyer, C. A. Reiter, [www.ams.org/journals/mcom/2011-80-274/S0025-5718-2010-02400-7/ Perfect parallelepipeds exist], Math. Comp. 80(2011), No. 274, P. 1037—1040
- ↑ B. D. Sokolowsky, A. G. VanHooft, R. M. Volkert, C. A. Reiter, [www.ams.org/journals/mcom/2014-83-289/S0025-5718-2013-02791-3/ An infinite family of perfect parallelepipeds], Math. Comp. 83(2014), No. 289, P. 2441—2454
- ↑ W. Wyss, On Perfect Cuboids, [arxiv.org/abs/1506.02215v2 arXiv:1506.02215v2] [math.NT] 27 Jun 2015
- ↑ [f2.org/maths/peb.html Primitive Euler Bricks]
Литература
- Стюарт И. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.
Отрывок, характеризующий Рациональный кубоид
Но Анна Михайловна сделала несколько шагов, чтобы не отстать от портфеля, и перехватила руку.– Oh! – сказал князь Василий укоризненно и удивленно. Он встал. – C'est ridicule. Voyons, [Это смешно. Ну, же,] пустите. Я вам говорю.
Княжна пустила.
– И вы!
Анна Михайловна не послушалась его.
– Пустите, я вам говорю. Я беру всё на себя. Я пойду и спрошу его. Я… довольно вам этого.
– Mais, mon prince, [Но, князь,] – говорила Анна Михайловна, – после такого великого таинства дайте ему минуту покоя. Вот, Пьер, скажите ваше мнение, – обратилась она к молодому человеку, который, вплоть подойдя к ним, удивленно смотрел на озлобленное, потерявшее всё приличие лицо княжны и на перепрыгивающие щеки князя Василья.
– Помните, что вы будете отвечать за все последствия, – строго сказал князь Василий, – вы не знаете, что вы делаете.
– Мерзкая женщина! – вскрикнула княжна, неожиданно бросаясь на Анну Михайловну и вырывая портфель.
Князь Василий опустил голову и развел руками.
В эту минуту дверь, та страшная дверь, на которую так долго смотрел Пьер и которая так тихо отворялась, быстро, с шумом откинулась, стукнув об стену, и средняя княжна выбежала оттуда и всплеснула руками.
– Что вы делаете! – отчаянно проговорила она. – II s'en va et vous me laissez seule. [Он умирает, а вы меня оставляете одну.]
Старшая княжна выронила портфель. Анна Михайловна быстро нагнулась и, подхватив спорную вещь, побежала в спальню. Старшая княжна и князь Василий, опомнившись, пошли за ней. Через несколько минут первая вышла оттуда старшая княжна с бледным и сухим лицом и прикушенною нижнею губой. При виде Пьера лицо ее выразило неудержимую злобу.
– Да, радуйтесь теперь, – сказала она, – вы этого ждали.
И, зарыдав, она закрыла лицо платком и выбежала из комнаты.
За княжной вышел князь Василий. Он, шатаясь, дошел до дивана, на котором сидел Пьер, и упал на него, закрыв глаза рукой. Пьер заметил, что он был бледен и что нижняя челюсть его прыгала и тряслась, как в лихорадочной дрожи.
– Ах, мой друг! – сказал он, взяв Пьера за локоть; и в голосе его была искренность и слабость, которых Пьер никогда прежде не замечал в нем. – Сколько мы грешим, сколько мы обманываем, и всё для чего? Мне шестой десяток, мой друг… Ведь мне… Всё кончится смертью, всё. Смерть ужасна. – Он заплакал.
Анна Михайловна вышла последняя. Она подошла к Пьеру тихими, медленными шагами.
– Пьер!… – сказала она.
Пьер вопросительно смотрел на нее. Она поцеловала в лоб молодого человека, увлажая его слезами. Она помолчала.
– II n'est plus… [Его не стало…]
Пьер смотрел на нее через очки.
– Allons, je vous reconduirai. Tachez de pleurer. Rien ne soulage, comme les larmes. [Пойдемте, я вас провожу. Старайтесь плакать: ничто так не облегчает, как слезы.]
Она провела его в темную гостиную и Пьер рад был, что никто там не видел его лица. Анна Михайловна ушла от него, и когда она вернулась, он, подложив под голову руку, спал крепким сном.
