Специальная теория относительности

Общая теория относительности

<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,</math>

Гравитация Математическая формулировка Космология

Фундаментальные принципы Специальная теория относительности · Пространство-время · Принцип эквивалентности · Мировая линия · Псевдориманова геометрия Явления Задача Кеплера в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационная волна · Увлечение инерциальных систем отсчёта · Расхождение геодезических · Горизонт событий · Гравитационная сингулярность · Чёрная дыра Уравнения Уравнения Эйнштейна · Линеаризованная ОТО · Постньютоновский формализм Развитие теории Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы — Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории Решения Точные решения: Шварцшильда · Райсснера — Нордстрёма · Керра · Керра — Ньюмена · Гёделя · Казнера · Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера Приближённые решения: Постньютоновский формализм · Ковариантная теория возмущений · Численная относительность Журналы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · Гравитация и космология · Living Reviews in Relativity Известные учёные Эйнштейн · Минковский · Шварцшильд · Леметр · Эддингтон · Фридман · Фок · Керр · Чандрасекар · Пенроуз Хокинг и другие…

См. также: Портал:Физика

Специа́льная тео́рия относи́тельности (СТО; также называемая ча́стная тео́рия относи́тельности) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Основным отличием СТО от классической механики является зависимость (наблюдаемых) пространственных и временных характеристик от скорости. Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями.

Центральное место в специальной теории относительности занимают преобразования Лоренца, которые позволяют преобразовывать пространственно-временные координаты событий при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Специальная теория относительности была создана Альбертом Эйнштейном в работе 1905 года «К электродинамике движущихся тел». Математический аппарат преобразований координат и времени между различными системами отсчета (с целью сохранения уравнений электромагнитного поля), был ранее сформулирован французским математиком А. Пуанкаре (который и предложил их назвать «преобразованиями Лоренца»: сам Лоренц вывел до этого только приближённые формулы). А. Пуанкаре также первым показал, что эти преобразования можно интерпретировать как повороты в четырёхмерном пространстве-времени (опередив Г. Минковского) и показал, что преобразования Лоренца образуют группу (см. о роли А. Пуанкаре в создании теории относительности подробнее).

Непосредственно термин «теория относительности» был предложен М. Планком. В дальнейшем, после разработки А. Эйнштейном теории гравитации — общей теории относительности — к первоначальной теории начал применяться термин «специальная» или «частная» теория относительности (от нем. Spezielle Relativitätstheorie).

Создание СТО

Предпосылкой к созданию теории относительности явилось развитие в XIX веке электродинамики . Результатом обобщения и теоретического осмысления экспериментальных фактов и закономерностей в областях электричества и магнетизма стали уравнения Максвелла, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. В электродинамике Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в вакууме не зависит от скоростей движения как источника этих волн, так и наблюдателя, и равна скорости света. Таким образом, уравнения Максвелла оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея, что противоречило классической механике.

Специальная теория относительности была разработана в начале XX века усилиями Г. А. Лоренца, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна и других учёных (см. История теории относительности). Экспериментальной основой для создания СТО послужил опыт Майкельсона. Результаты оказались неожиданными для классической физики того времени: скорость света не зависит от направления (изотропность) и орбитального движения Земли вокруг Солнца. Попытка интерпретировать полученные данные вылилась в пересмотр классических представлений и привела к созданию специальной теории относительности.

При движении со скоростями всё более приближающимися к скорости света отклонение от законов классической динамики становится всё более существенным. Второй закон Ньютона, связывающий силу и ускорение, должен быть модифицирован в соответствии с принципами СТО. Также импульс и кинетическая энергия тела сложнее зависят от скорости, чем в нерелятивистском случае.

Специальная теория относительности получила многочисленные подтверждения на опыте и является верной теорией в своей области применимости (см. Экспериментальные основания СТО). По меткому замечанию Л. Пэйджа, «в наш век электричества вращающийся якорь каждого генератора и каждого электромотора неустанно провозглашает справедливость теории относительности — нужно лишь уметь слушать».

Основные понятия и постулаты СТО

Специальная теория относительности, как и любая другая физическая теория, может быть сформулирована на базе из основных понятий и постулатов (аксиом) плюс правила соответствия её физическим объектам.

Основные понятия

Система отсчёта представляет собой некоторое материальное тело, выбираемое в качестве начала этой системы, способ определения положения объектов относительно начала системы отсчёта и способ измерения времени. Обычно различают системы отсчёта и системы координат. Добавление процедуры измерения времени к системе координат «превращает» её в систему отсчёта.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) — это такая система, относительно которой объект, не подверженный внешним воздействиям, движется равномерно и прямолинейно. Постулируется, что ИСО существуют, и любая система отсчёта, движущаяся относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, также является ИСО.

Событием называется любой физический процесс, который может быть локализован в пространстве, и имеющий при этом очень малую длительность. Другими словами, событие полностью характеризуется координатами (x, y, z) и моментом времени t. Примерами событий являются: вспышка света, положение материальной точки в данный момент времени и т. п.

Обычно рассматриваются две инерциальные системы S и S'. Время и координаты некоторого события, измеренные относительно системы S, обозначаются как (t, x, y, z), а координаты и время этого же события, измеренные относительно системы S', как (t', x', y', z'). Удобно считать, что координатные оси систем параллельны друг другу, и система S' движется вдоль оси x системы S со скоростью v. Одной из задач СТО является поиск соотношений, связывающих (t', x', y', z') и (t, x, y, z), которые называются преобразованиями Лоренца.

Синхронизация времени

В СТО постулируется возможность определения единого времени в рамках данной инерциальной системы отсчёта. Для этого вводится процедура синхронизации двух часов, находящихся в различных точках ИСО . Пусть от первых часов в момент времени <math>t_1</math> ко вторым посылается сигнал (не обязательно световой) с постоянной скоростью <math>u</math>. Сразу по достижении вторых часов (по их показаниям в момент времени <math>T</math>) сигнал отправляется обратно с той же постоянной скоростью <math>u</math> и достигает первых часов в момент времени <math>t_2</math>. Часы считаются синхронизированными, если выполняется соотношение <math>T=(t_1+t_2)/2</math>.

Предполагается, что такая процедура в данной инерциальной системе отсчёта может быть проведена для любых неподвижных относительно друг друга часов, так что справедливо свойство транзитивности: если часы A синхронизованы с часами B, а часы B синхронизованы с часами C, то часы A и C также окажутся синхронизированными.

В отличие от классической механики, единое время можно ввести только в рамках данной системы отсчёта. В СТО не предполагается, что время является общим для различных систем. В этом состоит основное отличие аксиоматики СТО от классической механики, в которой постулируется существование единого (абсолютного) времени для всех систем отсчёта.

Согласование единиц измерения

Чтобы измерения, выполненные в различных ИСО, можно было между собой сравнивать, необходимо провести согласование единиц измерения между системами отсчёта. Так, единицы длины могут быть согласованы при помощи сравнения эталонов длины в перпендикулярном направлении к относительному движению инерциальных систем отсчёта. Например, это может быть кратчайшее расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно осям x и x' и имеющих различные, но постоянные координаты (y, z) и (y',z'). Для согласования единиц измерения времени можно использовать идентично устроенные часы, например, атомные.

Постулаты СТО

В первую очередь в СТО, как и в классической механике, предполагается, что пространство и время однородны, а пространство также изотропно. Если быть более точным (современный подход) инерциальные системы отсчета собственно и определяются как такие системы отсчета, в которых пространство однородно и изотропно, а время однородно. По сути существование таких систем отсчета постулируется.

Постулат 1 (принцип относительности Эйнштейна). Любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что форма зависимости физических законов от пространственно-временных координат должна быть одинаковой во всех ИСО, то есть законы инвариантны относительно переходов между ИСО. Принцип относительности устанавливает равноправие всех ИСО.

Учитывая второй закон Ньютона (или уравнения Эйлера-Лагранжа в лагранжевой механике), можно утверждать, что если скорость некоторого тела в данной ИСО постоянна (ускорение равно нулю), то она должна быть постоянна и во всех остальных ИСО. Иногда это и принимают за определение ИСО.

Формально, принцип относительности Эйнштейна распространил классический принцип относительности (Галилея) с механических на все физические явления. Однако, если учесть, что во времена Галилея физика заключалась собственно в механике, то и классический принцип тоже можно считать распространяющимся на все физические явления. В том числе он должен распространяться и на электромагнитные явления, описываемые уравнениями Максвелла. Однако, согласно последним (и это можно считать эмпирически установленным, так как уравнения выведены из эмпирически выявленных закономерностей), скорость распространения света является определённой величиной, не зависящей от скорости источника (по крайней мере в одной системе отсчёта). Принцип относительности в таком случае говорит, что она не должна зависеть от скорости источника во всех ИСО в силу их равноправности. А значит, она должна быть постоянной во всех ИСО. В этом заключается суть второго постулата:

Постулат 2 (принцип постоянства скорости света). Скорость света в «покоящейся» системе отсчёта не зависит от скорости источника.

Принцип постоянства скорости света противоречит классической механике, а конкретно — закону сложения скоростей. При выводе последнего используется только принцип относительности Галилея и неявное допущение одинаковости времени во всех ИСО. Таким образом, из справедливости второго постулата следует, что время должно быть относительным — неодинаковым в разных ИСО. Необходимым образом отсюда следует и то, что «расстояния» также должны быть относительны. В самом деле, если свет проходит расстояние между двумя точками за некоторое время, а в другой системе — за другое время и притом с той же скоростью, то отсюда непосредственно следует, что и расстояние в этой системе должно отличаться.

Необходимо отметить, что световые сигналы, вообще говоря, не требуются при обосновании СТО. Хотя неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея привела к построению СТО, последняя имеет более общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических процессов. Фундаментальная константа <math>c</math>, возникающая в преобразованиях Лоренца, имеет смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она совпадает со скоростью света, однако этот факт, согласно современной квантовой теории поля (уравнения которой изначально строятся как релятивистски инвариантные) связан с безмассовостью электромагнитного поля (фотона). Даже если бы фотон имел отличную от нуля массу, преобразования Лоренца от этого бы не изменились. Поэтому имеет смысл различать фундаментальную скорость <math>c</math> и скорость света <math>c_{em}</math>. Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда как вторая связана со свойствами конкретного взаимодействия.

В связи с этим второй постулат следует формулировать как существование предельной (максимальной) скорости движения. По своей сути она должна быть одинаковой во всех ИСО, хотя бы потому, что в противном случае различные ИСО не будут равноправны, что противоречит принципу относительности. Более того, исходя из принципа «минимальности» аксиом, можно сформулировать второй постулат просто как существование некоторой скорости, одинаковой во всех ИСО, а после вывода соответствующих преобразований — показать, что это предельная скорость (потому, что подстановка в эти формулы скоростей больше этой скорости приводит к мнимости координат).

Альтернативные аксиоматики

После построения Эйнштейном СТО на основе вышеуказанных постулатов, многие исследователи пытались отказаться от второго постулата вообще. Спустя 5 лет после известной статьи Эйнштейна 1905 года, благодаря работам Игнатовского, Ф.Франка и Г.Роте (см. исторический очерк) стал известен способ получения общего вида (с точностью до неопределенной константы) преобразований Лоренца без использования второго постулата. При «правильном» знаке неопределенного параметра эти преобразования совпадают с преобразованиями Лоренца. Из этого следует наличие максимальной скорости, одинаковой во всех ИСО. Тем не менее, знак этой константы из предложенных аксиом никак не следует. Предлагается оценивать значение параметра экспериментально. Чтобы измерить этот параметр, а значит и фундаментальную скорость <math>c</math>, нет необходимости проводить электродинамические эксперименты. Можно, например, на основе измерений скорости одного и того же объекта в разных ИСО и воспользоваться законом сложения скоростей с неопределенным параметром. Необходимо, однако, отметить, что экспериментальное «вычисление» знака неопределенной константы фактически эквивалентно предположению о наличии максимальной скорости, то есть по существу второму постулату.

Тем не менее, попытки аксиоматизации, в том числе без второго постулата, предпринимались позднее и другими исследователями. Существуют также аксиоматики, которые не используют принцип относительности — а только принцип постоянства скорости света. Более подробно с ними можно ознакомиться в статье А. К. Гуца.

Преобразования Лоренца

Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта <math>S</math> и <math>S'</math> параллельны друг другу, <math>(t, x, y, z)</math> — время и координаты некоторого события, наблюдаемого относительно системы <math>S</math>, а <math>(t',x',y',z')</math> — время и координаты того же события относительно системы <math>S'</math>.

Общий вид преобразований Лоренца в векторном виде, когда скорость систем отсчёта имеет произвольное направление:

<math>

t'=\gamma\cdot \left(t-\frac{\mathbf{r}\mathbf{v}}{c^2}\right),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{r}' = \mathbf{r} - \gamma\mathbf{v} t + (\gamma-1)\,\frac{(\mathbf{r}\mathbf{v}) \mathbf{v}}{v^2}. </math> где <math>\gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2/c^2}</math> — фактор Лоренца, <math>\mathbf{r}</math> и <math>\mathbf{r}'</math> — радиус-векторы события относительно систем S и S'.

Если сориентировать координатные оси по направлению относительного движения инерциальных систем (то есть в общие формулы подставить <math>\mathbf{r}\mathbf{v}=||\mathbf{r}|| ||\mathbf{v}||=r v</math>) и выбрать это направление в качестве оси <math>x</math> (то есть так, чтобы система S' двигалась равномерно и прямолинейно со скоростью <math>v</math> относительно S вдоль оси <math>x</math>), то преобразования Лоренца примут следующий вид:

<math>t'=\frac{t-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c^2}\,x}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~ x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z,</math>

где <math>c</math> — скорость света. При скоростях много меньше скорости света (<math>v\ll c</math>) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:

<math>t'=t,~~~~~~~~~~~ x'=x-vt,~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z.</math>

Подобный предельный переход является отражением принципа соответствия, согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае — классическую механику).

Вывод преобразований Лоренца

Существует множество способов вывода преобразований Лоренца. Рассмотрим один из вариантов.

Предполагается, что начало координат системы <math>S'</math> (в силу однородности пространства это может быть любая покоящаяся в этой системе точка) движется относительно системы <math>S</math> со скоростью <math>v</math>. Соответственно, начало координат (покоящаяся точка) системы <math>S</math> движется в <math>S'</math> со скоростью <math>-v</math>. В целях упрощения дальнейшего изложения (а также самих конечных формул преобразования) будем исходить из предположения о совпадении начал отсчета обоих ИСО (<math>t'=t=0</math>, когда <math>x'=x=0</math>) и одинаковой ориентированности координатных осей таким образом, чтобы относительное движение ИСО было направлено вдоль оси <math>x</math> (с противоположными знаками в разных системах). При относительном движении систем вдоль оси x можно считать, что <math>y'=y, z'=z</math> (это можно также показать более строго), таким образом, фактически можно рассматривать преобразования для одномерного пространства и рассматривать только векторы двумерного пространства-времени <math>z=(x,t)</math>.

Линейность преобразований

В силу однородности пространства и времени и изотропности пространства и принципа относительности преобразования от одной ИСО к другой должны быть линейными. Линейность преобразований можно также вывести предполагая, что, если два объекта имеют одинаковые скорости относительно одной ИСО, то их скорости будут равны и в любой другой ИСО, (при этом необходимо использовать также слабые предположения о дифференцируемости и взаимной однозначности функций преобразования). Если использовать только «определение» ИСО: если некоторое тело имеет постоянную скорость относительно одной инерциальной системы отсчёта, то его скорость будет постоянна и относительно любой другой ИСО, то можно показать только, что преобразования между двумя ИСО должны быть дробно-линейными функциями координат и времени с одинаковым знаменателем .

Таким образом, если <math>\mathbf{x'}</math> — пространственно-временной вектор в системе <math>S'</math>, а <math>A</math>-матрица искомого линейного преобразования, то <math>\mathbf{x}=A \mathbf{x'}</math>. Матрица преобразования может зависеть только от относительной скорости рассматриваемых ИСО, то есть <math>A=A(v)</math>. Исходя только из соглашений об относительной скорости движения систем отсчета можно установить общий вид (структуру) линейного преобразования и закона сложения скоростей:

<math>A(v)=\gamma(v) \begin{pmatrix} 1 & v \\ \beta(v) & 1 \\ \end{pmatrix}</math> и закон сложения скоростей <math>w'+v=w(w'\beta(v)+1)</math>

Доказательство  

Рассмотрим движение из начала координат с постоянной скоростью <math>w'</math> в системе <math>S'</math>. Тогда <math>\mathbf{x}=(wt,t)^T, \mathbf{x'}=(w't',t')^T</math>. Тогда

<math>(a_{11}w'+a_{12})t'=w t</math>, <math>(a_{21}w'+a_{22})t'=t</math>

подставив второе в первое, получим закон сложения скоростей в следующем виде:

<math>a_{11}w'+a_{12}=w(w'a_{21}+a_{22})</math>.

По определению начало координат системы <math>S'</math> должно двигаться в <math>S</math> со скоростью <math>v</math>, а начало координат в <math>S</math> должно двигаться относительно <math>S'</math> со скоростью <math>-v</math>. То есть если <math>w'=0</math>, то <math>w=v</math>, а если <math>w=0</math>, то <math>w'=-v</math>. Учитывая это получим: <math>a_{12}=v a_{22}, a_{12}=v a_{11}</math>. Обозначив <math>\gamma=a_{11}=a_{22}</math>, получим <math>a_{12}=v\gamma</math>. Введем также обозначение <math>\beta=a_{21}/\gamma</math>. Отсюда и получаем вид преобразования и закона сложения скоростей. Необходимо отметить, что если бы дополнительно использовалось предположение <math>t=t'</math>, то сразу можно было бы получить классический закон сложения скоростей и преобразования Галилея. Однако, это предположение противоречит второму постулату.

Необходимо отметить, что если уже на этой стадии использовать второй постулат, то можно получить окончательный вид функции <math>\beta(v)</math>. Однако, структуру матрицы (то есть функцию <math>\gamma(v)</math> и <math>\beta(v)</math>) можно уточнить используя принцип относительности и изотропность пространства .

Вывод общего вида матрицы преобразования

Очевидно, если <math>\mathbf{x}=A \mathbf{x'}</math>, то <math>\mathbf{x'}=A^{-1}\mathbf{x}</math>. Поскольку преобразования должны быть одинаковыми для всех ИСО (принцип относительности), то <math>A^{-1}(v)=A(-v)</math>, так как если система <math>S'</math> движется относительно <math>S</math> со скоростью <math>v</math>, то это означает, что система <math>S</math> движется относительно <math>S'</math> со скоростью <math>-v</math>. Таким образом

<math>A(v)A(-v)=I</math>

Подставив в это соотношение общий вид искомой матрицы <math>A</math>, получим

<math>\gamma(v)\gamma(-v)=\frac {1}{1-v\beta(v)}</math>, где <math>\beta(v)</math> — нечетная функция.

Доказательство  

В самом деле:

<math>A(v)A(-v)=\gamma(v)\gamma(-v) \begin{pmatrix} 1 & v \\ \beta(v) & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -v \\ \beta(-v) & 1\\ \end{pmatrix} = \gamma(v)\gamma(-v) \begin{pmatrix} 1+v\beta(-v) & -v+v \\ \beta(v)+\beta(-v) & 1-v \beta(v)\\ \end{pmatrix} </math>

Поскольку последняя матрица должна быть единичной, то отсюда непосредственно следует, что <math>\beta(-v)=-\beta(v)</math> (нечетность) и <math>\gamma(v)\gamma(-v)(1-v\beta(v))=1</math>. Следовательно

<math>\gamma(v)\gamma(-v)=\frac{1}{1-v\beta(v)}</math>.

В силу изотропности пространства, смена координатных осей в противоположную сторону не должна влиять на вид зависимости между координатами в разных системах. Выбрав произвольный вектор <math>(x',0)</math>, в другой системе отсчета получим <math>x=\gamma(v)x'</math>. Поменяв координатную ось <math>x</math> на противоположную в обеих системах — получим — <math>-x=\gamma(-v)(-x')</math>. Но так как вид преобразования должен быть точно таким же, то <math>\gamma(v)=\gamma(-v)</math> — четная функция. Следовательно <math>\gamma^2(v)=1/(1-v\beta(v))</math>. Поскольку при <math>v=0</math> преобразование должно быть тождественным, то <math>\gamma(0)=1</math>. Следовательно при взятии квадратного корня необходимо использовать только положительный знак, то есть:

<math>\gamma(v)=1/\sqrt{1-v\beta(v)}</math>

Тем самым остается только уточнить функцию <math>\beta(v)</math>. Это можно сделать сразу воспользовавшись вторым постулатом, однако, исходя из принципа относительности можно показать, что эта функция должна иметь вид <math>\beta(v)=\alpha v</math>, где <math>\alpha</math> — параметр, не зависящий от <math>v</math>.

Доказательство  

В самом деле, из принципа относительности следует, что преобразование координат от системы <math>S_1</math> к системе <math>S_2</math>, а затем к <math>S_3</math> эквивалентно преобразованию от <math>S_1</math> непосредственно к <math>S_3</math>, причем законы преобразования одинаковы и зависят только от относительных скоростей этих систем. То есть

<math>A(v_3)=A(v_1)A(v_2)</math>

Подставим в это выражение полученный вид матрицы A:

<math>A(v_3)=\gamma(v_3) \begin{pmatrix} 1 & v_3 \\ \beta(v_3) & 1 \\ \end{pmatrix} =\gamma(v_1)\gamma(v_2) \begin{pmatrix} 1 & v_1 \\ \beta(v_1) & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & v_2 \\ \beta(v_2) & 1 \\ \end{pmatrix} =\gamma(v_1)\gamma(v_2) \begin{pmatrix} 1+v_1\beta(v_2) & v_1+v_2 \\ \beta(v_1)+\beta(v_2) & 1+v_2\beta(v_1) \\ \end{pmatrix} </math>

Учитывая, что в первой матрице диагональные элементы одинаковы, то они должны быть одинаковы и в последней матрице, откуда следует, что <math>1+v_1\beta(v_2)=1+v_2\beta(v_1)</math>. Следовательно

<math>\beta(v_1)/v_1=\beta(v_2)/v_2</math>

для произвольных скоростей <math>v_1</math> и <math>v_2</math>. Это означает, что <math>\beta(v)/v=\alpha=const</math> - постоянная величина, не зависящая от скорости <math>v</math>.

Следовательно, матрица преобразования и закон сложения скоростей имеют следующий вид (с точностью до неопределенного параметра):

<math>A(v)=\gamma(v) \begin{pmatrix} 1 & v \\ \alpha v & 1 \\ \end{pmatrix},</math> <math>\gamma(v)=\frac {1}{\sqrt{1-\alpha v^2}}</math> и закон сложения скоростей <math>w=\frac {w'+v} {1+\alpha w' v }</math>

Численное значение параметра <math>\alpha</math> и её знак невозможно вывести из вышеуказанных предположений. Для этого необходимо либо дополнительное предположение (из которого будет следовать знак <math>\alpha</math>), либо обращение к эксперименту (последнее необходимо в любом случае для установления конкретного значения <math>\alpha</math>). Если <math>\alpha=0</math>, то получим классические преобразования Галилея, если <math>\alpha>0</math>, то получаем искомые преобразования Лоренца (введя обозначение <math>\alpha=1/c^2</math>). Из дальнейшего анализа становится ясно, что в этом случае константа <math>c</math> имеет смысл максимальной скорости движения любого объекта.

Использование второго постулата

Согласно второму постулату если <math>w'=\pm c</math>, то <math>w=c</math> по абсолютной величине. Второй постулат, вообще говоря, не позволяет непосредственно определить направление (знак) движения света в разных ИСО. Поэтому можно записать, что <math>w^2=c^2</math>. Используя закон сложения скоростей можно показать, что <math>\alpha =1/c^2</math>.

Доказательство  

Возведя закон сложения скоростей в квадрат и подставив значения <math>w'=\pm c</math> и <math>w^2=c^2</math> получим:

<math>(v \pm c)^2=c^2(1 \pm \alpha c v)^2</math>

Следовательно

<math>v^2+c^2 \pm 2v c=c^2(1+\alpha^2 c^2v^2 \pm 2 \alpha c v)</math>

Отсюда

<math>v \pm 2 c=c^3 (\alpha^2 c v \pm 2 \alpha) </math>

Вычитая из выражения со знаком "+" выражение со знаком "-" получим <math>4c=4c^3 \alpha</math>, откуда и следует, что <math>\alpha =1/c^2</math>.

Таким образом, окончательно получаем преобразование и закон сложения скоростей:

<math>A(v)=\frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \begin{pmatrix} 1 & v \\ v/c^2 & 1 \\ \end{pmatrix}</math> и закон сложения скоростей <math>w=\frac {w'+v} {1+w' v /c^2}</math>

Для получения обратных преобразований (от <math>S</math> к <math>S'</math>) достаточно вместо скорости <math>v</math> подставить <math>-v</math>.

Интервал

Интервалом между произвольными событиями называется квадратный корень следующей величины:

<math> \Delta s^2 = c^2 \Delta t^2_{} - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2,</math>

где <math> \Delta t=t_2-t_1,~\Delta x=x_2-x_1, ~\Delta y=y_2-y_1, ~\Delta z=z_2-z_1</math> — являются разностями времён и координат двух событий.

Непосредственной подстановкой преобразований Лоренца можно убедиться, что интервал оказывается одинаковым во всех ИСО. Этот факт однако, можно показать и без использования полученных преобразований Лоренца, а используя только постулаты СТО (включая однородность и изотропность пространства и однородность времени).

Доказательство  

Если интервал между событиями равен нулю в одной ИСО, то это означает, что период времени <math>\Delta t</math> - это время (в данной ИСО) прохождения световым сигналом пути <math>l</math> между пространственными координатами данных точек. В другой ИСО он проходит путь между этими точками (длина этого пути - <math>l'</math>) за некоторый другой период времени <math>\Delta t'</math>, поэтому скорость, умноженная на <math>\Delta t'</math> также должна быть равна <math>l'</math>. Однако, согласно второму постулату скорость светового сигнала одинакова во всех ИСО, поэтому и во второй ИСО интервал будет равен нулю. Таким образом, непосредственно из второго постулата следует утверждение:

если <math>{\Delta s}^2=c^2{\Delta t}^2-{\Delta x}^2-{\Delta y}^2-{\Delta z}^2=0</math>, то и в любой другой ИСО <math>\Delta s'^2=c^2{\Delta t'}^2-{\Delta x'}^2-{\Delta y'}^2-{\Delta z'}^2=0</math>,

Для бесконечно близких событий имеем <math>ds^2=c^2dt^2-dl^2</math> и <math>ds'^2=c^2dt'^2-dl'^2</math>. Пусть <math>ds'^2=a ds^2</math>. В частности, если <math>ds=0</math>, то и <math>ds'=0</math>. В силу однородности и изотропности пространства и времени <math>a</math> не может зависеть от пространственно-временных координат, а может зависеть только от относительной скорости систем отсчета. Она не должна также зависеть от направления относительного движения в силу изотропности пространства. В силу принципа относительности функция зависимости от относительной скорости должна быть универсальной, то одинакова для всех ИСО. Рассмотрим три системы отсчета <math>S, S_1, S_2</math> где векторы скорости движения <math>S_1</math> и <math>S_2</math> в системе <math>S</math> равны <math>\mathbf{v_1}</math> и <math>\mathbf{v_2}</math>. Рассмотрим некоторый интервал в этих трех системах отсчета:

<math>ds^2=a(v_1)ds^2_1, ds^2=a(v_2)ds^2_2, ds^2_1=a(v_{12})ds^2_2</math>

Отсюда <math>a(v_{12})=a(v_{1})/a(v_{2})</math>. Однако, <math>v_{12}</math> зависит не только <math>v_1</math> и <math>v_2</math>, но и от направления этих векторов, поэтому это соотношение возможно только если функция <math>a(v)</math> от <math>v</math> вообще не зависит, то есть является некоторой константой. Из этого же соотношения следует, что a=1. Это означает, что всегда выполнено соотношение

<math>ds'^2=ds^2</math>

Откуда следует, что <math>s'=s</math> - значение интервала во всех ИСО одинакова, то есть интервал является инвариантом при переходе от одной ИСО к другой.

Если <math> \Delta s^2 > 0</math>, то говорят, что события разделены времениподобным интервалом; если <math> \Delta s^2 < 0</math>, то пространственноподобным. Наконец, если <math> \Delta s^2 = 0</math>, то такие интервалы называются светоподобными. Светоподобный интервал соответствует событиям, связанным сигналом, который распространяется со скоростью света. Инвариантность интервала означает, что он имеет одинаковое значение относительно двух инерциальных систем отсчёта: <math> \Delta s^2=\Delta s'^2.</math>

Знак интервала, вообще говоря, можно выбрать произвольно. В первоначальной версии интервал записывался с обратным знаком (то есть пространственные координаты со знаком «+», а временная — «-»). В современной литературе чаще используют вышеприведенную формулу.

Сами преобразования Лоренца можно получить из их линейности и требования инвариантности интервала.

Доказательство  

Рассмотрим для простоты также случай одномерного пространства. Инвариантность интервала означает, что <math>x^2-(ct)^2=x'^2-(ct')^2</math>. Подставим в это выражение линейные преобразования:

<math>x=a_{11} x'+a_{12} c t'</math>

<math>ct=a_{21} x'+a_{22} c t'</math>

Получим

<math>x^2-(ct)^2=(a_{11} x'+a_{12} c t')^2-(a_{21} x'+a_{22} c t')^2=(a^2_{11}- a^2_{21})x'^2-(a^2_{22}-a^2_{12}) (c t')^2+ 2 (a_{11}a_{12}- a_{21}a_{22}) x' c t'=x'^2-(ct')^2</math>

Поскольку <math>x'</math> и <math>ct'</math> произвольны, то коэффициенты левой и правой частей должны быть тождественно равны. Следовательно

<math>a^2_{11}- a^2_{21}=1, a^2_{22}-a^2_{12}=1, a_{11}a_{12}- a_{21}a_{22}=0</math>

Из последнего равенства следует, что <math>a_{22}/a_{11}=a_{12}/a_{21}</math>. Обозначим указанное отношение <math>\alpha</math>. Кроме этого обозначим <math>a_{11}=\gamma</math>, <math>a_{21}=b</math>. Тогда <math>a_{22}=\alpha \gamma, a_{12}=\alpha b</math>. Тогда первые два соотношения можно записать как

<math>\gamma^2-b^2=1, \alpha^2 \gamma^2- \alpha^2 b^2=1</math>

из которых следует, что во-первых <math>\alpha^2=1</math>, во-вторых, <math>\gamma^2-b^2=1</math>, откуда можно записать <math>\gamma^2=1/(1-b^2/\gamma^2)</math>. Наконец введя для удобства обозначение <math>\beta=b/\gamma</math> получим:

<math> A= \begin{pmatrix} \gamma & \pm \gamma \beta \\ \gamma \beta & \pm \gamma \\ \end{pmatrix} = \gamma \begin{pmatrix} 1 & \pm \beta \\ \beta & \pm 1 \\ \end{pmatrix}, \gamma=\pm \frac {1}{\sqrt{1-\beta^2

</math>

причем знаки в матрице либо положительные, либо отрицательные одновременно. Знак в формуле для <math>\gamma</math> необходимо выбрать положительный, поскольку при нулевой относительной скорости систем матрица A должна быть единичной (системы идентичны в этом случае и преобразования тождественные). А если бы коэффициент в гамма был бы отрицательным это было бы невозможно (верхний диагональный элемент был бы равен -1, а должен 1). Поэтому однозначно можно утверждать, что <math>\gamma</math> - положительное число.

Что касается знаков внутри матрицы и собственно значения <math>\beta</math> то это можно установить, если взять начало координат системы <math>S'</math> - вектор <math>(0,ct')</math> и преобразовать его к системе <math>S</math> и использовать соглашение о скорости движения <math>v</math>:

<math> \begin{pmatrix} vt \\ ct \\ \end{pmatrix} = \gamma \begin{pmatrix} 1 & \pm \beta \\ \beta & \pm 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ ct' \\ \end{pmatrix} = \pm \gamma \begin{pmatrix} \beta ct' \\ ct' \\ \end{pmatrix}, </math>

Разделив первое уравнение этой системы на второе получим <math>\beta=v/c</math>. Что касается знака, то в виду положительности времени из второго уравнения следует, что знак должен быть положительным. Таким образом, окончательно имеем:

<math> A= \gamma \begin{pmatrix} 1 & v/c \\ v/c & 1 \\ \end{pmatrix}, \gamma=\frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} </math>

 |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
 title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
 content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
 hidden=1

}}

Геометрический подход

Четырёхмерное пространство-время

По своей форме интервал (особенно в первоначальной записи) напоминает расстояние в евклидовом пространстве, однако он имеет различный знак у пространственных и временных составляющих события. Следуя Минковскому и более ранней работе Пуанкаре, можно постулировать существование единого метрического четырёхмерного пространства-времени с 4-координатами <math>(ct, x, y, z)</math>. В простейшем случае плоского пространства метрика, определяющая расстояние между двумя бесконечно близкими точками, может быть евклидовой или псевдоевклидовой. Последний случай соответствует специальной теории относительности. Говорят, что интервал задаёт расстояние в псевдоевклидовом четырёхмерном пространстве-времени. Его также называют пространством-временем Минковского.

Наиболее «простой» способ понимания и вывода преобразований Лоренца при таком подходе может быть получен, если записать интервал (с обратным знаком) используя «мнимую» временную координату — <math>ict</math>:

<math> \Delta s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2-c^2 \Delta t^2= \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2+ \Delta (ict)^2,</math>

Тогда интервал выглядит как обычное евклидово расстояние между точками в четырёхмерном пространстве. Как было показано, интервал должен сохраняться при переходе между ИСО, следовательно это могут быть либо параллельные переносы и инверсии (что не интересно), либо повороты в этом пространстве. Преобразования Лоренца играют роль поворотов в таком пространстве. Вращения базиса в четырёхмерном пространстве-времени, смешивающие временную и пространственные координаты 4-векторов, выглядят как переход в движущуюся систему отсчёта и похожи на вращения в обычном трёхмерном пространстве. При этом естественно изменяются проекции четырёхмерных интервалов между определёнными событиями на временную и пространственные оси системы отсчёта, что и порождает релятивистские эффекты изменения временных и пространственных интервалов. Именно инвариантная структура этого пространства, задаваемая постулатами СТО, не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Используя только две пространственные координаты (x, y), четырёхмерное пространство можно изобразить в координатах (t, x, y). События, связанные с событием начала координат (t=0, x=y=0) световым сигналом (светоподобный интервал), лежат на так называемом световом конусе (см. рисунок справа).

В первоначальной версии Минковского (с мнимым временем) формулы преобразований Лоренца выводятся довольно просто — они следуют из известных формул поворотов в евклидовом пространстве.

Вывод  

Для этого достаточно понять, что тангенс угла между лучом, исходящим из начала координат (изображающий равномерное и прямолинейное движение) и осью <math>ict</math> равен:

<math>\mathbf{tg} \phi=v/ic=-iv/c</math>

Уже из этого можно вывести закон сложения скоростей, используя формулу тангенса суммы углов (тангенс угла между двумя лучами, выражающими движения с некоторыми скоростями в данной системе, и выражает их относительную скорость движения). Если угол между системами равен <math>\psi</math>, а угол между лучом движущегося тела и лучом системы <math>S'</math> равен <math>\phi'</math>, тогда для скорости w тела относительно системы S имеем:

<math>w/ic=\mathbf{tg} \phi=\mathbf{tg} (\phi'+\psi)=\frac {\mathbf{tg} \phi'+\mathbf{tg} \psi}{1-\mathbf{tg}\phi' \mathbf{tg} \psi}= \frac {w'/ic+v/ic}{1+w'v/c^2}</math>

Сократив <math>ic</math> и получим закон сложения скоростей (заметим, что без i - в знаменателе получился бы "-").

Также несложно вывести выражения для косинуса и синуса угла:

<math>\cos \phi =1/\sqrt{1+tg^2\phi}=1/\sqrt{1-v^2/c^2}=\gamma(v)</math>

<math>\sin \phi =tg \phi \cos \phi = -iv/c \gamma</math>

Учитывая общую формулу поворотов в плоскости <math>(x,ict)</math> в евклидовом пространстве получим:

<math>x=x' \cos \phi+i c t' \sin \phi=\gamma (x' +v t')</math>

<math>ict=ict' \cos \phi-x' \sin \phi=\gamma (ict' +ivx'/c)</math>

Разделив последнее на <math>ic</math> получим

<math>t=\gamma (t' +vx'/c^2)</math>

Однако, современный подход заключается во введении четырёхмерного пространства-времени (с вещественной временной осью <math>ct</math>) с псевдометрикой. В таком пространстве формулы поворотов имеют аналогичный вид, однако вместо тригонометрических функций нужно использовать гиперболические.

Вывод  

В таком пространстве <math>th \phi=v/c</math>. Закон сложения скоростей:

<math>w/c=th \phi =th(\phi'+\psi)=\frac {th \phi'+th \psi}{1+th \phi' th\psi}=\frac {w'/c+v/c}{1+vw'/c^2}</math>

Сократив скорость света, получим искомый закон сложения скоростей.

Повороты в этом пространстве в плоскости <math>(x, ct)</math> описываются следующим образом

<math>x=x' ch \phi+ c t' sh \phi</math>

<math>ct=ct' ch \phi+x' sh \phi</math>

Учитывая, что <math>ch\phi=\frac {1}{\sqrt {1-th^2\phi

=\frac{1} {\sqrt{1-v^2/c^2}}=\gamma(v)</math> и <math>sh \phi = th \phi ch \phi= \gamma(v) v/c</math> и получим искомые преобразования Лоренца.

 |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
 title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
 content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
 hidden=1

}}

Геометрический подход Минковского и Пуанкаре был развит в 1914 году А. Роббом, который положил в основу аксиоматического построения СТО понятие о следовании событий. Данный подход был в дальнейшем развит А. Д. Александровым в работах 50-х — 70-х годов. Базовая аксиоматика предполагает, что пространство-время является, во-первых, четырёхмерным связным односвязным локально-компактным хаусдорфовым топологическим пространством с определенной на нём группой параллельных переносов (формально — транзитивной коммутативной группой гомеоморфизмов пространства на себя). Это означает, что оно является аффинным пространством с этой группой переносов. Во-вторых — и это самый принципиальный момент — каждой точке пространства-времени сопоставлены подмножества (содержащие кроме этой точки, также и другие)- так называемые «области воздействия» (или следования, последующих событий) точки — такие, что для любой другой точки области воздействия её область воздействия входит в область воздействия данной точки. Данное предположение вводит отношение частичного порядка в пространстве времени — отношение следования или причинности. Данное отношение позволяет ввести понятие ограниченного множества (в смысле этого отношения порядка). Формально-математическим аналогом второго постулата СТО (ограниченности скорости передачи воздействия) в данном случае будет предположение об ограниченности пересечения «последующего» множества данной точки и «предшествующего» множества любой «последующей» точки. Эти предположения являются базовыми. Тем не менее, этих предположений оказывается недостаточно для получения преобразований Лоренца. Приходится делать дополнительные предположения о существовании группы взаимно-однозначных отображений, обладающих определенными свойствами по отношению к «областям воздействия». Вместе с этими дополнительными аксиомами указанная группа отображений фактически является группой Лоренца и тем самым могут быть введены декартовы координаты, псевдометрика и собственно явный вид преобразований Лоренца.

Геометрическая интерпретация пространства-времени позволяет формулировать СТО в ковариантной форме (см. ниже) на основе тензорного анализа. Именно геометрическая интерпретация является основой для обобщения теории относительности (общая теория относительности).

Пространство скоростей

Возможен ещё один подход, в котором постулируется геометрическая структура пространства скоростей. Каждая точка такого пространства соответствует некоторой инерциальной системе отсчёта, а расстояние между двумя точками — модулю относительной скорости между ИСО. В силу принципа относительности все точки такого пространства должны быть равноправными, а, следовательно, пространство скоростей является однородным и изотропным. Если его свойства задаются римановой геометрией, то существует три и только три возможности: плоское пространство, пространство постоянной положительной и отрицательной кривизны. Первый случай соответствует классическому правилу сложения скоростей. Пространство постоянной отрицательной кривизны (пространство Лобачевского) соответствует релятивистскому правилу сложения скоростей и специальной теории относительности.

Групповой подход

Преобразования от одной системы отсчета к другой можно построить на аксиоматической основе, без уточнения структуры пространства-времени. Для этого вводят понятие множества «событий» <math>M</math>. Инерциальные системы отсчета представляют собой некоторые отображения <math>S</math> (взаимно-однозначные) «событий» в <math>R^4</math> — в четырёхмерное арифметическое пространство. Первые три числа — пространственные компоненты, последняя — время. Среди подмножеств <math>M</math> выделяются инерциальные движения <math>I</math>, которые определяются как подмножества, которые отображаются (при отображении <math>S</math>) в векторы, пространственные компоненты которого связанны с временной следующим образом <math>x_i=a_i+v_i t</math>, где коэффициенты — константы. В частности, если все <math>v_i=0</math>, то имеем покоящееся «инерциальное движение» (покоящееся тело). Собственно сами преобразования от системы <math>S'</math> к <math>S</math> представляют собой композицию <math>P=S S'^{-1}</math>.

Далее необходимо формализовать понятие движения одной ИСО относительно другой. Говорят, что <math>S'</math> покоится относительно S если «покоящееся тело» в <math>S'</math> также покоится и в <math>S</math>. В противном случае говорят, что <math>S'</math> движется относительно <math>S</math>. В первую очередь предполагается, что существуют ИСО, движущиеся относительно друг друга (аксиома 1).

Далее определим линейное преобразование <math>\phi</math> в <math>R^4</math>, пространственная часть матрицы которой которой представляет собой ортогональное преобразование, а из временной (четвертая строка и четвёртый столбец) диагональный элемент равен 1, остальные нулю. Назовем это преобразование «пространственным поворотом» (чем он по сути и является). Предполагается (аксиома 2а), что для всякой системы отсчета <math>S'</math> существует система <math>S</math>, преобразование <math>P</math> к которой представляет собой некоторый пространственный поворот <math>\phi</math>, в частности (аксиома 2б), если <math>S'</math> покоится относительно некоторой системы <math>S</math>, то соответствующее преобразование <math>P</math> является некоторым пространственным поворотом. Кроме этого, предполагается (аксиома 3), что для всякого инерциального движения <math>I</math> существует другое инерциальное движение <math>I'</math>, которое отображается в данной системе отсчета <math>S</math> одинаково с точностью до некоторого пространственного поворота.

Наконец ещё одно предположение (аксиома 4) заключается в том что для всякого преобразования <math>P</math> между некоторыми инерциальными системами и для произвольной системы <math>S</math> найдется такая система отсчета <math>S'</math>, что преобразование от <math>S'</math> к <math>S</math> тождественно преобразованию <math>P</math>.

Оказывается такая система аксиом приводит к тому что группа <math>G</math> преобразований <math>P</math> может быть либо галилеевой, либо имеет вещественный параметр <math>c>0</math>, что совпадает с неоднородной группой Лоренца.

Следствия преобразований Лоренца

Сложение скоростей

Непосредственным следствием преобразований Лоренца является релятивистское правило сложения скоростей. Если некоторый объект имеет компоненты скорости <math> (u_x, u_y,u_z)</math> относительно системы S и <math> (u'_x, u'_y,u'_z)</math> — относительно S', то между ними существует следующая связь:

<math>

u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2},~~~~~~~~~~ u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2},~~~~~~~~~~ u'_z=\frac{u_z\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2}. </math> В этих соотношениях относительная скорость движения систем отсчёта <math>v</math> направлена вдоль оси <math>x</math>. Релятивистское сложение скоростей, как и преобразования Лоренца, при малых скоростях (<math>v\ll c</math>) переходит в классический закон сложения скоростей.

Если объект движется со скоростью света <math>u_x=c\ </math> вдоль оси x относительно системы S, то такая же скорость у него будет и относительно S': <math>u'_x=c\ </math>. Это означает, что скорость <math>c</math> является инвариантной (одинаковой) во всех ИСО.

Замедление времени

Если часы неподвижны в системе <math>\textstyle S'</math>, то для двух последовательных событий имеет место <math>\textstyle \Delta x'=0</math>. Такие часы перемещаются относительно системы <math>\textstyle S</math> по закону <math>\textstyle \Delta x=v\Delta t</math>, поэтому интервалы времени связаны следующим образом:

<math>\Delta t'=\Delta t\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}.</math>

Важно понимать, что в этой формуле интервал времени <math>\textstyle \Delta t'</math> измеряется одними движущимися часами <math>\textstyle S'</math>. Он сравнивается с показаниями <math>\textstyle \Delta t</math> нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе <math>\textstyle S</math>, мимо которых движутся часы <math>\textstyle S'</math>. В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часы <math>\textstyle S'</math> идут медленнее неподвижных часов. С этим эффектом связан так называемый парадокс близнецов.

Если часы движутся с переменной скоростью <math>\mathbf{u}(t)</math> относительно инерциальной системы отсчёта, то время, измеряемое этими часами (т. н. собственное время) может быть вычислено по следующей формуле:

<math>t'=\int\limits^t_0\sqrt{1-\mathbf{u}^2(t)/c^2}\cdot dt,</math>

где при помощи интегрирования суммируются интервалы времени в локально инерциальных системах отсчёта (т. н. мгновенно сопутствующих ИСО).

Относительность одновременности

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта <math> S'\ </math>, то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы <math> S\ </math>. При <math>\Delta t'=0</math> из преобразований Лоренца следует

<math> \Delta t = \frac{v}{c^2} \Delta x. </math>

Если <math>\Delta x = x_2 -x_1 > 0</math>, то и <math>\Delta t = t_2 - t_1 > 0</math>. Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого <math>(t_2 > t_1)</math>. Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

Пусть в двух системах отсчёта вдоль оси x расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время.

Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе S. Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в S' (правый рисунок).

Сокращение линейных размеров

Если длину (форму) движущегося объекта определять при помощи одновременной фиксации координат его поверхности, то из преобразований Лоренца следует, что линейные размеры такого тела относительно «неподвижной» системы отсчёта сокращаются:

<math> l = l_0 \sqrt{1 - (v/c)^2}\ </math>,

где <math> l = \Delta x\ </math> — длина вдоль направления движения относительно неподвижной системы отсчёта, а <math>l_0 = \Delta x'\ </math> — длина в движущейся системе отсчёта, связанной с телом (т. н. собственная длина тела). При этом сокращаются продольные размеры тела (то есть измеряемые вдоль направления движения). Поперечные размеры не изменяются. Яркий пример —парадокс шеста и сарая, где длинный шест в полёте за счёт укорочения длины помещается в более короткий сарай.

Такое сокращение размеров ещё называют лоренцевым сокращением. При визуальном наблюдении движущихся тел дополнительно к лоренцевому сокращению необходимо учитывать время распространения светового сигнала от поверхности тела. В результате быстро движущееся тело выглядит повёрнутым, но не сжатым в направлении движения.

Эффект Доплера

Пусть источник, движущийся со скоростью v, излучает со скоростью света периодический сигнал, имеющий частоту <math>\nu_0</math>. Эта частота измеряется наблюдателем, связанным с источником (т. н. собственная частота). Если этот же сигнал регистрируется «неподвижным» наблюдателем, то его частота <math>\nu</math> будет отличаться от собственной частоты:

{{{2}}}

}{1+\dfrac{v}{c} \cdot \cos \theta}</math>}}

где <math>\theta</math> — угол между направлением на источник и его скоростью.

Различают продольный и поперечный эффект Доплера. В первом случае <math>\theta=0</math>, то есть источник и приёмник находятся на одной прямой. Если источник движется от приёмника, то его частота уменьшается <math>\nu<\nu_0</math> (красное смещение), а если приближается, то частота увеличивается <math>\nu>\nu_0</math> (синее смещение):

Поперечный эффект возникает, когда <math>\theta=\pi/2</math>, то есть направление на источник перпендикулярно его скорости (например, источник «пролетает над» приёмником). В этом случае непосредственно проявляется эффект замедления времени:

{{{2}}}

Аналога поперечного эффекта в классической физике нет, и это чисто релятивистский эффект. В отличие от этого, продольный эффект Доплера обусловлен как классической составляющей, так и релятивистским эффектом замедления времени.

Аберрация

Аберрация света является видимым смещением объекта при относительном движении наблюдателя и этого объекта. Пусть в системе отсчёта S' источник света неподвижен, и находится под углом <math>\theta'</math> к оси x'. Тогда в системе S, относительно которой система S' движется вдоль оси x со скоростью v, направление на этот источник света составит угол <math>\theta</math>. В соответствии с релятивистским правилом сложения скоростей, эти два угла связаны следующим образом:

<math>

\cos \theta = \frac{\cos \theta' - \beta}{1- \beta\cos\theta'},~~~~~~~~~~~~ \sin \theta = \frac{\sqrt{1-\beta^2}\cdot \sin \theta'}{1- \beta\cos\theta'}, </math> где <math>\beta=v/c</math>.

Релятивистская динамика

Релятивистский лагранжиан

В классической механике законы движения можно вывести из вида лагранжиана механической системы на основе принципа наименьшего действия. Действие должно быть инвариантом относительно преобразований ИСО. Таким свойством обладает — интервал. Следовательно, общий вид действия в релятивистской механике

<math>S=-\alpha\int ds=-\alpha c \int^{t_2}_{t_1}\sqrt {1-u^2/c^2}dt</math>

Соответственно, лагранжиан должен быть равен:

<math>L=-\alpha c \sqrt{1-u^2/c^2}</math>

Параметр <math>\alpha</math> необходимо определить из соображений совпадения (с точностью до константы) с лагранжианом свободной частицы классической механикой при малых скоростях (который равен просто кинетической энергии). Исходя из этого можно показать лагранжиан свободной релятивистской частицы имеет вид:

<math>L=-mc^2\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}</math>

На основе этого лагранжиана можно вывести динамику релятивистской частицы исходя из классический определений понятий через лагранжиан и уравнений Эйлера-Лагранжа.

Энергия и импульс

Если частица с массой (покоя) <math>m</math> движется со скоростью <math>\mathbf{u}</math>, то её энергия и импульс имеют следующую зависимость от скорости:

<math>

\mathbf{p} =\frac {\partial L}{\partial \mathbf{u}}= \frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle \mathbf{u}^2}{\displaystyle c^2}}}, ~~~~~~~~~~~~ E = \mathbf{p}\mathbf{u}-L=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle \mathbf{u}^2}{\displaystyle c^2}}}, </math>

Эти соотношения обобщают классические выражения для энергии и импульса, получающиеся в результате разложения в ряд по <math>\mathbf{u}^2/c^2</math>:

<math>E \approx mc^2 + \frac{m \mathbf{u}^2}{2}+...,

~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} \approx m\mathbf{u}+... </math> При нулевой скорости энергия частицы называется энергией покоя: <math> E_0 = mc^2\ </math>. В современной физической литературе принято, что m — масса частицы не зависит от скорости, являясь инвариантом относительно преобразований Лоренца, и является величиной неаддитивной (то есть масса тела, состоящего из нескольких частей, в отличие от классической механики, не равна сумме масс этих частей). Понятие «релятивистской массы», зависящей от скорости <math>m(\mathbf{u})</math> не используется , хотя оно и встречается в ранних работах по теории относительности. Историческая причина введения этого понятия была связана с попытками сохранить для релятивистского импульса классическую форму: <math>\mathbf{p}= m(\mathbf{u})\,\mathbf{u}</math>.

При приближении скорости тела к скорости света его энергия и импульс стремятся к бесконечности. Это одна из причин, по которой «обычные» объекты не способны двигаться быстрее скорости света. Для частицы с ненулевой массой даже достижение скорости света потребует затраты бесконечной энергии. Заметные отклонения от классических выражений для энергии и импульса происходят при скоростях, близких к скорости света. Если скорости относительно невелики, то отклонения от классической динамики незначительны. Например, при скорости u=c/4 относительная разница релятивистского и классического импульса составляет всего 3 %.

Между релятивистской энергией и импульсом существуют следующие связи:

<math>E^2-\mathbf{p}^2c^2=m^2c^4,~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} = \frac{E}{c^2}\, \mathbf{u}.</math>

Эти формулы остаются справедливыми и для объектов, движущихся со скоростью света. В этом случае их масса покоя должна быть равна нулю <math>m=0</math>.

Преобразования энергии и импульса

Аналогично преобразованиям Лоренца для времени и координат релятивистские энергия и импульс, измеренные относительно различных инерциальных систем отсчёта, связаны аналогичными соотношениями:

<math>

E'=\frac{E-vp_x}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~p'_x=\frac{p_x-vE/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~~~p'_y=p_y,~~~~~~~~~~p'_z=p_z, </math> где компоненты вектора импульса <math>\mathbf{p}\ </math> равны <math>(p_x, p_y, p_z)</math>. Относительная скорость и ориентация инерциальных систем отсчёта S, S' определены так же, как и в преобразованиях Лоренца.

Уравнения движения

Действующая на тело сила <math>\mathbf{F}</math> изменяет его импульс. Поэтому второй закон Ньютона в форме

<math>\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F}

</math> остаётся справедливым также и в теории относительности. Однако производная по времени берётся от релятивистского импульса, а не от классического. Это приводит к тому, что связь силы и ускорения существенно отличается от классической:

<math>\mathbf{F} = \frac{m\mathbf{a}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}}+\frac{m\mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\mathbf{a})/c^2}{(1-\mathbf{u}^2/c^2)^{3/2}}.</math>

Первое слагаемое содержит «релятивистскую массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует перпендикулярно скорости. В ранних работах по теории относительности её называли «поперечной массой». Именно её «рост» наблюдается в экспериментах по отклонению электронов магнитным полем. Второе слагаемое содержит «продольную массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует параллельно скорости:

<math>m_{||} = \frac{m}{(1-\mathbf{u}^2/c^2)^{3/2}}.</math>

Как было отмечено выше, эти понятия являются устаревшими и связаны с попыткой сохранить классическое уравнение движения Ньютона <math>\mathbf{F} =m\mathbf{a}</math>.

Скорость изменения энергии равна скалярному произведению силы на скорость тела:

<math>\frac{dE}{dt}= \mathbf{u}\mathbf{F}.

</math> Это приводит к тому, что, как и в классической механике, составляющая силы, перпендикулярная к скорости частицы, не изменяет её энергию (например, магнитная составляющая в силе Лоренца).

Ковариантная формулировка

Метрический тензор

Расстояние между двумя бесконечно близкими событиями можно записать при помощи метрического тензора <math>g_{\alpha\beta}</math> в тензорном виде:

<math> ds^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha\,dx^\beta,</math>

где <math> (x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)</math>, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 0 до 3. В инерциальных системах отсчёта с декартовыми координатами метрический тензор имеет следующий вид:

<math>g_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right).</math> Кратко эта диагональная матрица обозначается таким образом: <math> g_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}\left\{1,-1,-1,-1\right\}</math>.

Выбор недекартовой системы координат (например, переход к сферическим координатам) или рассмотрение неинерциальных систем отсчёта приводит к изменению значений компонент метрического тензора, однако его сигнатура <math>\left(1,-1,-1,-1\right)</math> остаётся неизменной. В рамках специальной теории относительности всегда существует глобальное преобразование координат и времени, которое делает метрический тензор диагональным с компонентами <math>g_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}\left\{1,-1,-1,-1\right\}</math>. Эта физическая ситуация соответствует переходу в инерциальную систему отсчёта с декартовыми координатами. Другими словами, четырёхмерное пространство-время специальной теории относительности является плоским (псевдоевклидовым). В отличие от этого, общая теория относительности (ОТО) рассматривает искривлённые пространства, в которых метрический тензор никаким преобразованием координат нельзя привести к псевдоевклидовому виду во всём пространстве, но сигнатура тензора сохраняется такой же.

4-вектор

Соотношения СТО могут быть записаны в тензорном виде при помощи введения вектора с четырьмя компонентами <math>A^\alpha = (A^0, A^1, A^2, A^3)</math> (цифра или индекс вверху компоненты является её номером, а не степенью!), которые при переходе от одной инерциальной системы к другой преобразуются аналогично преобразованиям Лоренца. Нулевую компоненту 4-вектора называют временно́й, а компоненты с индексами 1,2,3 — пространственными. Они соответствуют компонентам обычного трёхмерного вектора, поэтому 4-вектор обозначается также следующим образом: <math>A^\alpha=(A^0, \mathbf{A})</math>.

Компоненты 4-вектора, измеренные относительно двух инерциальных систем отсчёта, движущихся с относительной скоростью <math>v</math>, связаны друг с другом следующим образом:

<math>A'^0=\frac{A^0-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c}\,A^1}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~ A'^1=\frac{A^1-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c} A^0}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~A'^2=A^2,~~~~~~~~~~~A'^3=A^3.</math>

Примерами 4-векторов являются:

4-координаты — точка в псевдоевклидовом пространстве-времени: <math>x^\alpha = (ct, x,y,z)=(ct, ~\mathbf{r}),</math>

4-скорость: <math>u^\alpha=\frac {dx^\alpha}{d\tau}=\gamma(u)(c, u_x,u_y,u_z)=\gamma(u)(c,\mathbf{u})</math>

4-импульс (энергия-импульс): <math>p^\alpha =m u^\alpha = (E/c, p_x,p_y,p_z)=(E/c, ~\mathbf{p}).</math>.

Аналогичным образом можно определить 4-ускорение: <math>w^\alpha=\frac {du^\alpha}{d\tau}</math> и 4-силу: <math>F^\alpha=\frac {dp^\alpha}{d\tau}</math>.

При помощи метрического тензора можно ввести т. н. ковекторы, которые обозначаются той же буквой, но с нижним индексом:

<math>A_\alpha = g_{\alpha\beta} A^{\beta}=g_{\alpha 0} A^{0}+g_{\alpha 1} A^{1}+ g_{\alpha 2} A^{2} + g_{\alpha 3} A^{3}.</math>

Для диагонального метрического тензора с сигнатурой <math>g_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)</math>, ковектор отличается от 4-вектора знаком перед пространственными компонентами. Так, если <math>A^\alpha=(A^0, \mathbf{A})</math>, то <math>A_\alpha=(A^0, -\mathbf{A})</math>.

Свёртка вектора и ковектора является инвариантом — имеет одинаковое значение во всех инерциальных системах отсчёта:

<math>g_{\alpha\beta}A^{\alpha} A^{\beta}= A_\alpha A^\alpha = (A^0)^2-\mathbf{A}^2 = \mathrm{inv}.</math>

Для 4-координат — инвариантом является интервал, для 4-скорости — квадрат скорости света, для 4-импульса (энергии-импульса)- это величина, пропорциональная квадрату массы (покоя):

<math>p^2=p_\alpha p^\alpha = \frac{E^2}{c^2}-\mathbf{p}^2 = m^2 c^2</math>.

Экспериментальные основания СТО

Теория относительности является логически непротиворечивой теорией. Это означает, что из её исходных положений нельзя логически вывести некоторое утверждение одновременно с его отрицанием. Поэтому множество так называемых парадоксов (подобных парадоксу близнецов) являются кажущимися. Они возникают в результате некорректного применения теории к тем или иным задачам, а не в силу логической противоречивости СТО.

Справедливость теории относительности, как и любой другой физической теории, в конечном счёте, проверяется эмпирически. Специальная теория относительности лежит в основе всей современной физики. Поэтому какого-либо отдельного эксперимента, «доказывающего» СТО, нет. Вся совокупность экспериментальных данных в физике высоких энергий, ядерной физике, спектроскопии, астрофизике, электродинамике и других областях физики согласуется с теорией относительности в пределах точности эксперимента. Например, в квантовой электродинамике (объединение СТО, квантовой теории и уравнений Максвелла) значение аномального магнитного момента электрона совпадает с теоретическим предсказанием с относительной точностью <math>10^{-9}</math> . Фактически СТО является инженерной наукой. Её формулы используются при расчёте ускорителей элементарных частиц. Обработка огромных массивов данных по столкновению частиц, двигающихся с релятивистскими скоростями в электромагнитных полях, основана на законах релятивистской динамики, отклонения от которых обнаружено не было. Поправки, следующие из СТО и ОТО, используются в системах спутниковой навигации (GPS, ГЛОНАСС). СТО лежит в основе ядерной энергетики и т. д.

Всё это не означает, что СТО не имеет пределов применимости. Напротив, как и в любой другой теории, они существуют, и их выявление является важной задачей экспериментальной физики. Например, в теории гравитации Эйнштейна (ОТО) рассматривается обобщение псевдоевклидового пространства СТО на случай пространства-времени, обладающего кривизной, что позволяет объяснить большую часть астрофизических и космологических наблюдаемых данных. Существуют попытки обнаружить анизотропию пространства и другие эффекты, которые могут изменить соотношения СТО. Однако необходимо понимать, что если они будут обнаружены, то приведут к более общим теориям, предельным случаем которых снова будет СТО. Точно так же при малых скоростях верной остаётся классическая механика, являющаяся частным случаем теории относительности. Вообще, в силу принципа соответствия, теория, получившая многочисленные экспериментальные подтверждения, не может оказаться неверной, хотя область её применимости может быть ограничена.

Ниже приведены только некоторые эксперименты, иллюстрирующие справедливость СТО и её отдельных положений.

Релятивистское замедление времени

То, что время движущихся объектов течёт медленнее, получает постоянное подтверждение в экспериментах, проводимых в физике высоких энергий. Например, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе в CERN с точностью <math>2\cdot 10^{-3}</math> увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. В данном эксперименте скорость мюонов была равна 0.9994 от скорости света, в результате чего время их жизни увеличилось в 29 раз. Этот эксперимент важен также тем, что при 7-метровом радиусе кольца ускорение мюонов достигало значений <math>10^{18}</math> от ускорения свободного падения. Это, в свою очередь, свидетельствует о том, что эффект замедления времени обусловлен только скоростью объекта и не зависит от его ускорения.

Измерение величины замедления времени проводилось также с макроскопическими объектами. Например, в эксперименте Хафеле — Китинга проводилось сравнение показаний неподвижных атомных часов, и атомных часов, летавших на самолёте.

Независимость скорости света от движения источника

На заре возникновения теории относительности определённую популярность получили идеи Вальтера Ритца о том, что отрицательный результат опыта Майкельсона может быть объяснён при помощи баллистической теории. В этой теории предполагалось, что свет со скоростью <math>c</math> излучается относительно источника, и происходит сложение скорости света и скорости источника в соответствии с классическим правилом сложения скоростей. Естественно, эта теория противоречит СТО.

Астрофизические наблюдения являются убедительным опровержением подобной идеи. Например, при наблюдении двойных звёзд, вращающихся относительно общего центра масс, в соответствии с теорией Ритца происходили бы эффекты, которые на самом деле не наблюдаются (аргумент де Ситтера). Действительно, скорость света («изображения») от звезды, приближающейся к Земле, была бы выше скорости света от удаляющейся при вращении звезды. При большом расстоянии от двойной системы более быстрое «изображение» существенно обогнало бы более медленное. В результате видимое движение двойных звёзд выглядело бы достаточно странным, что не наблюдается.

Иногда встречается возражение, что гипотеза Ритца «на самом деле» верна, но свет при движении сквозь межзвёздное пространство переизлучается атомами водорода, имеющими в среднем нулевую скорость относительно Земли, и достаточно быстро приобретает скорость <math>c</math>.

Однако, если бы это было так, возникала бы существенная разница в изображении двойных звёзд в различных диапазонах спектра, так как эффект «увлечения» средой света существенно зависит от его частоты .

В опытах Томашека (1923 г.) при помощи интерферометра сравнивались интерференционные картины от земных и внеземных источников (Солнце, Луна, Юпитер, звёзды Сириус и Арктур). Все эти объекты имели различную скорость относительно Земли, однако смещения интерференционных полос, ожидаемых в модели Ритца, обнаружено не было. Эти эксперименты в дальнейшем неоднократно повторялись. Например, в эксперименте Бонч-Бруевича А. М. и Молчанова В. А. (1956 г.) измерялась скорость света от различных краёв вращающегося Солнца. Результаты этих экспериментов также противоречат гипотезе Ритца .

Независимость скорости света от скорости источника регистрируется и в наземных экспериментах. Например, проводилось измерение скорости пары фотонов, возникающих при аннигиляции электрона и позитрона, центр масс которых двигался со скоростью, равной половине скорости света. С экспериментальной точностью 10 % сложение скорости света и скорости источника обнаружено не было .

Связь с другими теориями

Гравитация

Для описания гравитации разработано особое расширение теории относительности, в котором допускается кривизна пространства-времени. Тем не менее, динамика даже в рамках СТО может включать гравитационное взаимодействие, пока потенциал гравитационного поля много меньше <math>c^2</math>.

Следует также заметить, что специальная теория относительности перестаёт работать в масштабах всей Вселенной, требуя замены на ОТО.

Классическая механика

Теория относительности входит в существенное противоречие с некоторыми аспектами классической механики. Например, парадокс Эренфеста показывает несовместимость СТО с понятием абсолютно твёрдого тела. Надо отметить, что даже в классической физике предполагается, что механическое воздействие на твёрдое тело распространяется со скоростью звука, а отнюдь не с бесконечной (как должно быть в воображаемой абсолютно твёрдой среде).

Квантовая механика

Специальная теория относительности (в отличие от общей) полностью совместима с квантовой механикой. Их синтезом является релятивистская квантовая теория поля. Однако обе теории вполне независимы друг от друга. Возможно построение как квантовой механики, основанной на нерелятивистском принципе относительности Галилея (см. уравнение Шрёдингера), так и теорий на основе СТО, полностью игнорирующих квантовые эффекты. Например, квантовая теория поля может быть сформулирована как нерелятивистская теория. В то же время такое квантовомеханическое явление, как спин, последовательно не может быть описано без привлечения теории относительности (см. Уравнение Дирака).

Развитие квантовой теории всё ещё продолжается, и многие физики считают, что будущая полная теория ответит на все вопросы, имеющие физический смысл, и даст в пределах как СТО в сочетании с квантовой теорией поля, так и ОТО. Скорее всего, СТО ожидает такая же судьба, как и механику Ньютона — будут точно очерчены пределы её применимости. В то же время такая максимально общая теория пока является отдалённой перспективой.

См. также

• История теории относительности
• Теория относительности
• Релятивистская механика
• Парадокс близнецов
• Переменная скорость света

Литература

• Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование, 1900—1915). М.: Наука, 1981. — 352 c.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
• Паули В. [book.plib.ru/download/15113.html Теория относительности.] Изд. 2-е, испр. и доп. Перев. с нем. — М.: Наука, 1983. — 336 с.
• Спасский Б. И.. [osnovanija.narod.ru/History/Spas/T2_2.djvu История физики. Том 2, часть 2-я.] М.: Высшая школа, 1977.
• Уиттекер Э. [physicsbooks.narod.ru/Uitteker/Uitteker2.djvu История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926.] Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

Работы основоположников

• [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tyapkin1973ru.djvu Принцип относительности.] Сб. работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
• Г. А. Лоренц. [djvu-books.narod.ru/lorenz1895.htm Интерференционный опыт Майкельсона]. Из книги "Versucheiner Theoriederelektrischenundoptischen Erscheinungeninbewegten Korpern. Leiden, 1895, параграфы 89…92.
• Г. А. Лоренц.Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света. Proc Acad., Amsterdam, 1904, v 6, p. 809.
• А. Пуанкаре. Измерение времени. «Revuede Metaphysiqueetde Morale», 1898, t. 6, p. 1…13.
• А. Пуанкаре. Оптические явления в движущихся телах. ElectriciteetOptique, G. CarreetC. Naud, Paris, 1901, p. 535…536.
• А. Пуанкаре. О принципе относительности пространства и движения. Главы 5…7 из книги «Наука и гипотеза»(H. Poinrare. Scienceand Hypothesis. Paris, 1902.)
• А. Пуанкаре. Настоящее и будущее математической физики. Доклад, напечатанный в журнале «Bulletindes Sciences Mathematiques», 1904, v. 28, ser. 2, p. 302.
• А. Пуанкаре. О динамике электрона. Rendicontidel Circolo Matematicodi Palermo, 1906.
• А. Эйнштейн. К электродинамике движущихся тел. Ann. d. Phys.,1905 (рукопись поступила 30 июня 1905 г.), b. 17, s. 89.
• [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Einstein_t1_1965ru.djvu Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырёх томах. Том 1. Работы по теории относительности 1905—1920. М.: Наука, 1965.]
• Эйнштейн А. Сущность теории относительности. — М.: Изд. ин. лит., 1955. — 157 с.

Доп. литература

• [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ugarov1977ru.djvu Угаров В. А. Специальная теория относительности. 2-е изд. М.: Наука, 1977.]
• Тоннела М. А. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tonnela1962ru.djvu Основы электромагнетизма и теории относительности. М.: ИЛ, 1962.]
• [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tolmen1974ru.djvu Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология. М.: Наука, 1974.]
• Физическая энциклопедия, т.2 — М.: Большая Российская Энциклопедия. [www.physicum.narod.ru/. Физическая энциклопедия.]

Ссылки

• [synset.com/ru/Релятивистский_мир Релятивистский мир] — лекции по теории относительности, гравитации и космологии
• [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/physics/relativity.htm Общая и специальная теория относительности на сайте «Мир математических уравнений» EqWorld]
• Работы, описывающие структуру СТО и относительности синхронизации часов в ней: [arxiv.org/abs/gr-qc/0510024 arxiv: gr-qc/0510024]; [arxiv.org/abs/gr-qc/0510017 arxiv: gr-qc/0510017]; [arxiv.org/abs/gr-qc/0205039 arxiv: gr-qc/0205039].
• Статья о вкладе А. Пуанкаре в создание СТО: [arxiv.org/abs/hep-th/0501168 T. Damour: Poincare, Relativity, Billiards and Symmetry].

Отрывок, характеризующий Специальная теория относительности

Для человеческого ума непонятна абсолютная непрерывность движения. Человеку становятся понятны законы какого бы то ни было движения только тогда, когда он рассматривает произвольно взятые единицы этого движения. Но вместе с тем из этого то произвольного деления непрерывного движения на прерывные единицы проистекает большая часть человеческих заблуждений.
Известен так называемый софизм древних, состоящий в том, что Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т. д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимою. Бессмысленность решения (что Ахиллес никогда не догонит черепаху) вытекала из того только, что произвольно были допущены прерывные единицы движения, тогда как движение и Ахиллеса и черепахи совершалось непрерывно.
Принимая все более и более мелкие единицы движения, мы только приближаемся к решению вопроса, но никогда не достигаем его. Только допустив бесконечно малую величину и восходящую от нее прогрессию до одной десятой и взяв сумму этой геометрической прогрессии, мы достигаем решения вопроса. Новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно малыми величинами, и в других более сложных вопросах движения дает теперь ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми.
Эта новая, неизвестная древним, отрасль математики, при рассмотрении вопросов движения, допуская бесконечно малые величины, то есть такие, при которых восстановляется главное условие движения (абсолютная непрерывность), тем самым исправляет ту неизбежную ошибку, которую ум человеческий не может не делать, рассматривая вместо непрерывного движения отдельные единицы движения.
В отыскании законов исторического движения происходит совершенно то же.
Движение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских произволов, совершается непрерывно.
Постижение законов этого движения есть цель истории. Но для того, чтобы постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том, чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в деятельности одного исторического лица.
Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине. Но как ни мелки единицы, которые принимает история, мы чувствуем, что допущение единицы, отделенной от другой, допущение начала какого нибудь явления и допущение того, что произволы всех людей выражаются в действиях одного исторического лица, ложны сами в себе.
Всякий вывод истории, без малейшего усилия со стороны критики, распадается, как прах, ничего не оставляя за собой, только вследствие того, что критика избирает за предмет наблюдения большую или меньшую прерывную единицу; на что она всегда имеет право, так как взятая историческая единица всегда произвольна.
Только допустив бесконечно малую единицу для наблюдения – дифференциал истории, то есть однородные влечения людей, и достигнув искусства интегрировать (брать суммы этих бесконечно малых), мы можем надеяться на постигновение законов истории.
Первые пятнадцать лет XIX столетия в Европе представляют необыкновенное движение миллионов людей. Люди оставляют свои обычные занятия, стремятся с одной стороны Европы в другую, грабят, убивают один другого, торжествуют и отчаиваются, и весь ход жизни на несколько лет изменяется и представляет усиленное движение, которое сначала идет возрастая, потом ослабевая. Какая причина этого движения или по каким законам происходило оно? – спрашивает ум человеческий.
Историки, отвечая на этот вопрос, излагают нам деяния и речи нескольких десятков людей в одном из зданий города Парижа, называя эти деяния и речи словом революция; потом дают подробную биографию Наполеона и некоторых сочувственных и враждебных ему лиц, рассказывают о влиянии одних из этих лиц на другие и говорят: вот отчего произошло это движение, и вот законы его.
Но ум человеческий не только отказывается верить в это объяснение, но прямо говорит, что прием объяснения не верен, потому что при этом объяснении слабейшее явление принимается за причину сильнейшего. Сумма людских произволов сделала и революцию и Наполеона, и только сумма этих произволов терпела их и уничтожила.
«Но всякий раз, когда были завоевания, были завоеватели; всякий раз, когда делались перевороты в государстве, были великие люди», – говорит история. Действительно, всякий раз, когда являлись завоеватели, были и войны, отвечает ум человеческий, но это не доказывает, чтобы завоеватели были причинами войн и чтобы возможно было найти законы войны в личной деятельности одного человека. Всякий раз, когда я, глядя на свои часы, вижу, что стрелка подошла к десяти, я слышу, что в соседней церкви начинается благовест, но из того, что всякий раз, что стрелка приходит на десять часов тогда, как начинается благовест, я не имею права заключить, что положение стрелки есть причина движения колоколов.
Всякий раз, как я вижу движение паровоза, я слышу звук свиста, вижу открытие клапана и движение колес; но из этого я не имею права заключить, что свист и движение колес суть причины движения паровоза.
Крестьяне говорят, что поздней весной дует холодный ветер, потому что почка дуба развертывается, и действительно, всякую весну дует холодный ветер, когда развертывается дуб. Но хотя причина дующего при развертыванье дуба холодного ветра мне неизвестна, я не могу согласиться с крестьянами в том, что причина холодного ветра есть раэвертыванье почки дуба, потому только, что сила ветра находится вне влияний почки. Я вижу только совпадение тех условий, которые бывают во всяком жизненном явлении, и вижу, что, сколько бы и как бы подробно я ни наблюдал стрелку часов, клапан и колеса паровоза и почку дуба, я не узнаю причину благовеста, движения паровоза и весеннего ветра. Для этого я должен изменить совершенно свою точку наблюдения и изучать законы движения пара, колокола и ветра. То же должна сделать история. И попытки этого уже были сделаны.
Для изучения законов истории мы должны изменить совершенно предмет наблюдения, оставить в покое царей, министров и генералов, а изучать однородные, бесконечно малые элементы, которые руководят массами. Никто не может сказать, насколько дано человеку достигнуть этим путем понимания законов истории; но очевидно, что на этом пути только лежит возможность уловления исторических законов и что на этом пути не положено еще умом человеческим одной миллионной доли тех усилий, которые положены историками на описание деяний различных царей, полководцев и министров и на изложение своих соображений по случаю этих деяний.


Силы двунадесяти языков Европы ворвались в Россию. Русское войско и население отступают, избегая столкновения, до Смоленска и от Смоленска до Бородина. Французское войско с постоянно увеличивающеюся силой стремительности несется к Москве, к цели своего движения. Сила стремительности его, приближаясь к цели, увеличивается подобно увеличению быстроты падающего тела по мере приближения его к земле. Назади тысяча верст голодной, враждебной страны; впереди десятки верст, отделяющие от цели. Это чувствует всякий солдат наполеоновской армии, и нашествие надвигается само собой, по одной силе стремительности.
В русском войске по мере отступления все более и более разгорается дух озлобления против врага: отступая назад, оно сосредоточивается и нарастает. Под Бородиным происходит столкновение. Ни то, ни другое войско не распадаются, но русское войско непосредственно после столкновения отступает так же необходимо, как необходимо откатывается шар, столкнувшись с другим, с большей стремительностью несущимся на него шаром; и так же необходимо (хотя и потерявший всю свою силу в столкновении) стремительно разбежавшийся шар нашествия прокатывается еще некоторое пространство.
Русские отступают за сто двадцать верст – за Москву, французы доходят до Москвы и там останавливаются. В продолжение пяти недель после этого нет ни одного сражения. Французы не двигаются. Подобно смертельно раненному зверю, который, истекая кровью, зализывает свои раны, они пять недель остаются в Москве, ничего не предпринимая, и вдруг, без всякой новой причины, бегут назад: бросаются на Калужскую дорогу (и после победы, так как опять поле сражения осталось за ними под Малоярославцем), не вступая ни в одно серьезное сражение, бегут еще быстрее назад в Смоленск, за Смоленск, за Вильну, за Березину и далее.
В вечер 26 го августа и Кутузов, и вся русская армия были уверены, что Бородинское сражение выиграно. Кутузов так и писал государю. Кутузов приказал готовиться на новый бой, чтобы добить неприятеля не потому, чтобы он хотел кого нибудь обманывать, но потому, что он знал, что враг побежден, так же как знал это каждый из участников сражения.
Но в тот же вечер и на другой день стали, одно за другим, приходить известия о потерях неслыханных, о потере половины армии, и новое сражение оказалось физически невозможным.
Нельзя было давать сражения, когда еще не собраны были сведения, не убраны раненые, не пополнены снаряды, не сочтены убитые, не назначены новые начальники на места убитых, не наелись и не выспались люди.
А вместе с тем сейчас же после сражения, на другое утро, французское войско (по той стремительной силе движения, увеличенного теперь как бы в обратном отношении квадратов расстояний) уже надвигалось само собой на русское войско. Кутузов хотел атаковать на другой день, и вся армия хотела этого. Но для того чтобы атаковать, недостаточно желания сделать это; нужно, чтоб была возможность это сделать, а возможности этой не было. Нельзя было не отступить на один переход, потом точно так же нельзя было не отступить на другой и на третий переход, и наконец 1 го сентября, – когда армия подошла к Москве, – несмотря на всю силу поднявшегося чувства в рядах войск, сила вещей требовала того, чтобы войска эти шли за Москву. И войска отступили ещо на один, на последний переход и отдали Москву неприятелю.
Для тех людей, которые привыкли думать, что планы войн и сражений составляются полководцами таким же образом, как каждый из нас, сидя в своем кабинете над картой, делает соображения о том, как и как бы он распорядился в таком то и таком то сражении, представляются вопросы, почему Кутузов при отступлении не поступил так то и так то, почему он не занял позиции прежде Филей, почему он не отступил сразу на Калужскую дорогу, оставил Москву, и т. д. Люди, привыкшие так думать, забывают или не знают тех неизбежных условий, в которых всегда происходит деятельность всякого главнокомандующего. Деятельность полководца не имеет ни малейшего подобия с тою деятельностью, которую мы воображаем себе, сидя свободно в кабинете, разбирая какую нибудь кампанию на карте с известным количеством войска, с той и с другой стороны, и в известной местности, и начиная наши соображения с какого нибудь известного момента. Главнокомандующий никогда не бывает в тех условиях начала какого нибудь события, в которых мы всегда рассматриваем событие. Главнокомандующий всегда находится в средине движущегося ряда событий, и так, что никогда, ни в какую минуту, он не бывает в состоянии обдумать все значение совершающегося события. Событие незаметно, мгновение за мгновением, вырезается в свое значение, и в каждый момент этого последовательного, непрерывного вырезывания события главнокомандующий находится в центре сложнейшей игры, интриг, забот, зависимости, власти, проектов, советов, угроз, обманов, находится постоянно в необходимости отвечать на бесчисленное количество предлагаемых ему, всегда противоречащих один другому, вопросов.
Нам пресерьезно говорят ученые военные, что Кутузов еще гораздо прежде Филей должен был двинуть войска на Калужскую дорогу, что даже кто то предлагал таковой проект. Но перед главнокомандующим, особенно в трудную минуту, бывает не один проект, а всегда десятки одновременно. И каждый из этих проектов, основанных на стратегии и тактике, противоречит один другому. Дело главнокомандующего, казалось бы, состоит только в том, чтобы выбрать один из этих проектов. Но и этого он не может сделать. События и время не ждут. Ему предлагают, положим, 28 го числа перейти на Калужскую дорогу, но в это время прискакивает адъютант от Милорадовича и спрашивает, завязывать ли сейчас дело с французами или отступить. Ему надо сейчас, сию минуту, отдать приказанье. А приказанье отступить сбивает нас с поворота на Калужскую дорогу. И вслед за адъютантом интендант спрашивает, куда везти провиант, а начальник госпиталей – куда везти раненых; а курьер из Петербурга привозит письмо государя, не допускающее возможности оставить Москву, а соперник главнокомандующего, тот, кто подкапывается под него (такие всегда есть, и не один, а несколько), предлагает новый проект, диаметрально противоположный плану выхода на Калужскую дорогу; а силы самого главнокомандующего требуют сна и подкрепления; а обойденный наградой почтенный генерал приходит жаловаться, а жители умоляют о защите; посланный офицер для осмотра местности приезжает и доносит совершенно противоположное тому, что говорил перед ним посланный офицер; а лазутчик, пленный и делавший рекогносцировку генерал – все описывают различно положение неприятельской армии. Люди, привыкшие не понимать или забывать эти необходимые условия деятельности всякого главнокомандующего, представляют нам, например, положение войск в Филях и при этом предполагают, что главнокомандующий мог 1 го сентября совершенно свободно разрешать вопрос об оставлении или защите Москвы, тогда как при положении русской армии в пяти верстах от Москвы вопроса этого не могло быть. Когда же решился этот вопрос? И под Дриссой, и под Смоленском, и ощутительнее всего 24 го под Шевардиным, и 26 го под Бородиным, и в каждый день, и час, и минуту отступления от Бородина до Филей.


Русские войска, отступив от Бородина, стояли у Филей. Ермолов, ездивший для осмотра позиции, подъехал к фельдмаршалу.
– Драться на этой позиции нет возможности, – сказал он. Кутузов удивленно посмотрел на него и заставил его повторить сказанные слова. Когда он проговорил, Кутузов протянул ему руку.
– Дай ка руку, – сказал он, и, повернув ее так, чтобы ощупать его пульс, он сказал: – Ты нездоров, голубчик. Подумай, что ты говоришь.
Кутузов на Поклонной горе, в шести верстах от Дорогомиловской заставы, вышел из экипажа и сел на лавку на краю дороги. Огромная толпа генералов собралась вокруг него. Граф Растопчин, приехав из Москвы, присоединился к ним. Все это блестящее общество, разбившись на несколько кружков, говорило между собой о выгодах и невыгодах позиции, о положении войск, о предполагаемых планах, о состоянии Москвы, вообще о вопросах военных. Все чувствовали, что хотя и не были призваны на то, что хотя это не было так названо, но что это был военный совет. Разговоры все держались в области общих вопросов. Ежели кто и сообщал или узнавал личные новости, то про это говорилось шепотом, и тотчас переходили опять к общим вопросам: ни шуток, ни смеха, ни улыбок даже не было заметно между всеми этими людьми. Все, очевидно, с усилием, старались держаться на высота положения. И все группы, разговаривая между собой, старались держаться в близости главнокомандующего (лавка которого составляла центр в этих кружках) и говорили так, чтобы он мог их слышать. Главнокомандующий слушал и иногда переспрашивал то, что говорили вокруг него, но сам не вступал в разговор и не выражал никакого мнения. Большей частью, послушав разговор какого нибудь кружка, он с видом разочарования, – как будто совсем не о том они говорили, что он желал знать, – отворачивался. Одни говорили о выбранной позиции, критикуя не столько самую позицию, сколько умственные способности тех, которые ее выбрали; другие доказывали, что ошибка была сделана прежде, что надо было принять сраженье еще третьего дня; третьи говорили о битве при Саламанке, про которую рассказывал только что приехавший француз Кросар в испанском мундире. (Француз этот вместе с одним из немецких принцев, служивших в русской армии, разбирал осаду Сарагоссы, предвидя возможность так же защищать Москву.) В четвертом кружке граф Растопчин говорил о том, что он с московской дружиной готов погибнуть под стенами столицы, но что все таки он не может не сожалеть о той неизвестности, в которой он был оставлен, и что, ежели бы он это знал прежде, было бы другое… Пятые, выказывая глубину своих стратегических соображений, говорили о том направлении, которое должны будут принять войска. Шестые говорили совершенную бессмыслицу. Лицо Кутузова становилось все озабоченнее и печальнее. Из всех разговоров этих Кутузов видел одно: защищать Москву не было никакой физической возможности в полном значении этих слов, то есть до такой степени не было возможности, что ежели бы какой нибудь безумный главнокомандующий отдал приказ о даче сражения, то произошла бы путаница и сражения все таки бы не было; не было бы потому, что все высшие начальники не только признавали эту позицию невозможной, но в разговорах своих обсуждали только то, что произойдет после несомненного оставления этой позиции. Как же могли начальники вести свои войска на поле сражения, которое они считали невозможным? Низшие начальники, даже солдаты (которые тоже рассуждают), также признавали позицию невозможной и потому не могли идти драться с уверенностью поражения. Ежели Бенигсен настаивал на защите этой позиции и другие еще обсуждали ее, то вопрос этот уже не имел значения сам по себе, а имел значение только как предлог для спора и интриги. Это понимал Кутузов.
Бенигсен, выбрав позицию, горячо выставляя свой русский патриотизм (которого не мог, не морщась, выслушивать Кутузов), настаивал на защите Москвы. Кутузов ясно как день видел цель Бенигсена: в случае неудачи защиты – свалить вину на Кутузова, доведшего войска без сражения до Воробьевых гор, а в случае успеха – себе приписать его; в случае же отказа – очистить себя в преступлении оставления Москвы. Но этот вопрос интриги не занимал теперь старого человека. Один страшный вопрос занимал его. И на вопрос этот он ни от кого не слышал ответа. Вопрос состоял для него теперь только в том: «Неужели это я допустил до Москвы Наполеона, и когда же я это сделал? Когда это решилось? Неужели вчера, когда я послал к Платову приказ отступить, или третьего дня вечером, когда я задремал и приказал Бенигсену распорядиться? Или еще прежде?.. но когда, когда же решилось это страшное дело? Москва должна быть оставлена. Войска должны отступить, и надо отдать это приказание». Отдать это страшное приказание казалось ему одно и то же, что отказаться от командования армией. А мало того, что он любил власть, привык к ней (почет, отдаваемый князю Прозоровскому, при котором он состоял в Турции, дразнил его), он был убежден, что ему было предназначено спасение России и что потому только, против воли государя и по воле народа, он был избрал главнокомандующим. Он был убежден, что он один и этих трудных условиях мог держаться во главе армии, что он один во всем мире был в состоянии без ужаса знать своим противником непобедимого Наполеона; и он ужасался мысли о том приказании, которое он должен был отдать. Но надо было решить что нибудь, надо было прекратить эти разговоры вокруг него, которые начинали принимать слишком свободный характер.
Он подозвал к себе старших генералов.
– Ma tete fut elle bonne ou mauvaise, n'a qu'a s'aider d'elle meme, [Хороша ли, плоха ли моя голова, а положиться больше не на кого,] – сказал он, вставая с лавки, и поехал в Фили, где стояли его экипажи.


В просторной, лучшей избе мужика Андрея Савостьянова в два часа собрался совет. Мужики, бабы и дети мужицкой большой семьи теснились в черной избе через сени. Одна только внучка Андрея, Малаша, шестилетняя девочка, которой светлейший, приласкав ее, дал за чаем кусок сахара, оставалась на печи в большой избе. Малаша робко и радостно смотрела с печи на лица, мундиры и кресты генералов, одного за другим входивших в избу и рассаживавшихся в красном углу, на широких лавках под образами. Сам дедушка, как внутренне называла Maлаша Кутузова, сидел от них особо, в темном углу за печкой. Он сидел, глубоко опустившись в складное кресло, и беспрестанно покряхтывал и расправлял воротник сюртука, который, хотя и расстегнутый, все как будто жал его шею. Входившие один за другим подходили к фельдмаршалу; некоторым он пожимал руку, некоторым кивал головой. Адъютант Кайсаров хотел было отдернуть занавеску в окне против Кутузова, но Кутузов сердито замахал ему рукой, и Кайсаров понял, что светлейший не хочет, чтобы видели его лицо.
Вокруг мужицкого елового стола, на котором лежали карты, планы, карандаши, бумаги, собралось так много народа, что денщики принесли еще лавку и поставили у стола. На лавку эту сели пришедшие: Ермолов, Кайсаров и Толь. Под самыми образами, на первом месте, сидел с Георгием на шее, с бледным болезненным лицом и с своим высоким лбом, сливающимся с голой головой, Барклай де Толли. Второй уже день он мучился лихорадкой, и в это самое время его знобило и ломало. Рядом с ним сидел Уваров и негромким голосом (как и все говорили) что то, быстро делая жесты, сообщал Барклаю. Маленький, кругленький Дохтуров, приподняв брови и сложив руки на животе, внимательно прислушивался. С другой стороны сидел, облокотивши на руку свою широкую, с смелыми чертами и блестящими глазами голову, граф Остерман Толстой и казался погруженным в свои мысли. Раевский с выражением нетерпения, привычным жестом наперед курчавя свои черные волосы на висках, поглядывал то на Кутузова, то на входную дверь. Твердое, красивое и доброе лицо Коновницына светилось нежной и хитрой улыбкой. Он встретил взгляд Малаши и глазами делал ей знаки, которые заставляли девочку улыбаться.
Все ждали Бенигсена, который доканчивал свой вкусный обед под предлогом нового осмотра позиции. Его ждали от четырех до шести часов, и во все это время не приступали к совещанию и тихими голосами вели посторонние разговоры.
Только когда в избу вошел Бенигсен, Кутузов выдвинулся из своего угла и подвинулся к столу, но настолько, что лицо его не было освещено поданными на стол свечами.
Бенигсен открыл совет вопросом: «Оставить ли без боя священную и древнюю столицу России или защищать ее?» Последовало долгое и общее молчание. Все лица нахмурились, и в тишине слышалось сердитое кряхтенье и покашливанье Кутузова. Все глаза смотрели на него. Малаша тоже смотрела на дедушку. Она ближе всех была к нему и видела, как лицо его сморщилось: он точно собрался плакать. Но это продолжалось недолго.
– Священную древнюю столицу России! – вдруг заговорил он, сердитым голосом повторяя слова Бенигсена и этим указывая на фальшивую ноту этих слов. – Позвольте вам сказать, ваше сиятельство, что вопрос этот не имеет смысла для русского человека. (Он перевалился вперед своим тяжелым телом.) Такой вопрос нельзя ставить, и такой вопрос не имеет смысла. Вопрос, для которого я просил собраться этих господ, это вопрос военный. Вопрос следующий: «Спасенье России в армии. Выгоднее ли рисковать потерею армии и Москвы, приняв сраженье, или отдать Москву без сражения? Вот на какой вопрос я желаю знать ваше мнение». (Он откачнулся назад на спинку кресла.)
Начались прения. Бенигсен не считал еще игру проигранною. Допуская мнение Барклая и других о невозможности принять оборонительное сражение под Филями, он, проникнувшись русским патриотизмом и любовью к Москве, предлагал перевести войска в ночи с правого на левый фланг и ударить на другой день на правое крыло французов. Мнения разделились, были споры в пользу и против этого мнения. Ермолов, Дохтуров и Раевский согласились с мнением Бенигсена. Руководимые ли чувством потребности жертвы пред оставлением столицы или другими личными соображениями, но эти генералы как бы не понимали того, что настоящий совет не мог изменить неизбежного хода дел и что Москва уже теперь оставлена. Остальные генералы понимали это и, оставляя в стороне вопрос о Москве, говорили о том направлении, которое в своем отступлении должно было принять войско. Малаша, которая, не спуская глаз, смотрела на то, что делалось перед ней, иначе понимала значение этого совета. Ей казалось, что дело было только в личной борьбе между «дедушкой» и «длиннополым», как она называла Бенигсена. Она видела, что они злились, когда говорили друг с другом, и в душе своей она держала сторону дедушки. В средине разговора она заметила быстрый лукавый взгляд, брошенный дедушкой на Бенигсена, и вслед за тем, к радости своей, заметила, что дедушка, сказав что то длиннополому, осадил его: Бенигсен вдруг покраснел и сердито прошелся по избе. Слова, так подействовавшие на Бенигсена, были спокойным и тихим голосом выраженное Кутузовым мнение о выгоде и невыгоде предложения Бенигсена: о переводе в ночи войск с правого на левый фланг для атаки правого крыла французов.
– Я, господа, – сказал Кутузов, – не могу одобрить плана графа. Передвижения войск в близком расстоянии от неприятеля всегда бывают опасны, и военная история подтверждает это соображение. Так, например… (Кутузов как будто задумался, приискивая пример и светлым, наивным взглядом глядя на Бенигсена.) Да вот хоть бы Фридландское сражение, которое, как я думаю, граф хорошо помнит, было… не вполне удачно только оттого, что войска наши перестроивались в слишком близком расстоянии от неприятеля… – Последовало, показавшееся всем очень продолжительным, минутное молчание.
Прения опять возобновились, но часто наступали перерывы, и чувствовалось, что говорить больше не о чем.
Во время одного из таких перерывов Кутузов тяжело вздохнул, как бы сбираясь говорить. Все оглянулись на него.
– Eh bien, messieurs! Je vois que c'est moi qui payerai les pots casses, [Итак, господа, стало быть, мне платить за перебитые горшки,] – сказал он. И, медленно приподнявшись, он подошел к столу. – Господа, я слышал ваши мнения. Некоторые будут несогласны со мной. Но я (он остановился) властью, врученной мне моим государем и отечеством, я – приказываю отступление.
Вслед за этим генералы стали расходиться с той же торжественной и молчаливой осторожностью, с которой расходятся после похорон.
Некоторые из генералов негромким голосом, совсем в другом диапазоне, чем когда они говорили на совете, передали кое что главнокомандующему.
Малаша, которую уже давно ждали ужинать, осторожно спустилась задом с полатей, цепляясь босыми ножонками за уступы печки, и, замешавшись между ног генералов, шмыгнула в дверь.
Отпустив генералов, Кутузов долго сидел, облокотившись на стол, и думал все о том же страшном вопросе: «Когда же, когда же наконец решилось то, что оставлена Москва? Когда было сделано то, что решило вопрос, и кто виноват в этом?»
– Этого, этого я не ждал, – сказал он вошедшему к нему, уже поздно ночью, адъютанту Шнейдеру, – этого я не ждал! Этого я не думал!
– Вам надо отдохнуть, ваша светлость, – сказал Шнейдер.
– Да нет же! Будут же они лошадиное мясо жрать, как турки, – не отвечая, прокричал Кутузов, ударяя пухлым кулаком по столу, – будут и они, только бы…


В противоположность Кутузову, в то же время, в событии еще более важнейшем, чем отступление армии без боя, в оставлении Москвы и сожжении ее, Растопчин, представляющийся нам руководителем этого события, действовал совершенно иначе.
Событие это – оставление Москвы и сожжение ее – было так же неизбежно, как и отступление войск без боя за Москву после Бородинского сражения.
Каждый русский человек, не на основании умозаключений, а на основании того чувства, которое лежит в нас и лежало в наших отцах, мог бы предсказать то, что совершилось.
Начиная от Смоленска, во всех городах и деревнях русской земли, без участия графа Растопчина и его афиш, происходило то же самое, что произошло в Москве. Народ с беспечностью ждал неприятеля, не бунтовал, не волновался, никого не раздирал на куски, а спокойно ждал своей судьбы, чувствуя в себе силы в самую трудную минуту найти то, что должно было сделать. И как только неприятель подходил, богатейшие элементы населения уходили, оставляя свое имущество; беднейшие оставались и зажигали и истребляли то, что осталось.
Сознание того, что это так будет, и всегда так будет, лежало и лежит в душе русского человека. И сознание это и, более того, предчувствие того, что Москва будет взята, лежало в русском московском обществе 12 го года. Те, которые стали выезжать из Москвы еще в июле и начале августа, показали, что они ждали этого. Те, которые выезжали с тем, что они могли захватить, оставляя дома и половину имущества, действовали так вследствие того скрытого (latent) патриотизма, который выражается не фразами, не убийством детей для спасения отечества и т. п. неестественными действиями, а который выражается незаметно, просто, органически и потому производит всегда самые сильные результаты.
«Стыдно бежать от опасности; только трусы бегут из Москвы», – говорили им. Растопчин в своих афишках внушал им, что уезжать из Москвы было позорно. Им совестно было получать наименование трусов, совестно было ехать, но они все таки ехали, зная, что так надо было. Зачем они ехали? Нельзя предположить, чтобы Растопчин напугал их ужасами, которые производил Наполеон в покоренных землях. Уезжали, и первые уехали богатые, образованные люди, знавшие очень хорошо, что Вена и Берлин остались целы и что там, во время занятия их Наполеоном, жители весело проводили время с обворожительными французами, которых так любили тогда русские мужчины и в особенности дамы.
Они ехали потому, что для русских людей не могло быть вопроса: хорошо ли или дурно будет под управлением французов в Москве. Под управлением французов нельзя было быть: это было хуже всего. Они уезжали и до Бородинского сражения, и еще быстрее после Бородинского сражения, невзирая на воззвания к защите, несмотря на заявления главнокомандующего Москвы о намерении его поднять Иверскую и идти драться, и на воздушные шары, которые должны были погубить французов, и несмотря на весь тот вздор, о котором нисал Растопчин в своих афишах. Они знали, что войско должно драться, и что ежели оно не может, то с барышнями и дворовыми людьми нельзя идти на Три Горы воевать с Наполеоном, а что надо уезжать, как ни жалко оставлять на погибель свое имущество. Они уезжали и не думали о величественном значении этой громадной, богатой столицы, оставленной жителями и, очевидно, сожженной (большой покинутый деревянный город необходимо должен был сгореть); они уезжали каждый для себя, а вместе с тем только вследствие того, что они уехали, и совершилось то величественное событие, которое навсегда останется лучшей славой русского народа. Та барыня, которая еще в июне месяце с своими арапами и шутихами поднималась из Москвы в саратовскую деревню, с смутным сознанием того, что она Бонапарту не слуга, и со страхом, чтобы ее не остановили по приказанию графа Растопчина, делала просто и истинно то великое дело, которое спасло Россию. Граф же Растопчин, который то стыдил тех, которые уезжали, то вывозил присутственные места, то выдавал никуда не годное оружие пьяному сброду, то поднимал образа, то запрещал Августину вывозить мощи и иконы, то захватывал все частные подводы, бывшие в Москве, то на ста тридцати шести подводах увозил делаемый Леппихом воздушный шар, то намекал на то, что он сожжет Москву, то рассказывал, как он сжег свой дом и написал прокламацию французам, где торжественно упрекал их, что они разорили его детский приют; то принимал славу сожжения Москвы, то отрекался от нее, то приказывал народу ловить всех шпионов и приводить к нему, то упрекал за это народ, то высылал всех французов из Москвы, то оставлял в городе г жу Обер Шальме, составлявшую центр всего французского московского населения, а без особой вины приказывал схватить и увезти в ссылку старого почтенного почт директора Ключарева; то сбирал народ на Три Горы, чтобы драться с французами, то, чтобы отделаться от этого народа, отдавал ему на убийство человека и сам уезжал в задние ворота; то говорил, что он не переживет несчастия Москвы, то писал в альбомы по французски стихи о своем участии в этом деле, – этот человек не понимал значения совершающегося события, а хотел только что то сделать сам, удивить кого то, что то совершить патриотически геройское и, как мальчик, резвился над величавым и неизбежным событием оставления и сожжения Москвы и старался своей маленькой рукой то поощрять, то задерживать течение громадного, уносившего его вместе с собой, народного потока.


Элен, возвратившись вместе с двором из Вильны в Петербург, находилась в затруднительном положении.
В Петербурге Элен пользовалась особым покровительством вельможи, занимавшего одну из высших должностей в государстве. В Вильне же она сблизилась с молодым иностранным принцем. Когда она возвратилась в Петербург, принц и вельможа были оба в Петербурге, оба заявляли свои права, и для Элен представилась новая еще в ее карьере задача: сохранить свою близость отношений с обоими, не оскорбив ни одного.
То, что показалось бы трудным и даже невозможным для другой женщины, ни разу не заставило задуматься графиню Безухову, недаром, видно, пользовавшуюся репутацией умнейшей женщины. Ежели бы она стала скрывать свои поступки, выпутываться хитростью из неловкого положения, она бы этим самым испортила свое дело, сознав себя виноватою; но Элен, напротив, сразу, как истинно великий человек, который может все то, что хочет, поставила себя в положение правоты, в которую она искренно верила, а всех других в положение виноватости.
В первый раз, как молодое иностранное лицо позволило себе делать ей упреки, она, гордо подняв свою красивую голову и вполуоборот повернувшись к нему, твердо сказала:
– Voila l'egoisme et la cruaute des hommes! Je ne m'attendais pas a autre chose. Za femme se sacrifie pour vous, elle souffre, et voila sa recompense. Quel droit avez vous, Monseigneur, de me demander compte de mes amities, de mes affections? C'est un homme qui a ete plus qu'un pere pour moi. [Вот эгоизм и жестокость мужчин! Я ничего лучшего и не ожидала. Женщина приносит себя в жертву вам; она страдает, и вот ей награда. Ваше высочество, какое имеете вы право требовать от меня отчета в моих привязанностях и дружеских чувствах? Это человек, бывший для меня больше чем отцом.]
Лицо хотело что то сказать. Элен перебила его.
– Eh bien, oui, – сказала она, – peut etre qu'il a pour moi d'autres sentiments que ceux d'un pere, mais ce n'est; pas une raison pour que je lui ferme ma porte. Je ne suis pas un homme pour etre ingrate. Sachez, Monseigneur, pour tout ce qui a rapport a mes sentiments intimes, je ne rends compte qu'a Dieu et a ma conscience, [Ну да, может быть, чувства, которые он питает ко мне, не совсем отеческие; но ведь из за этого не следует же мне отказывать ему от моего дома. Я не мужчина, чтобы платить неблагодарностью. Да будет известно вашему высочеству, что в моих задушевных чувствах я отдаю отчет только богу и моей совести.] – кончила она, дотрогиваясь рукой до высоко поднявшейся красивой груди и взглядывая на небо.
– Mais ecoutez moi, au nom de Dieu. [Но выслушайте меня, ради бога.]
– Epousez moi, et je serai votre esclave. [Женитесь на мне, и я буду вашею рабою.]
– Mais c'est impossible. [Но это невозможно.]
– Vous ne daignez pas descende jusqu'a moi, vous… [Вы не удостаиваете снизойти до брака со мною, вы…] – заплакав, сказала Элен.
Лицо стало утешать ее; Элен же сквозь слезы говорила (как бы забывшись), что ничто не может мешать ей выйти замуж, что есть примеры (тогда еще мало было примеров, но она назвала Наполеона и других высоких особ), что она никогда не была женою своего мужа, что она была принесена в жертву.
– Но законы, религия… – уже сдаваясь, говорило лицо.
– Законы, религия… На что бы они были выдуманы, ежели бы они не могли сделать этого! – сказала Элен.
Важное лицо было удивлено тем, что такое простое рассуждение могло не приходить ему в голову, и обратилось за советом к святым братьям Общества Иисусова, с которыми оно находилось в близких отношениях.
Через несколько дней после этого, на одном из обворожительных праздников, который давала Элен на своей даче на Каменном острову, ей был представлен немолодой, с белыми как снег волосами и черными блестящими глазами, обворожительный m r de Jobert, un jesuite a robe courte, [г н Жобер, иезуит в коротком платье,] который долго в саду, при свете иллюминации и при звуках музыки, беседовал с Элен о любви к богу, к Христу, к сердцу божьей матери и об утешениях, доставляемых в этой и в будущей жизни единою истинною католическою религией. Элен была тронута, и несколько раз у нее и у m r Jobert в глазах стояли слезы и дрожал голос. Танец, на который кавалер пришел звать Элен, расстроил ее беседу с ее будущим directeur de conscience [блюстителем совести]; но на другой день m r de Jobert пришел один вечером к Элен и с того времени часто стал бывать у нее.
В один день он сводил графиню в католический храм, где она стала на колени перед алтарем, к которому она была подведена. Немолодой обворожительный француз положил ей на голову руки, и, как она сама потом рассказывала, она почувствовала что то вроде дуновения свежего ветра, которое сошло ей в душу. Ей объяснили, что это была la grace [благодать].
Потом ей привели аббата a robe longue [в длинном платье], он исповедовал ее и отпустил ей грехи ее. На другой день ей принесли ящик, в котором было причастие, и оставили ей на дому для употребления. После нескольких дней Элен, к удовольствию своему, узнала, что она теперь вступила в истинную католическую церковь и что на днях сам папа узнает о ней и пришлет ей какую то бумагу.
Все, что делалось за это время вокруг нее и с нею, все это внимание, обращенное на нее столькими умными людьми и выражающееся в таких приятных, утонченных формах, и голубиная чистота, в которой она теперь находилась (она носила все это время белые платья с белыми лентами), – все это доставляло ей удовольствие; но из за этого удовольствия она ни на минуту не упускала своей цели. И как всегда бывает, что в деле хитрости глупый человек проводит более умных, она, поняв, что цель всех этих слов и хлопот состояла преимущественно в том, чтобы, обратив ее в католичество, взять с нее денег в пользу иезуитских учреждений {о чем ей делали намеки), Элен, прежде чем давать деньги, настаивала на том, чтобы над нею произвели те различные операции, которые бы освободили ее от мужа. В ее понятиях значение всякой религии состояло только в том, чтобы при удовлетворении человеческих желаний соблюдать известные приличия. И с этою целью она в одной из своих бесед с духовником настоятельно потребовала от него ответа на вопрос о том, в какой мере ее брак связывает ее.
Они сидели в гостиной у окна. Были сумерки. Из окна пахло цветами. Элен была в белом платье, просвечивающем на плечах и груди. Аббат, хорошо откормленный, а пухлой, гладко бритой бородой, приятным крепким ртом и белыми руками, сложенными кротко на коленях, сидел близко к Элен и с тонкой улыбкой на губах, мирно – восхищенным ее красотою взглядом смотрел изредка на ее лицо и излагал свой взгляд на занимавший их вопрос. Элен беспокойно улыбалась, глядела на его вьющиеся волоса, гладко выбритые чернеющие полные щеки и всякую минуту ждала нового оборота разговора. Но аббат, хотя, очевидно, и наслаждаясь красотой и близостью своей собеседницы, был увлечен мастерством своего дела.
Ход рассуждения руководителя совести был следующий. В неведении значения того, что вы предпринимали, вы дали обет брачной верности человеку, который, с своей стороны, вступив в брак и не веря в религиозное значение брака, совершил кощунство. Брак этот не имел двоякого значения, которое должен он иметь. Но несмотря на то, обет ваш связывал вас. Вы отступили от него. Что вы совершили этим? Peche veniel или peche mortel? [Грех простительный или грех смертный?] Peche veniel, потому что вы без дурного умысла совершили поступок. Ежели вы теперь, с целью иметь детей, вступили бы в новый брак, то грех ваш мог бы быть прощен. Но вопрос опять распадается надвое: первое…
– Но я думаю, – сказала вдруг соскучившаяся Элен с своей обворожительной улыбкой, – что я, вступив в истинную религию, не могу быть связана тем, что наложила на меня ложная религия.
Directeur de conscience [Блюститель совести] был изумлен этим постановленным перед ним с такою простотою Колумбовым яйцом. Он восхищен был неожиданной быстротой успехов своей ученицы, но не мог отказаться от своего трудами умственными построенного здания аргументов.
– Entendons nous, comtesse, [Разберем дело, графиня,] – сказал он с улыбкой и стал опровергать рассуждения своей духовной дочери.


Элен понимала, что дело было очень просто и легко с духовной точки зрения, но что ее руководители делали затруднения только потому, что они опасались, каким образом светская власть посмотрит на это дело.
И вследствие этого Элен решила, что надо было в обществе подготовить это дело. Она вызвала ревность старика вельможи и сказала ему то же, что первому искателю, то есть поставила вопрос так, что единственное средство получить права на нее состояло в том, чтобы жениться на ней. Старое важное лицо первую минуту было так же поражено этим предложением выйти замуж от живого мужа, как и первое молодое лицо; но непоколебимая уверенность Элен в том, что это так же просто и естественно, как и выход девушки замуж, подействовала и на него. Ежели бы заметны были хоть малейшие признаки колебания, стыда или скрытности в самой Элен, то дело бы ее, несомненно, было проиграно; но не только не было этих признаков скрытности и стыда, но, напротив, она с простотой и добродушной наивностью рассказывала своим близким друзьям (а это был весь Петербург), что ей сделали предложение и принц и вельможа и что она любит обоих и боится огорчить того и другого.
По Петербургу мгновенно распространился слух не о том, что Элен хочет развестись с своим мужем (ежели бы распространился этот слух, очень многие восстали бы против такого незаконного намерения), но прямо распространился слух о том, что несчастная, интересная Элен находится в недоуменье о том, за кого из двух ей выйти замуж. Вопрос уже не состоял в том, в какой степени это возможно, а только в том, какая партия выгоднее и как двор посмотрит на это. Были действительно некоторые закоснелые люди, не умевшие подняться на высоту вопроса и видевшие в этом замысле поругание таинства брака; но таких было мало, и они молчали, большинство же интересовалось вопросами о счастии, которое постигло Элен, и какой выбор лучше. О том же, хорошо ли или дурно выходить от живого мужа замуж, не говорили, потому что вопрос этот, очевидно, был уже решенный для людей поумнее нас с вами (как говорили) и усомниться в правильности решения вопроса значило рисковать выказать свою глупость и неумение жить в свете.
Одна только Марья Дмитриевна Ахросимова, приезжавшая в это лето в Петербург для свидания с одним из своих сыновей, позволила себе прямо выразить свое, противное общественному, мнение. Встретив Элен на бале, Марья Дмитриевна остановила ее посередине залы и при общем молчании своим грубым голосом сказала ей:
– У вас тут от живого мужа замуж выходить стали. Ты, может, думаешь, что ты это новенькое выдумала? Упредили, матушка. Уж давно выдумано. Во всех…… так то делают. – И с этими словами Марья Дмитриевна с привычным грозным жестом, засучивая свои широкие рукава и строго оглядываясь, прошла через комнату.
На Марью Дмитриевну, хотя и боялись ее, смотрели в Петербурге как на шутиху и потому из слов, сказанных ею, заметили только грубое слово и шепотом повторяли его друг другу, предполагая, что в этом слове заключалась вся соль сказанного.
Князь Василий, последнее время особенно часто забывавший то, что он говорил, и повторявший по сотне раз одно и то же, говорил всякий раз, когда ему случалось видеть свою дочь.
– Helene, j'ai un mot a vous dire, – говорил он ей, отводя ее в сторону и дергая вниз за руку. – J'ai eu vent de certains projets relatifs a… Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere enfant… ne consultez que votre c?ur. C'est tout ce que je vous dis. [Элен, мне надо тебе кое что сказать. Я прослышал о некоторых видах касательно… ты знаешь. Ну так, милое дитя мое, ты знаешь, что сердце отца твоего радуется тому, что ты… Ты столько терпела… Но, милое дитя… Поступай, как велит тебе сердце. Вот весь мой совет.] – И, скрывая всегда одинаковое волнение, он прижимал свою щеку к щеке дочери и отходил.
Билибин, не утративший репутации умнейшего человека и бывший бескорыстным другом Элен, одним из тех друзей, которые бывают всегда у блестящих женщин, друзей мужчин, никогда не могущих перейти в роль влюбленных, Билибин однажды в petit comite [маленьком интимном кружке] высказал своему другу Элен взгляд свой на все это дело.
– Ecoutez, Bilibine (Элен таких друзей, как Билибин, всегда называла по фамилии), – и она дотронулась своей белой в кольцах рукой до рукава его фрака. – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Послушайте, Билибин: скажите мне, как бы сказали вы сестре, что мне делать? Которого из двух?]
Билибин собрал кожу над бровями и с улыбкой на губах задумался.
– Vous ne me prenez pas en расплох, vous savez, – сказал он. – Comme veritable ami j'ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (это был молодой человек), – он загнул палец, – vous perdez pour toujours la chance d'epouser l'autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il y a une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand… le prince ne fait plus de mesalliance en vous epousant, [Вы меня не захватите врасплох, вы знаете. Как истинный друг, я долго обдумывал ваше дело. Вот видите: если выйти за принца, то вы навсегда лишаетесь возможности быть женою другого, и вдобавок двор будет недоволен. (Вы знаете, ведь тут замешано родство.) А если выйти за старого графа, то вы составите счастие последних дней его, и потом… принцу уже не будет унизительно жениться на вдове вельможи.] – и Билибин распустил кожу.
– Voila un veritable ami! – сказала просиявшая Элен, еще раз дотрогиваясь рукой до рукава Билибипа. – Mais c'est que j'aime l'un et l'autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Вот истинный друг! Но ведь я люблю того и другого и не хотела бы огорчать никого. Для счастия обоих я готова бы пожертвовать жизнию.] – сказала она.
Билибин пожал плечами, выражая, что такому горю даже и он пособить уже не может.
«Une maitresse femme! Voila ce qui s'appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois», [«Молодец женщина! Вот что называется твердо поставить вопрос. Она хотела бы быть женою всех троих в одно и то же время».] – подумал Билибин.
– Но скажите, как муж ваш посмотрит на это дело? – сказал он, вследствие твердости своей репутации не боясь уронить себя таким наивным вопросом. – Согласится ли он?
– Ah! Il m'aime tant! – сказала Элен, которой почему то казалось, что Пьер тоже ее любил. – Il fera tout pour moi. [Ах! он меня так любит! Он на все для меня готов.]
Билибин подобрал кожу, чтобы обозначить готовящийся mot.
– Meme le divorce, [Даже и на развод.] – сказал он.
Элен засмеялась.
В числе людей, которые позволяли себе сомневаться в законности предпринимаемого брака, была мать Элен, княгиня Курагина. Она постоянно мучилась завистью к своей дочери, и теперь, когда предмет зависти был самый близкий сердцу княгини, она не могла примириться с этой мыслью. Она советовалась с русским священником о том, в какой мере возможен развод и вступление в брак при живом муже, и священник сказал ей, что это невозможно, и, к радости ее, указал ей на евангельский текст, в котором (священнику казалось) прямо отвергается возможность вступления в брак от живого мужа.
Вооруженная этими аргументами, казавшимися ей неопровержимыми, княгиня рано утром, чтобы застать ее одну, поехала к своей дочери.
Выслушав возражения своей матери, Элен кротко и насмешливо улыбнулась.
– Да ведь прямо сказано: кто женится на разводной жене… – сказала старая княгиня.
– Ah, maman, ne dites pas de betises. Vous ne comprenez rien. Dans ma position j'ai des devoirs, [Ах, маменька, не говорите глупостей. Вы ничего не понимаете. В моем положении есть обязанности.] – заговорилa Элен, переводя разговор на французский с русского языка, на котором ей всегда казалась какая то неясность в ее деле.
– Но, мой друг…
– Ah, maman, comment est ce que vous ne comprenez pas que le Saint Pere, qui a le droit de donner des dispenses… [Ах, маменька, как вы не понимаете, что святой отец, имеющий власть отпущений…]
В это время дама компаньонка, жившая у Элен, вошла к ней доложить, что его высочество в зале и желает ее видеть.
– Non, dites lui que je ne veux pas le voir, que je suis furieuse contre lui, parce qu'il m'a manque parole. [Нет, скажите ему, что я не хочу его видеть, что я взбешена против него, потому что он мне не сдержал слова.]
– Comtesse a tout peche misericorde, [Графиня, милосердие всякому греху.] – сказал, входя, молодой белокурый человек с длинным лицом и носом.
Старая княгиня почтительно встала и присела. Вошедший молодой человек не обратил на нее внимания. Княгиня кивнула головой дочери и поплыла к двери.
«Нет, она права, – думала старая княгиня, все убеждения которой разрушились пред появлением его высочества. – Она права; но как это мы в нашу невозвратную молодость не знали этого? А это так было просто», – думала, садясь в карету, старая княгиня.

В начале августа дело Элен совершенно определилось, и она написала своему мужу (который ее очень любил, как она думала) письмо, в котором извещала его о своем намерении выйти замуж за NN и о том, что она вступила в единую истинную религию и что она просит его исполнить все те необходимые для развода формальности, о которых передаст ему податель сего письма.
«Sur ce je prie Dieu, mon ami, de vous avoir sous sa sainte et puissante garde. Votre amie Helene».
[«Затем молю бога, да будете вы, мой друг, под святым сильным его покровом. Друг ваш Елена»]
Это письмо было привезено в дом Пьера в то время, как он находился на Бородинском поле.


Во второй раз, уже в конце Бородинского сражения, сбежав с батареи Раевского, Пьер с толпами солдат направился по оврагу к Князькову, дошел до перевязочного пункта и, увидав кровь и услыхав крики и стоны, поспешно пошел дальше, замешавшись в толпы солдат.
Одно, чего желал теперь Пьер всеми силами своей души, было то, чтобы выйти поскорее из тех страшных впечатлений, в которых он жил этот день, вернуться к обычным условиям жизни и заснуть спокойно в комнате на своей постели. Только в обычных условиях жизни он чувствовал, что будет в состоянии понять самого себя и все то, что он видел и испытал. Но этих обычных условий жизни нигде не было.
Хотя ядра и пули не свистали здесь по дороге, по которой он шел, но со всех сторон было то же, что было там, на поле сражения. Те же были страдающие, измученные и иногда странно равнодушные лица, та же кровь, те же солдатские шинели, те же звуки стрельбы, хотя и отдаленной, но все еще наводящей ужас; кроме того, была духота и пыль.
Пройдя версты три по большой Можайской дороге, Пьер сел на краю ее.
Сумерки спустились на землю, и гул орудий затих. Пьер, облокотившись на руку, лег и лежал так долго, глядя на продвигавшиеся мимо него в темноте тени. Беспрестанно ему казалось, что с страшным свистом налетало на него ядро; он вздрагивал и приподнимался. Он не помнил, сколько времени он пробыл тут. В середине ночи трое солдат, притащив сучьев, поместились подле него и стали разводить огонь.
Солдаты, покосившись на Пьера, развели огонь, поставили на него котелок, накрошили в него сухарей и положили сала. Приятный запах съестного и жирного яства слился с запахом дыма. Пьер приподнялся и вздохнул. Солдаты (их было трое) ели, не обращая внимания на Пьера, и разговаривали между собой.
– Да ты из каких будешь? – вдруг обратился к Пьеру один из солдат, очевидно, под этим вопросом подразумевая то, что и думал Пьер, именно: ежели ты есть хочешь, мы дадим, только скажи, честный ли ты человек?
– Я? я?.. – сказал Пьер, чувствуя необходимость умалить как возможно свое общественное положение, чтобы быть ближе и понятнее для солдат. – Я по настоящему ополченный офицер, только моей дружины тут нет; я приезжал на сраженье и потерял своих.
– Вишь ты! – сказал один из солдат.
Другой солдат покачал головой.
– Что ж, поешь, коли хочешь, кавардачку! – сказал первый и подал Пьеру, облизав ее, деревянную ложку.
Пьер подсел к огню и стал есть кавардачок, то кушанье, которое было в котелке и которое ему казалось самым вкусным из всех кушаний, которые он когда либо ел. В то время как он жадно, нагнувшись над котелком, забирая большие ложки, пережевывал одну за другой и лицо его было видно в свете огня, солдаты молча смотрели на него.
– Тебе куды надо то? Ты скажи! – спросил опять один из них.
– Мне в Можайск.
– Ты, стало, барин?
– Да.
– А как звать?
– Петр Кириллович.
– Ну, Петр Кириллович, пойдем, мы тебя отведем. В совершенной темноте солдаты вместе с Пьером пошли к Можайску.
Уже петухи пели, когда они дошли до Можайска и стали подниматься на крутую городскую гору. Пьер шел вместе с солдатами, совершенно забыв, что его постоялый двор был внизу под горою и что он уже прошел его. Он бы не вспомнил этого (в таком он находился состоянии потерянности), ежели бы с ним не столкнулся на половине горы его берейтор, ходивший его отыскивать по городу и возвращавшийся назад к своему постоялому двору. Берейтор узнал Пьера по его шляпе, белевшей в темноте.
– Ваше сиятельство, – проговорил он, – а уж мы отчаялись. Что ж вы пешком? Куда же вы, пожалуйте!
– Ах да, – сказал Пьер.
Солдаты приостановились.
– Ну что, нашел своих? – сказал один из них.
– Ну, прощавай! Петр Кириллович, кажись? Прощавай, Петр Кириллович! – сказали другие голоса.
– Прощайте, – сказал Пьер и направился с своим берейтором к постоялому двору.
«Надо дать им!» – подумал Пьер, взявшись за карман. – «Нет, не надо», – сказал ему какой то голос.
В горницах постоялого двора не было места: все были заняты. Пьер прошел на двор и, укрывшись с головой, лег в свою коляску.


Едва Пьер прилег головой на подушку, как он почувствовал, что засыпает; но вдруг с ясностью почти действительности послышались бум, бум, бум выстрелов, послышались стоны, крики, шлепанье снарядов, запахло кровью и порохом, и чувство ужаса, страха смерти охватило его. Он испуганно открыл глаза и поднял голову из под шинели. Все было тихо на дворе. Только в воротах, разговаривая с дворником и шлепая по грязи, шел какой то денщик. Над головой Пьера, под темной изнанкой тесового навеса, встрепенулись голубки от движения, которое он сделал, приподнимаясь. По всему двору был разлит мирный, радостный для Пьера в эту минуту, крепкий запах постоялого двора, запах сена, навоза и дегтя. Между двумя черными навесами виднелось чистое звездное небо.
«Слава богу, что этого нет больше, – подумал Пьер, опять закрываясь с головой. – О, как ужасен страх и как позорно я отдался ему! А они… они все время, до конца были тверды, спокойны… – подумал он. Они в понятии Пьера были солдаты – те, которые были на батарее, и те, которые кормили его, и те, которые молились на икону. Они – эти странные, неведомые ему доселе они, ясно и резко отделялись в его мысли от всех других людей.
«Солдатом быть, просто солдатом! – думал Пьер, засыпая. – Войти в эту общую жизнь всем существом, проникнуться тем, что делает их такими. Но как скинуть с себя все это лишнее, дьявольское, все бремя этого внешнего человека? Одно время я мог быть этим. Я мог бежать от отца, как я хотел. Я мог еще после дуэли с Долоховым быть послан солдатом». И в воображении Пьера мелькнул обед в клубе, на котором он вызвал Долохова, и благодетель в Торжке. И вот Пьеру представляется торжественная столовая ложа. Ложа эта происходит в Английском клубе. И кто то знакомый, близкий, дорогой, сидит в конце стола. Да это он! Это благодетель. «Да ведь он умер? – подумал Пьер. – Да, умер; но я не знал, что он жив. И как мне жаль, что он умер, и как я рад, что он жив опять!» С одной стороны стола сидели Анатоль, Долохов, Несвицкий, Денисов и другие такие же (категория этих людей так же ясно была во сне определена в душе Пьера, как и категория тех людей, которых он называл они), и эти люди, Анатоль, Долохов громко кричали, пели; но из за их крика слышен был голос благодетеля, неумолкаемо говоривший, и звук его слов был так же значителен и непрерывен, как гул поля сраженья, но он был приятен и утешителен. Пьер не понимал того, что говорил благодетель, но он знал (категория мыслей так же ясна была во сне), что благодетель говорил о добре, о возможности быть тем, чем были они. И они со всех сторон, с своими простыми, добрыми, твердыми лицами, окружали благодетеля. Но они хотя и были добры, они не смотрели на Пьера, не знали его. Пьер захотел обратить на себя их внимание и сказать. Он привстал, но в то же мгновенье ноги его похолодели и обнажились.
Ему стало стыдно, и он рукой закрыл свои ноги, с которых действительно свалилась шинель. На мгновение Пьер, поправляя шинель, открыл глаза и увидал те же навесы, столбы, двор, но все это было теперь синевато, светло и подернуто блестками росы или мороза.
«Рассветает, – подумал Пьер. – Но это не то. Мне надо дослушать и понять слова благодетеля». Он опять укрылся шинелью, но ни столовой ложи, ни благодетеля уже не было. Были только мысли, ясно выражаемые словами, мысли, которые кто то говорил или сам передумывал Пьер.
Пьер, вспоминая потом эти мысли, несмотря на то, что они были вызваны впечатлениями этого дня, был убежден, что кто то вне его говорил их ему. Никогда, как ему казалось, он наяву не был в состоянии так думать и выражать свои мысли.
«Война есть наитруднейшее подчинение свободы человека законам бога, – говорил голос. – Простота есть покорность богу; от него не уйдешь. И они просты. Они, не говорят, но делают. Сказанное слово серебряное, а несказанное – золотое. Ничем не может владеть человек, пока он боится смерти. А кто не боится ее, тому принадлежит все. Ежели бы не было страдания, человек не знал бы границ себе, не знал бы себя самого. Самое трудное (продолжал во сне думать или слышать Пьер) состоит в том, чтобы уметь соединять в душе своей значение всего. Все соединить? – сказал себе Пьер. – Нет, не соединить. Нельзя соединять мысли, а сопрягать все эти мысли – вот что нужно! Да, сопрягать надо, сопрягать надо! – с внутренним восторгом повторил себе Пьер, чувствуя, что этими именно, и только этими словами выражается то, что он хочет выразить, и разрешается весь мучащий его вопрос.
– Да, сопрягать надо, пора сопрягать.
– Запрягать надо, пора запрягать, ваше сиятельство! Ваше сиятельство, – повторил какой то голос, – запрягать надо, пора запрягать…
Это был голос берейтора, будившего Пьера. Солнце било прямо в лицо Пьера. Он взглянул на грязный постоялый двор, в середине которого у колодца солдаты поили худых лошадей, из которого в ворота выезжали подводы. Пьер с отвращением отвернулся и, закрыв глаза, поспешно повалился опять на сиденье коляски. «Нет, я не хочу этого, не хочу этого видеть и понимать, я хочу понять то, что открывалось мне во время сна. Еще одна секунда, и я все понял бы. Да что же мне делать? Сопрягать, но как сопрягать всё?» И Пьер с ужасом почувствовал, что все значение того, что он видел и думал во сне, было разрушено.
Берейтор, кучер и дворник рассказывали Пьеру, что приезжал офицер с известием, что французы подвинулись под Можайск и что наши уходят.
Пьер встал и, велев закладывать и догонять себя, пошел пешком через город.
Войска выходили и оставляли около десяти тысяч раненых. Раненые эти виднелись в дворах и в окнах домов и толпились на улицах. На улицах около телег, которые должны были увозить раненых, слышны были крики, ругательства и удары. Пьер отдал догнавшую его коляску знакомому раненому генералу и с ним вместе поехал до Москвы. Доро гой Пьер узнал про смерть своего шурина и про смерть князя Андрея.

Х
30 го числа Пьер вернулся в Москву. Почти у заставы ему встретился адъютант графа Растопчина.
– А мы вас везде ищем, – сказал адъютант. – Графу вас непременно нужно видеть. Он просит вас сейчас же приехать к нему по очень важному делу.
Пьер, не заезжая домой, взял извозчика и поехал к главнокомандующему.
Граф Растопчин только в это утро приехал в город с своей загородной дачи в Сокольниках. Прихожая и приемная в доме графа были полны чиновников, явившихся по требованию его или за приказаниями. Васильчиков и Платов уже виделись с графом и объяснили ему, что защищать Москву невозможно и что она будет сдана. Известия эти хотя и скрывались от жителей, но чиновники, начальники различных управлений знали, что Москва будет в руках неприятеля, так же, как и знал это граф Растопчин; и все они, чтобы сложить с себя ответственность, пришли к главнокомандующему с вопросами, как им поступать с вверенными им частями.
В то время как Пьер входил в приемную, курьер, приезжавший из армии, выходил от графа.
Курьер безнадежно махнул рукой на вопросы, с которыми обратились к нему, и прошел через залу.
Дожидаясь в приемной, Пьер усталыми глазами оглядывал различных, старых и молодых, военных и статских, важных и неважных чиновников, бывших в комнате. Все казались недовольными и беспокойными. Пьер подошел к одной группе чиновников, в которой один был его знакомый. Поздоровавшись с Пьером, они продолжали свой разговор.
– Как выслать да опять вернуть, беды не будет; а в таком положении ни за что нельзя отвечать.
– Да ведь вот, он пишет, – говорил другой, указывая на печатную бумагу, которую он держал в руке.
– Это другое дело. Для народа это нужно, – сказал первый.
– Что это? – спросил Пьер.
– А вот новая афиша.
Пьер взял ее в руки и стал читать:
«Светлейший князь, чтобы скорей соединиться с войсками, которые идут к нему, перешел Можайск и стал на крепком месте, где неприятель не вдруг на него пойдет. К нему отправлено отсюда сорок восемь пушек с снарядами, и светлейший говорит, что Москву до последней капли крови защищать будет и готов хоть в улицах драться. Вы, братцы, не смотрите на то, что присутственные места закрыли: дела прибрать надобно, а мы своим судом с злодеем разберемся! Когда до чего дойдет, мне надобно молодцов и городских и деревенских. Я клич кликну дня за два, а теперь не надо, я и молчу. Хорошо с топором, недурно с рогатиной, а всего лучше вилы тройчатки: француз не тяжеле снопа ржаного. Завтра, после обеда, я поднимаю Иверскую в Екатерининскую гошпиталь, к раненым. Там воду освятим: они скорее выздоровеют; и я теперь здоров: у меня болел глаз, а теперь смотрю в оба».
– А мне говорили военные люди, – сказал Пьер, – что в городе никак нельзя сражаться и что позиция…
– Ну да, про то то мы и говорим, – сказал первый чиновник.
– А что это значит: у меня болел глаз, а теперь смотрю в оба? – сказал Пьер.
– У графа был ячмень, – сказал адъютант, улыбаясь, – и он очень беспокоился, когда я ему сказал, что приходил народ спрашивать, что с ним. А что, граф, – сказал вдруг адъютант, с улыбкой обращаясь к Пьеру, – мы слышали, что у вас семейные тревоги? Что будто графиня, ваша супруга…
– Я ничего не слыхал, – равнодушно сказал Пьер. – А что вы слышали?
– Нет, знаете, ведь часто выдумывают. Я говорю, что слышал.
– Что же вы слышали?
– Да говорят, – опять с той же улыбкой сказал адъютант, – что графиня, ваша жена, собирается за границу. Вероятно, вздор…
– Может быть, – сказал Пьер, рассеянно оглядываясь вокруг себя. – А это кто? – спросил он, указывая на невысокого старого человека в чистой синей чуйке, с белою как снег большою бородой, такими же бровями и румяным лицом.
– Это? Это купец один, то есть он трактирщик, Верещагин. Вы слышали, может быть, эту историю о прокламации?
– Ах, так это Верещагин! – сказал Пьер, вглядываясь в твердое и спокойное лицо старого купца и отыскивая в нем выражение изменничества.
– Это не он самый. Это отец того, который написал прокламацию, – сказал адъютант. – Тот молодой, сидит в яме, и ему, кажется, плохо будет.
Один старичок, в звезде, и другой – чиновник немец, с крестом на шее, подошли к разговаривающим.
– Видите ли, – рассказывал адъютант, – это запутанная история. Явилась тогда, месяца два тому назад, эта прокламация. Графу донесли. Он приказал расследовать. Вот Гаврило Иваныч разыскивал, прокламация эта побывала ровно в шестидесяти трех руках. Приедет к одному: вы от кого имеете? – От того то. Он едет к тому: вы от кого? и т. д. добрались до Верещагина… недоученный купчик, знаете, купчик голубчик, – улыбаясь, сказал адъютант. – Спрашивают у него: ты от кого имеешь? И главное, что мы знаем, от кого он имеет. Ему больше не от кого иметь, как от почт директора. Но уж, видно, там между ними стачка была. Говорит: ни от кого, я сам сочинил. И грозили и просили, стал на том: сам сочинил. Так и доложили графу. Граф велел призвать его. «От кого у тебя прокламация?» – «Сам сочинил». Ну, вы знаете графа! – с гордой и веселой улыбкой сказал адъютант. – Он ужасно вспылил, да и подумайте: этакая наглость, ложь и упорство!..
– А! Графу нужно было, чтобы он указал на Ключарева, понимаю! – сказал Пьер.
– Совсем не нужно», – испуганно сказал адъютант. – За Ключаревым и без этого были грешки, за что он и сослан. Но дело в том, что граф очень был возмущен. «Как же ты мог сочинить? – говорит граф. Взял со стола эту „Гамбургскую газету“. – Вот она. Ты не сочинил, а перевел, и перевел то скверно, потому что ты и по французски, дурак, не знаешь». Что же вы думаете? «Нет, говорит, я никаких газет не читал, я сочинил». – «А коли так, то ты изменник, и я тебя предам суду, и тебя повесят. Говори, от кого получил?» – «Я никаких газет не видал, а сочинил». Так и осталось. Граф и отца призывал: стоит на своем. И отдали под суд, и приговорили, кажется, к каторжной работе. Теперь отец пришел просить за него. Но дрянной мальчишка! Знаете, эдакой купеческий сынишка, франтик, соблазнитель, слушал где то лекции и уж думает, что ему черт не брат. Ведь это какой молодчик! У отца его трактир тут у Каменного моста, так в трактире, знаете, большой образ бога вседержителя и представлен в одной руке скипетр, в другой держава; так он взял этот образ домой на несколько дней и что же сделал! Нашел мерзавца живописца…


В середине этого нового рассказа Пьера позвали к главнокомандующему.
Пьер вошел в кабинет графа Растопчина. Растопчин, сморщившись, потирал лоб и глаза рукой, в то время как вошел Пьер. Невысокий человек говорил что то и, как только вошел Пьер, замолчал и вышел.
– А! здравствуйте, воин великий, – сказал Растопчин, как только вышел этот человек. – Слышали про ваши prouesses [достославные подвиги]! Но не в том дело. Mon cher, entre nous, [Между нами, мой милый,] вы масон? – сказал граф Растопчин строгим тоном, как будто было что то дурное в этом, но что он намерен был простить. Пьер молчал. – Mon cher, je suis bien informe, [Мне, любезнейший, все хорошо известно,] но я знаю, что есть масоны и масоны, и надеюсь, что вы не принадлежите к тем, которые под видом спасенья рода человеческого хотят погубить Россию.
– Да, я масон, – отвечал Пьер.
– Ну вот видите ли, мой милый. Вам, я думаю, не безызвестно, что господа Сперанский и Магницкий отправлены куда следует; то же сделано с господином Ключаревым, то же и с другими, которые под видом сооружения храма Соломона старались разрушить храм своего отечества. Вы можете понимать, что на это есть причины и что я не мог бы сослать здешнего почт директора, ежели бы он не был вредный человек. Теперь мне известно, что вы послали ему свой. экипаж для подъема из города и даже что вы приняли от него бумаги для хранения. Я вас люблю и не желаю вам зла, и как вы в два раза моложе меня, то я, как отец, советую вам прекратить всякое сношение с такого рода людьми и самому уезжать отсюда как можно скорее.
– Но в чем же, граф, вина Ключарева? – спросил Пьер.
– Это мое дело знать и не ваше меня спрашивать, – вскрикнул Растопчин.
– Ежели его обвиняют в том, что он распространял прокламации Наполеона, то ведь это не доказано, – сказал Пьер (не глядя на Растопчина), – и Верещагина…
– Nous y voila, [Так и есть,] – вдруг нахмурившись, перебивая Пьера, еще громче прежнего вскрикнул Растопчин. – Верещагин изменник и предатель, который получит заслуженную казнь, – сказал Растопчин с тем жаром злобы, с которым говорят люди при воспоминании об оскорблении. – Но я не призвал вас для того, чтобы обсуждать мои дела, а для того, чтобы дать вам совет или приказание, ежели вы этого хотите. Прошу вас прекратить сношения с такими господами, как Ключарев, и ехать отсюда. А я дурь выбью, в ком бы она ни была. – И, вероятно, спохватившись, что он как будто кричал на Безухова, который еще ни в чем не был виноват, он прибавил, дружески взяв за руку Пьера: – Nous sommes a la veille d'un desastre publique, et je n'ai pas le temps de dire des gentillesses a tous ceux qui ont affaire a moi. Голова иногда кругом идет! Eh! bien, mon cher, qu'est ce que vous faites, vous personnellement? [Мы накануне общего бедствия, и мне некогда быть любезным со всеми, с кем у меня есть дело. Итак, любезнейший, что вы предпринимаете, вы лично?]
– Mais rien, [Да ничего,] – отвечал Пьер, все не поднимая глаз и не изменяя выражения задумчивого лица.
Граф нахмурился.
– Un conseil d'ami, mon cher. Decampez et au plutot, c'est tout ce que je vous dis. A bon entendeur salut! Прощайте, мой милый. Ах, да, – прокричал он ему из двери, – правда ли, что графиня попалась в лапки des saints peres de la Societe de Jesus? [Дружеский совет. Выбирайтесь скорее, вот что я вам скажу. Блажен, кто умеет слушаться!.. святых отцов Общества Иисусова?]
Пьер ничего не ответил и, нахмуренный и сердитый, каким его никогда не видали, вышел от Растопчина.

Когда он приехал домой, уже смеркалось. Человек восемь разных людей побывало у него в этот вечер. Секретарь комитета, полковник его батальона, управляющий, дворецкий и разные просители. У всех были дела до Пьера, которые он должен был разрешить. Пьер ничего не понимал, не интересовался этими делами и давал на все вопросы только такие ответы, которые бы освободили его от этих людей. Наконец, оставшись один, он распечатал и прочел письмо жены.
«Они – солдаты на батарее, князь Андрей убит… старик… Простота есть покорность богу. Страдать надо… значение всего… сопрягать надо… жена идет замуж… Забыть и понять надо…» И он, подойдя к постели, не раздеваясь повалился на нее и тотчас же заснул.
Когда он проснулся на другой день утром, дворецкий пришел доложить, что от графа Растопчина пришел нарочно посланный полицейский чиновник – узнать, уехал ли или уезжает ли граф Безухов.