Сравнение топологий
Сравнение топологий — это понятие, позволяющее «сравнивать» различные топологические структуры на одном и том же множестве. Множество всех топологий на фиксированном множестве образует частично упорядоченное множество относительно этого отношения.
Определение
Пусть <math>\mathcal T_1</math> и <math>\mathcal T_2</math> — две топологии на множестве <math>X,</math> такие что <math>\mathcal T_1</math> содержится в <math>\mathcal T_2:</math>
- <math>\mathcal T_1 \subseteq \mathcal T_2.</math>
Это значит, что каждое открытое множество первого топологического пространства является открытым множеством второго. В этом случае топология <math>\mathcal T_1</math> называется более грубой (иногда — более слабой или меньшей), чем <math>\mathcal T_2.</math> Соответственно, топология <math>\mathcal T_2</math> называется более тонкой (более сильной, большей). Некоторые авторы, особенно в учебниках по математическому анализу, употребляют термины «сильная топология» и «слабая топология» с противоположным значением.[1]
Бинарное отношение <math>\subseteq</math> задаёт структуру частичного порядка на множестве всех возможных топологий множества <math>X.</math>
Примеры
Наиболее тонкая топология на <math>X</math> — дискретная топология, в которой все множества открыты. Соответственно, наиболее грубая топология — тривиальная (или антидискретная) топология.
Наииболее грубая топология на <math>X,</math> относительно которой <math>X</math> удовлетворяет аксиоме отделимости T1, называется T1-топологией. Такая топология всегда существует, её можно описать явно как топологию, замкнутые множества которой — это конечные множества, а также всё <math>X.</math>
Свойства
Пусть <math>\mathcal T_1</math> и <math>\mathcal T_2</math> — две топологии на множестве <math>X.</math> Тогда следующие утверждения эквивалентны:
- <math>\mathcal T_1\subseteq \mathcal T_2</math>
- Тождественное отображение <math>\text{id}_X: (X,\mathcal T_2)\to (X,\mathcal T_1)</math> непрерывно.
- Тождественное отображение <math>\text{id}_X: (X,\mathcal T_1)\to (X,\mathcal T_2)</math> является открытым отображением (или, эквивалентно, замкнутым отображением).
Также из определений немедленно следуют данные утверждения:
- Непрерывное отображение <math>f:X\to Y</math> останется непрывным, если топологию на <math>Y</math> заменить на более грубую (соответственно, топологию на <math>X</math> — на более тонкую).
- Открытое отображение <math>f:X\to Y</math> останется открытым, если топологию на <math>Y</math> заменить на более тонкую (соответственно, топологию на <math>X</math> — на более грубую). Аналогичное утверждение верно для замкнутых отображений.
Решётка топологий
Множество топологий на <math>X</math> образует полную решётку относительно отношения <math>\subseteq.</math> Это значит, что произвольное семейство тоопологий имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань. Точная нижняя грань — это просто пересечение топологий. С другой стороны, объединение топологий не обязательно является топологией, и точная верхняя грань семейства топологий — это топология, для которой их объединение является предбазой.
Любая полная решётка является также ограниченной, в случае топологий этому соответствуют понятия дискретной и антидискретной топологии.
Напишите отзыв о статье "Сравнение топологий"
Примечания
- ↑ Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 77-78. ISBN 0-13-181629-2.
Отрывок, характеризующий Сравнение топологий
Наташа стала надевать платье.– Сейчас, сейчас, не ходи, папа, – крикнула она отцу, отворившему дверь, еще из под дымки юбки, закрывавшей всё ее лицо. Соня захлопнула дверь. Через минуту графа впустили. Он был в синем фраке, чулках и башмаках, надушенный и припомаженный.
– Ах, папа, ты как хорош, прелесть! – сказала Наташа, стоя посреди комнаты и расправляя складки дымки.
– Позвольте, барышня, позвольте, – говорила девушка, стоя на коленях, обдергивая платье и с одной стороны рта на другую переворачивая языком булавки.
– Воля твоя! – с отчаянием в голосе вскрикнула Соня, оглядев платье Наташи, – воля твоя, опять длинно!
Наташа отошла подальше, чтоб осмотреться в трюмо. Платье было длинно.
– Ей Богу, сударыня, ничего не длинно, – сказала Мавруша, ползавшая по полу за барышней.
– Ну длинно, так заметаем, в одну минутую заметаем, – сказала решительная Дуняша, из платочка на груди вынимая иголку и опять на полу принимаясь за работу.
В это время застенчиво, тихими шагами, вошла графиня в своей токе и бархатном платье.
– Уу! моя красавица! – закричал граф, – лучше вас всех!… – Он хотел обнять ее, но она краснея отстранилась, чтоб не измяться.
– Мама, больше на бок току, – проговорила Наташа. – Я переколю, и бросилась вперед, а девушки, подшивавшие, не успевшие за ней броситься, оторвали кусочек дымки.
– Боже мой! Что ж это такое? Я ей Богу не виновата…
– Ничего, заметаю, не видно будет, – говорила Дуняша.
– Красавица, краля то моя! – сказала из за двери вошедшая няня. – А Сонюшка то, ну красавицы!…
В четверть одиннадцатого наконец сели в кареты и поехали. Но еще нужно было заехать к Таврическому саду.
Перонская была уже готова. Несмотря на ее старость и некрасивость, у нее происходило точно то же, что у Ростовых, хотя не с такой торопливостью (для нее это было дело привычное), но также было надушено, вымыто, напудрено старое, некрасивое тело, также старательно промыто за ушами, и даже, и так же, как у Ростовых, старая горничная восторженно любовалась нарядом своей госпожи, когда она в желтом платье с шифром вышла в гостиную. Перонская похвалила туалеты Ростовых.
Ростовы похвалили ее вкус и туалет, и, бережа прически и платья, в одиннадцать часов разместились по каретам и поехали.
Наташа с утра этого дня не имела ни минуты свободы, и ни разу не успела подумать о том, что предстоит ей.
В сыром, холодном воздухе, в тесноте и неполной темноте колыхающейся кареты, она в первый раз живо представила себе то, что ожидает ее там, на бале, в освещенных залах – музыка, цветы, танцы, государь, вся блестящая молодежь Петербурга. То, что ее ожидало, было так прекрасно, что она не верила даже тому, что это будет: так это было несообразно с впечатлением холода, тесноты и темноты кареты. Она поняла всё то, что ее ожидает, только тогда, когда, пройдя по красному сукну подъезда, она вошла в сени, сняла шубу и пошла рядом с Соней впереди матери между цветами по освещенной лестнице. Только тогда она вспомнила, как ей надо было себя держать на бале и постаралась принять ту величественную манеру, которую она считала необходимой для девушки на бале. Но к счастью ее она почувствовала, что глаза ее разбегались: она ничего не видела ясно, пульс ее забил сто раз в минуту, и кровь стала стучать у ее сердца. Она не могла принять той манеры, которая бы сделала ее смешною, и шла, замирая от волнения и стараясь всеми силами только скрыть его. И эта то была та самая манера, которая более всего шла к ней. Впереди и сзади их, так же тихо переговариваясь и так же в бальных платьях, входили гости. Зеркала по лестнице отражали дам в белых, голубых, розовых платьях, с бриллиантами и жемчугами на открытых руках и шеях.
