Случайное компактное множество

Пусть <math>\mathcal{K}</math> множество всех компактных подмножеств <math>\mathbb{R}^2</math>. На <math>\mathcal{K}</math> определяется хаусдорфова метрика <math>h:</math>

<math>h(K_1, K_2) = \inf\left\{\varepsilon > 0 : K_1 \subseteq K_2 \bigoplus b(0,\varepsilon),K_2 \subseteq K_1 \bigoplus b(0, \varepsilon)\right\}.</math>

С метрикой <math>h</math>, <math>\mathcal{K}</math> — полное сепарабельное метрическое пространство. Соответствующие открытые подмножества порождают <math>\sigma</math>-алгебру, борелевскую <math>\sigma</math>-алгебру <math>\mathfrak{B}_K</math> множества <math>\mathcal{K}</math>.

Случайное компактное множество — это измеримая функция из вероятностного пространства <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})</math> в измеримое пространство <math>(\mathcal{K}, \mathfrak{B}_K)</math>. Случайные коммпактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона [Matheron, 1975]. Следовательно, их распределение задается вероятностями

<math>\mathbf{P}(X \cap K = \emptyset), \ \ \ K \in \mathcal{K}.</math>

Продолжая, заметим, что распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения <math>\mathbf{P}(X \subset K).</math>

Для <math>K=\{x\}</math> определена вероятность <math> \mathbf{P}(x \in X) </math>, которая удовлетворяет соотношению:

<math> \mathbf{P}(x \in X) = 1-\mathbf{P}(x \not\in X).</math>

Таким образом функция покрытия дается формулой

<math> p_X(x) = \mathbf{P}(x \in X), \ \ \ x \in \mathbb{R}^2.</math>

Разумеется, <math> p_X(x)</math> может также интерпретироваться, как среднее индикаторной функции <math>\mathbf{1}_X(x):</math>

<math> p_X(x) = \mathbf{E} \mathbf{1}_X(x).</math>

Функция покрытия принимает значения между <math> 0 </math> и <math> 1 </math>. Множество <math> b_X </math> всех <math> x \in \mathbb{R}^2 </math> с <math> p_X(x)>0 </math> называется базой <math> X. </math> Множество <math> k_X </math> всех <math> x \in \mathbb{R}^2 </math> с <math> p_X(x)=1 </math> называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом <math> e(X) </math>. Если <math> X_1, X_2, \ldots </math> — это последовательность н.о.р. случайных компактных множеств, то почти наверное

<math> \bigcap_{i=1}^\infty X_i = e(X) </math>

и <math> \bigcap_{i=1}^\infty X_i </math> сходится почти наверное к <math> e(X). </math>

Литература

• Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.

Отрывок, характеризующий Случайное компактное множество

Как будто пораженный чем то необычайным, виконт пожал плечами и о опустил глаза в то время, как она усаживалась перед ним и освещала и его всё тою же неизменною улыбкой.
– Madame, je crains pour mes moyens devant un pareil auditoire, [Я, право, опасаюсь за свои способности перед такой публикой,] сказал он, наклоняя с улыбкой голову.
Княжна облокотила свою открытую полную руку на столик и не нашла нужным что либо сказать. Она улыбаясь ждала. Во все время рассказа она сидела прямо, посматривая изредка то на свою полную красивую руку, которая от давления на стол изменила свою форму, то на еще более красивую грудь, на которой она поправляла брильянтовое ожерелье; поправляла несколько раз складки своего платья и, когда рассказ производил впечатление, оглядывалась на Анну Павловну и тотчас же принимала то самое выражение, которое было на лице фрейлины, и потом опять успокоивалась в сияющей улыбке. Вслед за Элен перешла и маленькая княгиня от чайного стола.
– Attendez moi, je vais prendre mon ouvrage, [Подождите, я возьму мою работу,] – проговорила она. – Voyons, a quoi pensez vous? – обратилась она к князю Ипполиту: – apportez moi mon ridicule. [О чем вы думаете? Принесите мой ридикюль.]
Княгиня, улыбаясь и говоря со всеми, вдруг произвела перестановку и, усевшись, весело оправилась.
– Теперь мне хорошо, – приговаривала она и, попросив начинать, принялась за работу.
Князь Ипполит перенес ей ридикюль, перешел за нею и, близко придвинув к ней кресло, сел подле нее.
Le charmant Hippolyte [Очаровательный Ипполит] поражал своим необыкновенным сходством с сестрою красавицей и еще более тем, что, несмотря на сходство, он был поразительно дурен собой. Черты его лица были те же, как и у сестры, но у той все освещалось жизнерадостною, самодовольною, молодою, неизменною улыбкой жизни и необычайною, античною красотой тела; у брата, напротив, то же лицо было отуманено идиотизмом и неизменно выражало самоуверенную брюзгливость, а тело было худощаво и слабо. Глаза, нос, рот – все сжималось как будто в одну неопределенную и скучную гримасу, а руки и ноги всегда принимали неестественное положение.
– Ce n'est pas une histoire de revenants? [Это не история о привидениях?] – сказал он, усевшись подле княгини и торопливо пристроив к глазам свой лорнет, как будто без этого инструмента он не мог начать говорить.