Сосиска Винера

Сосиска Винера — это окрестность траектории броуновского движения на момент времени t, задающаяся всеми точками, отстоящими от точек траектории не более, чем на заданное расстояние. Она может быть изображена как сосиска заданного радиуса, чья направляющая является траекторией броуновского движения. Сосиска Винера была названа в честь Норберта Винера учёными Монро Д. Донскером и С. Р. Сринаваса Варадханом (1975) из-за её связи с винеровским процессом. Сосиска Винера является одним из простейших не-марковских функционалов броуновского движения. Она применяется в случайных процессах, в том числе в теплопроводности. Впервые была описана Фрэнком Шпитцером (1964) и была использована Марком Кацом и Люттинегром (1973, 1974) для объяснения результатов экспериментов с Бозе-конденсатом (1975).

Определения

Сосиска Винера W_δ(t) радиуса δ и длины t — это множественнозначная случайная величина на броуновских траекториях b (в некотором евклидовом пространстве), определяемая как

<math>W_\delta(t)({b})</math> — это множество точек, находящихся на расстоянии не больше δ от некоторой точки b(x) на траектории b с 0 ≤ x ≤ t.

Объём сосиски Винера

На тему поведения объёма сосиски Винера (её меры Лебега) |W_δ(t)| при стремлении её радиуса к нулю (δ → 0) было сделано много работ. Фактически, это эквивалентно бесконечному удлинению сосиски (t → ∞). Спитцер показал, что в трёхмерном пространстве математическое ожидание объёма сосиски равно

<math>E(|W_\delta(t)|) = 2\pi\delta t + 4\delta^2\sqrt{2\pi t} +4\pi\delta^3/3.</math>

В d-мерном пространстве (d больше или равно 3) асимптотика (при t → ∞) объёма сосиски Винера равна

<math>\delta^{d-2} \pi^{d/2}2t/\Gamma((d-2)/2)</math>

В одно- и двумерном пространствах формула заменяется на <math>\sqrt{8t/\pi}</math> и <math>2{\pi}t/\log(t)</math> соответственно. Уитман, ученик Спитцера, получил схожие результаты для обобщений сосисок Винера с сечениями, задаваемыми более общими компактами, чем шар.

Литература

• Donsker, M. D. & Varadhan, S. R. S. (1975), "[dx.doi.org/10.1002%2Fcpa.3160280406 Asymptotics for the Wiener sausage]", Communications in Pure and Applied Mathematics Т. 28 (4): 525–565, DOI 10.1002/cpa.3160280406 
• F. den Hollander. [www.encyclopediaofmath.org/index.php/Wiener_sausage Wiener sausage] — Encyclopedia of Mathematics, ISBN 1402006098
• Kac, M. & Luttinger, J. M. (1973), "[dx.doi.org/10.1063%2F1.1666234 Bose-Einstein condensation in the presence of impurities]", J. Mathematical Phys. Т. 14 (11): 1626–1628, DOI 10.1063/1.1666234 
• Kac, M. & Luttinger, J. M. (1974), "[dx.doi.org/10.1063%2F1.1666617 Bose-Einstein condensation in the presence of impurities. II]", J. Mathematical Phys. Т. 15 (2): 183–186, DOI 10.1063/1.1666617 
• Simon, Barry (2005), Functional integration and quantum physics, Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-3582-3  Especially chapter 22.
• Spitzer, F. (1964), "[dx.doi.org/10.1007%2FBF00535970 Electrostatic capacity, heat flow and Brownian motion]", Probability Theory and Related Fields Т. 3 (2): 110–121, DOI 10.1007/BF00535970 
• Spitzer, Frank (1976), Principles of random walks, vol. 34, Graduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg,: Springer-Verlag, с. 40  (Reprint of 1964 edition)
• Sznitman, Alain-Sol (1998), Brownian motion, obstacles and random media, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64554-3  An advanced monograph covering the Wiener sausage.
• Whitman, Walter William (1964), Some Strong Laws for Random Walks and Brownian Motion, PhD Thesis, Cornell U. 

Отрывок, характеризующий Сосиска Винера

Отец с наружным спокойствием, но внутренней злобой принял сообщение сына. Он не мог понять того, чтобы кто нибудь хотел изменять жизнь, вносить в нее что нибудь новое, когда жизнь для него уже кончалась. – «Дали бы только дожить так, как я хочу, а потом бы делали, что хотели», говорил себе старик. С сыном однако он употребил ту дипломацию, которую он употреблял в важных случаях. Приняв спокойный тон, он обсудил всё дело.
Во первых, женитьба была не блестящая в отношении родства, богатства и знатности. Во вторых, князь Андрей был не первой молодости и слаб здоровьем (старик особенно налегал на это), а она была очень молода. В третьих, был сын, которого жалко было отдать девчонке. В четвертых, наконец, – сказал отец, насмешливо глядя на сына, – я тебя прошу, отложи дело на год, съезди за границу, полечись, сыщи, как ты и хочешь, немца, для князя Николая, и потом, ежели уж любовь, страсть, упрямство, что хочешь, так велики, тогда женись.
– И это последнее мое слово, знай, последнее… – кончил князь таким тоном, которым показывал, что ничто не заставит его изменить свое решение.
Князь Андрей ясно видел, что старик надеялся, что чувство его или его будущей невесты не выдержит испытания года, или что он сам, старый князь, умрет к этому времени, и решил исполнить волю отца: сделать предложение и отложить свадьбу на год.
Через три недели после своего последнего вечера у Ростовых, князь Андрей вернулся в Петербург.

На другой день после своего объяснения с матерью, Наташа ждала целый день Болконского, но он не приехал. На другой, на третий день было то же самое. Пьер также не приезжал, и Наташа, не зная того, что князь Андрей уехал к отцу, не могла себе объяснить его отсутствия.
Так прошли три недели. Наташа никуда не хотела выезжать и как тень, праздная и унылая, ходила по комнатам, вечером тайно от всех плакала и не являлась по вечерам к матери. Она беспрестанно краснела и раздражалась. Ей казалось, что все знают о ее разочаровании, смеются и жалеют о ней. При всей силе внутреннего горя, это тщеславное горе усиливало ее несчастие.
Однажды она пришла к графине, хотела что то сказать ей, и вдруг заплакала. Слезы ее были слезы обиженного ребенка, который сам не знает, за что он наказан.
Графиня стала успокоивать Наташу. Наташа, вслушивавшаяся сначала в слова матери, вдруг прервала ее:
– Перестаньте, мама, я и не думаю, и не хочу думать! Так, поездил и перестал, и перестал…
Голос ее задрожал, она чуть не заплакала, но оправилась и спокойно продолжала: – И совсем я не хочу выходить замуж. И я его боюсь; я теперь совсем, совсем, успокоилась…
На другой день после этого разговора Наташа надела то старое платье, которое было ей особенно известно за доставляемую им по утрам веселость, и с утра начала тот свой прежний образ жизни, от которого она отстала после бала. Она, напившись чаю, пошла в залу, которую она особенно любила за сильный резонанс, и начала петь свои солфеджи (упражнения пения). Окончив первый урок, она остановилась на середине залы и повторила одну музыкальную фразу, особенно понравившуюся ей. Она прислушалась радостно к той (как будто неожиданной для нее) прелести, с которой эти звуки переливаясь наполнили всю пустоту залы и медленно замерли, и ей вдруг стало весело. «Что об этом думать много и так хорошо», сказала она себе и стала взад и вперед ходить по зале, ступая не простыми шагами по звонкому паркету, но на всяком шагу переступая с каблучка (на ней были новые, любимые башмаки) на носок, и так же радостно, как и к звукам своего голоса прислушиваясь к этому мерному топоту каблучка и поскрипыванью носка. Проходя мимо зеркала, она заглянула в него. – «Вот она я!» как будто говорило выражение ее лица при виде себя. – «Ну, и хорошо. И никого мне не нужно».