Стандартный квантовый предел
Станда́ртный ква́нтовый преде́л (СКП) в квантовой механике — ограничение, накладываемое на точность непрерывного или многократно повторяющегося измерения какой-либо величины, описываемой оператором, который не коммутирует сам с собой в разные моменты времени. Предсказан в 1967 году В. Б. Брагинским[1], а сам термин стандартный квантовый предел (англ. standard quantum limit, SQL) был предложен позднее Торном. СКП тесно связан с соотношением неопределенностей Гейзенберга.
Примером стандартного квантового предела является квантовый предел измерения координаты свободной массы или механического осциллятора. Оператор координаты в разные моменты времени не коммутирует сам с собой из-за того, что существует зависимость добавленных флуктуаций координаты от измерений в предыдущие моменты времени.
Если вместо координаты свободной массы измерять её импульс, то это не приведёт к изменению импульса в последующие моменты времени. Поэтому импульс, который является сохраняющейся величиной для свободной массы (но не для осциллятора), можно измерять сколь угодно точно. Такие измерения называются квантово-невозмущающими. Другим способом обхода стандартного квантового предела является использование в оптических измерениях неклассических сжатых состояний поля и вариационных измерений.
СКП ограничивает разрешение лазерных гравитационных антенн LIGO. В настоящее время в ряде физических экспериментов с механическими микро- и наноосцилляторами достигнута точность измерения координаты, соответствующая стандартному квантовому пределу.
Содержание
СКП координат свободной массы
Измерим в некоторый начальный момент времени координату объекта с некоторой точностью <math>\Delta x_0</math>. При этом в процессе измерения телу будет передан случайный импульс (обратное флуктуационное влияние) <math>\Delta p_0</math>. И чем точнее измеряется координата, тем больше возмущение импульса. В частности, если измерение координаты производится оптическими методами по сдвигу фаз отраженной от тела волны, то возмущение импульса будет вызвано квантовыми дробовыми флуктуациями давления света на тело. Чем точнее требуется измерить координату, тем больше требуемая оптическая мощность, и тем больше квантовые флуктуации числа фотонов в падающей волне.
Согласно соотношению неопределенностей, возмущение импульса тела:
<math> \Delta p_0=\frac{\hbar}{2\Delta x_0}, </math>
где <math>\hbar</math> — приведённая постоянная Планка. Это изменение импульса и связанное с ним изменение скорости свободной массы приведет к тому, что при повторном измерении координаты через время <math>\tau</math> она дополнительно изменится на величину.
<math> \Delta x_\text{add}=\frac{\Delta p_0\tau}{m}=\frac{\hbar \tau}{2\Delta x_0 m}. </math>
Результирующая среднеквадратичная ошибка определяется соотношением:
<math> (\Delta X_\Sigma)^2= (\Delta x_0)^2+(\Delta x_\text{add})^2=(\Delta x_0)^2+\left(\frac{\hbar \tau}{2m\Delta x_0}\right)^2. </math>
Это выражение имеет минимальное значение, если
<math> (\Delta x_0)^2 = \frac{\hbar \tau}{2m}. </math>
При этом достигается среднеквадратичная точность измерения, которая и называется стандартным квантовым пределом для координаты:
<math> \Delta X_\Sigma=\Delta X_\text{SQL} = \sqrt{\frac{\hbar \tau}{m}}. </math>
СКП механического осциллятора
Стандартный квантовый предел для координаты механического осциллятора определяется соотношением
<math> \Delta X_\text{SQL} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_m}}, </math>
где <math>\omega_m</math> — частота механических колебаний.
Стандартный квантовый предел для энергии осциллятора:
<math> \Delta E_\text{SQL} = \sqrt{\hbar\omega_m E}, </math>
где <math>E</math> — средняя энергия осциллятора.
См. также
Напишите отзыв о статье "Стандартный квантовый предел"
Примечания
- ↑ В. Б. Брагинский, [hbar.phys.msu.ru/cgi-bin/readbib.cgi?cite=67a1Br Классические и квантовые ограничения при обнаружении слабых воздействий на макроскопический осциллятор], Журнал экспериментальной и теоретической физики, 53, 1434—1441 (1967)
Литература
- В. Б. Брагинский и С. П. Вятчанин, [hbar.phys.msu.ru/hbar/macrom.pdf Квантовые и прецизионные измерения]
- V. B. Braginsky, F. Ya. Khalili, «Quantum Measurement», Cambridge University Press, 1992.
- [www.rp-photonics.com/standard_quantum_limit.html Standard Quantum Limit in Encyclopedia of Laser Physics and Technology]
Отрывок, характеризующий Стандартный квантовый предел
– Не будьте злы, – погрозив пальцем, с другого конца стола, проговорила Анна Павловна, – c'est un si brave et excellent homme notre bon Viasmitinoff… [Это такой прекрасный человек, наш добрый Вязмитинов…]Все очень смеялись. На верхнем почетном конце стола все были, казалось, веселы и под влиянием самых различных оживленных настроений; только Пьер и Элен молча сидели рядом почти на нижнем конце стола; на лицах обоих сдерживалась сияющая улыбка, не зависящая от Сергея Кузьмича, – улыбка стыдливости перед своими чувствами. Что бы ни говорили и как бы ни смеялись и шутили другие, как бы аппетитно ни кушали и рейнвейн, и соте, и мороженое, как бы ни избегали взглядом эту чету, как бы ни казались равнодушны, невнимательны к ней, чувствовалось почему то, по изредка бросаемым на них взглядам, что и анекдот о Сергее Кузьмиче, и смех, и кушанье – всё было притворно, а все силы внимания всего этого общества были обращены только на эту пару – Пьера и Элен. Князь Василий представлял всхлипыванья Сергея Кузьмича и в это время обегал взглядом дочь; и в то время как он смеялся, выражение его лица говорило: «Так, так, всё хорошо идет; нынче всё решится». Анна Павловна грозила ему за notre bon Viasmitinoff, а в глазах ее, которые мельком блеснули в этот момент на Пьера, князь Василий читал поздравление с будущим зятем и счастием дочери. Старая княгиня, предлагая с грустным вздохом вина своей соседке и сердито взглянув на дочь, этим вздохом как будто говорила: «да, теперь нам с вами ничего больше не осталось, как пить сладкое вино, моя милая; теперь время этой молодежи быть так дерзко вызывающе счастливой». «И что за глупость всё то, что я рассказываю, как будто это меня интересует, – думал дипломат, взглядывая на счастливые лица любовников – вот это счастие!»
Среди тех ничтожно мелких, искусственных интересов, которые связывали это общество, попало простое чувство стремления красивых и здоровых молодых мужчины и женщины друг к другу. И это человеческое чувство подавило всё и парило над всем их искусственным лепетом. Шутки были невеселы, новости неинтересны, оживление – очевидно поддельно. Не только они, но лакеи, служившие за столом, казалось, чувствовали то же и забывали порядки службы, заглядываясь на красавицу Элен с ее сияющим лицом и на красное, толстое, счастливое и беспокойное лицо Пьера. Казалось, и огни свечей сосредоточены были только на этих двух счастливых лицах.
Пьер чувствовал, что он был центром всего, и это положение и радовало и стесняло его. Он находился в состоянии человека, углубленного в какое нибудь занятие. Он ничего ясно не видел, не понимал и не слыхал. Только изредка, неожиданно, мелькали в его душе отрывочные мысли и впечатления из действительности.
«Так уж всё кончено! – думал он. – И как это всё сделалось? Так быстро! Теперь я знаю, что не для нее одной, не для себя одного, но и для всех это должно неизбежно свершиться. Они все так ждут этого , так уверены, что это будет, что я не могу, не могу обмануть их. Но как это будет? Не знаю; а будет, непременно будет!» думал Пьер, взглядывая на эти плечи, блестевшие подле самых глаз его.
То вдруг ему становилось стыдно чего то. Ему неловко было, что он один занимает внимание всех, что он счастливец в глазах других, что он с своим некрасивым лицом какой то Парис, обладающий Еленой. «Но, верно, это всегда так бывает и так надо, – утешал он себя. – И, впрочем, что же я сделал для этого? Когда это началось? Из Москвы я поехал вместе с князем Васильем. Тут еще ничего не было. Потом, отчего же мне было у него не остановиться? Потом я играл с ней в карты и поднял ее ридикюль, ездил с ней кататься. Когда же это началось, когда это всё сделалось? И вот он сидит подле нее женихом; слышит, видит, чувствует ее близость, ее дыхание, ее движения, ее красоту. То вдруг ему кажется, что это не она, а он сам так необыкновенно красив, что оттого то и смотрят так на него, и он, счастливый общим удивлением, выпрямляет грудь, поднимает голову и радуется своему счастью. Вдруг какой то голос, чей то знакомый голос, слышится и говорит ему что то другой раз. Но Пьер так занят, что не понимает того, что говорят ему. – Я спрашиваю у тебя, когда ты получил письмо от Болконского, – повторяет третий раз князь Василий. – Как ты рассеян, мой милый.
