Сложение

Сложе́ние (часто обозначается символом плюса «+») — арифметическое действие. Результатом сложения чисел <math>a</math> и <math>b</math> является число, называемое суммой^[стиль] чисел <math>a</math> и <math>b</math> (слагаемых) и обозначаемое <math>a+b</math>. Это одна из четырёх элементарных математических операций арифметики, вместе с вычитанием, умножением и делением. Сложение двух натуральных чисел есть общая сумма этих величин^[стиль]. Например, комбинация из трёх и двух яблок^[стиль] (на рисунке) в сумме даёт 5 яблок. Это наблюдение эквивалентно алгебраическому выражению «3 + 2 = 5», то есть «3 плюс 2 равно 5».

Помимо подсчёта фруктов, сложение можно представить, комбинируя другие физические объекты.К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан) Используя систематические обобщения, сложение можно определить для абстрактных величин, таких как целые числа, рациональные числа, вещественные числа и комплексные числа и для других абстрактных объектов, таких как векторы и матрицы.

В арифметике также разработаны специальные правила для сложения дробей и отрицательных чисел.К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан) В алгебре сложение изучается более абстрактно.К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

17[[Категория:Википедия:Нет источников с ]]К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан) То есть каждой паре элементов <math>(a,b)</math> из множества <math>A</math> ставится в соответствие элемент <math>c=a+b</math>, называемый суммой <math>a</math> и <math>b</math>.
Сложение возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип).К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

У сложения есть несколько важных свойств (например, для A — множества вещественных чисел) (см. Сумма):

Коммутативность: <math>a+b=b+a,\quad\forall a, b \in\ A</math>

Ассоциативность: <math>(a+b)+c=a+(b+c),\quad\forall a, b, c \in\ A</math>

Дистрибутивность: <math>x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A.</math>

Прибавление <math>0</math> (нулевого элемента) даёт число, равное исходному: <math>x+0=0+x=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A.</math>

Сложение также подчиняется правилам, касающимся операций вычитания и умножения.К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Сложение — одна из простейших операций с числами^{[источник?]К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)}. Сложение очень маленьких чисел понятно даже детям; простейшая задача, 1 + 1, может быть решена пятимесячным ребёнком и даже некоторыми животными^{[уточнить]}. В начальной школе учат считать в десятичной системе счисления, начиная со сложения простых чисел и постепенно переходя к более сложным задачам.

Известны различные устройства для сложения: от древних абаков до современных компьютеров, задача реализации наиболее эффективного сложения для последних является актуальной по сей день.К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Формы записи и терминология

Сложение записывается с использованием символа плюса «+» между слагаемыми; такая форма записи называется инфиксной нотацией. Результат записывается с использованием знака равенства. Например,

<math>1 + 1 = 2 </math> («один плюс один равно два»)

<math>2 + 2 = 4 </math> («два плюс два равно четыре»)

<math>3 + 3 = 6 </math> («три плюс три равно шесть»)

<math>5 + 4 + 2 = 11 </math> (см. «ассоциативность» ниже)

<math>3 + 3 + 3 + 3 = 12</math> (см. «умножение» ниже)

В ряде ситуаций подразумевается сложение, но при этом символы сложения не используются:

• Если имеется столбец чисел, последнее (нижнее) число в котором подчёркнуто, то обычно подразумевается, что все числа в этом столбце складываются, а полученная сумма записывается ниже подчеркнутого числа.
• Если имеется запись, когда перед дробью стоит целое число, то эта запись означает сумму двух слагаемых — целого числа и дроби, которую называют смешанным числом. Например,
  3½ = 3 + ½ = 3.5.
  Такая запись может вызвать путаницу, поскольку в большинстве других случаев, подобная запись означает умножение, а не сложение.

Сумма ряда связанных чисел может быть записана с использованием символа сигма, который позволяет компактно записать итерацию. Например,

<math>\sum_{k=1}^5 k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55.</math>

Слагаемые — это числа или объекты, складываемые друг с другом.

Символ плюса «+» (Юникод:U+002B; ASCII: +) — упрощение латинского слова «et», означающего «и». Впервые этот символ встречается в книгах, начиная с 1489 г.

Интерпретации

Сложение используется для моделирования бесчисленного множества физических процессов. Даже для простого сложения натуральных чисел существует много различных интерпретаций и ещё больше способов визуального представления.

Комбинирование наборов

Возможно, самая фундаментальная интерпретация сложения — комбинирование наборов:

• Если два или более не пересекающихся наборов объектов объединены в один набор, то число объектов в полученном наборе равно сумме числа объектов в исходных наборах.

Эту интерпретацию легко визуализировать, при этом опасность двусмысленности будет минимальной. Это также полезно в высшей математике; строгое определение суммирования дано ниже, см. Натуральные числа ниже. Однако не понятно, как с помощью этой интерпретации сложения объяснить сложение дробных или отрицательных чисел.

Одним из возможных решений будет обращение к набору объектов, которые могут быть легко разделены, например, пироги или ещё лучше — это стержни с сегментами. Вместо комбинирования наборов сегментов стержни могут быть присоединены друг к другу концами, что иллюстрирует другую концепцию сложения: складываются не стержни, складываются их длины.

Расширение длины

Вторая интерпретация сложения заключается в расширении начальной длины на величину добавляемой длины:

• Когда начальная длина расширяется добавляемой длиной, то полученная длина равна сумме начальной длины и длины, которую к ней добавили.

Сумму a + b можно интерпретировать как бинарную операцию объединения a и b в алгебраическом смысле, также её можно интерпретировать как добавление b единиц к числу a. В последней интерпретации части суммы a + b играют асимметричные роли, и операция a + b рассматривается как применение к числу a унарной операции +b. Унарный подход позволяет перейти к вычитанию, ведь каждая унарная операция сложения имеет обратную унарную операцию вычитания и наоборот.

Свойства

Коммутативность

Сложение коммутативно: можно изменять порядок слагаемых в сумме и результат от этого не изменится. В символьной записи: если a и b — какие-либо два числа, тогда

a + b = b + a.

То, что сложение коммутативно, известно как «коммутативный закон сложения». Эта фраза означает, что есть и другие законы коммутативности: например, существует коммутативный закон умножения. Тем не менее, многие бинарные операции, такие как вычитание и деление, не коммутативны, поэтому было бы ошибочно говорить просто «коммутативный закон»К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан).

Ассоциативность

Сложение ассоциативно: при сложении трёх или более чисел порядок не имеет значения.

Например, сумма a + b + c означает (a + b) + c или a + (b + c)? Свойство ассоциативности сложения говорит нам, что выбор одного из предложенных вариантов не имеет значения.^[стиль] Для любых чисел a, b, и c будет справедливо равенство (a + b) + c = a + (b + c). Например, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Когда сложение используется вместе с другими операциями, порядок становится важен. В обычном порядке операций сложение имеет более низкий приоритет, чем возведение в степень, извлечение корня, умножение и деление, но имеет одинаковый приоритет с операцией вычитания.

Нейтральный элемент

Если добавить ноль к любому числу, значение этого числа не изменится; ноль — это нейтральный элемент для операции сложения, также известный как аддитивная единица. Символьная запись: для любого a,

a + 0 = 0 + a = a.

Этот закон был впервые описан в Исправленном трактате Брахмы, который был написан Брахмагуптой в 628 г. Он написал этот закон в виде трёх отдельных законов: для отрицательного, положительного и нулевого числа a, и для описания этих законов он использовал слова, а не алгебраические символы. Позже индийские математики уточнили понятия; около 840 г., Махавира написал, что «ноль становится таким же, как то, что добавляется к нему», что соответствовало записи 0 + a = a. В 12 веке Бхаскара II написал: «Если добавить ничего или вычесть ничего, то количество, положительное или отрицательное, остаётся таким же, как и было», что соответствует записи a + 0 = a.

Следующее число

Сложение единицы также играет особую роль для целых чисел: для любого целого числа a целое число (a + 1) — это наименьшее число, на единицу большее, чем a, также известное как следующее число за числом a. Например, 3 — это следующее число за числом 2 и 7 — это следующее число за числом 6. С учетом этого следования значение «a» + «b» можно рассматривать, как <math>b</math>-тое следующее за «а», таким образом, сложение можно определить как итеративное последовательное нахождение следующего числа. Например, 6 + 2 будет 8, поскольку 8 следует за 7, которое следует за 6, итак, 8 — это второе следующее за 6.

Единицы измерения

Чтобы складывать физические величины, их нужно выразить через общие единицы измерения. Например, если сложить 50 миллилитров и 150 миллилитров, получится 200 миллилитров. Однако, если к 5 футам прибавить 2 дюйма, в сумме получится 62 дюйма, потому что 60 дюймов — это то же самое, что и 5 футов. С другой стороны, обычно нет смысла складывать 3 метра и 4 квадратных метра, так как эти единицы измерения несравнимы; такие соображения являются ключевыми при анализе размерности.

Выполнение сложения

Врождённая способность

Исследования развития математических способностей, которые начались в 1980-х годах, рассматривали феномен привыкания: младенцы смотрят дольше на ситуации, которые являются для них неожиданными. В эксперименте Карен Винн 1992 года использовались куклы Микки Мауса, с которыми проводились различные манипуляции за ширмой. Этот эксперимент показал, что пятимесячные младенцы ожидают, что 1 + 1 — это 2, и удивляются тому, когда оказывается, что 1 + 1 — это 1 или 3. Позже этот результат был подтверждён в других лабораториях с использованием разных методов. В другом эксперименте в 1992 году с малышами постарше, в возрасте от 18 до 35 месяцев, использовалось развитие моторных функций детей, позволявшее им доставать шарики для пинг-понга из коробки; младшие ребята хорошо справлялись с небольшим числом шариков, более старшие научились считать сумму до 5.

Даже некоторые животные проявляют способность складывать, в особенности приматы. Эксперимент 1995 года был аналогичен эксперименту Винн 1992 года, но вместо кукол использовались баклажаны. Выяснилось, что макаки-резусы и эдиповы тамарины показывают схожие человеческим младенцам способности. Более того, один шимпанзе, после того, как его научили различать и понимать смысл арабских цифр от 0 до 4, смог считать сумму двух чисел без какой-либо подготовки. Позже было выяснено, что азиатские слоны способны овладеть базовыми арифметическими операциями.

Овладение сложением детьми

Как правило, сначала дети учатся подсчёту. Когда даётся задача, в которой требуется объединить два предмета и три предмета, маленькие дети обращаются к помощи конкретных предметов, например, счёт на пальцах или помощь рисунка. По мере приобретения опыта, они учат или открывают для себя стратегию «подсчета»: когда требуется найти, сколько будет два плюс три, дети перечисляют два числа, идущие после числа три, проговаривая: «три, четыре, пять» (обычно загибая пальцы), и, в итоге, получая пять. Эта стратегия кажется почти универсальной; дети могут легко перенять её у сверстников или учителей. Многие дети сами доходят до этого. Накопив какой-то опыт, дети учатся складывать быстрее, используя коммутативность сложения, начиная перечислять числа от самого большого числа в сумме, как в описанном выше случае, начиная с трёх и перечисляя: «четыре, пять». В конце концов, дети начинают использовать какие-либо факты о сложении («примеры сложения наизусть»), получая их либо опытным путём, либо запоминая их. Когда одни факты осядут в памяти, дети начинают выводить неизвестные факты из известных. Например, ребёнок, складывающий шесть и семь, может знать, что 6 + 6 = 12, и что поэтому 6 + 7 на один больше, то есть 13. К такому способу вывода приходят довольно быстро и большинство учеников начальной школы полагаются на смесь всего того, что они запомнили и того, что они могут вывести, что в итоге позволяет им бегло складывать.

В разных странах к изучению целых чисел и арифметики приступают в разных возрастах, в основном сложению учат в учреждениях дошкольного образования. При этом по всему миру к концу первого года начальной школы школьники обучаются сложению.

Таблица сложения

Детям часто показывают таблицу сложения пар чисел от 1 до 10 для лучшего запоминания^{[обтекаемые выражения]}. Зная эту таблицу, можно выполнить любое сложение. Таблица сложения:

1+	2+	3+	4+	5+	6+	7+	8+	9+	10+
1 + 0 = 1	2 + 0 = 2	3 + 0 = 3	4 + 0 = 4	5 + 0 = 5	6 + 0 = 6	7 + 0 = 7	8 + 0 = 8	9 + 0 = 9	10 + 0 = 10
1 + 1 = 2	2 + 1 = 3	3 + 1 = 4	4 + 1 = 5	5 + 1 = 6	6 + 1 = 7	7 + 1 = 8	8 + 1 = 9	9 + 1 = 10	10 + 1 = 11
1 + 2 = 3	2 + 2 = 4	3 + 2 = 5	4 + 2 = 6	5 + 2 = 7	6 + 2 = 8	7 + 2 = 9	8 + 2 = 10	9 + 2 = 11	10 + 2 = 12
1 + 3 = 4	2 + 3 = 5	3 + 3 = 6	4 + 3 = 7	5 + 3 = 8	6 + 3 = 9	7 + 3 = 10	8 + 3 = 11	9 + 3 = 12	10 + 3 = 13
1 + 4 = 5	2 + 4 = 6	3 + 4 = 7	4 + 4 = 8	5 + 4 = 9	6 + 4 = 10	7 + 4 = 11	8 + 4 = 12	9 + 4 = 13	10 + 4 = 14
1 + 5 = 6	2 + 5 = 7	3 + 5 = 8	4 + 5 = 9	5 + 5 = 10	6 + 5 = 11	7 + 5 = 12	8 + 5 = 13	9 + 5 = 14	10 + 5 = 15
1 + 6 = 7	2 + 6 = 8	3 + 6 = 9	4 + 6 = 10	5 + 6 = 11	6 + 6 = 12	7 + 6 = 13	8 + 6 = 14	9 + 6 = 15	10 + 6 = 16
1 + 7 = 8	2 + 7 = 9	3 + 7 = 10	4 + 7 = 11	5 + 7 = 12	6 + 7 = 13	7 + 7 = 14	8 + 7 = 15	9 + 7 = 16	10 + 7 = 17
1 + 8 = 9	2 + 8 = 10	3 + 8 = 11	4 + 8 = 12	5 + 8 = 13	6 + 8 = 14	7 + 8 = 15	8 + 8 = 16	9 + 8 = 17	10 + 8 = 18
1 + 9 = 10	2 + 9 = 11	3 + 9 = 12	4 + 9 = 13	5 + 9 = 14	6 + 9 = 15	7 + 9 = 16	8 + 9 = 17	9 + 9 = 18	10 + 9 = 19
1 + 10 = 11	2 + 10 = 12	3 + 10 = 13	4 + 10 = 14	5 + 10 = 15	6 + 10 = 16	7 + 10 = 17	8 + 10 = 18	9 + 10 = 19	10 + 10 = 20

Десятичная система

Для успешного сложения в десятичной системе нужно помнить или уметь быстро выводить 100 «фактов (примеров) сложения» для одноразрядных чисел. Кто-то может запомнить все эти факты, заучивая их, но стратегии изучения сложения путём использования шаблонов более информативны и для большинства людей более эффективны:

• Коммутативное свойство: использование шаблона a + b = b + a снижает количество «фактов о сложении», которых нужно запомнить, со 100 до 55.
• На один или на два больше: прибавление 1 или 2 — это базовая задача, и решить её можно перечислением (подсчетом) или, в конце концов, полагаясь на интуицию.
• Ноль: поскольку ноль является нейтральным элементом для операции сложения (аддитивной единицей), постольку прибавить ноль просто. Тем не менее, во время изучения арифметики некоторым ученикам сложение представляется как процесс, во время которого слагаемые всегда увеличиваются; акцент на словесной формулировке задачи может помочь понять «исключительность» нуля.
• Удваивание: складывание числа с самим собой связано с задачей удвоенного (повторного) подсчёта и умножением. Факты об удваивании являются основой для многих связанных с ними фактов, и ученикам легко их относительно легко понять.
• Почти-удваивание (Суммы, близкие к операции удваивания): сумма 6 + 7 = 13 может быть быстро выведена из факта об удваивании 6 + 6 = 12 и прибавления единицы, или из факта 7 + 7 = 14 и вычитания единицы.
• Пять и десять: суммы вида 5 + x и 10 + x обычно запоминаются рано и могут быть использованы для выведения других фактов. Например, результат суммы 6 + 7 = 13 может быть выведен с использованием факта 5 + 7 = 12 добавлением к последнему единицы.
• Получение десятки (достраивание до десяти): существует такая стратегия, в которой 10 используется в качестве промежуточного результата при наличии слагаемых 8 или 9; например, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.

По мере взросления ученики запоминают всё больше фактов, и учатся быстро выводить из них другие факты. Многие ученики не запоминают все факты, но могут быстро вывести требуемый.

Перенос

В стандартном алгоритме сложения многоразрядных чисел^{[обтекаемые выражения]} цифры, из которых состоят записи складываемых чисел, располагаются одна под другой. Выполняют сложение цифр отдельно в каждом столбце, начиная с правого. Если сумма цифр в столбце превышает 10, лишняя цифра «переносится» в следующий столбец (левее). Например, в сумме 27 + 59

  ¹
  27
+ 59
————
  86

7 + 9 = 16 и цифра 1 переносится в следующий столбец. В альтернативном способе начинают сложение с наиболее значимой цифры слева; в этой стратегии перенос выполняется несколько грубее, но быстрее получается приблизительная сумма. Существует много других методов переноса.

Сложение десятичных дробей

Способ сложения десятичных дробей является простой модификацией сложения многоразрядных чисел, описанного выше. При сложении столбиком дроби располагают таким образом, чтобы запятые^[стиль] находились точно друг под другом. При необходимости можно добавлять нули справа и слева к более короткой дроби (см. замыкающий ноль и ведущие нули), чтобы сделать её равной по длине более длинной дроби. Итак, сложение производится таким же образом, как и в описанном выше способе сложения многоразрядных чисел, только запятая располагается в ответе точно там же, где она располагалась у слагаемых.

Например, сумму 45.1 + 4.34 можно вычислить следующим образом:

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

Экспоненциальная запись

В экспоненциальной записи числа записываются в виде <math>x=a\times10^{b}</math>, где <math>a</math> — мантисса и <math>10^{b}</math> — характеристика числа. Для сложения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики^[стиль].

Например:

<math>2.34\times10^{-5} + 5.67\times10^{-6} = 2.34\times10^{-5} + 0.567\times10^{-5} = 2.907\times10^{-5}</math>

Сложение в других системах счисления

Сложение для чисел с другими основаниями идентично сложению в десятичной системе

В качестве примера можно рассмотреть сложение в двоичной системе счисления. Сложение двух одноразрядных двоичных чисел с использованием переноса является довольно простым:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, переносится 1 (так как 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

Сумма двух знаков «1» равна знаку «0», а 1 должна быть добавлена в следующий столбец. Эта ситуация аналогична тому, что происходит в десятичной системе при суммировании определённых однозначных чисел; если результат равен или превышает значение основания системы счисления (10), цифры слева увеличиваются:

5 + 5 → 0, перенос 1 (так как 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, перенос 1 (так как 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Эта операция известна как «перенос». Когда результат сложения превосходит диапазон значений и разряда, нужно «перенести» избыток, делённый на основание системы (то есть на 10 в десятичной системе) влево, добавляя его к значению в следующем разряде. Это связано с тем, что значение в следующем разряде в <math>N</math> раз больше (в <math>N</math>-ой системе счисления), чем значение в текущем разряде. Перенос в двоичной системе счисления работает также, как и в десятичной системе:

  1 1 1 1 1    (перенос)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

В этом примере складываются два числа: 01101₂ (13₁₀) и 10111₂ (23₁₀). В верхней строке указано наличие переноса. Начинаем складывать с правого столбца: 1 + 1 = 10₂. Здесь 1 переносится влево, а 0 записывается в нижней строке. Теперь складываются числа во втором столбце справа: 1 + 0 + 1 = 10₂; 1 переносится, а 0 записывается в нижней строке. Третий столбец: 1 + 1 + 1 = 11₂. В этом случае 1 переносится в нижней строке. В итоге получаем 100100₂ (или 36 в десятичной системе счисления).

Компьютеры

Аналоговые компьютеры работают напрямую с физическими величинами, поэтому их механизм сложения зависит от вида слагаемых. Механический сумматор может представлять два слагаемых в виде позиций скользящих блоков, в этом случае их можно складывать при помощи усредняющего рычага. Если слагаемые представлены в виде скоростей вращения двух валов, их можно сложить при помощи дифференциала. Гидравлический сумматор может складывать давления в двух камерах, используя второй закон Ньютона, чтобы уравновесить силы на сборку поршней. Наиболее типичный случай применения аналогового компьютера — это сложение двух напряжений (относительно заземления); это можно грубо реализовать при помощи схемы с резисторами, а в усовершенствованной версии используется операционный усилитель.

Операция сложения является базовой в в персональном компьютере. Производительность операции сложения и в особенности ограничения, связанные с механизмом переноса, влияют на общую производительность компьютера.

Абак, также называемый счётной доской — это вычислительный прибор, который использовался за много веков до принятия современной системы счисления и который всё ещё широко используется купцами, торговцами и клерками в Азии, Африке, и других континентах; предполагается, что абак создан не позднее 2700—2300 до н. э., тогда он использовался шумерами.

Блез Паскаль изобрел механический калькулятор в 1642; это была первая операционная суммирующая машина. В этом калькуляторе механизм переноса осуществлялся благодаря гравитации. Это был единственный операционный калькулятор в 17 веке и самый первый автоматический цифровой компьютер. Суммирующая машина Паскаля была ограничена своим механизмом переноса, который позволял крутить колёса только в одну сторону и, таким образом, складывать. Чтобы вычитать, пользователь должен был использовать второй набор цифр для представления результата и методы дополнения, которые включали в себя такое же количество шагов, как и сложение. Джованни Полени продолжил дело Паскаля, построив второй функциональный механический калькулятор в 1709 г. Циферблат этого калькулятора был из дерева, и однажды установленный он мог перемножать два числа между собой автоматически.

Сумматоры выполняют целочисленное сложение в электронных цифровых вычислительных машинах, обычно используя бинарную арифметику. В простейшей структуре используется сумматор волнового переноса (выходной перенос предыдущего в цепочке сумматора является входным переносом для следующего сумматора), это позволяет выполнять сложение для многоразрядных чисел. Небольшое улучшение представлено в сумматоре с пропуском переноса, который действует похожим с человеческой интуицией образом; он не выполняет все переносы в сумме 999 + 1, он обходит группу девяток и перескакивает сразу к ответу.

На практике сложение можно выполнять через сложение по модулю два и операцию «И» в сочетании с другими битовыми операциями, как показано ниже. Обе эти операции просто реализовать в цепях сумматоров, которые, в свою очередь, могут объединяться в более сложные логические операции. В современных цифровых компьютерах сложение целых чисел является самой быстрой операциейК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан), в то же время оно имеет огромное влияние на общую производительность компьютера, поскольку целочисленное сложение лежит в основе всех операций с плавающей запятой, а также в таких задачах как генерация адресов во время доступа к памяти и выборка команд во время определённого порядка их выполнения. Чтобы увеличить скорость, современные компьютеры вычисляют значения в разрядах параллельно; такие схемы называются выборка переноса, предвидение переноса и псевдоперенос в сумматоре Линга. В большинстве случаев реализация сложения на компьютере является гибридом последних трёх конструкций. В отличие от сложения на бумаге, сложение на компьютере часто изменяет слагаемые. На древнем абаке и доске для сложения во время выполнения операции сложения оба слагаемых уничтожались, оставалась только сумма. Влияние абака на математическое мышление было настолько велико, что в ранних латинских текстах часто утверждалось, что в процессе сложения «числа с числом» оба числа исчезают. Возвращаясь к современности, отметим, что инструкция ADD микропроцессора заменяет значение первого слагаемого суммой, второе слагаемое остаётся без изменений. В высокоуровневом языке программирования оценивание a + b не изменяет ни a, ни b; если ставится задача записать сумму в a, то это должно быть явно указано, обычно с выражением a = a + b. В некоторых языках программирования, таких как C или C++ эта запись сокращается до a += b.

// Iterative Algorithm 
int add(int x, int y){
    int carry = 0;  
    while (y != 0){        
       carry = AND(x, y);   // Logical AND 
       x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
       y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one  
   } 
   return x;   
}
// Recursive Algorithm
int add(int x, int y){
   return x if (y == 0) else add(XOR(x, y) , AND(x, y) << 1); 
}

На компьютере, в случае если результат сложения слишком большой для хранения, происходит арифметическое переполнение, что приводит к неправильному ответу. Непредвиденное арифметическое переполнение является довольно распространённой причиной программных ошибок. Такие ошибки переполнения может быть трудно обнаружить и диагностировать, потому что они могут проявляться только при очень больших входных наборах данных, которые не часто используют в тестах. Известной ошибкой такого рода была проблема 2000 года, где ошибка переполнения, связанная с использованием двухзначного формата для обозначения года, вызвала значительные проблемы в 2000 г.К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Сложение чисел

Для представления основных свойств сложения сначала нужно определиться с контекстом. Изначально сложение определено для натуральных чисел. В теории множеств сложение определяется для всё больших и больших множеств, включая натуральные числа: целые числа, рациональные числа и вещественные числа. (В математическом образовании сложение положительных дробей проходят до сложения отрицательных чисел.)

Натуральные числа

Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел a и b. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:

• Пусть N(S) — мощность множества S. Возьмём два не пересекающихся множества A и B, причём N(A) = a и N(B) = b. Тогда a + b можно определить как: <math> N(A \cup B)</math>.

Здесь, <math>A \cup B</math> — это объединение множеств A и B. В альтернативной версии этого определения множества A и B перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.

Другое известное определение рекурсивно:

• Пусть n⁺ — следующее за n натуральное число, например 0⁺=1, 1⁺=2. Пусть a + 0 = a. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: a + (b⁺) = (a + b)⁺. Отсюда 1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2.

В литературе существуют различные варианты этого определения. В рекурсионной теореме на частично упорядоченном множестве N² используется в точности определение, данное выше.. С другой стороны, в некоторых источниках предпочитают использовать ограниченную Рекурсионную теорему, которая применяется только к множеству натуральных чисел. Одни предлагают временно «зафиксировать» a, применяя рекурсию на b, чтобы определить функцию "a + ", и вставлять эти унарные операции для всех a, чтобы сформировать полную бинарную операцию.

Это рекурсивное определение сложения было дано Дедекиндом ещё в 1854 году, и он расширил его в последующие десятилетия. С помощью математической индукции Дедекинд доказал свойства ассоциативности и коммутативности.

Целые числа

Простейшая концепция целого числа заключается в том, что целое число состоит из его абсолютной величины и знака (как правило, число положительное или отрицательное). Целое число ноль — это особый случай: ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Соответствующее определение сложения должно учитывать следующие случаи:

• Пусть n — целое число и |n| - его абсолютное значение. Пусть a и b — целые числа. Если какое-либо из чисел a или b равно нулю, то считаем такое число нейтральным элементом (аддитивной единицей). Если a и b оба положительные, тогда положим a + b = |a| + |b|. Если a и b оба отрицательные, тогда a + b = −(|a|+|b|). Если a и b имеют разные знаки, то a + b — это разность между |a| и |b|, и знак перед этой разностью ставится такой, какой стоял перед слагаемым с наибольших абсолютным значением. Например, рассмотрим сумму: −6 + 4 = −2; так как у чисел −6 и 4 разные знаки, то их абсолютные значения вычитаются, и так как абсолютное значение отрицательного числа здесь больше абсолютного значения положительного, то ответ будет отрицательным.

Хотя это определение может быть полезным для конкретных задач, довольно трудно делать какие-то общие доказательства, так как надо рассматривать слишком много случаев.

Гораздо более удобной концепцией целых чисел является построение групп Гротендика. Главная идея заключается в том, что каждое целое число может быть представлено (не одним способом) как разность двух натуральных чисел, поэтому мы можем определить целое число, как разность двух натуральных чисел. Тогда сложение определяется следующим образом:

• Пусть имеются два целых числа a − b и c − d, где a, b, c и d — натуральные числа, тогда (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d).

Рациональные числа

Сумма рациональных чисел может быть вычислена с использованием наименьшего общего знаменателя, но вообще определение сложения рациональных чисел включает в себя только сложение и умножение целых чисел:

• Положим <math>\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}.</math>

Например, <math>\frac 34 + \frac 18 = \frac{3 \times 8+4 \times 1}{4 \times 8} = \frac{24 + 4}{32} = \frac{28}{32} = \frac{7}{8}</math>.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями гораздо проще; в этом случае можно просто сложить числители, оставив знаменатель без изменения: <math>\frac ac + \frac bc = \frac{a + b}{c}</math>, например <math>\frac 14 + \frac 24 = \frac{1 + 2}{4} = \frac 34</math>.

Коммутативность и ассоциативность сложения рациональных чисел является следствием законов целочисленной арифметики. Более строгое и общее определение см. в статье поле дробей.

Вещественные числа

Общим способом построения множества вещественных чисел является пополнение методом дедекинда множества рациональных чисел. Вещественные числа определяются как дедекиндово сечение рациональных чисел: непустое множество рациональных чисел, ограниченное снизу, и не имеющее наибольшего элемента. Сумма вещественных чисел a и b определяется поэлементно:

• <math>a+b = \{q+r \mid q\in a, r\in b\}</math>.

Это определение было впервые опубликовано в немного изменённом виде Рихардом Дедекиндом в 1872 году. Свойства коммутативности и ассоциативности сложения вещественных чисел близки;К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан) определяя вещественное число 0 как часть множества отрицательных рациональных чисел, легко представить его, как аддитивную единицу. Наверное, самой сложной частью этой конструкции, относящейся к сложению, является определение обратного слагаемого.

К сожалению, умножение дедекиндовых сечений — времязатратный процесс, аналогичный сложению целых чисел со знаками. Другой подход заключается в метрическом пополнении действительных чисел. Действительные числа — это, по сути, предел последовательности Коши рациональных чисел, Lim a_n. Сложение осуществляется почленно:

• Определим: <math>\lim_na_n+\lim_nb_n = \lim_n(a_n+b_n)</math>.

Это определение было впервые опубликовано Георгом Кантором в 1872 году, хотя его формализм был несколько другим. Надо доказать, что эта операция строго определена последовательностью Коши (является фундаментальной последовательностью). Как только эта задача будет выполнена, все свойства сложения действительных чисел будут следовать непосредственно из свойств действительных чисел. Кроме того, другие арифметические операции, включая умножение, имеют простые, аналогичные определения.

Комплексные числа

Комплексные числа складываются друг с другом путём сложения действительных и мнимых частей. Это значит, что:

<math>(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\ </math>

Используя представление комплексных чисел как точек на комплексной плоскости, можно дать сложению комплексных чисел следующую геометрическую интерпретацию: суммой комплексных чисел A и B, представленных точками на комплексной плоскости, является точка X, полученная путём построения параллелограмма, три вершины которого находятся в точках O, A и B. Или, можно сказать, что X — это такая точка, что треугольники OAB и XBA конгруэнтны.

Обобщения

Существует много бинарных операций, которые можно рассматривать как обобщения операции сложения действительных чисел. Такие обобщённые операции являются основным предметом изучения общей алгебры, также они встречаются в теории множеств и теории категорий.

Сложение в абстрактной алгебре

Сложение векторов

Векторное пространство — это алгебраическая структура, в которой любые два вектора можно складывать и любой вектор можно умножать на число. Простой пример векторного пространства — множество всех упорядоченных пар действительных чисел; упорядоченная пара (a,b) является вектором, исходящим из начала координат евклидовой плоскости в точку (a,b) на плоскости. Сумма двух векторов получается путём сложения их соответствующих координат:

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d).

Эта операция сложения является центральной в классической механике, в которой векторы рассматриваются как аналоги сил.

Сложение матриц

Сложение матриц определяется для двух матриц одинакового размера. Сумма двух матриц A и B размера m × n (произносится «m на n»), записывается как A + B и представляет собой матрицу размера m × n, полученную путём сложения соответствующих элементов:

<math>\begin{align}

\bold{A}+\bold{B} & = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\

\end{bmatrix} +

\begin{bmatrix}

b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\

\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix}

a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\

\end{bmatrix} \\

\end{align}</math>

Например:

<math>

 \begin{bmatrix}
   1 & 3 \\
   1 & 0 \\
   1 & 2
 \end{bmatrix}

+

 \begin{bmatrix}
   0 & 0 \\
   7 & 5 \\
   2 & 1
 \end{bmatrix}

=

 \begin{bmatrix}
   1+0 & 3+0 \\
   1+7 & 0+5 \\
   1+2 & 2+1
 \end{bmatrix}

=

 \begin{bmatrix}
   1 & 3 \\
   8 & 5 \\
   3 & 3
 \end{bmatrix}

</math>

Арифметика остатков

Множество остатков от деления на 12 состоит из двенадцати элементов; это множество наследует операцию сложения целых чисел. Множество остатков по модулю 2 имеет только два элемента; наследуемая им операция сложения известна в логике высказываний как операция «исключающее или». В геометрии сумма двух угловых мер часто определяется как сумма вещественных чисел по модулю 2π. Такое определение соответствует операции сложения на окружности, которая, в свою очередь, обобщается до операции сложения на многомерном торе.

Общее сложение

В общей теории абстрактной алгебры операцией «сложения» может называться любая ассоциативная и коммутативная операция. Основные алгебраические системы с такими операциями сложения включают коммутативные моноиды и абелевы группы.

Сложение в теории множеств и теории категорий

Обобщением сложения натуральных чисел является сложение порядковых чисел и кардинальных чисел в теории множеств. Эти операции представляют собой два разных обобщения сложения натуральных чисел на трансфинитный случай. В отличие от большинства типов операции сложения, сложение порядковых чисел не коммутативно. Сложение кардинальных чисел, тем не менее, является коммутативной операцией, тесно связанной с операцией дизъюнктного объединения.

В теории категорий дизъюнктное объединение рассматривается как частный случай операции копроизведения, и общие копроизведения, возможно, являются самыми абстрактными из всех обобщений операции сложения. Некоторые копроизведения, такие как прямая сумма и клиновая сумма, названы так, чтобы указывать на их связь с операцией сложения.

Операции, связанные со сложением

Сложение, так же, как и вычитание, умножение и деление, считается одной из основных операций и используется в элементарной арифметике.

Арифметика

Вычитание можно рассматривать как частный случай операции сложения, а именно — как прибавление противоположного числа. Вычитание само по себе является своего рода обратной операцией к сложению, то есть прибавление x и вычитание x являются взаимно обратными функциями.

На множестве чисел, на котором определена операция сложения, не всегда можно определить операцию вычитания; простым примером является множество натуральных чисел. С другой стороны, операция вычитания однозначно определяет операцию сложения и аддитивную единицу; по этой причине аддитивную группу можно определять как множество, замкнутое относительно операции вычитания.

Умножение можно понимать как повторённое несколько раз сложение. Если терм x входит в сумму n раз, то эта сумма равна произведению n и x. Если n не является натуральным числом, произведение всё ещё может иметь смысл; например, умножение на -1 даёт противоположное число.

Cложение и умножение действительных или комплексных чисел можно взаимно заменять при помощи экспоненциальной функции:

e^{a + b} = e^a e^b.

Это тождество позволяет умножать, используя таблицы логарифмов и сложение вручную; оно также позволяет умножать с использованием логарифмической линейки. Эта формула является также хорошим приближением первого порядка в широком контексте групп Ли, где она связывает умножение бесконечно малых элементов группы Ли со сложением векторов в соответствующей алгебре Ли.

У умножения есть даже больше обобщений, чем у сложения. Вообще говоря, операции умножения всегда дистрибутивны относительно сложения. Это требование закреплено в определении кольца. В некоторых случаях, таких как целые числа, дистрибутивности умножения относительно сложения и наличия мультипликативной единицы достаточно, чтобы однозначно определить операцию умножения. Свойство дистрибутивности также характеризует сложение; раскрывая скобки в произведении (1 + 1)(a + b) двумя способами, приходим к выводу, что сложение должно быть коммутативным. По этой причине сложение в кольце всегда коммутативно.

Деление — это арифметическая операция, отдалённо связанная со сложением. Поскольку a/b = a(b⁻¹), деление является дистрибутивным справа относительно сложения: (a + b) / c = a / c + b / c. Тем не менее, деление не является дистрибутивным слева относительно сложения; 1/ (2 + 2) не равняется 1/2 + 1/2.

Упорядочивание

Операция нахождения максимума «max (a, b)» — это бинарная операция, похожая на сложение. На самом деле, если два неотрицательных числа a и b имеют различные порядки, то их сумма примерно равна их максимуму. Это приближение является чрезвычайно полезным в приложениях математики, например, при усечении ряда Тейлора. Тем не менее, эта операция приводит к постоянным трудностям в численном анализе, так как операция взятия максимума не является обратимой. Если b намного больше, чем a, то обычное вычисление (a + b) − b может привести к накоплению неприемлемой ошибки округления, возможно получение нулевого результата. См. также потеря значимости.

Это приближение становится точным при переходе к бесконечному пределу^{[уточнить]}; если какое-либо из чисел a и b является кардинальным числом, то их кардинальная сумма в точности равна большему из двух. Соответственно, операция вычитания не определена для множеств бесконечной мощности.

Нахождение максимума является коммутативной и ассоциативной операцией, как и сложение. Более того, поскольку сложение сохраняет упорядочение действительных чисел, сложение дистрибутивно по отношению к функции нахождения максимума таким же образом, как и умножение по отношению к сложению:

a + max (b, c) = max (a + b, a + c).

По этим причинам в тропической геометрии умножение заменяется на сложение, а сложение — на нахождение максимума. В этом контексте сложение называют «тропическим умножением», нахождение максимума — «тропическим сложением», а тропическую «аддитивную единицу» — отрицательной бесконечностью. Некоторые авторы предпочитают заменять сложение минимизацией; в этом случае аддитивной единицей является положительная бесконечность.

Объединяя эти наблюдения вместе, тропическое сложение приблизительно соответствует обычному сложению при помощи логарифма:

log (a + b) ≈ max (log a, log b),

что становится более точным при возрастании основания логарифма. Приближение может стать точным, если выделить константу h, названную по аналогии с постоянной Планка в квантовой механике, и взять "классический предел", при котором h стремится к нулю:

<math>\max(a,b) = \lim_{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).</math>

В этом смысле операция нахождения максимума является деквантизацией сложения.

Другие способы сложения

Инкременирование, или применение функции следования — это прибавление 1 к числу.

Суммирование — это сложение сколь угодно большого количества чисел, обычно больше, чем двух. Частными случаями этого понятия являются суммирование одного числа (результат такого суммирования равен самому числу), а также пустая сумма, равная нулю. Бесконечное суммирование — нетривиальная процедура, известная как нахождение суммы ряда.

Суммирование единичной функции по конечному множеству даёт тот же результат, что и подсчёт числа элементов этого множества.

Интегрирование — это своего рода «суммирование» по континууму или, более точно и общо, по гладкому многообразию. Интегрирование по множеству нулевой размерности сводится к суммированию.

Линейные комбинации совмещают умножение и суммирование; это суммы, в которых каждый член имеет множитель, обычно действительное или комплексное число. Линейные комбинации особенно полезны в тех ситуациях, когда обычное сложение нарушило бы некоторое правило нормализации, как, например, при смешивании стратегий в теории игр или суперпозиции состояний в квантовой механике.

Свёртка используется для сложения двух независимых случайных величин, заданных функциями распределения. В стандартном определении свёртки используются интегрирование, вычитание и умножение. В целом, свёртку уместно рассматривать как «сложение на области определения», а векторное сложение — как «сложение на области значений».

См. также

• Соглашение Эйнштейна
• Сумма

Литература

• Akian, Marianne; Bapat, Ravindra; Gaubert, Stephane. [arxiv.org/abs/math/0112034 Минус-плюс методы в теории возмущений собственных значений и обобщённой теоремы Лидски-Вишика-Люстреника] (англ.) = Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem. — 2006. — arXiv:math.SP/0402090.
• Rob Austein. [catless.ncl.ac.uk/Risks/4.45.html Сборник рисков] (англ.) = The Risks Digest : журнал. — Arpanet-BBoards archives, 1987. — Т. 4, вып. 45.
• Baez, J.; Dolan, J. Бесконечная математика — 2001 год и далее. От конечных множеств до Фейнмановских диаграмм = Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams. — Springer Berlin Heidelberg, 2000. — 1236 с. — ISBN 3-540-66913-2.
• Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa. Развитие арифметических понятий и навыков = The Development of Arithmetic Concepts and Skills. — Routledge, 2013. — 520 с. — ISBN 0-8058-3155-X.
• Begle, Edward. Математика в начальной школе = The Mathematics of the Elementary School. — McGraw-Hill, 1975. — 453 с. — ISBN 0-07-004325-6.
• Bergman, George. Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям = An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. — 2-е изд. — Springer, 2015. — 572 с. — ISBN 0-9655211-4-1.* Joshua Bloch. [googleresearch.blogspot.ru/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html Экстра, Экстра — Прочитать все про Это: Почти все бинарные поиски сломаны] (англ.) = Extra, Extra - Read All About It: Nearly All Binary Searches and Mergesorts are Broken // Official Google Research Blog : журнал. — 2006.
• Bogomolny, Alexander. [www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml Что такое сложение?] (англ.) = What Is Addition?.
• Bates Bothman. Общая школьная арифметика = The common school arithmetic. — Prentice-Hall, 1837. — 270 с.
• Bunt, Lucas N. H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Исторические корни элементарной математики = The Historical roots of Elementary Mathematics. — Prentice-Hall, 2012. — 336 с. — ISBN 0-13-389015-5.
• Burrill, Claude. Основы действительных чисел = Foundations of Real Numbers. — McGraw-Hill, 1967. — 163 с.
• Beckmann, S. Изучение математики в начальной школе в целых числах (англ.) = The twenty-third ICMI study: primary mathematics study on whole numbers : журнал. — International Journal of STEM Education, 2014.
• Van de Walle, John. Математика в начальной и средней школе: развивающее обучение = Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. — 5-е изд. — Pearson Education, 2015. — 576 с. — ISBN 0-205-38689-X.
• Weaver, J. Fred. Сложение и вычитание: когнитивная точка зрения. Интерпретации числа операций и символических представлений сложения и вычитания = Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. — Taylor & Francis, 2012. — С. 8. — ISBN 0-89859-171-6.
• Williams, Michael. История вычислительной техники = A History of Computing Technology. — Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-389917-9.
• Rebecca Wingard-Nelson. Десятичные и обыкновенные дроби: Это легко = Decimals and Fractions: It's Easy. — Enslow Publishers, 2014. — 64 с. — ISBN 0766042529.
• Wynn, Karen. Развитие математических навыков = The Development of Mathematical Skills. — Taylor & Francis, 1998. — 338 с. — ISBN 0-86377-816-X.
• Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià, eds. Европейский конгресс математики: Барселона, Июль 10–14, 2000, Volume I = European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. — Birkhäuser, 2012. — Т. 1. — 582 с. — ISBN 3-7643-6417-3.
• Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. Изучение основных фактов первоклассниками = First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard. — Heinemann, 2008.
• Dummit, D.; Foote, R. Абстрактная алгебра = Abstract Algebra. — Wiley, 1999. — 912 с.
• Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda. Математика: Исследования и приложения = Mathematics: Explorations & Applications. — Prentice Hall. — ISBN 0-13-435817-1.
• Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra. Основы Электронных Цифровых Систем = Electronic Digital System Fundamentals. — The Fairmont Press, 2008. — 340 с.
• Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684. Принципы и Применения Математики для Межприборных соединений = Principles and Applications of Mathematics for Communications-electronics. — Headquarters, Department of the Army, 1992. — С. раздел 5.1. — 268 с.
• Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Элементарная математика для учителей = Elementary Mathematics for Teachers. — Wiley, 1991.
• Jackson, Albert. Аналоговые вычисления = Analog Computation. — McGraw-Hill, 1960.
• Johnson, Paul. От палок и камней: личные приключения в математике = From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. — Science Research Associates, 1975. — 552 с. — ISBN 0-574-19115-1.
• Ifrah, Georges. Всеобщая история вычислительной техники: от абака до компьютера = The universal history of computing: from the abacus to the quantum computer. — John Wiley, 2001. — 410 с.
• Joshi, Kapil D. Основы дискретной математики = Foundations of Discrete Mathematics. — New Age International, 1989. — 748 с. — ISBN 978-0-470-21152-6.
• Dunham, William. Математическая Вселенная = The Mathematical Universe. — Wiley & Sons, 1994. — 314 с. — ISBN 0-471-53656-3.
• Kaplan, Robert. Что такое ничего: Естественная историю нуля = The Nothing That Is: A Natural History of Zero. — Oxford University Press, 1999. — 240 с. — ISBN 0-19-512842-7.
• Florian Cajori. История математических знаков = A History of Mathematical Notations. — The Open Court Company, 1928. — 818 с.
• Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan. Детская игровая математика = Children's Mathematics: Cognitively Guided Instruction. — Heinemann, 2014. — 218 с. — ISBN 0325052875.
• Karpinski, Louis. История арифметики = The history of arithmetic. — Russell & Russell, 1925. — 200 с.
• Килпатрик Д. [www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html Сложение: помощь детям в изучении математики] = Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. — National Academy Press, 2001. — 454 с. — ISBN 0-309-06995-5.
• Conway, John B. Функция одной комплексной переменной = Functions of One Complex Variable I. — Springer Science, 1986. — 322 с. — ISBN 0-387-90328-3.
• Lee, John. Введение в гладкие многообразия = Introduction to Smooth Manifolds. — Springer, 2013. — 631 с. — ISBN 0-387-95448-1.
• Li, Y., & Lappan, G. Математический курс обучения в школьном образовании = Mathematics Curriculum in School Education. — Springer, 2013. — 663 с. — ISBN 9400775601.
• Linderholm, Carl. Математика затрудняет = Mathematics Made Difficult. — World Pub, 1972. — 207 с. — ISBN 0-7234-0415-1.
• Lipschutz, S., & Lipson, M. Схема Шаумся теории и проблем линейной алгебры = Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. — Erlangga, 2001. — 424 с. — ISBN 9797815714.
• Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii. Иденпотентная математика и интервальный анализ = Idempotent mathematics and interval analysis. — American Mathematical Soc, 2005. — 370 с. — ISBN 0821835386.
• Jean-Louis Loday. [arxiv.org/abs/math/0112034 Аритметр] (англ.) = Arithmetree // Journal of Algebra : журнал. — 2002. — 22 декабрь (№ 258). — DOI:10.1016/S0021-8693(02)00510-0. — arXiv:math/0112034.
• Mazur, Joseph. Поучительные символы: Краткая История Математических Обозначений и их Скрытых Сил = Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton University Press, 2014. — 321 с. — ISBN 1400850118.
• Williams, Michael. История вычислительной техники = A History of Computing Technology. — 2. — IEEE Computer Society Press, 1997. — 426 с. — ISBN 0-13-389917-9.
• Marguin, Jean. История устройства вычислительных машин = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. — Hermann., 1994. — 206 с. — ISBN 978-2-7056-6166-3.
• Mikhalkin, Grigory; Sanz-Solé, Marta, ed. Тропическая геометрия и её приложения = Tropical Geometry and its Applications. — 2-е изд. — Мадрин, Испания: Springer Science & Business Media, 2009. — 104 с. — ISBN 978-3-03719-022-7.
• Martin, John. Введение в языки и теорию вычислений = Introduction to Languages and the Theory of Computation. — 3. — McGraw-Hill, 2011. — 436 с. — ISBN 0-07-232200-4.
• Mosley, F. Использование цифровых линий с 5-8 летними детьми = Using Number Lines with 5-8 Year Olds. — Nelson Thornes, 2001. — 8 с. — ISBN 1874099952.
• Оксфордский словарь английского языка = Oxford English Dictionary. — Oxford University Press, 2005.
• [www.algebrahelp.com/lessons/simplifying/oops/ Порядок выполнения операций] (англ.) = Order of Operations Lessons // Algebrahelp : журнал. — 2012.
• Прохоров Ю.В. Математический энциклопедический словарь. — Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
• James Randerson. [www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic У слонов достаточно ума, чтобы рисовать фигуры] (англ.) = Elephants have a head for figures : журнал. — Theguardian, 2008. — 21 Август.
• Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. Математические методы в физике и инженерии: полное руководство = Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide. — Cambridge University Press, 2006. — 437 с. — ISBN 978-0-521-86153-3.
• Rudin, Walter. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3. — McGraw-Hill, 1976. — 342 с. — ISBN 0-07-054235-X.
• Yeo, Sang-Soo, et al., eds. Алгоритмы и архитектуры для параллельной обработки = Algorithms and Architectures for Parallel Processing. — Springer, 2010. — 574 с. — ISBN 3642131182.
• [feb-web.ru/feb/mas/mas-abc/0encyc.htm Словарь русского языка в 4-х томах] (рус.). — Фундаментальная электронная библиотека «Русская литература и фольклор». [www.webcitation.org/67Dr49kTU Архивировано из первоисточника 27 апреля 2012].  (Проверено 16 января 2016)
• Smith, Karl. Природа современной математики = The Nature of Modern Mathematics. — 3-е изд. — Brooks/Cole Pub. Co., 1980. — 620 с. — ISBN 0-8185-0352-1.
• Smith, Frank. Стеклянная стена: почему математика может показаться трудной = The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult. — Teachers College Press, 2002. — 163 с. — ISBN 0-8077-4242-2.
• Sparks, F.; Rees C. Исследование основной математики = A Survey of Basic Mathematics. — 4. — McGraw-Hill, 1979. — 543 с. — ISBN 0-07-059902-5.
• Stewart, James. Исчисление: раннее трансцендирование = Calculus: Early Transcendentals. — 4. — Brooks/Cole, 2010. — 1344 с. — ISBN 0-534-36298-2.
• Taton, René. Расчётная механика. Что я знаю? = Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367. — Presses universitaires de France, 1963.
• Truitt, T.; Rogers, A. Основы аналоговых компьютеров = Basics of Analog Computers. — John F. Rider, 1960. — 378 с.
• Ferreirós, José. Лабиринты мысли: История теории множеств и её роль в современной математике = Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — Birkhäuser, 2013. — 440 с. — ISBN 0-8176-5749-5.
• R. Fierro. Математика для учителей начальной школы = Mathematics for Elementary School Teachers. — Cengage Learning, 2012. — 976 с. — ISBN 0538493631.
• Flynn, M.; Oberman, S. Передовые компьютерные арифметические конструкции = Advanced Computer Arithmetic Design. — Wiley, 2001. — 325 с. — ISBN 0-471-41209-0.
• Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten. Молодые математики за работой: Конструирование чувства числа, сложения и вычитания = Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. — Heinemann, 2001. — 193 с. — ISBN 0-325-00353-X.
• Hempel, C. G. Философия Карла Г. Хемптела: исследования в области науки, объяснения и рациональность. = The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality. — Oxford University Press, 2000. — 464 с. — ISBN 0195343875.
• Horowitz, P.; Hill, W. Искусство схемотехники = The Art of Electronics. — 2. — Бином, 2009. — 704 с. — ISBN 0-521-37095-7.
• Schwartzman, Steven. Математические слова: Краткий Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — MAA, 1994. — 261 с. — ISBN 0-88385-511-9.
• Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. Последовательность обучения (англ.) = A coherent curriculum : журнал. — American educator, 2002.
• Schyrlet Cameron, Carolyn Craig. Сложение и вычитание дробей в возрасте 5 — 8 лет = Adding and Subtracting Fractions, Grades 5 - 8. — Carson-Dellosa, 2013. — 64 с. — ISBN 162223006X.
• Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves-Foss. Доказательство теорем логики более высоких порядков и их применение: труды 8-го международного фестиваля = Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop. — Springer, 1995. — 400 с.
• Enderton, Herbert. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.

Отрывок, характеризующий Сложение

– Вы, кажется, про Шенграбенское дело рассказывали? Вы были там?
– Я был там, – с озлоблением сказал Ростов, как будто бы этим желая оскорбить адъютанта.
Болконский заметил состояние гусара, и оно ему показалось забавно. Он слегка презрительно улыбнулся.
– Да! много теперь рассказов про это дело!
– Да, рассказов, – громко заговорил Ростов, вдруг сделавшимися бешеными глазами глядя то на Бориса, то на Болконского, – да, рассказов много, но наши рассказы – рассказы тех, которые были в самом огне неприятеля, наши рассказы имеют вес, а не рассказы тех штабных молодчиков, которые получают награды, ничего не делая.
– К которым, вы предполагаете, что я принадлежу? – спокойно и особенно приятно улыбаясь, проговорил князь Андрей.
Странное чувство озлобления и вместе с тем уважения к спокойствию этой фигуры соединялось в это время в душе Ростова.
– Я говорю не про вас, – сказал он, – я вас не знаю и, признаюсь, не желаю знать. Я говорю вообще про штабных.
– А я вам вот что скажу, – с спокойною властию в голосе перебил его князь Андрей. – Вы хотите оскорбить меня, и я готов согласиться с вами, что это очень легко сделать, ежели вы не будете иметь достаточного уважения к самому себе; но согласитесь, что и время и место весьма дурно для этого выбраны. На днях всем нам придется быть на большой, более серьезной дуэли, а кроме того, Друбецкой, который говорит, что он ваш старый приятель, нисколько не виноват в том, что моя физиономия имела несчастие вам не понравиться. Впрочем, – сказал он, вставая, – вы знаете мою фамилию и знаете, где найти меня; но не забудьте, – прибавил он, – что я не считаю нисколько ни себя, ни вас оскорбленным, и мой совет, как человека старше вас, оставить это дело без последствий. Так в пятницу, после смотра, я жду вас, Друбецкой; до свидания, – заключил князь Андрей и вышел, поклонившись обоим.
Ростов вспомнил то, что ему надо было ответить, только тогда, когда он уже вышел. И еще более был он сердит за то, что забыл сказать это. Ростов сейчас же велел подать свою лошадь и, сухо простившись с Борисом, поехал к себе. Ехать ли ему завтра в главную квартиру и вызвать этого ломающегося адъютанта или, в самом деле, оставить это дело так? был вопрос, который мучил его всю дорогу. То он с злобой думал о том, с каким бы удовольствием он увидал испуг этого маленького, слабого и гордого человечка под его пистолетом, то он с удивлением чувствовал, что из всех людей, которых он знал, никого бы он столько не желал иметь своим другом, как этого ненавидимого им адъютантика.


На другой день свидания Бориса с Ростовым был смотр австрийских и русских войск, как свежих, пришедших из России, так и тех, которые вернулись из похода с Кутузовым. Оба императора, русский с наследником цесаревичем и австрийский с эрцгерцогом, делали этот смотр союзной 80 титысячной армии.
С раннего утра начали двигаться щегольски вычищенные и убранные войска, выстраиваясь на поле перед крепостью. То двигались тысячи ног и штыков с развевавшимися знаменами и по команде офицеров останавливались, заворачивались и строились в интервалах, обходя другие такие же массы пехоты в других мундирах; то мерным топотом и бряцанием звучала нарядная кавалерия в синих, красных, зеленых шитых мундирах с расшитыми музыкантами впереди, на вороных, рыжих, серых лошадях; то, растягиваясь с своим медным звуком подрагивающих на лафетах, вычищенных, блестящих пушек и с своим запахом пальников, ползла между пехотой и кавалерией артиллерия и расставлялась на назначенных местах. Не только генералы в полной парадной форме, с перетянутыми донельзя толстыми и тонкими талиями и красневшими, подпертыми воротниками, шеями, в шарфах и всех орденах; не только припомаженные, расфранченные офицеры, но каждый солдат, – с свежим, вымытым и выбритым лицом и до последней возможности блеска вычищенной аммуницией, каждая лошадь, выхоленная так, что, как атлас, светилась на ней шерсть и волосок к волоску лежала примоченная гривка, – все чувствовали, что совершается что то нешуточное, значительное и торжественное. Каждый генерал и солдат чувствовали свое ничтожество, сознавая себя песчинкой в этом море людей, и вместе чувствовали свое могущество, сознавая себя частью этого огромного целого.
С раннего утра начались напряженные хлопоты и усилия, и в 10 часов всё пришло в требуемый порядок. На огромном поле стали ряды. Армия вся была вытянута в три линии. Спереди кавалерия, сзади артиллерия, еще сзади пехота.
Между каждым рядом войск была как бы улица. Резко отделялись одна от другой три части этой армии: боевая Кутузовская (в которой на правом фланге в передней линии стояли павлоградцы), пришедшие из России армейские и гвардейские полки и австрийское войско. Но все стояли под одну линию, под одним начальством и в одинаковом порядке.
Как ветер по листьям пронесся взволнованный шопот: «едут! едут!» Послышались испуганные голоса, и по всем войскам пробежала волна суеты последних приготовлений.
Впереди от Ольмюца показалась подвигавшаяся группа. И в это же время, хотя день был безветренный, легкая струя ветра пробежала по армии и чуть заколебала флюгера пик и распущенные знамена, затрепавшиеся о свои древки. Казалось, сама армия этим легким движением выражала свою радость при приближении государей. Послышался один голос: «Смирно!» Потом, как петухи на заре, повторились голоса в разных концах. И всё затихло.
В мертвой тишине слышался топот только лошадей. То была свита императоров. Государи подъехали к флангу и раздались звуки трубачей первого кавалерийского полка, игравшие генерал марш. Казалось, не трубачи это играли, а сама армия, радуясь приближению государя, естественно издавала эти звуки. Из за этих звуков отчетливо послышался один молодой, ласковый голос императора Александра. Он сказал приветствие, и первый полк гаркнул: Урра! так оглушительно, продолжительно, радостно, что сами люди ужаснулись численности и силе той громады, которую они составляли.
Ростов, стоя в первых рядах Кутузовской армии, к которой к первой подъехал государь, испытывал то же чувство, какое испытывал каждый человек этой армии, – чувство самозабвения, гордого сознания могущества и страстного влечения к тому, кто был причиной этого торжества.
Он чувствовал, что от одного слова этого человека зависело то, чтобы вся громада эта (и он, связанный с ней, – ничтожная песчинка) пошла бы в огонь и в воду, на преступление, на смерть или на величайшее геройство, и потому то он не мог не трепетать и не замирать при виде этого приближающегося слова.
– Урра! Урра! Урра! – гремело со всех сторон, и один полк за другим принимал государя звуками генерал марша; потом Урра!… генерал марш и опять Урра! и Урра!! которые, всё усиливаясь и прибывая, сливались в оглушительный гул.
Пока не подъезжал еще государь, каждый полк в своей безмолвности и неподвижности казался безжизненным телом; только сравнивался с ним государь, полк оживлялся и гремел, присоединяясь к реву всей той линии, которую уже проехал государь. При страшном, оглушительном звуке этих голосов, посреди масс войска, неподвижных, как бы окаменевших в своих четвероугольниках, небрежно, но симметрично и, главное, свободно двигались сотни всадников свиты и впереди их два человека – императоры. На них то безраздельно было сосредоточено сдержанно страстное внимание всей этой массы людей.
Красивый, молодой император Александр, в конно гвардейском мундире, в треугольной шляпе, надетой с поля, своим приятным лицом и звучным, негромким голосом привлекал всю силу внимания.
Ростов стоял недалеко от трубачей и издалека своими зоркими глазами узнал государя и следил за его приближением. Когда государь приблизился на расстояние 20 ти шагов и Николай ясно, до всех подробностей, рассмотрел прекрасное, молодое и счастливое лицо императора, он испытал чувство нежности и восторга, подобного которому он еще не испытывал. Всё – всякая черта, всякое движение – казалось ему прелестно в государе.
Остановившись против Павлоградского полка, государь сказал что то по французски австрийскому императору и улыбнулся.
Увидав эту улыбку, Ростов сам невольно начал улыбаться и почувствовал еще сильнейший прилив любви к своему государю. Ему хотелось выказать чем нибудь свою любовь к государю. Он знал, что это невозможно, и ему хотелось плакать.
Государь вызвал полкового командира и сказал ему несколько слов.
«Боже мой! что бы со мной было, ежели бы ко мне обратился государь! – думал Ростов: – я бы умер от счастия».
Государь обратился и к офицерам:
– Всех, господа (каждое слово слышалось Ростову, как звук с неба), благодарю от всей души.
Как бы счастлив был Ростов, ежели бы мог теперь умереть за своего царя!
– Вы заслужили георгиевские знамена и будете их достойны.
«Только умереть, умереть за него!» думал Ростов.
Государь еще сказал что то, чего не расслышал Ростов, и солдаты, надсаживая свои груди, закричали: Урра! Ростов закричал тоже, пригнувшись к седлу, что было его сил, желая повредить себе этим криком, только чтобы выразить вполне свой восторг к государю.
Государь постоял несколько секунд против гусар, как будто он был в нерешимости.
«Как мог быть в нерешимости государь?» подумал Ростов, а потом даже и эта нерешительность показалась Ростову величественной и обворожительной, как и всё, что делал государь.
Нерешительность государя продолжалась одно мгновение. Нога государя, с узким, острым носком сапога, как носили в то время, дотронулась до паха энглизированной гнедой кобылы, на которой он ехал; рука государя в белой перчатке подобрала поводья, он тронулся, сопутствуемый беспорядочно заколыхавшимся морем адъютантов. Дальше и дальше отъезжал он, останавливаясь у других полков, и, наконец, только белый плюмаж его виднелся Ростову из за свиты, окружавшей императоров.
В числе господ свиты Ростов заметил и Болконского, лениво и распущенно сидящего на лошади. Ростову вспомнилась его вчерашняя ссора с ним и представился вопрос, следует – или не следует вызывать его. «Разумеется, не следует, – подумал теперь Ростов… – И стоит ли думать и говорить про это в такую минуту, как теперь? В минуту такого чувства любви, восторга и самоотвержения, что значат все наши ссоры и обиды!? Я всех люблю, всем прощаю теперь», думал Ростов.
Когда государь объехал почти все полки, войска стали проходить мимо его церемониальным маршем, и Ростов на вновь купленном у Денисова Бедуине проехал в замке своего эскадрона, т. е. один и совершенно на виду перед государем.
Не доезжая государя, Ростов, отличный ездок, два раза всадил шпоры своему Бедуину и довел его счастливо до того бешеного аллюра рыси, которою хаживал разгоряченный Бедуин. Подогнув пенящуюся морду к груди, отделив хвост и как будто летя на воздухе и не касаясь до земли, грациозно и высоко вскидывая и переменяя ноги, Бедуин, тоже чувствовавший на себе взгляд государя, прошел превосходно.
Сам Ростов, завалив назад ноги и подобрав живот и чувствуя себя одним куском с лошадью, с нахмуренным, но блаженным лицом, чортом , как говорил Денисов, проехал мимо государя.
– Молодцы павлоградцы! – проговорил государь.
«Боже мой! Как бы я счастлив был, если бы он велел мне сейчас броситься в огонь», подумал Ростов.
Когда смотр кончился, офицеры, вновь пришедшие и Кутузовские, стали сходиться группами и начали разговоры о наградах, об австрийцах и их мундирах, об их фронте, о Бонапарте и о том, как ему плохо придется теперь, особенно когда подойдет еще корпус Эссена, и Пруссия примет нашу сторону.
Но более всего во всех кружках говорили о государе Александре, передавали каждое его слово, движение и восторгались им.
Все только одного желали: под предводительством государя скорее итти против неприятеля. Под командою самого государя нельзя было не победить кого бы то ни было, так думали после смотра Ростов и большинство офицеров.
Все после смотра были уверены в победе больше, чем бы могли быть после двух выигранных сражений.


На другой день после смотра Борис, одевшись в лучший мундир и напутствуемый пожеланиями успеха от своего товарища Берга, поехал в Ольмюц к Болконскому, желая воспользоваться его лаской и устроить себе наилучшее положение, в особенности положение адъютанта при важном лице, казавшееся ему особенно заманчивым в армии. «Хорошо Ростову, которому отец присылает по 10 ти тысяч, рассуждать о том, как он никому не хочет кланяться и ни к кому не пойдет в лакеи; но мне, ничего не имеющему, кроме своей головы, надо сделать свою карьеру и не упускать случаев, а пользоваться ими».
В Ольмюце он не застал в этот день князя Андрея. Но вид Ольмюца, где стояла главная квартира, дипломатический корпус и жили оба императора с своими свитами – придворных, приближенных, только больше усилил его желание принадлежать к этому верховному миру.
Он никого не знал, и, несмотря на его щегольской гвардейский мундир, все эти высшие люди, сновавшие по улицам, в щегольских экипажах, плюмажах, лентах и орденах, придворные и военные, казалось, стояли так неизмеримо выше его, гвардейского офицерика, что не только не хотели, но и не могли признать его существование. В помещении главнокомандующего Кутузова, где он спросил Болконского, все эти адъютанты и даже денщики смотрели на него так, как будто желали внушить ему, что таких, как он, офицеров очень много сюда шляется и что они все уже очень надоели. Несмотря на это, или скорее вследствие этого, на другой день, 15 числа, он после обеда опять поехал в Ольмюц и, войдя в дом, занимаемый Кутузовым, спросил Болконского. Князь Андрей был дома, и Бориса провели в большую залу, в которой, вероятно, прежде танцовали, а теперь стояли пять кроватей, разнородная мебель: стол, стулья и клавикорды. Один адъютант, ближе к двери, в персидском халате, сидел за столом и писал. Другой, красный, толстый Несвицкий, лежал на постели, подложив руки под голову, и смеялся с присевшим к нему офицером. Третий играл на клавикордах венский вальс, четвертый лежал на этих клавикордах и подпевал ему. Болконского не было. Никто из этих господ, заметив Бориса, не изменил своего положения. Тот, который писал, и к которому обратился Борис, досадливо обернулся и сказал ему, что Болконский дежурный, и чтобы он шел налево в дверь, в приемную, коли ему нужно видеть его. Борис поблагодарил и пошел в приемную. В приемной было человек десять офицеров и генералов.
В то время, как взошел Борис, князь Андрей, презрительно прищурившись (с тем особенным видом учтивой усталости, которая ясно говорит, что, коли бы не моя обязанность, я бы минуты с вами не стал разговаривать), выслушивал старого русского генерала в орденах, который почти на цыпочках, на вытяжке, с солдатским подобострастным выражением багрового лица что то докладывал князю Андрею.
– Очень хорошо, извольте подождать, – сказал он генералу тем французским выговором по русски, которым он говорил, когда хотел говорить презрительно, и, заметив Бориса, не обращаясь более к генералу (который с мольбою бегал за ним, прося еще что то выслушать), князь Андрей с веселой улыбкой, кивая ему, обратился к Борису.
Борис в эту минуту уже ясно понял то, что он предвидел прежде, именно то, что в армии, кроме той субординации и дисциплины, которая была написана в уставе, и которую знали в полку, и он знал, была другая, более существенная субординация, та, которая заставляла этого затянутого с багровым лицом генерала почтительно дожидаться, в то время как капитан князь Андрей для своего удовольствия находил более удобным разговаривать с прапорщиком Друбецким. Больше чем когда нибудь Борис решился служить впредь не по той писанной в уставе, а по этой неписанной субординации. Он теперь чувствовал, что только вследствие того, что он был рекомендован князю Андрею, он уже стал сразу выше генерала, который в других случаях, во фронте, мог уничтожить его, гвардейского прапорщика. Князь Андрей подошел к нему и взял за руку.
– Очень жаль, что вчера вы не застали меня. Я целый день провозился с немцами. Ездили с Вейротером поверять диспозицию. Как немцы возьмутся за аккуратность – конца нет!
Борис улыбнулся, как будто он понимал то, о чем, как об общеизвестном, намекал князь Андрей. Но он в первый раз слышал и фамилию Вейротера и даже слово диспозиция.
– Ну что, мой милый, всё в адъютанты хотите? Я об вас подумал за это время.
– Да, я думал, – невольно отчего то краснея, сказал Борис, – просить главнокомандующего; к нему было письмо обо мне от князя Курагина; я хотел просить только потому, – прибавил он, как бы извиняясь, что, боюсь, гвардия не будет в деле.
– Хорошо! хорошо! мы обо всем переговорим, – сказал князь Андрей, – только дайте доложить про этого господина, и я принадлежу вам.
В то время как князь Андрей ходил докладывать про багрового генерала, генерал этот, видимо, не разделявший понятий Бориса о выгодах неписанной субординации, так уперся глазами в дерзкого прапорщика, помешавшего ему договорить с адъютантом, что Борису стало неловко. Он отвернулся и с нетерпением ожидал, когда возвратится князь Андрей из кабинета главнокомандующего.
– Вот что, мой милый, я думал о вас, – сказал князь Андрей, когда они прошли в большую залу с клавикордами. – К главнокомандующему вам ходить нечего, – говорил князь Андрей, – он наговорит вам кучу любезностей, скажет, чтобы приходили к нему обедать («это было бы еще не так плохо для службы по той субординации», подумал Борис), но из этого дальше ничего не выйдет; нас, адъютантов и ординарцев, скоро будет батальон. Но вот что мы сделаем: у меня есть хороший приятель, генерал адъютант и прекрасный человек, князь Долгоруков; и хотя вы этого можете не знать, но дело в том, что теперь Кутузов с его штабом и мы все ровно ничего не значим: всё теперь сосредоточивается у государя; так вот мы пойдемте ка к Долгорукову, мне и надо сходить к нему, я уж ему говорил про вас; так мы и посмотрим; не найдет ли он возможным пристроить вас при себе, или где нибудь там, поближе .к солнцу.
Князь Андрей всегда особенно оживлялся, когда ему приходилось руководить молодого человека и помогать ему в светском успехе. Под предлогом этой помощи другому, которую он по гордости никогда не принял бы для себя, он находился вблизи той среды, которая давала успех и которая притягивала его к себе. Он весьма охотно взялся за Бориса и пошел с ним к князю Долгорукову.
Было уже поздно вечером, когда они взошли в Ольмюцкий дворец, занимаемый императорами и их приближенными.
В этот самый день был военный совет, на котором участвовали все члены гофкригсрата и оба императора. На совете, в противность мнения стариков – Кутузова и князя Шварцернберга, было решено немедленно наступать и дать генеральное сражение Бонапарту. Военный совет только что кончился, когда князь Андрей, сопутствуемый Борисом, пришел во дворец отыскивать князя Долгорукова. Еще все лица главной квартиры находились под обаянием сегодняшнего, победоносного для партии молодых, военного совета. Голоса медлителей, советовавших ожидать еще чего то не наступая, так единодушно были заглушены и доводы их опровергнуты несомненными доказательствами выгод наступления, что то, о чем толковалось в совете, будущее сражение и, без сомнения, победа, казались уже не будущим, а прошедшим. Все выгоды были на нашей стороне. Огромные силы, без сомнения, превосходившие силы Наполеона, были стянуты в одно место; войска были одушевлены присутствием императоров и рвались в дело; стратегический пункт, на котором приходилось действовать, был до малейших подробностей известен австрийскому генералу Вейротеру, руководившему войска (как бы счастливая случайность сделала то, что австрийские войска в прошлом году были на маневрах именно на тех полях, на которых теперь предстояло сразиться с французом); до малейших подробностей была известна и передана на картах предлежащая местность, и Бонапарте, видимо, ослабленный, ничего не предпринимал.
Долгоруков, один из самых горячих сторонников наступления, только что вернулся из совета, усталый, измученный, но оживленный и гордый одержанной победой. Князь Андрей представил покровительствуемого им офицера, но князь Долгоруков, учтиво и крепко пожав ему руку, ничего не сказал Борису и, очевидно не в силах удержаться от высказывания тех мыслей, которые сильнее всего занимали его в эту минуту, по французски обратился к князю Андрею.
– Ну, мой милый, какое мы выдержали сражение! Дай Бог только, чтобы то, которое будет следствием его, было бы столь же победоносно. Однако, мой милый, – говорил он отрывочно и оживленно, – я должен признать свою вину перед австрийцами и в особенности перед Вейротером. Что за точность, что за подробность, что за знание местности, что за предвидение всех возможностей, всех условий, всех малейших подробностей! Нет, мой милый, выгодней тех условий, в которых мы находимся, нельзя ничего нарочно выдумать. Соединение австрийской отчетливости с русской храбростию – чего ж вы хотите еще?
– Так наступление окончательно решено? – сказал Болконский.
– И знаете ли, мой милый, мне кажется, что решительно Буонапарте потерял свою латынь. Вы знаете, что нынче получено от него письмо к императору. – Долгоруков улыбнулся значительно.
– Вот как! Что ж он пишет? – спросил Болконский.
– Что он может писать? Традиридира и т. п., всё только с целью выиграть время. Я вам говорю, что он у нас в руках; это верно! Но что забавнее всего, – сказал он, вдруг добродушно засмеявшись, – это то, что никак не могли придумать, как ему адресовать ответ? Ежели не консулу, само собою разумеется не императору, то генералу Буонапарту, как мне казалось.
– Но между тем, чтобы не признавать императором, и тем, чтобы называть генералом Буонапарте, есть разница, – сказал Болконский.
– В том то и дело, – смеясь и перебивая, быстро говорил Долгоруков. – Вы знаете Билибина, он очень умный человек, он предлагал адресовать: «узурпатору и врагу человеческого рода».
Долгоруков весело захохотал.
– Не более того? – заметил Болконский.
– Но всё таки Билибин нашел серьезный титул адреса. И остроумный и умный человек.
– Как же?
– Главе французского правительства, au chef du gouverienement francais, – серьезно и с удовольствием сказал князь Долгоруков. – Не правда ли, что хорошо?
– Хорошо, но очень не понравится ему, – заметил Болконский.
– О, и очень! Мой брат знает его: он не раз обедал у него, у теперешнего императора, в Париже и говорил мне, что он не видал более утонченного и хитрого дипломата: знаете, соединение французской ловкости и итальянского актерства? Вы знаете его анекдоты с графом Марковым? Только один граф Марков умел с ним обращаться. Вы знаете историю платка? Это прелесть!
И словоохотливый Долгоруков, обращаясь то к Борису, то к князю Андрею, рассказал, как Бонапарт, желая испытать Маркова, нашего посланника, нарочно уронил перед ним платок и остановился, глядя на него, ожидая, вероятно, услуги от Маркова и как, Марков тотчас же уронил рядом свой платок и поднял свой, не поднимая платка Бонапарта.
– Charmant, [Очаровательно,] – сказал Болконский, – но вот что, князь, я пришел к вам просителем за этого молодого человека. Видите ли что?…
Но князь Андрей не успел докончить, как в комнату вошел адъютант, который звал князя Долгорукова к императору.
– Ах, какая досада! – сказал Долгоруков, поспешно вставая и пожимая руки князя Андрея и Бориса. – Вы знаете, я очень рад сделать всё, что от меня зависит, и для вас и для этого милого молодого человека. – Он еще раз пожал руку Бориса с выражением добродушного, искреннего и оживленного легкомыслия. – Но вы видите… до другого раза!
Бориса волновала мысль о той близости к высшей власти, в которой он в эту минуту чувствовал себя. Он сознавал себя здесь в соприкосновении с теми пружинами, которые руководили всеми теми громадными движениями масс, которых он в своем полку чувствовал себя маленькою, покорною и ничтожной» частью. Они вышли в коридор вслед за князем Долгоруковым и встретили выходившего (из той двери комнаты государя, в которую вошел Долгоруков) невысокого человека в штатском платье, с умным лицом и резкой чертой выставленной вперед челюсти, которая, не портя его, придавала ему особенную живость и изворотливость выражения. Этот невысокий человек кивнул, как своему, Долгорукому и пристально холодным взглядом стал вглядываться в князя Андрея, идя прямо на него и видимо, ожидая, чтобы князь Андрей поклонился ему или дал дорогу. Князь Андрей не сделал ни того, ни другого; в лице его выразилась злоба, и молодой человек, отвернувшись, прошел стороной коридора.
– Кто это? – спросил Борис.
– Это один из самых замечательнейших, но неприятнейших мне людей. Это министр иностранных дел, князь Адам Чарторижский.
– Вот эти люди, – сказал Болконский со вздохом, который он не мог подавить, в то время как они выходили из дворца, – вот эти то люди решают судьбы народов.
На другой день войска выступили в поход, и Борис не успел до самого Аустерлицкого сражения побывать ни у Болконского, ни у Долгорукова и остался еще на время в Измайловском полку.


На заре 16 числа эскадрон Денисова, в котором служил Николай Ростов, и который был в отряде князя Багратиона, двинулся с ночлега в дело, как говорили, и, пройдя около версты позади других колонн, был остановлен на большой дороге. Ростов видел, как мимо его прошли вперед казаки, 1 й и 2 й эскадрон гусар, пехотные батальоны с артиллерией и проехали генералы Багратион и Долгоруков с адъютантами. Весь страх, который он, как и прежде, испытывал перед делом; вся внутренняя борьба, посредством которой он преодолевал этот страх; все его мечтания о том, как он по гусарски отличится в этом деле, – пропали даром. Эскадрон их был оставлен в резерве, и Николай Ростов скучно и тоскливо провел этот день. В 9 м часу утра он услыхал пальбу впереди себя, крики ура, видел привозимых назад раненых (их было немного) и, наконец, видел, как в середине сотни казаков провели целый отряд французских кавалеристов. Очевидно, дело было кончено, и дело было, очевидно небольшое, но счастливое. Проходившие назад солдаты и офицеры рассказывали о блестящей победе, о занятии города Вишау и взятии в плен целого французского эскадрона. День был ясный, солнечный, после сильного ночного заморозка, и веселый блеск осеннего дня совпадал с известием о победе, которое передавали не только рассказы участвовавших в нем, но и радостное выражение лиц солдат, офицеров, генералов и адъютантов, ехавших туда и оттуда мимо Ростова. Тем больнее щемило сердце Николая, напрасно перестрадавшего весь страх, предшествующий сражению, и пробывшего этот веселый день в бездействии.
– Ростов, иди сюда, выпьем с горя! – крикнул Денисов, усевшись на краю дороги перед фляжкой и закуской.
Офицеры собрались кружком, закусывая и разговаривая, около погребца Денисова.
– Вот еще одного ведут! – сказал один из офицеров, указывая на французского пленного драгуна, которого вели пешком два казака.
Один из них вел в поводу взятую у пленного рослую и красивую французскую лошадь.
– Продай лошадь! – крикнул Денисов казаку.
– Изволь, ваше благородие…
Офицеры встали и окружили казаков и пленного француза. Французский драгун был молодой малый, альзасец, говоривший по французски с немецким акцентом. Он задыхался от волнения, лицо его было красно, и, услыхав французский язык, он быстро заговорил с офицерами, обращаясь то к тому, то к другому. Он говорил, что его бы не взяли; что он не виноват в том, что его взяли, а виноват le caporal, который послал его захватить попоны, что он ему говорил, что уже русские там. И ко всякому слову он прибавлял: mais qu'on ne fasse pas de mal a mon petit cheval [Но не обижайте мою лошадку,] и ласкал свою лошадь. Видно было, что он не понимал хорошенько, где он находится. Он то извинялся, что его взяли, то, предполагая перед собою свое начальство, выказывал свою солдатскую исправность и заботливость о службе. Он донес с собой в наш арьергард во всей свежести атмосферу французского войска, которое так чуждо было для нас.
Казаки отдали лошадь за два червонца, и Ростов, теперь, получив деньги, самый богатый из офицеров, купил ее.
– Mais qu'on ne fasse pas de mal a mon petit cheval, – добродушно сказал альзасец Ростову, когда лошадь передана была гусару.
Ростов, улыбаясь, успокоил драгуна и дал ему денег.
– Алё! Алё! – сказал казак, трогая за руку пленного, чтобы он шел дальше.
– Государь! Государь! – вдруг послышалось между гусарами.
Всё побежало, заторопилось, и Ростов увидал сзади по дороге несколько подъезжающих всадников с белыми султанами на шляпах. В одну минуту все были на местах и ждали. Ростов не помнил и не чувствовал, как он добежал до своего места и сел на лошадь. Мгновенно прошло его сожаление о неучастии в деле, его будничное расположение духа в кругу приглядевшихся лиц, мгновенно исчезла всякая мысль о себе: он весь поглощен был чувством счастия, происходящего от близости государя. Он чувствовал себя одною этою близостью вознагражденным за потерю нынешнего дня. Он был счастлив, как любовник, дождавшийся ожидаемого свидания. Не смея оглядываться во фронте и не оглядываясь, он чувствовал восторженным чутьем его приближение. И он чувствовал это не по одному звуку копыт лошадей приближавшейся кавалькады, но он чувствовал это потому, что, по мере приближения, всё светлее, радостнее и значительнее и праздничнее делалось вокруг него. Всё ближе и ближе подвигалось это солнце для Ростова, распространяя вокруг себя лучи кроткого и величественного света, и вот он уже чувствует себя захваченным этими лучами, он слышит его голос – этот ласковый, спокойный, величественный и вместе с тем столь простой голос. Как и должно было быть по чувству Ростова, наступила мертвая тишина, и в этой тишине раздались звуки голоса государя.
– Les huzards de Pavlograd? [Павлоградские гусары?] – вопросительно сказал он.
– La reserve, sire! [Резерв, ваше величество!] – отвечал чей то другой голос, столь человеческий после того нечеловеческого голоса, который сказал: Les huzards de Pavlograd?
Государь поровнялся с Ростовым и остановился. Лицо Александра было еще прекраснее, чем на смотру три дня тому назад. Оно сияло такою веселостью и молодостью, такою невинною молодостью, что напоминало ребяческую четырнадцатилетнюю резвость, и вместе с тем это было всё таки лицо величественного императора. Случайно оглядывая эскадрон, глаза государя встретились с глазами Ростова и не более как на две секунды остановились на них. Понял ли государь, что делалось в душе Ростова (Ростову казалось, что он всё понял), но он посмотрел секунды две своими голубыми глазами в лицо Ростова. (Мягко и кротко лился из них свет.) Потом вдруг он приподнял брови, резким движением ударил левой ногой лошадь и галопом поехал вперед.
Молодой император не мог воздержаться от желания присутствовать при сражении и, несмотря на все представления придворных, в 12 часов, отделившись от 3 й колонны, при которой он следовал, поскакал к авангарду. Еще не доезжая до гусар, несколько адъютантов встретили его с известием о счастливом исходе дела.
Сражение, состоявшее только в том, что захвачен эскадрон французов, было представлено как блестящая победа над французами, и потому государь и вся армия, особенно после того, как не разошелся еще пороховой дым на поле сражения, верили, что французы побеждены и отступают против своей воли. Несколько минут после того, как проехал государь, дивизион павлоградцев потребовали вперед. В самом Вишау, маленьком немецком городке, Ростов еще раз увидал государя. На площади города, на которой была до приезда государя довольно сильная перестрелка, лежало несколько человек убитых и раненых, которых не успели подобрать. Государь, окруженный свитою военных и невоенных, был на рыжей, уже другой, чем на смотру, энглизированной кобыле и, склонившись на бок, грациозным жестом держа золотой лорнет у глаза, смотрел в него на лежащего ничком, без кивера, с окровавленною головою солдата. Солдат раненый был так нечист, груб и гадок, что Ростова оскорбила близость его к государю. Ростов видел, как содрогнулись, как бы от пробежавшего мороза, сутуловатые плечи государя, как левая нога его судорожно стала бить шпорой бок лошади, и как приученная лошадь равнодушно оглядывалась и не трогалась с места. Слезший с лошади адъютант взял под руки солдата и стал класть на появившиеся носилки. Солдат застонал.
– Тише, тише, разве нельзя тише? – видимо, более страдая, чем умирающий солдат, проговорил государь и отъехал прочь.
Ростов видел слезы, наполнившие глаза государя, и слышал, как он, отъезжая, по французски сказал Чарторижскому:
– Какая ужасная вещь война, какая ужасная вещь! Quelle terrible chose que la guerre!
Войска авангарда расположились впереди Вишау, в виду цепи неприятельской, уступавшей нам место при малейшей перестрелке в продолжение всего дня. Авангарду объявлена была благодарность государя, обещаны награды, и людям роздана двойная порция водки. Еще веселее, чем в прошлую ночь, трещали бивачные костры и раздавались солдатские песни.
Денисов в эту ночь праздновал производство свое в майоры, и Ростов, уже довольно выпивший в конце пирушки, предложил тост за здоровье государя, но «не государя императора, как говорят на официальных обедах, – сказал он, – а за здоровье государя, доброго, обворожительного и великого человека; пьем за его здоровье и за верную победу над французами!»
– Коли мы прежде дрались, – сказал он, – и не давали спуску французам, как под Шенграбеном, что же теперь будет, когда он впереди? Мы все умрем, с наслаждением умрем за него. Так, господа? Может быть, я не так говорю, я много выпил; да я так чувствую, и вы тоже. За здоровье Александра первого! Урра!
– Урра! – зазвучали воодушевленные голоса офицеров.
И старый ротмистр Кирстен кричал воодушевленно и не менее искренно, чем двадцатилетний Ростов.
Когда офицеры выпили и разбили свои стаканы, Кирстен налил другие и, в одной рубашке и рейтузах, с стаканом в руке подошел к солдатским кострам и в величественной позе взмахнув кверху рукой, с своими длинными седыми усами и белой грудью, видневшейся из за распахнувшейся рубашки, остановился в свете костра.
– Ребята, за здоровье государя императора, за победу над врагами, урра! – крикнул он своим молодецким, старческим, гусарским баритоном.
Гусары столпились и дружно отвечали громким криком.
Поздно ночью, когда все разошлись, Денисов потрепал своей коротенькой рукой по плечу своего любимца Ростова.
– Вот на походе не в кого влюбиться, так он в ца'я влюбился, – сказал он.
– Денисов, ты этим не шути, – крикнул Ростов, – это такое высокое, такое прекрасное чувство, такое…
– Ве'ю, ве'ю, д'ужок, и 'азделяю и одоб'яю…
– Нет, не понимаешь!
И Ростов встал и пошел бродить между костров, мечтая о том, какое было бы счастие умереть, не спасая жизнь (об этом он и не смел мечтать), а просто умереть в глазах государя. Он действительно был влюблен и в царя, и в славу русского оружия, и в надежду будущего торжества. И не он один испытывал это чувство в те памятные дни, предшествующие Аустерлицкому сражению: девять десятых людей русской армии в то время были влюблены, хотя и менее восторженно, в своего царя и в славу русского оружия.


На следующий день государь остановился в Вишау. Лейб медик Вилье несколько раз был призываем к нему. В главной квартире и в ближайших войсках распространилось известие, что государь был нездоров. Он ничего не ел и дурно спал эту ночь, как говорили приближенные. Причина этого нездоровья заключалась в сильном впечатлении, произведенном на чувствительную душу государя видом раненых и убитых.
На заре 17 го числа в Вишау был препровожден с аванпостов французский офицер, приехавший под парламентерским флагом, требуя свидания с русским императором. Офицер этот был Савари. Государь только что заснул, и потому Савари должен был дожидаться. В полдень он был допущен к государю и через час поехал вместе с князем Долгоруковым на аванпосты французской армии.
Как слышно было, цель присылки Савари состояла в предложении свидания императора Александра с Наполеоном. В личном свидании, к радости и гордости всей армии, было отказано, и вместо государя князь Долгоруков, победитель при Вишау, был отправлен вместе с Савари для переговоров с Наполеоном, ежели переговоры эти, против чаяния, имели целью действительное желание мира.
Ввечеру вернулся Долгоруков, прошел прямо к государю и долго пробыл у него наедине.
18 и 19 ноября войска прошли еще два перехода вперед, и неприятельские аванпосты после коротких перестрелок отступали. В высших сферах армии с полдня 19 го числа началось сильное хлопотливо возбужденное движение, продолжавшееся до утра следующего дня, 20 го ноября, в который дано было столь памятное Аустерлицкое сражение.
До полудня 19 числа движение, оживленные разговоры, беготня, посылки адъютантов ограничивались одной главной квартирой императоров; после полудня того же дня движение передалось в главную квартиру Кутузова и в штабы колонных начальников. Вечером через адъютантов разнеслось это движение по всем концам и частям армии, и в ночь с 19 на 20 поднялась с ночлегов, загудела говором и заколыхалась и тронулась громадным девятиверстным холстом 80 титысячная масса союзного войска.
Сосредоточенное движение, начавшееся поутру в главной квартире императоров и давшее толчок всему дальнейшему движению, было похоже на первое движение серединного колеса больших башенных часов. Медленно двинулось одно колесо, повернулось другое, третье, и всё быстрее и быстрее пошли вертеться колеса, блоки, шестерни, начали играть куранты, выскакивать фигуры, и мерно стали подвигаться стрелки, показывая результат движения.
Как в механизме часов, так и в механизме военного дела, так же неудержимо до последнего результата раз данное движение, и так же безучастно неподвижны, за момент до передачи движения, части механизма, до которых еще не дошло дело. Свистят на осях колеса, цепляясь зубьями, шипят от быстроты вертящиеся блоки, а соседнее колесо так же спокойно и неподвижно, как будто оно сотни лет готово простоять этою неподвижностью; но пришел момент – зацепил рычаг, и, покоряясь движению, трещит, поворачиваясь, колесо и сливается в одно действие, результат и цель которого ему непонятны.
Как в часах результат сложного движения бесчисленных различных колес и блоков есть только медленное и уравномеренное движение стрелки, указывающей время, так и результатом всех сложных человеческих движений этих 1000 русских и французов – всех страстей, желаний, раскаяний, унижений, страданий, порывов гордости, страха, восторга этих людей – был только проигрыш Аустерлицкого сражения, так называемого сражения трех императоров, т. е. медленное передвижение всемирно исторической стрелки на циферблате истории человечества.
Князь Андрей был в этот день дежурным и неотлучно при главнокомандующем.
В 6 м часу вечера Кутузов приехал в главную квартиру императоров и, недолго пробыв у государя, пошел к обер гофмаршалу графу Толстому.
Болконский воспользовался этим временем, чтобы зайти к Долгорукову узнать о подробностях дела. Князь Андрей чувствовал, что Кутузов чем то расстроен и недоволен, и что им недовольны в главной квартире, и что все лица императорской главной квартиры имеют с ним тон людей, знающих что то такое, чего другие не знают; и поэтому ему хотелось поговорить с Долгоруковым.
– Ну, здравствуйте, mon cher, – сказал Долгоруков, сидевший с Билибиным за чаем. – Праздник на завтра. Что ваш старик? не в духе?
– Не скажу, чтобы был не в духе, но ему, кажется, хотелось бы, чтоб его выслушали.
– Да его слушали на военном совете и будут слушать, когда он будет говорить дело; но медлить и ждать чего то теперь, когда Бонапарт боится более всего генерального сражения, – невозможно.
– Да вы его видели? – сказал князь Андрей. – Ну, что Бонапарт? Какое впечатление он произвел на вас?
– Да, видел и убедился, что он боится генерального сражения более всего на свете, – повторил Долгоруков, видимо, дорожа этим общим выводом, сделанным им из его свидания с Наполеоном. – Ежели бы он не боялся сражения, для чего бы ему было требовать этого свидания, вести переговоры и, главное, отступать, тогда как отступление так противно всей его методе ведения войны? Поверьте мне: он боится, боится генерального сражения, его час настал. Это я вам говорю.
– Но расскажите, как он, что? – еще спросил князь Андрей.
– Он человек в сером сюртуке, очень желавший, чтобы я ему говорил «ваше величество», но, к огорчению своему, не получивший от меня никакого титула. Вот это какой человек, и больше ничего, – отвечал Долгоруков, оглядываясь с улыбкой на Билибина.
– Несмотря на мое полное уважение к старому Кутузову, – продолжал он, – хороши мы были бы все, ожидая чего то и тем давая ему случай уйти или обмануть нас, тогда как теперь он верно в наших руках. Нет, не надобно забывать Суворова и его правила: не ставить себя в положение атакованного, а атаковать самому. Поверьте, на войне энергия молодых людей часто вернее указывает путь, чем вся опытность старых кунктаторов.
– Но в какой же позиции мы атакуем его? Я был на аванпостах нынче, и нельзя решить, где он именно стоит с главными силами, – сказал князь Андрей.
Ему хотелось высказать Долгорукову свой, составленный им, план атаки.
– Ах, это совершенно всё равно, – быстро заговорил Долгоруков, вставая и раскрывая карту на столе. – Все случаи предвидены: ежели он стоит у Брюнна…
И князь Долгоруков быстро и неясно рассказал план флангового движения Вейротера.
Князь Андрей стал возражать и доказывать свой план, который мог быть одинаково хорош с планом Вейротера, но имел тот недостаток, что план Вейротера уже был одобрен. Как только князь Андрей стал доказывать невыгоды того и выгоды своего, князь Долгоруков перестал его слушать и рассеянно смотрел не на карту, а на лицо князя Андрея.
– Впрочем, у Кутузова будет нынче военный совет: вы там можете всё это высказать, – сказал Долгоруков.
– Я это и сделаю, – сказал князь Андрей, отходя от карты.
– И о чем вы заботитесь, господа? – сказал Билибин, до сих пор с веселой улыбкой слушавший их разговор и теперь, видимо, собираясь пошутить. – Будет ли завтра победа или поражение, слава русского оружия застрахована. Кроме вашего Кутузова, нет ни одного русского начальника колонн. Начальники: Неrr general Wimpfen, le comte de Langeron, le prince de Lichtenstein, le prince de Hohenloe et enfin Prsch… prsch… et ainsi de suite, comme tous les noms polonais. [Вимпфен, граф Ланжерон, князь Лихтенштейн, Гогенлое и еще Пришпршипрш, как все польские имена.]
– Taisez vous, mauvaise langue, [Удержите ваше злоязычие.] – сказал Долгоруков. – Неправда, теперь уже два русских: Милорадович и Дохтуров, и был бы 3 й, граф Аракчеев, но у него нервы слабы.
– Однако Михаил Иларионович, я думаю, вышел, – сказал князь Андрей. – Желаю счастия и успеха, господа, – прибавил он и вышел, пожав руки Долгорукову и Бибилину.
Возвращаясь домой, князь Андрей не мог удержаться, чтобы не спросить молчаливо сидевшего подле него Кутузова, о том, что он думает о завтрашнем сражении?
Кутузов строго посмотрел на своего адъютанта и, помолчав, ответил:
– Я думаю, что сражение будет проиграно, и я так сказал графу Толстому и просил его передать это государю. Что же, ты думаешь, он мне ответил? Eh, mon cher general, je me mele de riz et des et cotelettes, melez vous des affaires de la guerre. [И, любезный генерал! Я занят рисом и котлетами, а вы занимайтесь военными делами.] Да… Вот что мне отвечали!


В 10 м часу вечера Вейротер с своими планами переехал на квартиру Кутузова, где и был назначен военный совет. Все начальники колонн были потребованы к главнокомандующему, и, за исключением князя Багратиона, который отказался приехать, все явились к назначенному часу.
Вейротер, бывший полным распорядителем предполагаемого сражения, представлял своею оживленностью и торопливостью резкую противоположность с недовольным и сонным Кутузовым, неохотно игравшим роль председателя и руководителя военного совета. Вейротер, очевидно, чувствовал себя во главе.движения, которое стало уже неудержимо. Он был, как запряженная лошадь, разбежавшаяся с возом под гору. Он ли вез, или его гнало, он не знал; но он несся во всю возможную быстроту, не имея времени уже обсуждать того, к чему поведет это движение. Вейротер в этот вечер был два раза для личного осмотра в цепи неприятеля и два раза у государей, русского и австрийского, для доклада и объяснений, и в своей канцелярии, где он диктовал немецкую диспозицию. Он, измученный, приехал теперь к Кутузову.
Он, видимо, так был занят, что забывал даже быть почтительным с главнокомандующим: он перебивал его, говорил быстро, неясно, не глядя в лицо собеседника, не отвечая на деланные ему вопросы, был испачкан грязью и имел вид жалкий, измученный, растерянный и вместе с тем самонадеянный и гордый.
Кутузов занимал небольшой дворянский замок около Остралиц. В большой гостиной, сделавшейся кабинетом главнокомандующего, собрались: сам Кутузов, Вейротер и члены военного совета. Они пили чай. Ожидали только князя Багратиона, чтобы приступить к военному совету. В 8 м часу приехал ординарец Багратиона с известием, что князь быть не может. Князь Андрей пришел доложить о том главнокомандующему и, пользуясь прежде данным ему Кутузовым позволением присутствовать при совете, остался в комнате.
– Так как князь Багратион не будет, то мы можем начинать, – сказал Вейротер, поспешно вставая с своего места и приближаясь к столу, на котором была разложена огромная карта окрестностей Брюнна.
Кутузов в расстегнутом мундире, из которого, как бы освободившись, выплыла на воротник его жирная шея, сидел в вольтеровском кресле, положив симметрично пухлые старческие руки на подлокотники, и почти спал. На звук голоса Вейротера он с усилием открыл единственный глаз.
– Да, да, пожалуйста, а то поздно, – проговорил он и, кивнув головой, опустил ее и опять закрыл глаза.
Ежели первое время члены совета думали, что Кутузов притворялся спящим, то звуки, которые он издавал носом во время последующего чтения, доказывали, что в эту минуту для главнокомандующего дело шло о гораздо важнейшем, чем о желании выказать свое презрение к диспозиции или к чему бы то ни было: дело шло для него о неудержимом удовлетворении человеческой потребности – .сна. Он действительно спал. Вейротер с движением человека, слишком занятого для того, чтобы терять хоть одну минуту времени, взглянул на Кутузова и, убедившись, что он спит, взял бумагу и громким однообразным тоном начал читать диспозицию будущего сражения под заглавием, которое он тоже прочел:
«Диспозиция к атаке неприятельской позиции позади Кобельница и Сокольница, 20 ноября 1805 года».
Диспозиция была очень сложная и трудная. В оригинальной диспозиции значилось:
Da der Feind mit seinerien linken Fluegel an die mit Wald bedeckten Berge lehnt und sich mit seinerien rechten Fluegel laengs Kobeinitz und Sokolienitz hinter die dort befindIichen Teiche zieht, wir im Gegentheil mit unserem linken Fluegel seinen rechten sehr debordiren, so ist es vortheilhaft letzteren Fluegel des Feindes zu attakiren, besondere wenn wir die Doerfer Sokolienitz und Kobelienitz im Besitze haben, wodurch wir dem Feind zugleich in die Flanke fallen und ihn auf der Flaeche zwischen Schlapanitz und dem Thuerassa Walde verfolgen koennen, indem wir dem Defileen von Schlapanitz und Bellowitz ausweichen, welche die feindliche Front decken. Zu dieserien Endzwecke ist es noethig… Die erste Kolonne Marieschirt… die zweite Kolonne Marieschirt… die dritte Kolonne Marieschirt… [Так как неприятель опирается левым крылом своим на покрытые лесом горы, а правым крылом тянется вдоль Кобельница и Сокольница позади находящихся там прудов, а мы, напротив, превосходим нашим левым крылом его правое, то выгодно нам атаковать сие последнее неприятельское крыло, особливо если мы займем деревни Сокольниц и Кобельниц, будучи поставлены в возможность нападать на фланг неприятеля и преследовать его в равнине между Шлапаницем и лесом Тюрасским, избегая вместе с тем дефилеи между Шлапаницем и Беловицем, которою прикрыт неприятельский фронт. Для этой цели необходимо… Первая колонна марширует… вторая колонна марширует… третья колонна марширует…] и т. д., читал Вейротер. Генералы, казалось, неохотно слушали трудную диспозицию. Белокурый высокий генерал Буксгевден стоял, прислонившись спиною к стене, и, остановив свои глаза на горевшей свече, казалось, не слушал и даже не хотел, чтобы думали, что он слушает. Прямо против Вейротера, устремив на него свои блестящие открытые глаза, в воинственной позе, оперев руки с вытянутыми наружу локтями на колени, сидел румяный Милорадович с приподнятыми усами и плечами. Он упорно молчал, глядя в лицо Вейротера, и спускал с него глаза только в то время, когда австрийский начальник штаба замолкал. В это время Милорадович значительно оглядывался на других генералов. Но по значению этого значительного взгляда нельзя было понять, был ли он согласен или несогласен, доволен или недоволен диспозицией. Ближе всех к Вейротеру сидел граф Ланжерон и с тонкой улыбкой южного французского лица, не покидавшей его во всё время чтения, глядел на свои тонкие пальцы, быстро перевертывавшие за углы золотую табакерку с портретом. В середине одного из длиннейших периодов он остановил вращательное движение табакерки, поднял голову и с неприятною учтивостью на самых концах тонких губ перебил Вейротера и хотел сказать что то; но австрийский генерал, не прерывая чтения, сердито нахмурился и замахал локтями, как бы говоря: потом, потом вы мне скажете свои мысли, теперь извольте смотреть на карту и слушать. Ланжерон поднял глаза кверху с выражением недоумения, оглянулся на Милорадовича, как бы ища объяснения, но, встретив значительный, ничего не значущий взгляд Милорадовича, грустно опустил глаза и опять принялся вертеть табакерку.
– Une lecon de geographie, [Урок из географии,] – проговорил он как бы про себя, но довольно громко, чтобы его слышали.
Пржебышевский с почтительной, но достойной учтивостью пригнул рукой ухо к Вейротеру, имея вид человека, поглощенного вниманием. Маленький ростом Дохтуров сидел прямо против Вейротера с старательным и скромным видом и, нагнувшись над разложенною картой, добросовестно изучал диспозиции и неизвестную ему местность. Он несколько раз просил Вейротера повторять нехорошо расслышанные им слова и трудные наименования деревень. Вейротер исполнял его желание, и Дохтуров записывал.
Когда чтение, продолжавшееся более часу, было кончено, Ланжерон, опять остановив табакерку и не глядя на Вейротера и ни на кого особенно, начал говорить о том, как трудно было исполнить такую диспозицию, где положение неприятеля предполагается известным, тогда как положение это может быть нам неизвестно, так как неприятель находится в движении. Возражения Ланжерона были основательны, но было очевидно, что цель этих возражений состояла преимущественно в желании дать почувствовать генералу Вейротеру, столь самоуверенно, как школьникам ученикам, читавшему свою диспозицию, что он имел дело не с одними дураками, а с людьми, которые могли и его поучить в военном деле. Когда замолк однообразный звук голоса Вейротера, Кутузов открыл глава, как мельник, который просыпается при перерыве усыпительного звука мельничных колес, прислушался к тому, что говорил Ланжерон, и, как будто говоря: «а вы всё еще про эти глупости!» поспешно закрыл глаза и еще ниже опустил голову.
Стараясь как можно язвительнее оскорбить Вейротера в его авторском военном самолюбии, Ланжерон доказывал, что Бонапарте легко может атаковать, вместо того, чтобы быть атакованным, и вследствие того сделать всю эту диспозицию совершенно бесполезною. Вейротер на все возражения отвечал твердой презрительной улыбкой, очевидно вперед приготовленной для всякого возражения, независимо от того, что бы ему ни говорили.
– Ежели бы он мог атаковать нас, то он нынче бы это сделал, – сказал он.
– Вы, стало быть, думаете, что он бессилен, – сказал Ланжерон.
– Много, если у него 40 тысяч войска, – отвечал Вейротер с улыбкой доктора, которому лекарка хочет указать средство лечения.
– В таком случае он идет на свою погибель, ожидая нашей атаки, – с тонкой иронической улыбкой сказал Ланжерон, за подтверждением оглядываясь опять на ближайшего Милорадовича.
Но Милорадович, очевидно, в эту минуту думал менее всего о том, о чем спорили генералы.
– Ma foi, [Ей Богу,] – сказал он, – завтра всё увидим на поле сражения.
Вейротер усмехнулся опять тою улыбкой, которая говорила, что ему смешно и странно встречать возражения от русских генералов и доказывать то, в чем не только он сам слишком хорошо был уверен, но в чем уверены были им государи императоры.
– Неприятель потушил огни, и слышен непрерывный шум в его лагере, – сказал он. – Что это значит? – Или он удаляется, чего одного мы должны бояться, или он переменяет позицию (он усмехнулся). Но даже ежели бы он и занял позицию в Тюрасе, он только избавляет нас от больших хлопот, и распоряжения все, до малейших подробностей, остаются те же.
– Каким же образом?.. – сказал князь Андрей, уже давно выжидавший случая выразить свои сомнения.
Кутузов проснулся, тяжело откашлялся и оглянул генералов.
– Господа, диспозиция на завтра, даже на нынче (потому что уже первый час), не может быть изменена, – сказал он. – Вы ее слышали, и все мы исполним наш долг. А перед сражением нет ничего важнее… (он помолчал) как выспаться хорошенько.
Он сделал вид, что привстает. Генералы откланялись и удалились. Было уже за полночь. Князь Андрей вышел.

Военный совет, на котором князю Андрею не удалось высказать свое мнение, как он надеялся, оставил в нем неясное и тревожное впечатление. Кто был прав: Долгоруков с Вейротером или Кутузов с Ланжероном и др., не одобрявшими план атаки, он не знал. «Но неужели нельзя было Кутузову прямо высказать государю свои мысли? Неужели это не может иначе делаться? Неужели из за придворных и личных соображений должно рисковать десятками тысяч и моей, моей жизнью?» думал он.
«Да, очень может быть, завтра убьют», подумал он. И вдруг, при этой мысли о смерти, целый ряд воспоминаний, самых далеких и самых задушевных, восстал в его воображении; он вспоминал последнее прощание с отцом и женою; он вспоминал первые времена своей любви к ней! Вспомнил о ее беременности, и ему стало жалко и ее и себя, и он в нервично размягченном и взволнованном состоянии вышел из избы, в которой он стоял с Несвицким, и стал ходить перед домом.
Ночь была туманная, и сквозь туман таинственно пробивался лунный свет. «Да, завтра, завтра! – думал он. – Завтра, может быть, всё будет кончено для меня, всех этих воспоминаний не будет более, все эти воспоминания не будут иметь для меня более никакого смысла. Завтра же, может быть, даже наверное, завтра, я это предчувствую, в первый раз мне придется, наконец, показать всё то, что я могу сделать». И ему представилось сражение, потеря его, сосредоточение боя на одном пункте и замешательство всех начальствующих лиц. И вот та счастливая минута, тот Тулон, которого так долго ждал он, наконец, представляется ему. Он твердо и ясно говорит свое мнение и Кутузову, и Вейротеру, и императорам. Все поражены верностью его соображения, но никто не берется исполнить его, и вот он берет полк, дивизию, выговаривает условие, чтобы уже никто не вмешивался в его распоряжения, и ведет свою дивизию к решительному пункту и один одерживает победу. А смерть и страдания? говорит другой голос. Но князь Андрей не отвечает этому голосу и продолжает свои успехи. Диспозиция следующего сражения делается им одним. Он носит звание дежурного по армии при Кутузове, но делает всё он один. Следующее сражение выиграно им одним. Кутузов сменяется, назначается он… Ну, а потом? говорит опять другой голос, а потом, ежели ты десять раз прежде этого не будешь ранен, убит или обманут; ну, а потом что ж? – «Ну, а потом, – отвечает сам себе князь Андрей, – я не знаю, что будет потом, не хочу и не могу знать: но ежели хочу этого, хочу славы, хочу быть известным людям, хочу быть любимым ими, то ведь я не виноват, что я хочу этого, что одного этого я хочу, для одного этого я живу. Да, для одного этого! Я никогда никому не скажу этого, но, Боже мой! что же мне делать, ежели я ничего не люблю, как только славу, любовь людскую. Смерть, раны, потеря семьи, ничто мне не страшно. И как ни дороги, ни милы мне многие люди – отец, сестра, жена, – самые дорогие мне люди, – но, как ни страшно и неестественно это кажется, я всех их отдам сейчас за минуту славы, торжества над людьми, за любовь к себе людей, которых я не знаю и не буду знать, за любовь вот этих людей», подумал он, прислушиваясь к говору на дворе Кутузова. На дворе Кутузова слышались голоса укладывавшихся денщиков; один голос, вероятно, кучера, дразнившего старого Кутузовского повара, которого знал князь Андрей, и которого звали Титом, говорил: «Тит, а Тит?»
– Ну, – отвечал старик.
– Тит, ступай молотить, – говорил шутник.
– Тьфу, ну те к чорту, – раздавался голос, покрываемый хохотом денщиков и слуг.
«И все таки я люблю и дорожу только торжеством над всеми ими, дорожу этой таинственной силой и славой, которая вот тут надо мной носится в этом тумане!»


Ростов в эту ночь был со взводом во фланкёрской цепи, впереди отряда Багратиона. Гусары его попарно были рассыпаны в цепи; сам он ездил верхом по этой линии цепи, стараясь преодолеть сон, непреодолимо клонивший его. Назади его видно было огромное пространство неясно горевших в тумане костров нашей армии; впереди его была туманная темнота. Сколько ни вглядывался Ростов в эту туманную даль, он ничего не видел: то серелось, то как будто чернелось что то; то мелькали как будто огоньки, там, где должен быть неприятель; то ему думалось, что это только в глазах блестит у него. Глаза его закрывались, и в воображении представлялся то государь, то Денисов, то московские воспоминания, и он опять поспешно открывал глаза и близко перед собой он видел голову и уши лошади, на которой он сидел, иногда черные фигуры гусар, когда он в шести шагах наезжал на них, а вдали всё ту же туманную темноту. «Отчего же? очень может быть, – думал Ростов, – что государь, встретив меня, даст поручение, как и всякому офицеру: скажет: „Поезжай, узнай, что там“. Много рассказывали же, как совершенно случайно он узнал так какого то офицера и приблизил к себе. Что, ежели бы он приблизил меня к себе! О, как бы я охранял его, как бы я говорил ему всю правду, как бы я изобличал его обманщиков», и Ростов, для того чтобы живо представить себе свою любовь и преданность государю, представлял себе врага или обманщика немца, которого он с наслаждением не только убивал, но по щекам бил в глазах государя. Вдруг дальний крик разбудил Ростова. Он вздрогнул и открыл глаза.
«Где я? Да, в цепи: лозунг и пароль – дышло, Ольмюц. Экая досада, что эскадрон наш завтра будет в резервах… – подумал он. – Попрошусь в дело. Это, может быть, единственный случай увидеть государя. Да, теперь недолго до смены. Объеду еще раз и, как вернусь, пойду к генералу и попрошу его». Он поправился на седле и тронул лошадь, чтобы еще раз объехать своих гусар. Ему показалось, что было светлей. В левой стороне виднелся пологий освещенный скат и противоположный, черный бугор, казавшийся крутым, как стена. На бугре этом было белое пятно, которого никак не мог понять Ростов: поляна ли это в лесу, освещенная месяцем, или оставшийся снег, или белые дома? Ему показалось даже, что по этому белому пятну зашевелилось что то. «Должно быть, снег – это пятно; пятно – une tache», думал Ростов. «Вот тебе и не таш…»
«Наташа, сестра, черные глаза. На… ташка (Вот удивится, когда я ей скажу, как я увидал государя!) Наташку… ташку возьми…» – «Поправей то, ваше благородие, а то тут кусты», сказал голос гусара, мимо которого, засыпая, проезжал Ростов. Ростов поднял голову, которая опустилась уже до гривы лошади, и остановился подле гусара. Молодой детский сон непреодолимо клонил его. «Да, бишь, что я думал? – не забыть. Как с государем говорить буду? Нет, не то – это завтра. Да, да! На ташку, наступить… тупить нас – кого? Гусаров. А гусары в усы… По Тверской ехал этот гусар с усами, еще я подумал о нем, против самого Гурьева дома… Старик Гурьев… Эх, славный малый Денисов! Да, всё это пустяки. Главное теперь – государь тут. Как он на меня смотрел, и хотелось ему что то сказать, да он не смел… Нет, это я не смел. Да это пустяки, а главное – не забывать, что я нужное то думал, да. На – ташку, нас – тупить, да, да, да. Это хорошо». – И он опять упал головой на шею лошади. Вдруг ему показалось, что в него стреляют. «Что? Что? Что!… Руби! Что?…» заговорил, очнувшись, Ростов. В то мгновение, как он открыл глаза, Ростов услыхал перед собою там, где был неприятель, протяжные крики тысячи голосов. Лошади его и гусара, стоявшего подле него, насторожили уши на эти крики. На том месте, с которого слышались крики, зажегся и потух один огонек, потом другой, и по всей линии французских войск на горе зажглись огни, и крики всё более и более усиливались. Ростов слышал звуки французских слов, но не мог их разобрать. Слишком много гудело голосов. Только слышно было: аааа! и рррр!
– Что это? Ты как думаешь? – обратился Ростов к гусару, стоявшему подле него. – Ведь это у неприятеля?
Гусар ничего не ответил.
– Что ж, ты разве не слышишь? – довольно долго подождав ответа, опять спросил Ростов.
– А кто ё знает, ваше благородие, – неохотно отвечал гусар.
– По месту должно быть неприятель? – опять повторил Ростов.
– Може он, а може, и так, – проговорил гусар, – дело ночное. Ну! шали! – крикнул он на свою лошадь, шевелившуюся под ним.
Лошадь Ростова тоже торопилась, била ногой по мерзлой земле, прислушиваясь к звукам и приглядываясь к огням. Крики голосов всё усиливались и усиливались и слились в общий гул, который могла произвести только несколько тысячная армия. Огни больше и больше распространялись, вероятно, по линии французского лагеря. Ростову уже не хотелось спать. Веселые, торжествующие крики в неприятельской армии возбудительно действовали на него: Vive l'empereur, l'empereur! [Да здравствует император, император!] уже ясно слышалось теперь Ростову.
– А недалеко, – должно быть, за ручьем? – сказал он стоявшему подле него гусару.
Гусар только вздохнул, ничего не отвечая, и прокашлялся сердито. По линии гусар послышался топот ехавшего рысью конного, и из ночного тумана вдруг выросла, представляясь громадным слоном, фигура гусарского унтер офицера.
– Ваше благородие, генералы! – сказал унтер офицер, подъезжая к Ростову.
Ростов, продолжая оглядываться на огни и крики, поехал с унтер офицером навстречу нескольким верховым, ехавшим по линии. Один был на белой лошади. Князь Багратион с князем Долгоруковым и адъютантами выехали посмотреть на странное явление огней и криков в неприятельской армии. Ростов, подъехав к Багратиону, рапортовал ему и присоединился к адъютантам, прислушиваясь к тому, что говорили генералы.
– Поверьте, – говорил князь Долгоруков, обращаясь к Багратиону, – что это больше ничего как хитрость: он отступил и в арьергарде велел зажечь огни и шуметь, чтобы обмануть нас.
– Едва ли, – сказал Багратион, – с вечера я их видел на том бугре; коли ушли, так и оттуда снялись. Г. офицер, – обратился князь Багратион к Ростову, – стоят там еще его фланкёры?
– С вечера стояли, а теперь не могу знать, ваше сиятельство. Прикажите, я съезжу с гусарами, – сказал Ростов.
Багратион остановился и, не отвечая, в тумане старался разглядеть лицо Ростова.
– А что ж, посмотрите, – сказал он, помолчав немного.
– Слушаю с.
Ростов дал шпоры лошади, окликнул унтер офицера Федченку и еще двух гусар, приказал им ехать за собою и рысью поехал под гору по направлению к продолжавшимся крикам. Ростову и жутко и весело было ехать одному с тремя гусарами туда, в эту таинственную и опасную туманную даль, где никто не был прежде его. Багратион закричал ему с горы, чтобы он не ездил дальше ручья, но Ростов сделал вид, как будто не слыхал его слов, и, не останавливаясь, ехал дальше и дальше, беспрестанно обманываясь, принимая кусты за деревья и рытвины за людей и беспрестанно объясняя свои обманы. Спустившись рысью под гору, он уже не видал ни наших, ни неприятельских огней, но громче, яснее слышал крики французов. В лощине он увидал перед собой что то вроде реки, но когда он доехал до нее, он узнал проезженную дорогу. Выехав на дорогу, он придержал лошадь в нерешительности: ехать по ней, или пересечь ее и ехать по черному полю в гору. Ехать по светлевшей в тумане дороге было безопаснее, потому что скорее можно было рассмотреть людей. «Пошел за мной», проговорил он, пересек дорогу и стал подниматься галопом на гору, к тому месту, где с вечера стоял французский пикет.
– Ваше благородие, вот он! – проговорил сзади один из гусар.
И не успел еще Ростов разглядеть что то, вдруг зачерневшееся в тумане, как блеснул огонек, щелкнул выстрел, и пуля, как будто жалуясь на что то, зажужжала высоко в тумане и вылетела из слуха. Другое ружье не выстрелило, но блеснул огонек на полке. Ростов повернул лошадь и галопом поехал назад. Еще раздались в разных промежутках четыре выстрела, и на разные тоны запели пули где то в тумане. Ростов придержал лошадь, повеселевшую так же, как он, от выстрелов, и поехал шагом. «Ну ка еще, ну ка еще!» говорил в его душе какой то веселый голос. Но выстрелов больше не было.
Только подъезжая к Багратиону, Ростов опять пустил свою лошадь в галоп и, держа руку у козырька, подъехал к нему.