Сравнение по модулю

Сравне́ние по мо́дулю натурального числа <math>m</math> показывает, что два выбранных целых числа при делении на <math>m</math> дают один и тот же остаток. Целое число может иметь не больше, чем <math>m</math> остатков; это значит, что все целые числа можно разделить на <math>m</math> групп относительно <math>m</math>, каждая из которых отвечает определённому остатку от деления на <math>m</math>.

Мо́дульная арифме́тика, часто называемая модуля́рная арифметика широко применяется в математике, информатике и криптографии .

История

Предпосылкой к созданию теории сравнений стало восстановление сочинений Диофанта, которые были выпущены в подлиннике и с латинским переводом, благодаря Баше де Мезириаку, в 1621. Их изучение привело Ферма́ к открытиям, которые по значению существенно опередили своё время. Например, в письме к Френиклю де Бесси</span>^ru_fr 18 октября 1640 года он сообщил без доказательства теорему, впоследствии получившую название малой теоремы Ферма. В современной формулировке теорема утверждает, что если <math>p</math> — простое число и <math>a</math> — целое число, не делящееся на <math>p</math>, то

<math>a^{p-1}\equiv 1 \pmod p </math> .

Первое доказательство этой теоремы принадлежит Лейбницу, причём он открыл указанную теорему независимо от Ферма́ не позднее 1683 года и сообщил об этом с приведением точного доказательства Бернулли. Кроме этого Лейбницем был предложен прообраз формулировки теоремы Вильсона.

Позже изучение вопросов, посвященных теории чисел и теории сравнений, было продолжено Эйлером, который ввел квадратичный закон взаимности и обобщил теорему Ферма, установив, что

<math>a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n, </math>

где <math>\varphi(n)</math> — функция Эйлера.

Понятие и символьное обозначение сравнений было введено Гауссом, как важный инструмент для обоснования его арифметической теории, работа над которой была начата им в 1795 году. Гауссу не были известны труды его предшественников, поэтому результаты его работы, изложенные в первых главах его книги «Арифметические исследования» (1801), были в основном уже известны, однако методы, которые он использовал для доказательств, оказались абсолютно новыми, имеющими высшую важность для развития теории чисел. Используя эти методы Гаусс преобразовал все накопленные до него сведения, связанные с операциями сравнения по модулю, в стройную теорию, которая впервые была изложена в этой же книге. Кроме этого, он исследовал сравнения первой и второй степени, теорию квадратичных вычетов и связанный с ней квадратичный закон взаимности.

Определения

Если два целых числа <math>a</math> и <math>b</math> при делении на <math>m</math> дают одинаковые остатки, то они называются сравнимыми (или равноостаточными) по модулю числа <math>m</math>.

Сравнимость чисел <math>a</math> и <math>b</math> записывается в виде формулы (сравнения):

<math>a\equiv b\pmod m.</math>

Число <math>m</math> называется модулем сравнения.

Определение сравнимости чисел <math>a</math> и <math>b</math> по модулю <math>m</math> равносильно любому из следующих утверждений:

1. Разность чисел <math>a</math> и <math>b</math> делится на <math>m</math> без остатка;
2. Число <math>a</math> может быть представлено в виде <math>a=b+km</math>, где <math>k</math> — некоторое целое число.

Доказательство  

• необходимость условий 1 и 2 доказывается следующим образом:

<math>a\equiv b\pmod m.</math>

Тогда в предположении,что

<math>a=n_1m + r, 0 \leqslant r< m</math>,

<math>b=n_2m + r, 0 \leqslant r< m</math>

Выполняются 1 и 2:

<math>a-b=(n_1-n_2)m,</math>

<math>a = n_1m + r=n_1m + r+n_2m-n_2m=b+(n_1-n_2)m=b+kn</math>, где <math>k=n_1-n_2</math>.

• Достаточность условия 1 и 2 :

<math>a=b+km,</math>

Из доказательства необходимого условия число b представимо в виде:

<math>b=n_1m + r, 0 \leqslant r< m</math>.

Тогда

<math>a=nm + r, 0 \leqslant r< m,</math>, где <math>n=k+n_1</math>.

Таким образом

<math>a\equiv b\pmod m.</math>.

Доказана равносильность определения условию 2, которое эквивалентно условию 1.

Например, 32 и −10 сравнимы по модулю 7, так как оба числа при делении на 7 дают остаток 4:

<math>32 = 7 \cdot 4 + 4; \quad -10 = 7 \cdot (-2) + 4.</math>

Также, 32 и −10 сравнимы по модулю 7, так как их разность 42 делится на 7, и к тому же имеет место представление:

<math>32 = -10 + 6 \cdot 7.</math>

Свойства сравнимости по модулю

Для фиксированного натурального числа <math>m</math> отношение сравнимости по модулю <math>m</math> обладает следующими свойствами:

• рефлексивности: для любого целого <math>a</math> справедливо <math>a \equiv a \pmod m.</math>
• симметричности: если <math>a \equiv b \pmod m,</math> то <math>b \equiv a \pmod m.</math>
• транзитивности: если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>b \equiv c \pmod m,</math> то <math>a \equiv c \pmod m.</math>

Таким образом, отношение сравнимости по модулю <math>m</math> является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.

Кроме вышеперечисленных свойств, для сравнений справедливы следующие утверждения:

• любые два целых числа сравнимы по модулю 1.
• если числа <math>a</math> и <math>b</math> сравнимы по модулю <math>m</math>, и <math>d</math> является делителем <math>m</math>, то <math>a</math> и <math>b</math> сравнимы по модулю <math>d</math>.

Доказательство  

Пусть,

<math>a\equiv b\pmod m.</math>

Следовательно,

<math>a-b=mt.</math>

Так как <math>d</math> является делителем числа <math>m</math>, то

<math>m=cd</math>.

Следовательно,

<math> a-b=mt=cdt=qd, (q=ct)</math>

и

<math>a\equiv b\pmod d</math>

по определению.

• если числа <math>a</math> и <math>b</math> сравнимы по нескольким модулям <math>{m_1, m_2, ..., m_k}</math> то они сравнимы по модулю, равному наименьшему общему кратному модулей: <math>{[m_1, m_2, ..., m_k]}</math>.

Доказательство  

Пусть,

<math>a\equiv b\pmod {m_i}, i=1,2,...,k. </math>

Следовательно,

<math>a-b=m_it.</math>

Так как разность <math>a-b</math> кратна каждому <math>m_1</math>, то она кратна и их наименьшему общему кратному

Следствие:

Для того, чтобы числа <math>a</math> и <math>b</math> были сравнимы по модулю <math>m</math>, каноническое разложение на простые сомножители которого имеет вид

<math>m = \prod_{i=1}^d p_i^{\alpha_i},</math>

необходимо и достаточно, чтобы

<math>a \equiv b \pmod {p_i^{\alpha_i}},\quad i = 1, 2, \dots, d</math>.

Операции со сравнениями

Сравнения по одному и тому же модулю обладают многими свойствами обычных равенств. Например, их можно складывать, вычитать и перемножать: если числа <math>a_1, a_2, ..., a_n</math> и <math>b_1, b_2, ..., b_n</math> попарно сравнимы по модулю <math>m</math>, то их суммы <math>a_1 + a_2 + ... + a_n</math> и <math>b_1 + b_2 + ... + b_n</math>, а также произведения <math>a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n</math> и <math>b_1 \cdot b_2 \cdot ... \cdot b_n</math> тоже сравнимы по модулю <math>m</math>. При этом нельзя выполнять эти операции со сравнениями, если их модули не совпадают.

Отдельно, следует отметить, что к обеим частям сравнения можно прибавить одно и то же число, также можно перенести число из одно части сравнения в другую со сменой знака. Если числа <math>a</math> и <math>b</math> сравнимы по модулю <math>m</math>, то их степени <math>a^k</math> и <math>b^k</math> тоже сравнимы по модулю <math>m</math> при любом натуральном <math>k</math>.

K любой из частей сравнения можно прибавить целое число, кратное модуля, то есть, если числа <math>a</math> и <math>b</math> сравнимы по модулю некоторого числа <math>m</math>, то и <math>a + t_1</math> сравнимо с <math>b+t_2</math> по модулю <math>m</math> (<math>t_1</math> и <math>t_2</math> — произвольные целые числа) .Также обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же число, то есть, если числа <math>a</math> и <math>b</math> сравнимы по модулю некоторого целого числа <math>m</math>, то и числа <math>aq</math> и <math>bq</math> сравнимы по модулю числа <math>mq</math>,где <math>q</math> — целое.

Сравнения, однако, нельзя, вообще говоря, делить друг на друга или на другие числа. Пример: <math>14 \equiv 20 \pmod 6</math>, однако, сократив на 2, мы получаем ошибочное сравнение: <math>7 \equiv 10 \pmod 6</math>. Правила сокращения для сравнений следующие.

• Можно делить обе части сравнения на число, но только взаимно простое с модулем: если

<math> {ad} \equiv {bd} \pmod m</math> и НОД<math>{(d,m)=1},</math> то

<math>a \equiv b \pmod m</math>.

Если, число <math>d</math> не взаимно просто с модулем, как было в примере, указанном выше, то сокращать на <math>d</math> нельзя.

• Можно одновременно разделить обе части сравнения и модуль на их общий делитель:

если <math>{ac} \equiv {bc} \pmod {mc}</math>, то <math>a \equiv b \pmod m</math>.

Связанные определения

Классы вычетов

Множество всех чисел, сравнимых с <math>a</math> по модулю <math>m</math>, называется классом вычетов <math>a</math> по модулю <math>m</math>, и обычно обозначается <math>[a]_m</math> или <math>\bar a_m</math>. Таким образом, сравнение <math>a\equiv b\pmod{m}</math> равносильно равенству классов вычетов <math>[a]_m=[b]_m</math>.

Любое число класса называется вычетом по модулю <math>m</math>. Пусть для определенности <math>r</math>―остаток от деления любого из представителей выбранного класса на <math>m</math>, тогда любое число <math>q</math> из этого класса можно представить в виде <math>q = mt + r</math>, где <math>t</math> —целое. Вычет равный остатку <math>r</math> называется наименьшим неотрицательным вычетом, а вычет <math>\rho</math>, самый малый по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим вычетом. При <math>r < \frac {m}{2}</math> получаем, что <math>\rho=r</math>, в противном случае <math>\rho = r - m</math>. Если <math>m</math>-чётное и <math>r = \frac{m}{2}</math>, то <math>\rho = -\frac{m}{2}</math>.

Поскольку сравнимость по модулю <math>m</math> является отношением эквивалентности на множестве целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>, то классы вычетов по модулю <math>m</math> представляют собой классы эквивалентности; их количество равно <math>m</math>.

Множество всех классов вычетов по модулю <math>m</math> обозначается <math>\mathbb{Z}_m</math> или <math>\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}</math> или <math>\mathbb{Z}/(m)</math>.

Операции сложения и умножения на <math>\mathbb{Z}</math> индуцируют соответствующие операции на множестве <math>\mathbb{Z}_m</math>:

<math>[a]_m+[b]_m=[a+b]_m</math>

<math>[a]_m\cdot [b]_m=[a\cdot b]_m</math>

Относительно этих операций множество <math>\mathbb{Z}_m</math> является конечным кольцом, а для простого <math>m</math> — конечным полем.

Системы вычетов

Система вычетов позволяет осуществлять арифметические операции над конечным набором чисел, не выходя за его пределы. Полная система вычетов по модулю <math>m</math> ― любой набор из <math>m</math> попарно несравнимых по модулю <math>m</math> целых чисел. Обычно в качестве полной системы вычетов по модулю <math>m</math> берётся одно из двух множеств:

• наименьшие неотрицательные вычеты, то есть числа:

<math>0, 1, \ldots , m-1</math>

• или абсолютно наименьшие вычеты, состоящие из чисел

<math>0,\pm1,\pm2,\ldots,\pm\frac{m-1}{2}</math>,

в случае нечётного <math>m</math>, и чисел

<math>0,\pm1,\pm2,\ldots,\pm(\frac{m}{2}-1),\frac{m}{2}</math>

в случае чётного <math>m</math>.

Максимальный набор попарно несравнимых по модулю <math>m</math> чисел, взаимно простых с <math>m</math>, называется приведённой системой вычетов по модулю <math>m</math>. Всякая приведённая система вычетов по модулю <math>m</math> содержит <math>\varphi(m)</math> элементов, где <math>\varphi(\cdot)</math> — функция Эйлера.

Например, для числа <math>m=42</math>. Полная система вычетов может быть представлена числами: <math>0,1,2,3,\ldots,21,22,23,\ldots,39,40,41 </math>, а приведённая — <math>1,5,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41</math>.

Сравнения в кольце многочленов над полем

Рассматривается кольцо многочленов <math>K[x]</math> над полем <math>K</math>. Два многочлена <math>g_1</math> и <math>g_2</math>, принадлежащие выбранному кольцу, называются сравнимыми по модулю многочлена <math>f</math>, если их разность <math>g_1-g_2</math> делится на <math>f</math> без остатка. Сравнение обозначается так:

<math>g_1\equiv g_2\pmod f.</math>

Так же, как и в кольце целых чисел, такие сравнения можно складывать, вычитать и перемножать.

Решение сравнений

Сравнения первой степени

В теории чисел, криптографии и других областях науки часто возникает задача поиска решений сравнения первой степени вида:

<math>ax \equiv b\pmod {m}.</math>

Решение такого сравнения начинается с вычисления <math>d = </math> НОД<math>(a,m)</math>. При этом возможны 2 случая:

• Если <math>b</math> не кратно <math>d</math>, то у сравнения нет решений.
• Если <math>b</math> кратно <math>d</math>, то у сравнения существует единственное решение по модулю <math>\frac{m}{d}</math>, или, что то же самое, <math>d</math> решений по модулю <math>m</math>. В этом случае в результате сокращения исходного сравнения на <math>d</math> получается сравнение:

<math>a_1 x \equiv b_1\pmod {m_1}</math>

где <math>a_1 = \frac{a}{d}</math>, <math>b_1 = \frac{b}{d}</math> и <math>m_1 = \frac{m}{d}</math> являются целыми числами, причем <math>a_1</math> и <math>m_1</math> взаимно просты. Поэтому число <math>a_1</math> можно обратить по модулю <math>m_1</math>, то есть найти такое число <math>c</math>, что <math>c\cdot a_1\equiv 1\pmod{m_1}</math> (другими словами, <math>c \equiv a_1^{-1}\pmod{m_1}</math>). Теперь решение находится умножением полученного сравнения на <math>c</math>:

<math>x \equiv c a_1 x\equiv c b_1\equiv a_1^{-1} b_1\pmod {m_1}.</math>

Практическое вычисление значения <math>c</math> можно осуществить разными способами: с помощью теоремы Эйлера, алгоритма Евклида, теории цепных дробей (см. алгоритм) и др. В частности, теорема Эйлера позволяет записать значение <math>c</math> в виде:

<math>c \equiv a_1^{-1}\equiv a_1^{\varphi(m_1)-1}\pmod {m_1}</math>.

Примеры

Пример 1. Для сравнения

<math>6x\equiv 26\pmod {22}</math>

имеем <math>d=2</math>, поэтому по модулю 22 сравнение имеет два решения. Заменим 26 на 4, сравнимое с ним по модулю 22, и затем сократим все три числа на 2:

<math>3x \equiv 2\pmod {11}</math>

Поскольку 3 взаимно просто с модулем 11, то его можно обратить по модулю 11 и найти

<math>3^{-1}\equiv 4\pmod{11}</math>.

Умножая сравнение на 4, получаем решение по модулю 11:

<math>x\equiv 8\pmod {11}</math>,

эквивалентное совокупности двух решений по модулю 22:

<math>x\equiv 8\pmod {22}</math> и <math>x\equiv 19\pmod {22}</math>.

Пример 2. Дано сравнение:

<math>100 x \equiv 41\pmod {65537}.</math> Отметим, что модуль <math>65537</math> — простое число.

Первый способ решения — воспользоваться соотношением Безу. С помощью алгоритма Евклида или программы, приведенной в статье о соотношении Безу, находим, что это соотношение для чисел <math>100</math> и <math>65537</math> имеет вид:

<math>17695 \cdot 100 + (-27) \cdot 65537 = 1,</math> или <math>17695 \cdot 100 \equiv 1 \pmod {65537}</math>

Умножив обе части этого сравнения на 41, получим:

<math>100 \cdot 725495 \equiv 41 \pmod {65537}</math>

Отсюда следует, что <math>725495</math> есть решение исходного сравнения. Удобнее заменить его на сравнимое с ним <math>4588</math> (остаток от деления <math>725495</math> на <math>65537</math>). Ответ: <math>x \equiv 4588 \pmod {65537}.</math>

Второй способ решения, более простой и быстрый, не требует построения соотношения Безу, но также эквивалентен алгоритму Евклида.

Шаг 1. Делим модуль на коэффициент при x с остатком: <math>65537=100 \cdot 655+37</math>. Умножим обе части исходного сравнения на частное <math>655</math> и прибавим <math>37x</math>; получим: <math>65537x \equiv 26855+37x \pmod {65537}</math>, но левая часть кратна <math>65537</math>, то есть сравнима с нулём, откуда:

<math>37x \equiv -26855 \pmod {65537}</math>

Мы получили при <math>x</math> коэффициент 37 вместо 100. На каждом следующем шаге уменьшаем аналогично, пока не получим единицу.

Шаг 2. Аналогично делим на новый коэффициент при x: <math>65537=37 \cdot 1771+10</math>. Умножим обе части сравнения, полученного в предыдущем шаге, на частное <math>1771</math> и прибавим <math>10x</math>; снова заменив левую часть на ноль, получим:

<math>10x \equiv 47560205 \pmod {65537}</math>

<math>47560205</math> заменяем на его остаток при делении на <math>65537,</math> равный <math>45880</math>:

<math>10x \equiv 45880 \pmod {65537}</math>

Далее можно было бы сделать аналогично ещё 5 шагов, но проще разделить обе части сравнения на 10 и сразу получить результат: <math>x \equiv 4588 \pmod {65537}.</math>

Сравнения второй степени

Сравнения второй степени по простому модулю m имеет следующий общий вид:

<math>c_0x^2+c_1x+c \equiv 0\pmod {m}.</math>

Это выражение можно привести к виду:

<math>(x+b)^2\equiv a\pmod {m}.</math>,

а при замене <math>z = x+ b</math> упрощается максимально:

<math>(z)^2\equiv a\pmod {m}.</math>.

Решение этого сравнения сводится к выяснению, является ли данное число квадратичным вычетом (с помощью квадратичного закона взаимности) и последующему вычислению квадратного корня по данному модулю. Для вычисления квадратного корня из квадратичного вычета существует вероятностный метод Берлекэмпа.

Системы сравнений

Китайская теорема об остатках утверждает, что система сравнений с попарно взаимно простыми модулями <math>m_1, m_2, \ldots, m_n</math>:

<math>\begin{cases}

x \equiv a_1 \pmod {m_1}\\ x \equiv a_2 \pmod {m_2}\\

 \ldots \\

x \equiv a_n \pmod {m_n} \end{cases}</math> всегда разрешима, и её решение единственно по модулю <math>m_1 \cdot m_2 \cdots m_n</math>.

Другими словами, китайская теорема об остатках утверждает, что кольцо вычетов по модулю произведения нескольких взаимно простых чисел является прямым произведением соответствующих множителям колец вычетов.

Применение

Методы теории сравнений используются в теории чисел, теории групп, теории колец, теории узлов, общей алгебре, криптографии, информатике, химии и других областях.

Например, сравнения часто применяются для вычисления контрольных сумм, используемых в идентификаторах. Так для определения ошибок при вводе международного номера банковского счета используется сравнение по модулю 97.

В криптографии сравнения можно встретить в системах с открытым ключом, использующих, например, алгоритм RSA или протокол Диффи — Хеллмана. Также, модульная арифметика обеспечивает конечные поля, над которыми затем строятся эллиптические кривые, и используется в различных протоколах с симметричным ключом (AES, IDEA).

В химии последняя цифра в регистрационном номере CAS является значением контрольной суммы, которая вычисляется путём сложения последней цифры номера, умноженной на 1, второй справа цифры, умноженной на 2, третьей, умноженной на три и так далее до первой слева цифры, завершаясь вычислением остатка от деления на 10

См. также

• Сложение по модулю 2
• Возведение в степень по модулю
• Показатель числа по модулю
• Алгоритмы быстрого возведения в степень по модулю

Литература

• Вейль А. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/numtheory.htm Основы теории чисел]. — М.: Мир, 1972.
• Виленкин Н. Я. [kvant.mccme.ru/1978/10/sravneniya_i_klassy_vychetov.htm Сравнения и классы вычетов] // Квант. — 1978. — № 10. — С. 4—8.
• Виноградов И. М. [math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Основы теории чисел]. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
• Сизый С. В. §4. Теория сравнений // [virlib.eunnet.net/books/numbers/ Лекции по теории чисел]. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• Бухштаб А. А. [www.e-reading.club/book.php?book=105945 Теория чисел]. — М.: «Просвещение», 1966. — 384 с.
• Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии / пер. с англ. М. А. Михайловой и В. Е. Тараканова,под ред. А. М. Зубкова. — М.: Научное изд-во ТВП, 2001. — 254 с. — ISBN 5-85484-012-X.
• [www.computer-museum.ru/histussr/sokconf0.htm Материалы международной научной конференции “Модулярная арифметика”]. Виртуальный компьютерный музей (2005). Проверено 31 июля 2010.

Отрывок, характеризующий Сравнение по модулю

Ничто не причина. Все это только совпадение тех условий, при которых совершается всякое жизненное, органическое, стихийное событие. И тот ботаник, который найдет, что яблоко падает оттого, что клетчатка разлагается и тому подобное, будет так же прав, и так же не прав, как и тот ребенок, стоящий внизу, который скажет, что яблоко упало оттого, что ему хотелось съесть его и что он молился об этом. Так же прав и не прав будет тот, кто скажет, что Наполеон пошел в Москву потому, что он захотел этого, и оттого погиб, что Александр захотел его погибели: как прав и не прав будет тот, кто скажет, что завалившаяся в миллион пудов подкопанная гора упала оттого, что последний работник ударил под нее последний раз киркою. В исторических событиях так называемые великие люди суть ярлыки, дающие наименований событию, которые, так же как ярлыки, менее всего имеют связи с самым событием.
Каждое действие их, кажущееся им произвольным для самих себя, в историческом смысле непроизвольно, а находится в связи со всем ходом истории и определено предвечно.


29 го мая Наполеон выехал из Дрездена, где он пробыл три недели, окруженный двором, составленным из принцев, герцогов, королей и даже одного императора. Наполеон перед отъездом обласкал принцев, королей и императора, которые того заслуживали, побранил королей и принцев, которыми он был не вполне доволен, одарил своими собственными, то есть взятыми у других королей, жемчугами и бриллиантами императрицу австрийскую и, нежно обняв императрицу Марию Луизу, как говорит его историк, оставил ее огорченною разлукой, которую она – эта Мария Луиза, считавшаяся его супругой, несмотря на то, что в Париже оставалась другая супруга, – казалось, не в силах была перенести. Несмотря на то, что дипломаты еще твердо верили в возможность мира и усердно работали с этой целью, несмотря на то, что император Наполеон сам писал письмо императору Александру, называя его Monsieur mon frere [Государь брат мой] и искренно уверяя, что он не желает войны и что всегда будет любить и уважать его, – он ехал к армии и отдавал на каждой станции новые приказания, имевшие целью торопить движение армии от запада к востоку. Он ехал в дорожной карете, запряженной шестериком, окруженный пажами, адъютантами и конвоем, по тракту на Позен, Торн, Данциг и Кенигсберг. В каждом из этих городов тысячи людей с трепетом и восторгом встречали его.
Армия подвигалась с запада на восток, и переменные шестерни несли его туда же. 10 го июня он догнал армию и ночевал в Вильковисском лесу, в приготовленной для него квартире, в имении польского графа.
На другой день Наполеон, обогнав армию, в коляске подъехал к Неману и, с тем чтобы осмотреть местность переправы, переоделся в польский мундир и выехал на берег.
Увидав на той стороне казаков (les Cosaques) и расстилавшиеся степи (les Steppes), в середине которых была Moscou la ville sainte, [Москва, священный город,] столица того, подобного Скифскому, государства, куда ходил Александр Македонский, – Наполеон, неожиданно для всех и противно как стратегическим, так и дипломатическим соображениям, приказал наступление, и на другой день войска его стали переходить Неман.
12 го числа рано утром он вышел из палатки, раскинутой в этот день на крутом левом берегу Немана, и смотрел в зрительную трубу на выплывающие из Вильковисского леса потоки своих войск, разливающихся по трем мостам, наведенным на Немане. Войска знали о присутствии императора, искали его глазами, и, когда находили на горе перед палаткой отделившуюся от свиты фигуру в сюртуке и шляпе, они кидали вверх шапки, кричали: «Vive l'Empereur! [Да здравствует император!] – и одни за другими, не истощаясь, вытекали, всё вытекали из огромного, скрывавшего их доселе леса и, расстрояясь, по трем мостам переходили на ту сторону.
– On fera du chemin cette fois ci. Oh! quand il s'en mele lui meme ca chauffe… Nom de Dieu… Le voila!.. Vive l'Empereur! Les voila donc les Steppes de l'Asie! Vilain pays tout de meme. Au revoir, Beauche; je te reserve le plus beau palais de Moscou. Au revoir! Bonne chance… L'as tu vu, l'Empereur? Vive l'Empereur!.. preur! Si on me fait gouverneur aux Indes, Gerard, je te fais ministre du Cachemire, c'est arrete. Vive l'Empereur! Vive! vive! vive! Les gredins de Cosaques, comme ils filent. Vive l'Empereur! Le voila! Le vois tu? Je l'ai vu deux fois comme jete vois. Le petit caporal… Je l'ai vu donner la croix a l'un des vieux… Vive l'Empereur!.. [Теперь походим! О! как он сам возьмется, дело закипит. Ей богу… Вот он… Ура, император! Так вот они, азиатские степи… Однако скверная страна. До свиданья, Боше. Я тебе оставлю лучший дворец в Москве. До свиданья, желаю успеха. Видел императора? Ура! Ежели меня сделают губернатором в Индии, я тебя сделаю министром Кашмира… Ура! Император вот он! Видишь его? Я его два раза как тебя видел. Маленький капрал… Я видел, как он навесил крест одному из стариков… Ура, император!] – говорили голоса старых и молодых людей, самых разнообразных характеров и положений в обществе. На всех лицах этих людей было одно общее выражение радости о начале давно ожидаемого похода и восторга и преданности к человеку в сером сюртуке, стоявшему на горе.
13 го июня Наполеону подали небольшую чистокровную арабскую лошадь, и он сел и поехал галопом к одному из мостов через Неман, непрестанно оглушаемый восторженными криками, которые он, очевидно, переносил только потому, что нельзя было запретить им криками этими выражать свою любовь к нему; но крики эти, сопутствующие ему везде, тяготили его и отвлекали его от военной заботы, охватившей его с того времени, как он присоединился к войску. Он проехал по одному из качавшихся на лодках мостов на ту сторону, круто повернул влево и галопом поехал по направлению к Ковно, предшествуемый замиравшими от счастия, восторженными гвардейскими конными егерями, расчищая дорогу по войскам, скакавшим впереди его. Подъехав к широкой реке Вилии, он остановился подле польского уланского полка, стоявшего на берегу.
– Виват! – также восторженно кричали поляки, расстроивая фронт и давя друг друга, для того чтобы увидать его. Наполеон осмотрел реку, слез с лошади и сел на бревно, лежавшее на берегу. По бессловесному знаку ему подали трубу, он положил ее на спину подбежавшего счастливого пажа и стал смотреть на ту сторону. Потом он углубился в рассматриванье листа карты, разложенного между бревнами. Не поднимая головы, он сказал что то, и двое его адъютантов поскакали к польским уланам.
– Что? Что он сказал? – слышалось в рядах польских улан, когда один адъютант подскакал к ним.
Было приказано, отыскав брод, перейти на ту сторону. Польский уланский полковник, красивый старый человек, раскрасневшись и путаясь в словах от волнения, спросил у адъютанта, позволено ли ему будет переплыть с своими уланами реку, не отыскивая брода. Он с очевидным страхом за отказ, как мальчик, который просит позволения сесть на лошадь, просил, чтобы ему позволили переплыть реку в глазах императора. Адъютант сказал, что, вероятно, император не будет недоволен этим излишним усердием.
Как только адъютант сказал это, старый усатый офицер с счастливым лицом и блестящими глазами, подняв кверху саблю, прокричал: «Виват! – и, скомандовав уланам следовать за собой, дал шпоры лошади и подскакал к реке. Он злобно толкнул замявшуюся под собой лошадь и бухнулся в воду, направляясь вглубь к быстрине течения. Сотни уланов поскакали за ним. Было холодно и жутко на середине и на быстрине теченья. Уланы цеплялись друг за друга, сваливались с лошадей, лошади некоторые тонули, тонули и люди, остальные старались плыть кто на седле, кто держась за гриву. Они старались плыть вперед на ту сторону и, несмотря на то, что за полверсты была переправа, гордились тем, что они плывут и тонут в этой реке под взглядами человека, сидевшего на бревне и даже не смотревшего на то, что они делали. Когда вернувшийся адъютант, выбрав удобную минуту, позволил себе обратить внимание императора на преданность поляков к его особе, маленький человек в сером сюртуке встал и, подозвав к себе Бертье, стал ходить с ним взад и вперед по берегу, отдавая ему приказания и изредка недовольно взглядывая на тонувших улан, развлекавших его внимание.
Для него было не ново убеждение в том, что присутствие его на всех концах мира, от Африки до степей Московии, одинаково поражает и повергает людей в безумие самозабвения. Он велел подать себе лошадь и поехал в свою стоянку.
Человек сорок улан потонуло в реке, несмотря на высланные на помощь лодки. Большинство прибилось назад к этому берегу. Полковник и несколько человек переплыли реку и с трудом вылезли на тот берег. Но как только они вылезли в обшлепнувшемся на них, стекающем ручьями мокром платье, они закричали: «Виват!», восторженно глядя на то место, где стоял Наполеон, но где его уже не было, и в ту минуту считали себя счастливыми.
Ввечеру Наполеон между двумя распоряжениями – одно о том, чтобы как можно скорее доставить заготовленные фальшивые русские ассигнации для ввоза в Россию, и другое о том, чтобы расстрелять саксонца, в перехваченном письме которого найдены сведения о распоряжениях по французской армии, – сделал третье распоряжение – о причислении бросившегося без нужды в реку польского полковника к когорте чести (Legion d'honneur), которой Наполеон был главою.
Qnos vult perdere – dementat. [Кого хочет погубить – лишит разума (лат.) ]


Русский император между тем более месяца уже жил в Вильне, делая смотры и маневры. Ничто не было готово для войны, которой все ожидали и для приготовления к которой император приехал из Петербурга. Общего плана действий не было. Колебания о том, какой план из всех тех, которые предлагались, должен быть принят, только еще более усилились после месячного пребывания императора в главной квартире. В трех армиях был в каждой отдельный главнокомандующий, но общего начальника над всеми армиями не было, и император не принимал на себя этого звания.
Чем дольше жил император в Вильне, тем менее и менее готовились к войне, уставши ожидать ее. Все стремления людей, окружавших государя, казалось, были направлены только на то, чтобы заставлять государя, приятно проводя время, забыть о предстоящей войне.
После многих балов и праздников у польских магнатов, у придворных и у самого государя, в июне месяце одному из польских генерал адъютантов государя пришла мысль дать обед и бал государю от лица его генерал адъютантов. Мысль эта радостно была принята всеми. Государь изъявил согласие. Генерал адъютанты собрали по подписке деньги. Особа, которая наиболее могла быть приятна государю, была приглашена быть хозяйкой бала. Граф Бенигсен, помещик Виленской губернии, предложил свой загородный дом для этого праздника, и 13 июня был назначен обед, бал, катанье на лодках и фейерверк в Закрете, загородном доме графа Бенигсена.
В тот самый день, в который Наполеоном был отдан приказ о переходе через Неман и передовые войска его, оттеснив казаков, перешли через русскую границу, Александр проводил вечер на даче Бенигсена – на бале, даваемом генерал адъютантами.
Был веселый, блестящий праздник; знатоки дела говорили, что редко собиралось в одном месте столько красавиц. Графиня Безухова в числе других русских дам, приехавших за государем из Петербурга в Вильну, была на этом бале, затемняя своей тяжелой, так называемой русской красотой утонченных польских дам. Она была замечена, и государь удостоил ее танца.
Борис Друбецкой, en garcon (холостяком), как он говорил, оставив свою жену в Москве, был также на этом бале и, хотя не генерал адъютант, был участником на большую сумму в подписке для бала. Борис теперь был богатый человек, далеко ушедший в почестях, уже не искавший покровительства, а на ровной ноге стоявший с высшими из своих сверстников.
В двенадцать часов ночи еще танцевали. Элен, не имевшая достойного кавалера, сама предложила мазурку Борису. Они сидели в третьей паре. Борис, хладнокровно поглядывая на блестящие обнаженные плечи Элен, выступавшие из темного газового с золотом платья, рассказывал про старых знакомых и вместе с тем, незаметно для самого себя и для других, ни на секунду не переставал наблюдать государя, находившегося в той же зале. Государь не танцевал; он стоял в дверях и останавливал то тех, то других теми ласковыми словами, которые он один только умел говорить.
При начале мазурки Борис видел, что генерал адъютант Балашев, одно из ближайших лиц к государю, подошел к нему и непридворно остановился близко от государя, говорившего с польской дамой. Поговорив с дамой, государь взглянул вопросительно и, видно, поняв, что Балашев поступил так только потому, что на то были важные причины, слегка кивнул даме и обратился к Балашеву. Только что Балашев начал говорить, как удивление выразилось на лице государя. Он взял под руку Балашева и пошел с ним через залу, бессознательно для себя расчищая с обеих сторон сажени на три широкую дорогу сторонившихся перед ним. Борис заметил взволнованное лицо Аракчеева, в то время как государь пошел с Балашевым. Аракчеев, исподлобья глядя на государя и посапывая красным носом, выдвинулся из толпы, как бы ожидая, что государь обратится к нему. (Борис понял, что Аракчеев завидует Балашеву и недоволен тем, что какая то, очевидно, важная, новость не через него передана государю.)
Но государь с Балашевым прошли, не замечая Аракчеева, через выходную дверь в освещенный сад. Аракчеев, придерживая шпагу и злобно оглядываясь вокруг себя, прошел шагах в двадцати за ними.
Пока Борис продолжал делать фигуры мазурки, его не переставала мучить мысль о том, какую новость привез Балашев и каким бы образом узнать ее прежде других.
В фигуре, где ему надо было выбирать дам, шепнув Элен, что он хочет взять графиню Потоцкую, которая, кажется, вышла на балкон, он, скользя ногами по паркету, выбежал в выходную дверь в сад и, заметив входящего с Балашевым на террасу государя, приостановился. Государь с Балашевым направлялись к двери. Борис, заторопившись, как будто не успев отодвинуться, почтительно прижался к притолоке и нагнул голову.
Государь с волнением лично оскорбленного человека договаривал следующие слова:
– Без объявления войны вступить в Россию. Я помирюсь только тогда, когда ни одного вооруженного неприятеля не останется на моей земле, – сказал он. Как показалось Борису, государю приятно было высказать эти слова: он был доволен формой выражения своей мысли, но был недоволен тем, что Борис услыхал их.
– Чтоб никто ничего не знал! – прибавил государь, нахмурившись. Борис понял, что это относилось к нему, и, закрыв глаза, слегка наклонил голову. Государь опять вошел в залу и еще около получаса пробыл на бале.
Борис первый узнал известие о переходе французскими войсками Немана и благодаря этому имел случай показать некоторым важным лицам, что многое, скрытое от других, бывает ему известно, и через то имел случай подняться выше во мнении этих особ.

Неожиданное известие о переходе французами Немана было особенно неожиданно после месяца несбывавшегося ожидания, и на бале! Государь, в первую минуту получения известия, под влиянием возмущения и оскорбления, нашел то, сделавшееся потом знаменитым, изречение, которое самому понравилось ему и выражало вполне его чувства. Возвратившись домой с бала, государь в два часа ночи послал за секретарем Шишковым и велел написать приказ войскам и рескрипт к фельдмаршалу князю Салтыкову, в котором он непременно требовал, чтобы были помещены слова о том, что он не помирится до тех пор, пока хотя один вооруженный француз останется на русской земле.
На другой день было написано следующее письмо к Наполеону.
«Monsieur mon frere. J'ai appris hier que malgre la loyaute avec laquelle j'ai maintenu mes engagements envers Votre Majeste, ses troupes ont franchis les frontieres de la Russie, et je recois a l'instant de Petersbourg une note par laquelle le comte Lauriston, pour cause de cette agression, annonce que Votre Majeste s'est consideree comme en etat de guerre avec moi des le moment ou le prince Kourakine a fait la demande de ses passeports. Les motifs sur lesquels le duc de Bassano fondait son refus de les lui delivrer, n'auraient jamais pu me faire supposer que cette demarche servirait jamais de pretexte a l'agression. En effet cet ambassadeur n'y a jamais ete autorise comme il l'a declare lui meme, et aussitot que j'en fus informe, je lui ai fait connaitre combien je le desapprouvais en lui donnant l'ordre de rester a son poste. Si Votre Majeste n'est pas intentionnee de verser le sang de nos peuples pour un malentendu de ce genre et qu'elle consente a retirer ses troupes du territoire russe, je regarderai ce qui s'est passe comme non avenu, et un accommodement entre nous sera possible. Dans le cas contraire, Votre Majeste, je me verrai force de repousser une attaque que rien n'a provoquee de ma part. Il depend encore de Votre Majeste d'eviter a l'humanite les calamites d'une nouvelle guerre.
Je suis, etc.
(signe) Alexandre».
[«Государь брат мой! Вчера дошло до меня, что, несмотря на прямодушие, с которым соблюдал я мои обязательства в отношении к Вашему Императорскому Величеству, войска Ваши перешли русские границы, и только лишь теперь получил из Петербурга ноту, которою граф Лористон извещает меня, по поводу сего вторжения, что Ваше Величество считаете себя в неприязненных отношениях со мною, с того времени как князь Куракин потребовал свои паспорта. Причины, на которых герцог Бассано основывал свой отказ выдать сии паспорты, никогда не могли бы заставить меня предполагать, чтобы поступок моего посла послужил поводом к нападению. И в действительности он не имел на то от меня повеления, как было объявлено им самим; и как только я узнал о сем, то немедленно выразил мое неудовольствие князю Куракину, повелев ему исполнять по прежнему порученные ему обязанности. Ежели Ваше Величество не расположены проливать кровь наших подданных из за подобного недоразумения и ежели Вы согласны вывести свои войска из русских владений, то я оставлю без внимания все происшедшее, и соглашение между нами будет возможно. В противном случае я буду принужден отражать нападение, которое ничем не было возбуждено с моей стороны. Ваше Величество, еще имеете возможность избавить человечество от бедствий новой войны.
(подписал) Александр». ]


13 го июня, в два часа ночи, государь, призвав к себе Балашева и прочтя ему свое письмо к Наполеону, приказал ему отвезти это письмо и лично передать французскому императору. Отправляя Балашева, государь вновь повторил ему слова о том, что он не помирится до тех пор, пока останется хотя один вооруженный неприятель на русской земле, и приказал непременно передать эти слова Наполеону. Государь не написал этих слов в письме, потому что он чувствовал с своим тактом, что слова эти неудобны для передачи в ту минуту, когда делается последняя попытка примирения; но он непременно приказал Балашеву передать их лично Наполеону.
Выехав в ночь с 13 го на 14 е июня, Балашев, сопутствуемый трубачом и двумя казаками, к рассвету приехал в деревню Рыконты, на французские аванпосты по сю сторону Немана. Он был остановлен французскими кавалерийскими часовыми.
Французский гусарский унтер офицер, в малиновом мундире и мохнатой шапке, крикнул на подъезжавшего Балашева, приказывая ему остановиться. Балашев не тотчас остановился, а продолжал шагом подвигаться по дороге.
Унтер офицер, нахмурившись и проворчав какое то ругательство, надвинулся грудью лошади на Балашева, взялся за саблю и грубо крикнул на русского генерала, спрашивая его: глух ли он, что не слышит того, что ему говорят. Балашев назвал себя. Унтер офицер послал солдата к офицеру.
Не обращая на Балашева внимания, унтер офицер стал говорить с товарищами о своем полковом деле и не глядел на русского генерала.
Необычайно странно было Балашеву, после близости к высшей власти и могуществу, после разговора три часа тому назад с государем и вообще привыкшему по своей службе к почестям, видеть тут, на русской земле, это враждебное и главное – непочтительное отношение к себе грубой силы.
Солнце только начинало подниматься из за туч; в воздухе было свежо и росисто. По дороге из деревни выгоняли стадо. В полях один за одним, как пузырьки в воде, вспырскивали с чувыканьем жаворонки.
Балашев оглядывался вокруг себя, ожидая приезда офицера из деревни. Русские казаки, и трубач, и французские гусары молча изредка глядели друг на друга.
Французский гусарский полковник, видимо, только что с постели, выехал из деревни на красивой сытой серой лошади, сопутствуемый двумя гусарами. На офицере, на солдатах и на их лошадях был вид довольства и щегольства.
Это было то первое время кампании, когда войска еще находились в исправности, почти равной смотровой, мирной деятельности, только с оттенком нарядной воинственности в одежде и с нравственным оттенком того веселья и предприимчивости, которые всегда сопутствуют началам кампаний.
Французский полковник с трудом удерживал зевоту, но был учтив и, видимо, понимал все значение Балашева. Он провел его мимо своих солдат за цепь и сообщил, что желание его быть представленну императору будет, вероятно, тотчас же исполнено, так как императорская квартира, сколько он знает, находится недалеко.
Они проехали деревню Рыконты, мимо французских гусарских коновязей, часовых и солдат, отдававших честь своему полковнику и с любопытством осматривавших русский мундир, и выехали на другую сторону села. По словам полковника, в двух километрах был начальник дивизии, который примет Балашева и проводит его по назначению.
Солнце уже поднялось и весело блестело на яркой зелени.
Только что они выехали за корчму на гору, как навстречу им из под горы показалась кучка всадников, впереди которой на вороной лошади с блестящею на солнце сбруей ехал высокий ростом человек в шляпе с перьями и черными, завитыми по плечи волосами, в красной мантии и с длинными ногами, выпяченными вперед, как ездят французы. Человек этот поехал галопом навстречу Балашеву, блестя и развеваясь на ярком июньском солнце своими перьями, каменьями и золотыми галунами.
Балашев уже был на расстоянии двух лошадей от скачущего ему навстречу с торжественно театральным лицом всадника в браслетах, перьях, ожерельях и золоте, когда Юльнер, французский полковник, почтительно прошептал: «Le roi de Naples». [Король Неаполитанский.] Действительно, это был Мюрат, называемый теперь неаполитанским королем. Хотя и было совершенно непонятно, почему он был неаполитанский король, но его называли так, и он сам был убежден в этом и потому имел более торжественный и важный вид, чем прежде. Он так был уверен в том, что он действительно неаполитанский король, что, когда накануне отъезда из Неаполя, во время его прогулки с женою по улицам Неаполя, несколько итальянцев прокричали ему: «Viva il re!», [Да здравствует король! (итал.) ] он с грустной улыбкой повернулся к супруге и сказал: «Les malheureux, ils ne savent pas que je les quitte demain! [Несчастные, они не знают, что я их завтра покидаю!]