Соты (геометрия)

В геометрии соты — это заполнение пространства или плотная упаковка многогранниками так, что не остаётся незаполненного пространства. Соты являются примером более широкого математического понятия мозаика или паркет в любой размерности.

Соты обычно формируются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, что даст однородные соты в сферическом пространстве.

Классификация

Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.

Простейшие соты формируются из слоёв призм, построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит тетраэдр Хилла и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.

Однородные трёхмерные соты

Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве, составленные из однородных многогранников имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространстве, называемых также архимедовыми сотами.

Соты называются правильными, если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты. Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):

Тип	Кубические соты	Квазиправильные соты
Ячейки	Кубические	Октаэдральные и тетраэдральные
Слой

Тетраэдрально-октаэдральные соты и повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.

Заполняющие пространство многогранники

О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о ячеечно-транзитивных или изохорных. Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках.

Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками:

1. Кубические соты (или вариации: прямоугольный параллелепипед, ромбический hexahedron или параллелепипед);
2. Шестиугольные призматические соты;
3. Ромбододекаэдральные соты;
4. Удлинённые додекаэдральные соты;
5. Соты из глубокоусечённых кубов.

Кубические соты	Шестиугольные призматические соты	Ромбододекаэдр	Удлиннённый ромбододекаэдр	Усечённый октаэдр
Куб (параллелепипед)	Шестиугольная призма	Ромбододекаэдр	Удлинённый додекаэдр	Усечённый октаэдр
3 длины рёбер	3+1 длины рёбер	4 длины рёбер	4+1 длины рёбер	6 длины рёбер

Другие известные примеры:

• Треугольные призматические соты.
• Однородные повёрнутые треугольные призматические соты
• Усечённые триакистетраэдральные соты. Ячейки мозаики Вороного атомов углерода в алмазе имеют такой вид.
• Трапецеидально-ромбические додекаэдральные соты.
• Простые изоэдричечкие мозаики.

Другие соты с двумя и более многогранниками

Иногда два и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит структура Уэйра-Фелана, заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата.

Структура Уэйра-Фелана (с двумя типами ячеек)

Невыпуклые трёхмерные соты

Документированные примеры редки. Можно различить два класса:

• Невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников. Они включают упаковку малые звёздчатые ромбические додекаэдры как в кубе Ёшимото.
• Мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.

Гиперболические соты

В трёхмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами, имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут π/2 и 2π/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.

Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот и много однородных гиперболических сот.

Двойственность сот в трёхмерном пространстве

Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом:

ячеек на вершины.

граней на рёбра.

Для правильных сот:

• Кубические соты самодвойственны.
• Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров.
• Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик.
• Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье Инчбальда.

Самодвойственные соты

Соты могут быть самодвойственными. Все n-мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3ⁿ⁻²,4} самодвойственны.

См. также

• Список однородных мозаик
• Правильные соты

Литература

• H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
• Williams, R. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 164—199.
• K. Critchlow. Order in space. — New York: Thames & Hudson Inc., 1997. — ISBN 0-500-34033-1.
• Branko Grünbaum Uniform tilings of 3-space // Geombinatorics. — 1994. — Вып. 4(2).
• P. Pearce. Structure in nature is a strategy for design. — Cambridge, Massachusetts, London: MIT press, 1978.
• Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. — 2001. — Т. 22, вып. 15.
• O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe [scripts.iucr.org/cgi-bin/paper?S0108767305009578 Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces] // Acta Cryst. — 2005. — Вып. A61.
• Linus Pauling. The Nature of the Chemical Bond. — Cornell University Press, 1960. — ISBN 0-8014-0333-2.
• G. Inchbald The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. — 1997. — Вып. 81, July.

Ссылки

• [web.archive.org/web/20070204075028/members.aol.com/Polycell/glossary.html#Honeycomb Glossary For Hyperspace]
• [www.steelpillow.com/polyhedra/five_sf/five.htm Five space-filling polyhedra], Guy Inchbald
• [www.steelpillow.com/polyhedra/AHD/AHD.htm The Archimedean honeycomb duals], Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80, November 1996, p.p. 466—475.
• [www.3doro.de/space-filling/ Raumfueller (Space filling polyhedra) by T.E. Dorozinski]

Отрывок, характеризующий Соты (геометрия)

Он спрашивал: чья рота? а в сущности он спрашивал: уж не робеете ли вы тут? И фейерверкер понял это.
– Капитана Тушина, ваше превосходительство, – вытягиваясь, закричал веселым голосом рыжий, с покрытым веснушками лицом, фейерверкер.
– Так, так, – проговорил Багратион, что то соображая, и мимо передков проехал к крайнему орудию.
В то время как он подъезжал, из орудия этого, оглушая его и свиту, зазвенел выстрел, и в дыму, вдруг окружившем орудие, видны были артиллеристы, подхватившие пушку и, торопливо напрягаясь, накатывавшие ее на прежнее место. Широкоплечий, огромный солдат 1 й с банником, широко расставив ноги, отскочил к колесу. 2 й трясущейся рукой клал заряд в дуло. Небольшой сутуловатый человек, офицер Тушин, спотыкнувшись на хобот, выбежал вперед, не замечая генерала и выглядывая из под маленькой ручки.
– Еще две линии прибавь, как раз так будет, – закричал он тоненьким голоском, которому он старался придать молодцоватость, не шедшую к его фигуре. – Второе! – пропищал он. – Круши, Медведев!
Багратион окликнул офицера, и Тушин, робким и неловким движением, совсем не так, как салютуют военные, а так, как благословляют священники, приложив три пальца к козырьку, подошел к генералу. Хотя орудия Тушина были назначены для того, чтоб обстреливать лощину, он стрелял брандскугелями по видневшейся впереди деревне Шенграбен, перед которой выдвигались большие массы французов.
Никто не приказывал Тушину, куда и чем стрелять, и он, посоветовавшись с своим фельдфебелем Захарченком, к которому имел большое уважение, решил, что хорошо было бы зажечь деревню. «Хорошо!» сказал Багратион на доклад офицера и стал оглядывать всё открывавшееся перед ним поле сражения, как бы что то соображая. С правой стороны ближе всего подошли французы. Пониже высоты, на которой стоял Киевский полк, в лощине речки слышалась хватающая за душу перекатная трескотня ружей, и гораздо правее, за драгунами, свитский офицер указывал князю на обходившую наш фланг колонну французов. Налево горизонт ограничивался близким лесом. Князь Багратион приказал двум баталионам из центра итти на подкрепление направо. Свитский офицер осмелился заметить князю, что по уходе этих баталионов орудия останутся без прикрытия. Князь Багратион обернулся к свитскому офицеру и тусклыми глазами посмотрел на него молча. Князю Андрею казалось, что замечание свитского офицера было справедливо и что действительно сказать было нечего. Но в это время прискакал адъютант от полкового командира, бывшего в лощине, с известием, что огромные массы французов шли низом, что полк расстроен и отступает к киевским гренадерам. Князь Багратион наклонил голову в знак согласия и одобрения. Шагом поехал он направо и послал адъютанта к драгунам с приказанием атаковать французов. Но посланный туда адъютант приехал через полчаса с известием, что драгунский полковой командир уже отступил за овраг, ибо против него был направлен сильный огонь, и он понапрасну терял людей и потому спешил стрелков в лес.
– Хорошо! – сказал Багратион.
В то время как он отъезжал от батареи, налево тоже послышались выстрелы в лесу, и так как было слишком далеко до левого фланга, чтобы успеть самому приехать во время, князь Багратион послал туда Жеркова сказать старшему генералу, тому самому, который представлял полк Кутузову в Браунау, чтобы он отступил сколь можно поспешнее за овраг, потому что правый фланг, вероятно, не в силах будет долго удерживать неприятеля. Про Тушина же и баталион, прикрывавший его, было забыто. Князь Андрей тщательно прислушивался к разговорам князя Багратиона с начальниками и к отдаваемым им приказаниям и к удивлению замечал, что приказаний никаких отдаваемо не было, а что князь Багратион только старался делать вид, что всё, что делалось по необходимости, случайности и воле частных начальников, что всё это делалось хоть не по его приказанию, но согласно с его намерениями. Благодаря такту, который выказывал князь Багратион, князь Андрей замечал, что, несмотря на эту случайность событий и независимость их от воли начальника, присутствие его сделало чрезвычайно много. Начальники, с расстроенными лицами подъезжавшие к князю Багратиону, становились спокойны, солдаты и офицеры весело приветствовали его и становились оживленнее в его присутствии и, видимо, щеголяли перед ним своею храбростию.


Князь Багратион, выехав на самый высокий пункт нашего правого фланга, стал спускаться книзу, где слышалась перекатная стрельба и ничего не видно было от порохового дыма. Чем ближе они спускались к лощине, тем менее им становилось видно, но тем чувствительнее становилась близость самого настоящего поля сражения. Им стали встречаться раненые. Одного с окровавленной головой, без шапки, тащили двое солдат под руки. Он хрипел и плевал. Пуля попала, видно, в рот или в горло. Другой, встретившийся им, бодро шел один, без ружья, громко охая и махая от свежей боли рукою, из которой кровь лилась, как из стклянки, на его шинель. Лицо его казалось больше испуганным, чем страдающим. Он минуту тому назад был ранен. Переехав дорогу, они стали круто спускаться и на спуске увидали несколько человек, которые лежали; им встретилась толпа солдат, в числе которых были и не раненые. Солдаты шли в гору, тяжело дыша, и, несмотря на вид генерала, громко разговаривали и махали руками. Впереди, в дыму, уже были видны ряды серых шинелей, и офицер, увидав Багратиона, с криком побежал за солдатами, шедшими толпой, требуя, чтоб они воротились. Багратион подъехал к рядам, по которым то там, то здесь быстро щелкали выстрелы, заглушая говор и командные крики. Весь воздух пропитан был пороховым дымом. Лица солдат все были закопчены порохом и оживлены. Иные забивали шомполами, другие посыпали на полки, доставали заряды из сумок, третьи стреляли. Но в кого они стреляли, этого не было видно от порохового дыма, не уносимого ветром. Довольно часто слышались приятные звуки жужжанья и свистения. «Что это такое? – думал князь Андрей, подъезжая к этой толпе солдат. – Это не может быть атака, потому что они не двигаются; не может быть карре: они не так стоят».
Худощавый, слабый на вид старичок, полковой командир, с приятною улыбкой, с веками, которые больше чем наполовину закрывали его старческие глаза, придавая ему кроткий вид, подъехал к князю Багратиону и принял его, как хозяин дорогого гостя. Он доложил князю Багратиону, что против его полка была конная атака французов, но что, хотя атака эта отбита, полк потерял больше половины людей. Полковой командир сказал, что атака была отбита, придумав это военное название тому, что происходило в его полку; но он действительно сам не знал, что происходило в эти полчаса во вверенных ему войсках, и не мог с достоверностью сказать, была ли отбита атака или полк его был разбит атакой. В начале действий он знал только то, что по всему его полку стали летать ядра и гранаты и бить людей, что потом кто то закричал: «конница», и наши стали стрелять. И стреляли до сих пор уже не в конницу, которая скрылась, а в пеших французов, которые показались в лощине и стреляли по нашим. Князь Багратион наклонил голову в знак того, что всё это было совершенно так, как он желал и предполагал. Обратившись к адъютанту, он приказал ему привести с горы два баталиона 6 го егерского, мимо которых они сейчас проехали. Князя Андрея поразила в эту минуту перемена, происшедшая в лице князя Багратиона. Лицо его выражало ту сосредоточенную и счастливую решимость, которая бывает у человека, готового в жаркий день броситься в воду и берущего последний разбег. Не было ни невыспавшихся тусклых глаз, ни притворно глубокомысленного вида: круглые, твердые, ястребиные глаза восторженно и несколько презрительно смотрели вперед, очевидно, ни на чем не останавливаясь, хотя в его движениях оставалась прежняя медленность и размеренность.
Полковой командир обратился к князю Багратиону, упрашивая его отъехать назад, так как здесь было слишком опасно. «Помилуйте, ваше сиятельство, ради Бога!» говорил он, за подтверждением взглядывая на свитского офицера, который отвертывался от него. «Вот, изволите видеть!» Он давал заметить пули, которые беспрестанно визжали, пели и свистали около них. Он говорил таким тоном просьбы и упрека, с каким плотник говорит взявшемуся за топор барину: «наше дело привычное, а вы ручки намозолите». Он говорил так, как будто его самого не могли убить эти пули, и его полузакрытые глаза придавали его словам еще более убедительное выражение. Штаб офицер присоединился к увещаниям полкового командира; но князь Багратион не отвечал им и только приказал перестать стрелять и построиться так, чтобы дать место подходившим двум баталионам. В то время как он говорил, будто невидимою рукой потянулся справа налево, от поднявшегося ветра, полог дыма, скрывавший лощину, и противоположная гора с двигающимися по ней французами открылась перед ними. Все глаза были невольно устремлены на эту французскую колонну, подвигавшуюся к нам и извивавшуюся по уступам местности. Уже видны были мохнатые шапки солдат; уже можно было отличить офицеров от рядовых; видно было, как трепалось о древко их знамя.
– Славно идут, – сказал кто то в свите Багратиона.
Голова колонны спустилась уже в лощину. Столкновение должно было произойти на этой стороне спуска…
Остатки нашего полка, бывшего в деле, поспешно строясь, отходили вправо; из за них, разгоняя отставших, подходили стройно два баталиона 6 го егерского. Они еще не поровнялись с Багратионом, а уже слышен был тяжелый, грузный шаг, отбиваемый в ногу всею массой людей. С левого фланга шел ближе всех к Багратиону ротный командир, круглолицый, статный мужчина с глупым, счастливым выражением лица, тот самый, который выбежал из балагана. Он, видимо, ни о чем не думал в эту минуту, кроме того, что он молодцом пройдет мимо начальства.
С фрунтовым самодовольством он шел легко на мускулистых ногах, точно он плыл, без малейшего усилия вытягиваясь и отличаясь этою легкостью от тяжелого шага солдат, шедших по его шагу. Он нес у ноги вынутую тоненькую, узенькую шпагу (гнутую шпажку, не похожую на оружие) и, оглядываясь то на начальство, то назад, не теряя шагу, гибко поворачивался всем своим сильным станом. Казалось, все силы души его были направлены на то,чтобы наилучшим образом пройти мимо начальства, и, чувствуя, что он исполняет это дело хорошо, он был счастлив. «Левой… левой… левой…», казалось, внутренно приговаривал он через каждый шаг, и по этому такту с разно образно строгими лицами двигалась стена солдатских фигур, отягченных ранцами и ружьями, как будто каждый из этих сотен солдат мысленно через шаг приговаривал: «левой… левой… левой…». Толстый майор, пыхтя и разрознивая шаг, обходил куст по дороге; отставший солдат, запыхавшись, с испуганным лицом за свою неисправность, рысью догонял роту; ядро, нажимая воздух, пролетело над головой князя Багратиона и свиты и в такт: «левой – левой!» ударилось в колонну. «Сомкнись!» послышался щеголяющий голос ротного командира. Солдаты дугой обходили что то в том месте, куда упало ядро; старый кавалер, фланговый унтер офицер, отстав около убитых, догнал свой ряд, подпрыгнув, переменил ногу, попал в шаг и сердито оглянулся. «Левой… левой… левой…», казалось, слышалось из за угрожающего молчания и однообразного звука единовременно ударяющих о землю ног.