Сопряжённый оператор

Общее линейное пространство

Пусть <math> E, \, L </math> — линейные пространства, а <math> E^*, \, L^* </math> — сопряженные линейные пространства (пространства линейных функционалов, определенных на <math> E, \, L </math>). Тогда для любого линейного оператора <math>A\colon E \to L </math> и любого линейного функционала <math> g \in L^*</math> определён линейный функционал <math> f \in E^*</math> — суперпозиция <math> g </math> и <math>A</math>: <math> f(x)=g(A(x))</math>. Отображение <math> g\mapsto f</math> называется сопряженным линейным оператором и обозначается <math> A^*\colon L^* \to E^* </math>.

Если кратко, то <math> (A^*g, x) = (g, Ax)</math>, где <math> (B, x)</math> — действие функционала <math>B</math> на вектор <math> x</math>.

Топологическое линейное пространство

Пусть <math> E, \, L </math> — топологические линейные пространства, а <math> E^*, \, L^* </math> — сопряженные топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определенных на <math> E, \, L </math>). Для любого непрерывного линейного оператора <math>A\colon E \to L </math> и любого непрерывного линейного функционала <math> g \in L^*</math> определён непрерывный линейный функционал <math> f \in E^*</math> — суперпозиция <math> g </math> и <math>A</math>: <math> f(x)=g(A(x))</math>. Нетрудно проверить, что отображение <math> g\mapsto f</math> линейно и непрерывно. Оно называется сопряженным оператором и обозначается также <math> A^*\colon L^* \to E^* </math>.

Банахово пространство

Пусть <math>A\colon X\to Y</math> — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства <math>X</math> в банахово пространство <math>Y</math> и пусть <math>X^*, Y^*</math> — сопряжённые пространства. Обозначим <math>\forall x\in X, f\in Y^* [Ax,f]=f(Ax)</math>. Если <math>f</math> — фиксировано, то <math>[Ax,f]</math> — линейный непрерывный функционал в <math>X, [Ax,f]\in X^*</math>. Таким образом, для <math>\forall f\in Y^*</math> определён линейный непрерывный функционал из <math>X^* </math>, поэтому определён оператор <math>A^*\colon Y^*\to X^*</math>, такой что <math>[Ax,f]=[x,A^*f]</math>.

<math>A^*</math> называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определен не на всём пространстве.

Для <math>A^*</math> справедливы следующие свойства:

• Оператор <math>A^*</math> — линейный.
• Если <math>A</math> — линейный непрерывный оператор, то <math>A^*</math> также линейный непрерывный оператор.
• Пусть <math>O</math> — нулевой оператор, а <math>E</math> — единичный оператор. Тогда <math>O^*=O, E^*=E</math>.
• <math>(A+B)^*=A^*+B^*</math>.
• <math>\forall\alpha\in\mathbb C, (\alpha A)^*=\bar{\alpha}A^*</math>.
• <math>(AB)^*=B^*A^*</math>.
• <math>(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}</math>.

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве <math> H</math> теорема Рисса дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора <math>A\colon H \to H</math> равенство <math> (Ax, y) = (x, A^*y)</math> определяет сопряженный оператор <math>A^*\colon H \to H</math>. Здесь <math> (x, y)</math> — скалярное произведение в пространстве <math> H</math>.

См. также

• Эрмитов оператор

Литература

• Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.
• Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М.: Вузовская книга, 2000. — 320 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.

Отрывок, характеризующий Сопряжённый оператор

Вперед его во двор проскакали адъютанты. Кутузов, нетерпеливо подталкивая свою лошадь, плывшую иноходью под его тяжестью, и беспрестанно кивая головой, прикладывал руку к бедой кавалергардской (с красным околышем и без козырька) фуражке, которая была на нем. Подъехав к почетному караулу молодцов гренадеров, большей частью кавалеров, отдававших ему честь, он с минуту молча, внимательно посмотрел на них начальническим упорным взглядом и обернулся к толпе генералов и офицеров, стоявших вокруг него. Лицо его вдруг приняло тонкое выражение; он вздернул плечами с жестом недоумения.
– И с такими молодцами всё отступать и отступать! – сказал он. – Ну, до свиданья, генерал, – прибавил он и тронул лошадь в ворота мимо князя Андрея и Денисова.
– Ура! ура! ура! – кричали сзади его.
С тех пор как не видал его князь Андрей, Кутузов еще потолстел, обрюзг и оплыл жиром. Но знакомые ему белый глаз, и рана, и выражение усталости в его лице и фигуре были те же. Он был одет в мундирный сюртук (плеть на тонком ремне висела через плечо) и в белой кавалергардской фуражке. Он, тяжело расплываясь и раскачиваясь, сидел на своей бодрой лошадке.
– Фю… фю… фю… – засвистал он чуть слышно, въезжая на двор. На лице его выражалась радость успокоения человека, намеревающегося отдохнуть после представительства. Он вынул левую ногу из стремени, повалившись всем телом и поморщившись от усилия, с трудом занес ее на седло, облокотился коленкой, крякнул и спустился на руки к казакам и адъютантам, поддерживавшим его.
Он оправился, оглянулся своими сощуренными глазами и, взглянув на князя Андрея, видимо, не узнав его, зашагал своей ныряющей походкой к крыльцу.
– Фю… фю… фю, – просвистал он и опять оглянулся на князя Андрея. Впечатление лица князя Андрея только после нескольких секунд (как это часто бывает у стариков) связалось с воспоминанием о его личности.
– А, здравствуй, князь, здравствуй, голубчик, пойдем… – устало проговорил он, оглядываясь, и тяжело вошел на скрипящее под его тяжестью крыльцо. Он расстегнулся и сел на лавочку, стоявшую на крыльце.
– Ну, что отец?
– Вчера получил известие о его кончине, – коротко сказал князь Андрей.
Кутузов испуганно открытыми глазами посмотрел на князя Андрея, потом снял фуражку и перекрестился: «Царство ему небесное! Да будет воля божия над всеми нами!Он тяжело, всей грудью вздохнул и помолчал. „Я его любил и уважал и сочувствую тебе всей душой“. Он обнял князя Андрея, прижал его к своей жирной груди и долго не отпускал от себя. Когда он отпустил его, князь Андрей увидал, что расплывшие губы Кутузова дрожали и на глазах были слезы. Он вздохнул и взялся обеими руками за лавку, чтобы встать.
– Пойдем, пойдем ко мне, поговорим, – сказал он; но в это время Денисов, так же мало робевший перед начальством, как и перед неприятелем, несмотря на то, что адъютанты у крыльца сердитым шепотом останавливали его, смело, стуча шпорами по ступенькам, вошел на крыльцо. Кутузов, оставив руки упертыми на лавку, недовольно смотрел на Денисова. Денисов, назвав себя, объявил, что имеет сообщить его светлости дело большой важности для блага отечества. Кутузов усталым взглядом стал смотреть на Денисова и досадливым жестом, приняв руки и сложив их на животе, повторил: «Для блага отечества? Ну что такое? Говори». Денисов покраснел, как девушка (так странно было видеть краску на этом усатом, старом и пьяном лице), и смело начал излагать свой план разрезания операционной линии неприятеля между Смоленском и Вязьмой. Денисов жил в этих краях и знал хорошо местность. План его казался несомненно хорошим, в особенности по той силе убеждения, которая была в его словах. Кутузов смотрел себе на ноги и изредка оглядывался на двор соседней избы, как будто он ждал чего то неприятного оттуда. Из избы, на которую он смотрел, действительно во время речи Денисова показался генерал с портфелем под мышкой.
– Что? – в середине изложения Денисова проговорил Кутузов. – Уже готовы?
– Готов, ваша светлость, – сказал генерал. Кутузов покачал головой, как бы говоря: «Как это все успеть одному человеку», и продолжал слушать Денисова.
– Даю честное благородное слово гусского офицег'а, – говорил Денисов, – что я г'азог'ву сообщения Наполеона.