Собственный вектор

Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.

Понятия собственного вектора и собственного числа являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Множество всех собственных векторов линейного преобразования называется собственным подпространством, множество всех собственных значений матрицы или линейного преобразования — спектром матрицы или преобразования.

Определения

Пусть <math> L </math> — линейное пространство над полем <math> K </math>, <math> A\colon L \to L </math> — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования <math>A</math> называется такой ненулевой вектор <math> x \in L </math>, что для некоторого <math> \lambda \in K </math>

<math>\ A x = \lambda x</math>

Собственным значением линейного преобразования <math> A</math> называется такое число <math> \lambda \in K </math>, для которого существует собственный вектор, то есть уравнение <math> A x = \lambda x</math> имеет ненулевое решение <math> x \in L </math>.

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор <math>x</math>, который отображается оператором в коллинеарный <math>\lambda x</math>, а соответствующий скаляр <math>\lambda</math> называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования <math> A</math> для данного собственного числа <math> \lambda \in K </math> (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов <math> x \in L </math>, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его <math> E_{\lambda} </math>. По определению,

<math> E_{\lambda}=\ker(A-\lambda \cdot E)</math>

где <math>E</math> — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования <math> A</math> для данного собственного значения <math> \lambda \in K </math> называется такой ненулевой вектор <math> x \in L </math>, что для некоторого натурального числа <math> m </math>

<math> (A-\lambda \cdot E)^m x =0</math>

Если <math> m </math> является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть <math>(A-\lambda \cdot E)^{m-1} x \neq 0 </math>), то <math> m </math> называется высотой корневого вектора <math> x </math>.

Корневым подпространством линейного преобразования <math> A</math> для данного собственного числа <math> \lambda \in K </math> называется множество всех корневых векторов <math> x \in L </math>, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его <math> V_{\lambda} </math>. По определению,

<math> V_{\lambda}=\bigcup_{m=1}^{\infty}\ker(A-\lambda \cdot E)^m = \bigcup_{m=1}^{\infty}V_{m,\lambda}</math>

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Общий случай

Подпространство <math>V \subset L</math> называется инвариантным подпространством линейного преобразования <math>A</math> (<math> A</math>-инвариантным подпространством), если

<math>AV \subseteq V</math>.

• Собственные подпространства <math> E_{\lambda} </math>, корневые подпространства <math> V_{\lambda} </math> и подпространства <math> V_{m,\lambda}</math> линейного оператора <math>A</math> являются <math>A</math>-инвариантными.

• Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): <math> E_{\lambda} \subseteq V_{\lambda} </math>;

• Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей

<math>A= \begin{pmatrix} 1& 1\\ 0&1\end{pmatrix}</math>

<math>(A-E)^2=0 </math>, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но <math>A </math> имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

• Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

<math> V_{\lambda} \bigcap V_{\mu}=\{0\} </math> если <math> \lambda \neq \mu </math>.

• Метод поиска собственных значений для самосопряжённых операторов, и поиска сингулярных чисел для нормального оператора даёт теорема Куранта — Фишера.

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в <math> n</math>-мерном линейном пространстве <math> L </math>, можно сопоставить линейному преобразованию <math> A\colon L \to L </math> квадратную <math> n\times n</math> матрицу и определить для неё характеристический многочлен матрицы

<math> P_A(\lambda)=\det (A-\lambda \cdot E) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \lambda^k</math>.

• Характеристический многочлен не зависит от базиса в <math>L</math>. Его коэффициенты являются инвариантами оператора <math>A</math>. В частности, <math>a_0 = \det\,A</math>, <math>a_{n-1} = \operatorname{tr}\, A</math> не зависят от выбора базиса.
• Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
• Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
• Если выбрать в качестве базисных векторов собственные вектора оператора, то матрица <math>A</math> в таком базисе станет диагональной, причём на диагонали будут стоять собственные значения оператора. Отметим, однако, что далеко не любая матрица допускает базис из собственных векторов (общая структура описывается нормальной жордановой формой).
• Для положительно определённой симметричной матрицы <math>A</math> процедура нахождения собственных значений и собственных векторов является ни чем иным как поиском направлений и длин полуосей соответствующего эллипса.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение <math>n</math> линейных множителей

<math> P_A(\lambda)=(-1)^n \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)</math>

где <math> \lambda_i \; (i=1,\ldots,n )</math> — собственные значения; некоторые из <math> \lambda_i</math> могут быть равны. Кратность собственного значения <math> \lambda_i</math> — это число множителей равных <math> \lambda - \lambda_i</math> в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

• Размерность корневого пространства <math>V_{\lambda_i}</math> равна кратности собственного значения.
• Векторное пространство <math> L</math> разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):

<math> L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i}</math>

где суммирование производится по всем <math>\lambda_i</math> — собственным числам <math> A</math>.

• Геометрическая кратность собственного значения <math> \lambda_i</math> — это размерность соответствующего собственного подпространства <math> E_{\lambda_i} </math>; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку <math> E_{\lambda_i} \subseteq V_{\lambda_i} </math>

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор <math> A</math>, коммутирующий со своим сопряжённым <math> A^*</math>:

<math> A A^*=A^* A</math>.

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы (<math> A =A^*</math>), антиэрмитовы операторы (<math> A =-A^*</math>) и унитарные операторы (<math>A^{-1} =A^*</math>), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

• Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.

• Собственные векторы нормального оператора <math> A</math>, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если <math>A x=\lambda x</math>, <math>A y=\mu y</math> и <math>\lambda \neq \mu</math>, то <math>(x,y)=0</math>. (Для произвольного оператора это неверно.)

• Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.

• Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.

• Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности <math>|\lambda|=1 </math>.

• В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора <math>A\colon \C^n \to \C^n</math>, соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:

<math> L=\bigoplus_{\lambda_i}E_{\lambda_i}, </math>

где суммирование производится по всем <math>\lambda_i</math> — собственным числам <math> A</math>, а <math> E_{\lambda_i} </math> взаимно ортогональны для различных <math>\lambda_i</math>.

• Последнее свойство для нормального оператора над <math>\C</math> является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы

Квадратная вещественная <math>n \times n</math> матрица <math>A=(a_{ij})</math> называется положительной, если все её элементы положительны: <math>a_{ij} > 0</math>.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона — Фробениуса): Положительная квадратная матрица <math>A</math> имеет положительное собственное значение <math>r</math>, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению <math>r</math> соответствует собственный вектор <math>e_r</math>, все координаты которого строго положительны. Вектор <math>e_r</math> — единственный собственный вектор <math>A</math> (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор <math>e_r</math> может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор <math>v_0</math> с положительными координатами. Положим:

<math>v_{k+1} = \frac{A v_{k}}{\|A v_{k}\|}</math>

Последовательность <math>v_{k}</math> сходится к нормированному собственному вектору <math>e_r / \|e_r\|</math>.

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Неравенства для собственных значений

• Неравенство Шура Пусть <math>\lambda_{1}, ..., \lambda_{n}</math> — собственные значения матрицы <math>A = (a_{ij})_{i , j = 1, \ldots , n}</math>. Тогда

<math>\sum_{i=1}^{n}|\lambda_{i}|^{2} \leqslant \sum_{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}=\|A\|_{2}^{2}</math>,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда <math>A</math> — нормальная матрица.

• Пусть <math>\lambda_{1}, ..., \lambda_{n}</math> — собственные значения матрицы <math>A=B+iC</math>, где матрицы <math>B, C</math> эрмитовы. Тогда

<math>\sum_{i=1}^{n}| Re \lambda_{i}|^{2} \leqslant \sum_{i,j=1}^{n}|b_{ij}|^{2}</math> и <math>\sum_{i=1}^{n}| Im \lambda_{i}|^{2} \leqslant \sum_{i,j=1}^{n}|c_{ij}|^{2}</math>

• Пусть <math>A, B</math> — эрмитовы матрицы, <math>C = A + B</math>. Упорядочим собственные значения этих матриц в порядке возрастания: <math>\alpha_{1} \leqslant ... \leqslant \alpha_{n}, \beta_{1} \leqslant ... \leqslant \beta_{n}, \gamma_{1} \leqslant ... \leqslant \gamma_{n}</math>. Тогда <math>\gamma_{i} \geqslant \alpha_{i} + \beta_{i-j+1}</math> при <math>i \geqslant j</math> и <math>\gamma_{i} \leqslant \alpha_{i} + \beta_{i-j+n}</math> при <math>i \leqslant j</math>

См. также

• Алгоритм вычисления собственных значений

Литература

• Гантмахер Ф. Р.. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с. — ISBN ISBN 5-9221-0524-8.
• Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с. — ISBN 978-5-458-25464-9.
• Гельфанд И. М.. Лекции по линейной алгебре. — М.: Добросвет, КДУ, 2009. — 320 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-98227-625-4.
• Фаддеев Д. К.. Лекции по алгебре. — М.: ЁЁ Медиа, 2012. — 416 с. — ISBN 978-5-458-25543-1.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009. — 512 с. — ISBN 978-5-9221-1139-3.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

Отрывок, характеризующий Собственный вектор

«Шестьсот рублей, туз, угол, девятка… отыграться невозможно!… И как бы весело было дома… Валет на пе… это не может быть!… И зачем же он это делает со мной?…» думал и вспоминал Ростов. Иногда он ставил большую карту; но Долохов отказывался бить её, и сам назначал куш. Николай покорялся ему, и то молился Богу, как он молился на поле сражения на Амштетенском мосту; то загадывал, что та карта, которая первая попадется ему в руку из кучи изогнутых карт под столом, та спасет его; то рассчитывал, сколько было шнурков на его куртке и с столькими же очками карту пытался ставить на весь проигрыш, то за помощью оглядывался на других играющих, то вглядывался в холодное теперь лицо Долохова, и старался проникнуть, что в нем делалось.
«Ведь он знает, что значит для меня этот проигрыш. Не может же он желать моей погибели? Ведь он друг был мне. Ведь я его любил… Но и он не виноват; что ж ему делать, когда ему везет счастие? И я не виноват, говорил он сам себе. Я ничего не сделал дурного. Разве я убил кого нибудь, оскорбил, пожелал зла? За что же такое ужасное несчастие? И когда оно началось? Еще так недавно я подходил к этому столу с мыслью выиграть сто рублей, купить мама к именинам эту шкатулку и ехать домой. Я так был счастлив, так свободен, весел! И я не понимал тогда, как я был счастлив! Когда же это кончилось, и когда началось это новое, ужасное состояние? Чем ознаменовалась эта перемена? Я всё так же сидел на этом месте, у этого стола, и так же выбирал и выдвигал карты, и смотрел на эти ширококостые, ловкие руки. Когда же это совершилось, и что такое совершилось? Я здоров, силен и всё тот же, и всё на том же месте. Нет, это не может быть! Верно всё это ничем не кончится».
Он был красен, весь в поту, несмотря на то, что в комнате не было жарко. И лицо его было страшно и жалко, особенно по бессильному желанию казаться спокойным.
Запись дошла до рокового числа сорока трех тысяч. Ростов приготовил карту, которая должна была итти углом от трех тысяч рублей, только что данных ему, когда Долохов, стукнув колодой, отложил ее и, взяв мел, начал быстро своим четким, крепким почерком, ломая мелок, подводить итог записи Ростова.
– Ужинать, ужинать пора! Вот и цыгане! – Действительно с своим цыганским акцентом уж входили с холода и говорили что то какие то черные мужчины и женщины. Николай понимал, что всё было кончено; но он равнодушным голосом сказал:
– Что же, не будешь еще? А у меня славная карточка приготовлена. – Как будто более всего его интересовало веселье самой игры.
«Всё кончено, я пропал! думал он. Теперь пуля в лоб – одно остается», и вместе с тем он сказал веселым голосом:
– Ну, еще одну карточку.
– Хорошо, – отвечал Долохов, окончив итог, – хорошо! 21 рубль идет, – сказал он, указывая на цифру 21, рознившую ровный счет 43 тысяч, и взяв колоду, приготовился метать. Ростов покорно отогнул угол и вместо приготовленных 6.000, старательно написал 21.
– Это мне всё равно, – сказал он, – мне только интересно знать, убьешь ты, или дашь мне эту десятку.
Долохов серьезно стал метать. О, как ненавидел Ростов в эту минуту эти руки, красноватые с короткими пальцами и с волосами, видневшимися из под рубашки, имевшие его в своей власти… Десятка была дана.
– За вами 43 тысячи, граф, – сказал Долохов и потягиваясь встал из за стола. – А устаешь однако так долго сидеть, – сказал он.
– Да, и я тоже устал, – сказал Ростов.
Долохов, как будто напоминая ему, что ему неприлично было шутить, перебил его: Когда прикажете получить деньги, граф?
Ростов вспыхнув, вызвал Долохова в другую комнату.
– Я не могу вдруг заплатить всё, ты возьмешь вексель, – сказал он.
– Послушай, Ростов, – сказал Долохов, ясно улыбаясь и глядя в глаза Николаю, – ты знаешь поговорку: «Счастлив в любви, несчастлив в картах». Кузина твоя влюблена в тебя. Я знаю.
«О! это ужасно чувствовать себя так во власти этого человека», – думал Ростов. Ростов понимал, какой удар он нанесет отцу, матери объявлением этого проигрыша; он понимал, какое бы было счастье избавиться от всего этого, и понимал, что Долохов знает, что может избавить его от этого стыда и горя, и теперь хочет еще играть с ним, как кошка с мышью.
– Твоя кузина… – хотел сказать Долохов; но Николай перебил его.
– Моя кузина тут ни при чем, и о ней говорить нечего! – крикнул он с бешенством.
– Так когда получить? – спросил Долохов.
– Завтра, – сказал Ростов, и вышел из комнаты.


Сказать «завтра» и выдержать тон приличия было не трудно; но приехать одному домой, увидать сестер, брата, мать, отца, признаваться и просить денег, на которые не имеешь права после данного честного слова, было ужасно.
Дома еще не спали. Молодежь дома Ростовых, воротившись из театра, поужинав, сидела у клавикорд. Как только Николай вошел в залу, его охватила та любовная, поэтическая атмосфера, которая царствовала в эту зиму в их доме и которая теперь, после предложения Долохова и бала Иогеля, казалось, еще более сгустилась, как воздух перед грозой, над Соней и Наташей. Соня и Наташа в голубых платьях, в которых они были в театре, хорошенькие и знающие это, счастливые, улыбаясь, стояли у клавикорд. Вера с Шиншиным играла в шахматы в гостиной. Старая графиня, ожидая сына и мужа, раскладывала пасьянс с старушкой дворянкой, жившей у них в доме. Денисов с блестящими глазами и взъерошенными волосами сидел, откинув ножку назад, у клавикорд, и хлопая по ним своими коротенькими пальцами, брал аккорды, и закатывая глаза, своим маленьким, хриплым, но верным голосом, пел сочиненное им стихотворение «Волшебница», к которому он пытался найти музыку.
Волшебница, скажи, какая сила
Влечет меня к покинутым струнам;
Какой огонь ты в сердце заронила,
Какой восторг разлился по перстам!
Пел он страстным голосом, блестя на испуганную и счастливую Наташу своими агатовыми, черными глазами.
– Прекрасно! отлично! – кричала Наташа. – Еще другой куплет, – говорила она, не замечая Николая.
«У них всё то же» – подумал Николай, заглядывая в гостиную, где он увидал Веру и мать с старушкой.
– А! вот и Николенька! – Наташа подбежала к нему.
– Папенька дома? – спросил он.
– Как я рада, что ты приехал! – не отвечая, сказала Наташа, – нам так весело. Василий Дмитрич остался для меня еще день, ты знаешь?
– Нет, еще не приезжал папа, – сказала Соня.
– Коко, ты приехал, поди ко мне, дружок! – сказал голос графини из гостиной. Николай подошел к матери, поцеловал ее руку и, молча подсев к ее столу, стал смотреть на ее руки, раскладывавшие карты. Из залы всё слышались смех и веселые голоса, уговаривавшие Наташу.
– Ну, хорошо, хорошо, – закричал Денисов, – теперь нечего отговариваться, за вами barcarolla, умоляю вас.
Графиня оглянулась на молчаливого сына.
– Что с тобой? – спросила мать у Николая.
– Ах, ничего, – сказал он, как будто ему уже надоел этот всё один и тот же вопрос.
– Папенька скоро приедет?
– Я думаю.
«У них всё то же. Они ничего не знают! Куда мне деваться?», подумал Николай и пошел опять в залу, где стояли клавикорды.
Соня сидела за клавикордами и играла прелюдию той баркароллы, которую особенно любил Денисов. Наташа собиралась петь. Денисов восторженными глазами смотрел на нее.
Николай стал ходить взад и вперед по комнате.
«И вот охота заставлять ее петь? – что она может петь? И ничего тут нет веселого», думал Николай.
Соня взяла первый аккорд прелюдии.
«Боже мой, я погибший, я бесчестный человек. Пулю в лоб, одно, что остается, а не петь, подумал он. Уйти? но куда же? всё равно, пускай поют!»
Николай мрачно, продолжая ходить по комнате, взглядывал на Денисова и девочек, избегая их взглядов.
«Николенька, что с вами?» – спросил взгляд Сони, устремленный на него. Она тотчас увидала, что что нибудь случилось с ним.
Николай отвернулся от нее. Наташа с своею чуткостью тоже мгновенно заметила состояние своего брата. Она заметила его, но ей самой так было весело в ту минуту, так далека она была от горя, грусти, упреков, что она (как это часто бывает с молодыми людьми) нарочно обманула себя. Нет, мне слишком весело теперь, чтобы портить свое веселье сочувствием чужому горю, почувствовала она, и сказала себе:
«Нет, я верно ошибаюсь, он должен быть весел так же, как и я». Ну, Соня, – сказала она и вышла на самую середину залы, где по ее мнению лучше всего был резонанс. Приподняв голову, опустив безжизненно повисшие руки, как это делают танцовщицы, Наташа, энергическим движением переступая с каблучка на цыпочку, прошлась по середине комнаты и остановилась.
«Вот она я!» как будто говорила она, отвечая на восторженный взгляд Денисова, следившего за ней.
«И чему она радуется! – подумал Николай, глядя на сестру. И как ей не скучно и не совестно!» Наташа взяла первую ноту, горло ее расширилось, грудь выпрямилась, глаза приняли серьезное выражение. Она не думала ни о ком, ни о чем в эту минуту, и из в улыбку сложенного рта полились звуки, те звуки, которые может производить в те же промежутки времени и в те же интервалы всякий, но которые тысячу раз оставляют вас холодным, в тысячу первый раз заставляют вас содрогаться и плакать.
Наташа в эту зиму в первый раз начала серьезно петь и в особенности оттого, что Денисов восторгался ее пением. Она пела теперь не по детски, уж не было в ее пеньи этой комической, ребяческой старательности, которая была в ней прежде; но она пела еще не хорошо, как говорили все знатоки судьи, которые ее слушали. «Не обработан, но прекрасный голос, надо обработать», говорили все. Но говорили это обыкновенно уже гораздо после того, как замолкал ее голос. В то же время, когда звучал этот необработанный голос с неправильными придыханиями и с усилиями переходов, даже знатоки судьи ничего не говорили, и только наслаждались этим необработанным голосом и только желали еще раз услыхать его. В голосе ее была та девственная нетронутость, то незнание своих сил и та необработанная еще бархатность, которые так соединялись с недостатками искусства пенья, что, казалось, нельзя было ничего изменить в этом голосе, не испортив его.
«Что ж это такое? – подумал Николай, услыхав ее голос и широко раскрывая глаза. – Что с ней сделалось? Как она поет нынче?» – подумал он. И вдруг весь мир для него сосредоточился в ожидании следующей ноты, следующей фразы, и всё в мире сделалось разделенным на три темпа: «Oh mio crudele affetto… [О моя жестокая любовь…] Раз, два, три… раз, два… три… раз… Oh mio crudele affetto… Раз, два, три… раз. Эх, жизнь наша дурацкая! – думал Николай. Всё это, и несчастье, и деньги, и Долохов, и злоба, и честь – всё это вздор… а вот оно настоящее… Hy, Наташа, ну, голубчик! ну матушка!… как она этот si возьмет? взяла! слава Богу!» – и он, сам не замечая того, что он поет, чтобы усилить этот si, взял втору в терцию высокой ноты. «Боже мой! как хорошо! Неужели это я взял? как счастливо!» подумал он.
О! как задрожала эта терция, и как тронулось что то лучшее, что было в душе Ростова. И это что то было независимо от всего в мире, и выше всего в мире. Какие тут проигрыши, и Долоховы, и честное слово!… Всё вздор! Можно зарезать, украсть и всё таки быть счастливым…


Давно уже Ростов не испытывал такого наслаждения от музыки, как в этот день. Но как только Наташа кончила свою баркароллу, действительность опять вспомнилась ему. Он, ничего не сказав, вышел и пошел вниз в свою комнату. Через четверть часа старый граф, веселый и довольный, приехал из клуба. Николай, услыхав его приезд, пошел к нему.
– Ну что, повеселился? – сказал Илья Андреич, радостно и гордо улыбаясь на своего сына. Николай хотел сказать, что «да», но не мог: он чуть было не зарыдал. Граф раскуривал трубку и не заметил состояния сына.
«Эх, неизбежно!» – подумал Николай в первый и последний раз. И вдруг самым небрежным тоном, таким, что он сам себе гадок казался, как будто он просил экипажа съездить в город, он сказал отцу.