Спинор

Спино́р (англ. spin — вращаться) — специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.

Смысл спинорного описания пространства V — построение вспомогательного комплексного линейного пространства S, так чтобы V вкладывалось в <math>S \otimes S^*</math> (в тензорное произведение пространства S на комплексно-сопряжённое к себе). Элементы пространства S и называются «спинорами»; зачастую (хотя и не обязательно) у них отсутствует какой-либо прямой геометрический смысл. Однако, на спинорах можно «почти» определить действие группы вращений, а именно вращение действует на спинор с точностью до неопределённого комплексного множителя, равного по модулю 1 (в простых случаях, с точностью до ±1).Спиноры можно представить в виде обыкновенных комплексных векторов, но в пространстве с антисимметричной метрикой, например

      <math>g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math>

Индексы спиноров бывают пунктирные и непунктирные, т.к. по некоторым индексам спинор преобразуется как комплексно- сопряжённый.

Если исходное пространство V рассматривалось над полем вещественных чисел <math>\mathbb R</math>, то вектора из V будут описаны в S эрмитовыми матрицами.

Математически строгое обоснование такого построения делается с помощью алгебры Клиффорда, построенной по изучаемому пространству V.

Спиноры впервые были рассмотрены в математике Э. Картаном в 1913 году. Они были вновь открыты в 1929 году Б. ван дер Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике.

Определение

Спинором первого ранга называется вектор <math>a=(a_{1}, a_{2})</math> в двумерном комплексном пространстве, преобразующийся по формулам:

<math>a_{1}^{'}=\alpha_{11}a_{1}+\alpha_{12}a_{2}</math>,

<math>a_{2}^{'}=\alpha_{21}a_{1}+\alpha_{22}a_{2}</math>,

с детерминантом преобразования, равным единице:

<math>\begin{vmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} \end{vmatrix} = 1</math>.

Спинор <math>a</math> также обозначается как <math>a_{k}, (k=1, 2)</math>.

Коэффициенты <math>\alpha_{rs}, (r=1,2; s=1,2)</math> являются комплексными числами.

Для каждого спинора существует коспинор <math>b=(b_{\dot 1}, b_{\dot 2})</math> в двумерном комплексном пространстве, преобразующийся по формулам:

<math>b_{\dot 1}^{'}=\bar{\alpha_{11}}b_{\dot 1}+\bar{\alpha_{12}}b_{\dot 2}</math>,

<math>b_{\dot 2}^{'}=\bar{\alpha_{21}}b_{\dot 1}+\bar{\alpha_{22}}b_{\dot 2}</math>,

где чёрточками отмечены комплексно-сопряжённые величины. Индексы у коспиноров помечаются точками.

Спинорами высших рангов называются величины, которые преобразуются как произведения спиноров первого ранга. Например, спинор второго ранга <math>a_{kl} (k, l = 1, 2)</math> преобразуется как произведение спиноров первого ранга <math>a_{k}b_{l}</math>. Смешанный спинор спинор второго ранга <math>a_{\dot kl} (\dot k, l = 1, 2)</math> преобразуется как произведение спиноров первого ранга <math>a_{\dot k}b_{l}</math>.

В спинорной алгебре, как и в тензорной алгебре, справедливо правило суммирования по повторяющимся вверху и внизу индексам и существует метрический спинор второго ранга <math>e^{kl}</math> и определяемый следующим образом:

<math>a^{k}=e^{kl}a_{l}</math>,

<math>a_{k}=e_{kl}a^{l}</math>,

<math>e_{kl}=e_{lk}=e_{\dot k \dot l}=e_{\dot l \dot k}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>,

<math>e^{kl}=e^{lk}=e^{\dot k \dot l}=e^{\dot l \dot k}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math>.

Свойства

Координаты спиноров и коспиноров связаны следующими соотношениями:

<math>a^1=a_2</math>, <math>b^{\dot 1}=b_{\dot 2}</math>,

<math>a^2=-a_1</math>, <math>b^{\dot 2}=-b_{\dot 1}</math>,

Абсолютная величина любого спинора нечётного ранга равна нулю:

<math>a_{l}a^{l}=0</math>,

<math>a_{lmn}a^{lmn}=0</math>,

<math>a^{l}b_{l}c_{m}+a_{l}b_{m}c^{l}+a_{m}b^{l}c_{l}=0</math>.

С помощью спиноров вводятся дифференциальные операторы, инвариантные при бинарных преобразованиях.

Компонентам четырёхмерного градиента соответствуют операторы:

<math>\partial_{1}^{1} = \partial_{\dot 2 1} = \frac{\partial}{\partial x^{1}} + i \frac{\partial}{\partial x^{2}}</math>,

<math>-\partial_{2}^{\dot 2} = \partial_{\dot 1 2} = \frac{\partial}{\partial x^{1}} - i \frac{\partial}{\partial x^{2}}</math>,

<math>-\partial_{1}^{\dot 2} = \partial_{\dot 1 \dot 1} = \frac{\partial}{\partial x^{3}} - \frac{\partial}{\partial x^{4}}</math>,

<math>-\partial_{2}^{\dot 1} = \partial_{\dot 2 2} = \frac{\partial}{\partial x^{3}} + \frac{\partial}{\partial x^{4}}</math>.

Трёхмерное пространство

Для представления 3-мерного пространства в качестве S необходимо взять 2-мерное комплексное пространство <math>S = {\mathbb C}^2</math>. Векторы трёхмерного пространства будут соответствовать матрицам с нулевым следом.

Спиноры 3-мерного евклидова пространства обладают алгеброй, близкой к алгебрам скалярного и векторного произведений. Эта алгебра допускает удобное описание в терминах кватернионов Гамильтона. Именно, с каждым вектором x = (x₁, x₂, x₃) из вещественных (или комплексных) чисел можно ассоциировать комплексную матрицу

<math>{\bold x}\rightarrow X= \left(\begin{matrix}x_3&x_1-ix_2\\x_1+ix_2&-x_3\end{matrix}\right). </math>

Матрицы такой формы обладают следующими свойствами, внутренне связывающими их с геометрией 3-мерного пространства:

• det X = — (длина x)².
• X² = (длина x)²I, где I — единичная матрица.
• <math>\frac{1}{2}(XY+YX)=({\bold x}\cdot{\bold y})I</math>
• <math>\frac{1}{2}(XY-YX)=iZ,</math> где Z — матрица, ассоциированная с векторным произведением z = x × y.
• Если u — единичный вектор, то UXU — матрица, ассоциированная с вектором, получаемым из x отражением в плоскости, ортогональной u.
• Согласно линейной алгебре любое вращение в 3-мерном пространстве представимо в виде двух отражений. (Сходно, любое меняющее направление ортогональное преобразование есть либо отражение, либо произведение трёх (вообще, нечетного числа) отражений.) Таким образом, если R — вращение, представимое в виде двух последовательных отражений в плоскостях, перпендикулярных единичным векторам u₁ и u₂, то матрица U₂U₁XU₁U₂ представляет вращение R вектора x.

Имея эффективный способ представления всей геометрии вращений 3-мерного пространства набором комплексных 2×2-матриц, естественно задаться вопросом, какую роль играют 2×1-матрицы, если вообще они играют какую-то роль. Временно назовём спинором вектор-столбец

<math>\xi=\left[\begin{matrix}\xi_1\\\xi_2\end{matrix}\right]</math>

с комплексными компонентами ξ₁ и ξ₂. Очевидно, в пространстве спиноров действуют комплексные 2×2-матрицы. Более того, произведение двух отражений (для данной пары единичных векторов) определяет 2×2-матрицу, действие которой на эвклидовы векторы есть вращение, так что она вращает спиноры. Но здесь есть важное свойство — факторизация вращения не единственна. Ясно, что если X → RXR⁻¹ есть представление вращения, то замена R на -R даст то же самое вращение. На самом деле, можно легко показать, что это единственная возникающая неопределенность. Действие операции вращения на спинор всегда двузначно.

Пространство Минковского

Если к трём матрицам Паули добавить ещё и единичную матрицу (за номером 0), то мы получим спинорное представление пространства Минковского M:

<math>X = \sigma_\mu x^\mu,\ \mu=0,1,2,3</math>

При этом светоподобные вектора (нулевой длины) будут отвечать вырожденным матрицам вида <math>\pm\bar\psi\otimes\psi</math>, где <math>\psi\in S</math>. Соответствие между пространством Минковского и эрмитовыми матрицами 2×2: M≈Herm(2) будет взаимно-однозначным.

Спиноры в физике

Спиноры отнюдь не являются чисто абстрактным построением, никак не проявляющим себя по отношению к геометрии реальности. Многие встречающиеся в квантовой механике величины являются спинорами (см. спин, уравнение Дирака). При релятивистском рассмотрении используется изложенное выше спинорное представление пространства Минковского; например, существует довольно простое спинорное представление уравнений Максвелла.

При малых скоростях используются 3-мерные спиноры.

Литература

• Дирак П. Спиноры в гильбертовом пространстве. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 126 с.
• Желнорович В. А. Теория спиноров и её применение в физике и механике М.: Наука, 1982. 272 с.
• Желнорович В. А. Теория спиноров и её применения. М.: Август-Принт, 2001. 400с. ISBN 5-94681-001-4
• Картан Э. Теория спиноров. Пер. с франц. М.: ГИИЛ, 1947.
• Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Том 2. Пер с англ. М.: Мир, 1988. 584 с.
• Рашевский П. К. Теория спиноров. Изд. 2-ое. М.: КомКнига, 2006. 112с. ISBN 5-484-00348-2
• Румер Ю. Б. Спинорный анализ. М.-Л.: ОНТИ, 1936. 104с.
• Яппа Ю. А. Введение в теорию спиноров и её приложения в физике: Учебное пособие / Под ред. В. А. Франке. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. — 256 с. — ISBN 978-5-288-01951-7.

Ссылки

• [bse.sci-lib.com/article105279.html «Спинорное исчисление»] в БСЭ.

См. также

• Спинорная группа
• Теория представлений
• Твистор
• Спин
• q-бит

Отрывок, характеризующий Спинор

– Говорят, вы заключили мир с турками?
Балашев утвердительно наклонил голову.
– Мир заключен… – начал он. Но Наполеон не дал ему говорить. Ему, видно, нужно было говорить самому, одному, и он продолжал говорить с тем красноречием и невоздержанием раздраженности, к которому так склонны балованные люди.
– Да, я знаю, вы заключили мир с турками, не получив Молдавии и Валахии. А я бы дал вашему государю эти провинции так же, как я дал ему Финляндию. Да, – продолжал он, – я обещал и дал бы императору Александру Молдавию и Валахию, а теперь он не будет иметь этих прекрасных провинций. Он бы мог, однако, присоединить их к своей империи, и в одно царствование он бы расширил Россию от Ботнического залива до устьев Дуная. Катерина Великая не могла бы сделать более, – говорил Наполеон, все более и более разгораясь, ходя по комнате и повторяя Балашеву почти те же слова, которые ои говорил самому Александру в Тильзите. – Tout cela il l'aurait du a mon amitie… Ah! quel beau regne, quel beau regne! – повторил он несколько раз, остановился, достал золотую табакерку из кармана и жадно потянул из нее носом.
– Quel beau regne aurait pu etre celui de l'Empereur Alexandre! [Всем этим он был бы обязан моей дружбе… О, какое прекрасное царствование, какое прекрасное царствование! О, какое прекрасное царствование могло бы быть царствование императора Александра!]
Он с сожалением взглянул на Балашева, и только что Балашев хотел заметить что то, как он опять поспешно перебил его.
– Чего он мог желать и искать такого, чего бы он не нашел в моей дружбе?.. – сказал Наполеон, с недоумением пожимая плечами. – Нет, он нашел лучшим окружить себя моими врагами, и кем же? – продолжал он. – Он призвал к себе Штейнов, Армфельдов, Винцингероде, Бенигсенов, Штейн – прогнанный из своего отечества изменник, Армфельд – развратник и интриган, Винцингероде – беглый подданный Франции, Бенигсен несколько более военный, чем другие, но все таки неспособный, который ничего не умел сделать в 1807 году и который бы должен возбуждать в императоре Александре ужасные воспоминания… Положим, ежели бы они были способны, можно бы их употреблять, – продолжал Наполеон, едва успевая словом поспевать за беспрестанно возникающими соображениями, показывающими ему его правоту или силу (что в его понятии было одно и то же), – но и того нет: они не годятся ни для войны, ни для мира. Барклай, говорят, дельнее их всех; но я этого не скажу, судя по его первым движениям. А они что делают? Что делают все эти придворные! Пфуль предлагает, Армфельд спорит, Бенигсен рассматривает, а Барклай, призванный действовать, не знает, на что решиться, и время проходит. Один Багратион – военный человек. Он глуп, но у него есть опытность, глазомер и решительность… И что за роль играет ваш молодой государь в этой безобразной толпе. Они его компрометируют и на него сваливают ответственность всего совершающегося. Un souverain ne doit etre a l'armee que quand il est general, [Государь должен находиться при армии только тогда, когда он полководец,] – сказал он, очевидно, посылая эти слова прямо как вызов в лицо государя. Наполеон знал, как желал император Александр быть полководцем.
– Уже неделя, как началась кампания, и вы не сумели защитить Вильну. Вы разрезаны надвое и прогнаны из польских провинций. Ваша армия ропщет…
– Напротив, ваше величество, – сказал Балашев, едва успевавший запоминать то, что говорилось ему, и с трудом следивший за этим фейерверком слов, – войска горят желанием…
– Я все знаю, – перебил его Наполеон, – я все знаю, и знаю число ваших батальонов так же верно, как и моих. У вас нет двухсот тысяч войска, а у меня втрое столько. Даю вам честное слово, – сказал Наполеон, забывая, что это его честное слово никак не могло иметь значения, – даю вам ma parole d'honneur que j'ai cinq cent trente mille hommes de ce cote de la Vistule. [честное слово, что у меня пятьсот тридцать тысяч человек по сю сторону Вислы.] Турки вам не помощь: они никуда не годятся и доказали это, замирившись с вами. Шведы – их предопределение быть управляемыми сумасшедшими королями. Их король был безумный; они переменили его и взяли другого – Бернадота, который тотчас сошел с ума, потому что сумасшедший только, будучи шведом, может заключать союзы с Россией. – Наполеон злобно усмехнулся и опять поднес к носу табакерку.
На каждую из фраз Наполеона Балашев хотел и имел что возразить; беспрестанно он делал движение человека, желавшего сказать что то, но Наполеон перебивал его. Например, о безумии шведов Балашев хотел сказать, что Швеция есть остров, когда Россия за нее; но Наполеон сердито вскрикнул, чтобы заглушить его голос. Наполеон находился в том состоянии раздражения, в котором нужно говорить, говорить и говорить, только для того, чтобы самому себе доказать свою справедливость. Балашеву становилось тяжело: он, как посол, боялся уронить достоинство свое и чувствовал необходимость возражать; но, как человек, он сжимался нравственно перед забытьем беспричинного гнева, в котором, очевидно, находился Наполеон. Он знал, что все слова, сказанные теперь Наполеоном, не имеют значения, что он сам, когда опомнится, устыдится их. Балашев стоял, опустив глаза, глядя на движущиеся толстые ноги Наполеона, и старался избегать его взгляда.
– Да что мне эти ваши союзники? – говорил Наполеон. – У меня союзники – это поляки: их восемьдесят тысяч, они дерутся, как львы. И их будет двести тысяч.
И, вероятно, еще более возмутившись тем, что, сказав это, он сказал очевидную неправду и что Балашев в той же покорной своей судьбе позе молча стоял перед ним, он круто повернулся назад, подошел к самому лицу Балашева и, делая энергические и быстрые жесты своими белыми руками, закричал почти:
– Знайте, что ежели вы поколеблете Пруссию против меня, знайте, что я сотру ее с карты Европы, – сказал он с бледным, искаженным злобой лицом, энергическим жестом одной маленькой руки ударяя по другой. – Да, я заброшу вас за Двину, за Днепр и восстановлю против вас ту преграду, которую Европа была преступна и слепа, что позволила разрушить. Да, вот что с вами будет, вот что вы выиграли, удалившись от меня, – сказал он и молча прошел несколько раз по комнате, вздрагивая своими толстыми плечами. Он положил в жилетный карман табакерку, опять вынул ее, несколько раз приставлял ее к носу и остановился против Балашева. Он помолчал, поглядел насмешливо прямо в глаза Балашеву и сказал тихим голосом: – Et cependant quel beau regne aurait pu avoir votre maitre! [A между тем какое прекрасное царствование мог бы иметь ваш государь!]
Балашев, чувствуя необходимость возражать, сказал, что со стороны России дела не представляются в таком мрачном виде. Наполеон молчал, продолжая насмешливо глядеть на него и, очевидно, его не слушая. Балашев сказал, что в России ожидают от войны всего хорошего. Наполеон снисходительно кивнул головой, как бы говоря: «Знаю, так говорить ваша обязанность, но вы сами в это не верите, вы убеждены мною».
В конце речи Балашева Наполеон вынул опять табакерку, понюхал из нее и, как сигнал, стукнул два раза ногой по полу. Дверь отворилась; почтительно изгибающийся камергер подал императору шляпу и перчатки, другой подал носовои платок. Наполеон, ne глядя на них, обратился к Балашеву.
– Уверьте от моего имени императора Александра, – сказал оц, взяв шляпу, – что я ему предан по прежнему: я анаю его совершенно и весьма высоко ценю высокие его качества. Je ne vous retiens plus, general, vous recevrez ma lettre a l'Empereur. [Не удерживаю вас более, генерал, вы получите мое письмо к государю.] – И Наполеон пошел быстро к двери. Из приемной все бросилось вперед и вниз по лестнице.


После всего того, что сказал ему Наполеон, после этих взрывов гнева и после последних сухо сказанных слов:
«Je ne vous retiens plus, general, vous recevrez ma lettre», Балашев был уверен, что Наполеон уже не только не пожелает его видеть, но постарается не видать его – оскорбленного посла и, главное, свидетеля его непристойной горячности. Но, к удивлению своему, Балашев через Дюрока получил в этот день приглашение к столу императора.
На обеде были Бессьер, Коленкур и Бертье. Наполеон встретил Балашева с веселым и ласковым видом. Не только не было в нем выражения застенчивости или упрека себе за утреннюю вспышку, но он, напротив, старался ободрить Балашева. Видно было, что уже давно для Наполеона в его убеждении не существовало возможности ошибок и что в его понятии все то, что он делал, было хорошо не потому, что оно сходилось с представлением того, что хорошо и дурно, но потому, что он делал это.
Император был очень весел после своей верховой прогулки по Вильне, в которой толпы народа с восторгом встречали и провожали его. Во всех окнах улиц, по которым он проезжал, были выставлены ковры, знамена, вензеля его, и польские дамы, приветствуя его, махали ему платками.
За обедом, посадив подле себя Балашева, он обращался с ним не только ласково, но обращался так, как будто он и Балашева считал в числе своих придворных, в числе тех людей, которые сочувствовали его планам и должны были радоваться его успехам. Между прочим разговором он заговорил о Москве и стал спрашивать Балашева о русской столице, не только как спрашивает любознательный путешественник о новом месте, которое он намеревается посетить, но как бы с убеждением, что Балашев, как русский, должен быть польщен этой любознательностью.