Смешанное произведение

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Сме́шанное произведе́ние <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})</math> векторов <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}</math> — скалярное произведение вектора <math>\mathbf{a}</math> на векторное произведение векторов <math>\mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>:

<math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right)</math>.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами <math>\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c</math>.





Свойства

<math>(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)=(\mathbf b,\mathbf c,\mathbf a)=(\mathbf c,\mathbf a,\mathbf b)=-(\mathbf b,\mathbf a,\mathbf c)=-(\mathbf c,\mathbf b,\mathbf a)=-(\mathbf a,\mathbf c,\mathbf b);</math>
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
<math>\lang \mathbf a, [\mathbf b, \mathbf c]\rang = \lang [\mathbf a, \mathbf b], \mathbf c\rang</math>
  • Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>:
<math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math>
  • Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>, взятому со знаком «минус»:
<math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = - \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math>
В частности,
  • Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
  • Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
  • Геометрический смысл — Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
  • Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими[1]:215.

<math>(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a^i b^j c^k </math>

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение

В <math>\ n</math>-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы <math> n \times n </math>, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный <math>\ n</math>-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

<math>(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c, \ldots) = \sum_{i,j,k,\ldots} \varepsilon_{ijk\ldots}a^i b^j c^k \ldots</math>

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также

Напишите отзыв о статье "Смешанное произведение"

Примечания

  1. ↑ Гусятников П.Б., Резниченко С.В. [reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah Векторная алгебра в примерах и задачах]. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Ссылки

  • [mathhelpplanet.com/static.php?p=smeshannoe-proizvedenie-vektorov-i-yego-svoistva Смешанное произведение векторов и его свойства. Примеры решения задач]

Отрывок, характеризующий Смешанное произведение


В этот вечер Ростовы поехали в оперу, на которую Марья Дмитриевна достала билет.
Наташе не хотелось ехать, но нельзя было отказаться от ласковости Марьи Дмитриевны, исключительно для нее предназначенной. Когда она, одетая, вышла в залу, дожидаясь отца и поглядевшись в большое зеркало, увидала, что она хороша, очень хороша, ей еще более стало грустно; но грустно сладостно и любовно.
«Боже мой, ежели бы он был тут; тогда бы я не так как прежде, с какой то глупой робостью перед чем то, а по новому, просто, обняла бы его, прижалась бы к нему, заставила бы его смотреть на меня теми искательными, любопытными глазами, которыми он так часто смотрел на меня и потом заставила бы его смеяться, как он смеялся тогда, и глаза его – как я вижу эти глаза! думала Наташа. – И что мне за дело до его отца и сестры: я люблю его одного, его, его, с этим лицом и глазами, с его улыбкой, мужской и вместе детской… Нет, лучше не думать о нем, не думать, забыть, совсем забыть на это время. Я не вынесу этого ожидания, я сейчас зарыдаю», – и она отошла от зеркала, делая над собой усилия, чтоб не заплакать. – «И как может Соня так ровно, так спокойно любить Николиньку, и ждать так долго и терпеливо»! подумала она, глядя на входившую, тоже одетую, с веером в руках Соню.
«Нет, она совсем другая. Я не могу»!
Наташа чувствовала себя в эту минуту такой размягченной и разнеженной, что ей мало было любить и знать, что она любима: ей нужно теперь, сейчас нужно было обнять любимого человека и говорить и слышать от него слова любви, которыми было полно ее сердце. Пока она ехала в карете, сидя рядом с отцом, и задумчиво глядела на мелькавшие в мерзлом окне огни фонарей, она чувствовала себя еще влюбленнее и грустнее и забыла с кем и куда она едет. Попав в вереницу карет, медленно визжа колесами по снегу карета Ростовых подъехала к театру. Поспешно выскочили Наташа и Соня, подбирая платья; вышел граф, поддерживаемый лакеями, и между входившими дамами и мужчинами и продающими афиши, все трое пошли в коридор бенуара. Из за притворенных дверей уже слышались звуки музыки.
– Nathalie, vos cheveux, [Натали, твои волосы,] – прошептала Соня. Капельдинер учтиво и поспешно проскользнул перед дамами и отворил дверь ложи. Музыка ярче стала слышна в дверь, блеснули освещенные ряды лож с обнаженными плечами и руками дам, и шумящий и блестящий мундирами партер. Дама, входившая в соседний бенуар, оглянула Наташу женским, завистливым взглядом. Занавесь еще не поднималась и играли увертюру. Наташа, оправляя платье, прошла вместе с Соней и села, оглядывая освещенные ряды противуположных лож. Давно не испытанное ею ощущение того, что сотни глаз смотрят на ее обнаженные руки и шею, вдруг и приятно и неприятно охватило ее, вызывая целый рой соответствующих этому ощущению воспоминаний, желаний и волнений.
Две замечательно хорошенькие девушки, Наташа и Соня, с графом Ильей Андреичем, которого давно не видно было в Москве, обратили на себя общее внимание. Кроме того все знали смутно про сговор Наташи с князем Андреем, знали, что с тех пор Ростовы жили в деревне, и с любопытством смотрели на невесту одного из лучших женихов России.
Наташа похорошела в деревне, как все ей говорили, а в этот вечер, благодаря своему взволнованному состоянию, была особенно хороша. Она поражала полнотой жизни и красоты, в соединении с равнодушием ко всему окружающему. Ее черные глаза смотрели на толпу, никого не отыскивая, а тонкая, обнаженная выше локтя рука, облокоченная на бархатную рампу, очевидно бессознательно, в такт увертюры, сжималась и разжималась, комкая афишу.
– Посмотри, вот Аленина – говорила Соня, – с матерью кажется!
– Батюшки! Михаил Кирилыч то еще потолстел, – говорил старый граф.
– Смотрите! Анна Михайловна наша в токе какой!
– Карагины, Жюли и Борис с ними. Сейчас видно жениха с невестой. – Друбецкой сделал предложение!


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Смешанное_произведение&oldid=75239811»