Старая квантовая теория

Квантовая механика

<math>\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Ста́рая ква́нтовая тео́рия (иногда ста́рая ква́нтовая меха́ника) — подход к описанию атомных явлений, который был развит в 1900—1924 годах и предшествовал квантовой механике. Характерная черта теории — использование классической механики и некоторых предположений, вступавших в противоречие с ней. Основа старой квантовой теории — модель атома Бора, к которой позже Арнольд Зоммерфельд добавил квантование z-компоненты углового момента, которое неудачно назвали пространственным квантованием. Квантование z-компоненты дало возможность ввести эллиптические электронные орбиты и предложить идею энергетического вырождения. Успехом старой квантовой теории являлось конкретное описание атома водорода и нормального эффекта Зеемана.

Основной инструмент старой квантовой теории — квантование Бора — Зоммерфельда, процедура, которая формирует некоторый дискретный набор состояний интегрированного движения классической системы и определяет их как разрешённые состояния этой системы, аналогично разрешённых орбит в модели Бора. Система может находиться только в этих состояниях и ни в каких других. Эта теория не может описывать хаотическое движение, поскольку требует полной замкнутости траекторий движения классической системы.

История

См. также: История возникновения квантовой физики

Точкой отсчёта старой квантовой теории (и квантовой механики вообще) считается появление работ Макса Планка по излучению и поглощению света в самом начале XX века. Непосредственная разработка квантовой теории началась с внедрением Эйнштейном квантовой теории теплоёмкости твёрдого тела. В модели Эйнштейна считается, что каждый атом в решётке является независимым квантованным гармоническим осциллятором, что даёт возможность объяснить наряду с классическим законом Дюлонга — Пти при высоких температурах падение теплоёмкости при низких. Таким образом квантовые принципы распространили на движение атомов. Позже Дебай усовершенствовал эту модель.

В 1913 году Нильс Бор использовал соображения, которые он вскоре сформулировал как принцип соответствия, и разработал модель атома водорода, которая могла объяснить его дискретный спектр, сформулировав два известных постулата. Позже Арнольд Зоммерфельд развил идеи Бора, распространив его модель на произвольные интегрируемые системы, используя принцип адиабатической инвариантности квантовых чисел. Модель Зоммерфельда была существенно ближе к современной квантовой механике, чем модель Бора.

На протяжении 1910-х и в начале 1920-х годов с помощью старой квантовой теории было успешно решено множество задач. Стала понятной природа колебательных и вращательных спектров молекул, открыт спин электрона, что объяснило существование полуцелых квантовых чисел. Планк ввёл нулевые колебания, Зоммерфельд успешно применил модель Бора к релятивистскому атому водорода, а Хендрик Крамерс объяснил эффект Штарка. Бозе и Эйнштейн предложили квантовую статистику для фотонов.

Крамерс предложил метод расчёта вероятностей перехода между квантовыми состояниями с использованием фурье-компонент движения, который позже был развит им вместе с Вернером Гейзенбергом в матричное полуклассическое отображение вероятностей перехода. Потом на основе этих идей Гейзенберг построил матричную механику — формулировку квантовой механики на основе матриц перехода.

В 1924 году Луи де Бройль разработал волновую теорию материи, которую немного позже развил Эйнштейн, выведя полуклассическое уравнение для волн материи. В 1925 году Эрвин Шрёдингер предложил квантовомеханическое волновое уравнение, которое дало возможность собрать в кучу все результаты старой квантовой теории без каких-либо неувязок. Волновая механика Шрёдингера развивалась независимо от матричной механики Гейзенберга, но в экспериментах было видно, что оба метода предусматривают одинаковые результаты. Поль Дирак в 1926 году показал, что обе картины являются эквивалентными и вытекают с более общего метода — теории представлений.

Появление матричной и волновой механики ознаменовало конец старой квантовой теории.

Основные принципы

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Основной идеей старой квантовой теории является то, что движение атомной системы является квантованным (дискретным). Система подчиняется законам классической механики за единственным исключением: не все движения системы разрешены, а только те, которые соответствуют следующему правилу:

<math>\oint\limits_{\mathcal{H}(p,q)=E} p_i dq_i = n_i h,</math>

где <math>p_i</math> — канонические импульсы, <math>q_i</math> — сопряженные к ним координаты, <math>n_i</math> — квантовые числа, которые являются целыми. Интеграл принимается по замкнутой (по каждой паре координата-импульс) траектории движения, что соответствует постоянной энергии <math>E</math> (которая описывается функцией Гамильтона <math>\mathcal{H}</math>). Кроме того, интеграл является площадью в фазовом пространстве, которая соответствует классическому действию. Действие, однако, является квантованным в единицах постоянной Планка, поэтому часто постоянную Планка называют квантом действия.

Для того, чтобы условие квантования имело смысл, классическое движение должно отделяться, то есть должны существовать координаты <math>q_i</math> такие, что движение по каждой из таких координат будет периодическим (в случае несоизмеримости периодов по различным координатам полное движение периодическим не будет). Старая квантовая теория подчиняется принципу соответствия, который основан на тех наблюдениях, что величины, которые квантуются, должны быть адиабатическими инвариантами.

Экспериментальная база

Излучение абсолютно чёрного тела

Одна из главных задач физики конца XIX века — проблема излучения абсолютно чёрного тела. Абсолютно чёрное тело — это физическая идеализация: тело, которое полностью поглощает падающее излучение любых длин волн. Наиболее чёрные реальные вещества, например, сажа, поглощают 99 % падающего излучения в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ими значительно хуже. Среди тел Солнечной системы абсолютно чёрному телу наиболее соответствует Солнце.

По классической термодинамике спектральная интенсивность I(ν) излучения должна быть одинаковой для любого абсолютно чёрного тела, нагретого до той же температуры. Такое предсказание подтверждается экспериментом. Спектральная интенсивность достигает максимума при некоторой частоте ν_max, а по обе стороны от максимума падает до нуля. Частота максимума ν_max, как и его высота, увеличивается с температурой.

Попытки теоретически предсказать форму экспериментальной кривой спектральной интенсивности абсолютно чёрного тела на основе законов классической физики привели к формуле Рэлея — Джинса:

<math>I(\nu) = \frac{2 \pi}{c^2} kT \nu^2.</math>

Кроме области малых частот, закон формулы Рэлея — Джинса не согласуется с экспериментом. Он предусматривает, что полная интенсивность излучаемой энергии бесконечно растёт с частотой (ультрафиолетовая катастрофа), но в действительности полная интенсивность конечна.

В 1900 году Макс Планк постулировал, что обмен энергией между атомами и выпущенным ими электромагнитным излучением происходит дискретными порциями энергии, а наименьшая порция энергии при заданной частоте ν равна:

<math>E = h\nu,</math>

где h — константа Планка. Только целые кратные энергии hν могут передаваться при взаимодействии атомов и излучения. Используя этот постулат, Планк вывел формулу для спектральной интенсивности теплового равновесного электромагнитного излучения абсолютно чёрного тела:

<math>I(\nu) = \frac{2 \pi \nu^2}{c^2} \frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1},</math>

что прекрасно согласуется с экспериментом. Таким образом, Планк решил проблему излучения абсолютно чёрного тела, используя противоречащую классической физике идею о квантовании энергии.

Фотоэффект

Фотоэффект — явление излучения веществом электронов под действием света (и, вообще говоря, любого электромагнитного излучения). Первые систематические исследования фотоэффекта выполнены русским физиком Столетовым в 1888 году, который установил несколько важных закономерностей. Ключевым моментом оказался тот факт, что энергия фотоэлектронов абсолютно не зависит от интенсивности падающего света: повышение интенсивности только увеличивает число электронов, но не их скорость. Однако оказалось, что скорость электронов зависит от частоты излучения, причём с увеличением частоты энергия фотоэлектронов повышается линейно. Такие явления были непонятны с позиции классической электродинамики.

Теоретическое объяснение фотоэффекта дал Альберт Эйнштейн в 1905 году. Используя гипотезу Планка, он предположил, что свет не только излучается порциями (квантами), но и вообще являет собой поток квантов (фотонов) с энергией hν. При фотоэффекте часть падающего света отражается от поверхности, а другая часть проникает внутрь поверхностного слоя металла и поглощается там. Когда электрон поглощает фотон, он получает от него энергию и, затрачивая часть её на работу выхода A_out, покидает металл. Таким образом, имеем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

<math>h \nu = A_{out} + P + eV,</math>

где P — энергия ионизации (которую можно положить для металлов нулю, поскольку металл имеет большое количество свободных электронов), eV — кинетическая энергия фотоэлектрона. Это уравнение было вскоре интенсивно проверено в экспериментах Роберта Милликена, за которые в том числе он получил Нобелевскую премию по физике 1923 года.

Таким образом, явление фотоэффекта является экспериментальным подтверждением гипотезы Планка и наличия у света корпускулярных свойств.

Опыт Франка — Герца

Эксперимент по неупругому рассеянию электронов на атомах, поставленный в 1913—1914 годах Джеймсом Франком и Густавом Людвигом Герцом, подтвердил справедливость постулатов Бора.

В этом опыте атомы или молекулы более-менее разреженного газа бомбардируются медленными электронами. При этом исследуется распределение скоростей электронов до и после столкновений. Если столкновения упругие, то распределение скоростей не меняется, и наоборот, при неупругих столкновениях часть электронов теряет свою энергию, отдавая её атомам, с которыми они сталкивались, поэтому распределение скоростей меняется.

В результате опыта Франка — Герца оказалось, что:

• при скоростях электронов, которые меньше некоторой критической скорости, столкновение является полностью упругим, то есть электрон не передаёт атому свою энергию, но отскакивает от него, меняя только направление своей скорости;
• при скоростях, что достигают критической скорости, удар является неупругим, то есть электрон теряет свою энергию и передаёт её атому, который при этом переходит в другое стационарное состояние, которое характеризуется большей энергией.

Примеры применения

Тепловые свойства гармонического осциллятора

Гармонический осциллятор — простейшая система старой квантовой теории. Запишем гамильтониан:

<math>\mathcal{H} = \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 q^2}{2}.</math>

Энергетические уровни системы определяются орбитами движения, а орбиты отбираются по тому квантовому правилу, что площадь в фазовом пространстве, которую покрывает каждая орбита, должна быть целой. Отсюда следует, что энергия квантуется по правилу Планка:

<math>E_n = n \hbar \omega,</math>

известный результат, по которому формулируется правило квантования старой квантовой теории. Следует отметить, что этот результат отличается от настоящего на <math>\hbar \omega / 2</math>, поскольку из квантовой механики известно, что нулевой уровень для гармонического осциллятора имеет энергию <math>\hbar \omega / 2</math>.

Термодинамические величины для квантованного гармонического осциллятора можно определить с помощью усреднения энергии в каждом из дискретных состояний:

<math>U = \frac{1}{Z} \sum\limits_n n\hbar\omega e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT}} = {\hbar \omega e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}} \over 1 - e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}},</math>

где <math>k</math> — постоянная Больцмана, <math>T</math> — абсолютная температура (которая измеряется в более естественных энергетических единицах), <math>Z = \sum\limits_n e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT}}</math> — статистическая сумма. Легко видеть, что при очень низких температурах (то есть когда величина <math>\beta = \frac{1}{kT}</math> является большой) средняя энергия гармонического осциллятора <math>U</math> очень быстро достигает ноля — экспоненциально. Причина состоит в том, что <math>kT</math> является характерной энергией произвольного движения при температуре <math>T</math>, и, если она меньше <math>\hbar \omega</math>, её не хватает для того, чтобы передать осциллятору хотя бы один квант энергии. Поэтому гармонический осциллятор остаётся в основном состоянии.

Это означает, что при очень низких температурах изменение энергии относительно <math>\beta</math> (и, естественно, температуры) является малым. Изменение энергии относительно температуры является теплоёмкостью, поэтому теплоёмкость является малой при низких температурах, стремясь к нулю как

<math>e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}.</math>

При высоких температурах (то есть при малых <math>\beta</math>) средняя энергия <math>U</math> равна <math>kT</math>. Этот факт согласуется с законом равнораспределения классической термодинамики: каждый гармонический осциллятор при температуре <math>T</math> имеет среднюю энергию <math>kT</math>. Это означает, что теплоёмкость осциллятора постоянна (в классической механике) и равна постоянной Больцмана <math>k</math>. Для совокупности атомов, которые соединены пружинами (приемлемая модель твердого тела), полная теплоёмкость равна <math>Nk</math>, где <math>N</math> — количество осцилляторов. В целом каждому атому сопоставляют три осциллятора, учитывая три возможных направления колебаний в трёх измерениях. Поэтому теплоёмкость классического твёрдого тела при достаточно высокой температуре равна <math>3k</math> на атом или <math>3R</math> на моль — закон Дюлонга — Пти.

Одноатомные твёрдые тела при комнатных температурах имеют приблизительно такую же теплоёмкость — <math>3k</math> на атом, но при низких температурах это не так. С уменьшением температуры теплоёмкость также уменьшается и достигает нуля при абсолютном нуле температур. Это факт подтверждается для всех материальных систем и составляет третий закон термодинамики. Классическая механика не может объяснить третий закон термодинамики, поскольку в её рамках считается, что теплоёмкость не зависит от температуры.

Это противоречие между классической механикой и теплоёмкостью холодных тел заметил в XIX веке Максвелл; устранение этого противоречия было сложной задачей для тех, кто отстаивал атомарную теорию материи. Альберт Эйнштейн решил эту проблему в 1906 году, предложив идею квантования атомарного движения и сформулировав модель Эйнштейна — первое применение квантовой теории к механическим системам. Немного позже Петер Дебай развил более точную количественную теорию теплоёмкости твёрдых тел на основе квантованных гармонических осцилляторов с разными частотами (модель Дебая).

Одномерный потенциал

При любой энергии E можно легко найти импульс p при помощи закона сохранения энергии:

<math>p = \sqrt{2m ( E - V(q))}.</math>

Это выражение интегрируется по всем значениям q между классическими точками поворота, где импульс равен нулю.

Прямоугольная потенциальная яма

Простейший случай — частица в прямоугольной потенциальной яме длиной L, для которой условие квантования выглядит следующим образом:

<math>2 \int_0^L p dq = nh,</math>

откуда импульс:

<math>p = \frac{nh}{2L}.</math>

Интегрируя правую часть уравнения для импульса, можно найти энергетические уровни:

<math>E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}.</math>

Линейный потенциал

Рассмотрим другой потенциал — линейный, который соответствует постоянной силе F. Такая задача довольно сложная в квантовомеханической формулировке и, в отличие от других случаев, полуклассический результат не является точным, но стремится к такому при увеличении значений квантовых чисел. Имеем:

<math>2 \int_0^{\frac{E}{F}} \sqrt{2m (E - Fx)} dx = nh,</math>

что даёт условие квантования:

<math> {4\over 3} \sqrt{2m}{ E^{3/2}\over F } = n h,</math>

откуда можно определить энергетические уровни:

<math>E_n = \left(\frac{3F}{4\sqrt{2m}} nh \right)^{2/3}.</math>

Квадратичный потенциал

Полуклассический результат этой задачи совпадает с квантовомеханическим в случае вычисления энергии основного состояния. Условие квантования будет иметь вид:

<math> 2 \int_{-\sqrt{\frac{2E}{k}}}^{\sqrt{\frac{2E}{k}}} \sqrt{2m\left(E - \frac12 k x^2\right)}\ dx = n h,</math>

откуда определяем энергетические уровни:

<math> E = n \frac{h}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = n \hbar \omega,</math>

где <math>\omega</math> — угловая частота.

Ротатор

Ротатор состоит из тела массы M, которое закреплено на безмассовом жёстком стержне длиной R, и описывается следующим двумерным лагранжианом:

<math>\mathcal{L}_{2D} = \frac{MR^2 \dot\varphi^2}{2},</math>

из которого можно выразить угловой момент <math>L</math>, который зависит от полярного угла <math>\varphi</math>:

<math>L = MR^2 \dot\varphi.</math>

Старая квантовая теория требует, чтобы угловой момент был квантованным:

<math>L = n\hbar.</math>

В модели Бора такого условия квантования, которое накладывается на круговые орбиты, хватает для определения энергетического спектра.

Трёхмерный жёсткий ротатор описывается двумя углами θ и φ сферической системы координат относительно произвольно выбранной оси Oz. Опять в лагранжиан входит только кинетическая энергия:

<math>\mathcal{L}_{3D} = \frac{MR^2 \dot\theta^2}{2} + \frac{MR^2 (\dot\varphi \sin\theta)^2}{2},</math>

Канонические импульсы будут иметь вид:

<math>p_{\theta} = \dot\theta,</math>

<math>p_{\varphi} = \dot\varphi \sin^2\theta.</math>

Уравнение для φ тривиальное, <math>p_{\varphi}</math> является константой:

<math>p_{\varphi} = l_{\varphi},</math>

что равно z-компоненте углового момента. Дальше, из условия квантования следует, что после интегрирования по углу φ от 0 до 2π:

<math>l_{\varphi} = m \hbar,</math>

где m — так называемое магнитное квантовое число. Название происходит от того, что z-компонента углового момента равна магнитному моменту ротатора вдоль оси Oz (очевидно, если частица на конце ротатора заряжена).

Полный угловой момент трёхмерного ротатора квантованный аналогично двумерному. Два условия квантования определяют произвольные значения полного углового момента и его z-компоненты с помощью квантовых чисел l, m. Эти условия присутствуют и в квантовой механике, но во времена господства старой квантовой теории было непонятно, как может быть квантованной ориентация углового момента относительно произвольно выбранной оси Oz. Казалось, что отсюда следует существование некоторого выделенного направления в пространстве.

Это явление получило название пространственного квантования, но казалось несовместимым с изотропностью пространства. В квантовой механике угловой момент квантуется таким же образом, но его дискретные состояния вдоль одной оси являются суперпозицией состояний вдоль других осей, поэтому в процессе квантования не возникает некоторое выделенное направление в пространстве. Поэтому сейчас термин «пространственное квантование» не употребляется, вместо него используют термин «квантование углового момента».

Атом водорода

Угловая часть атома водорода — это ротатор, который характеризуется квантовыми числами l, m. Остаётся неизвестной только радиальная координата, которая задаётся одномерным периодическим движением.

При фиксированном значении полного углового момента L, функция Гамильтона классической задачи Кеплера имеет вид (здесь переменные выбраны таким образом, чтобы масса и энергия стали безразмерными):

<math>\mathcal{H} = \frac{p^2}{2} + \frac{l^2}{2r^2} - \frac{1}{r}.</math>

Фиксируя энергию как (отрицательную) константу и решая полученное уравнение относительно импульса p, имеем условие квантования:

<math>2 \int\sqrt{2E - \frac{l^2}{r^2} + \frac{2}{r}}\ dr = kh,</math>

что определяет новое квантовое число k, которое в совокупности с числом l определяет энергетические уровни:

<math>E_{k,l} = - \frac{1}{2 (k+l)^2}.</math>

Легко видеть, что энергия зависит от суммы квантовых чисел k и l, которую можно обозначить как ещё одно квантовое число n, которое называется главным квантовым числом. Если k неотрицательное, то разрешённые значения числа l при заданном n не могут быть больше заданного значения n.

Эта полуклассическая модель атома водорода имеет название модели Зоммерфельда, в ней орбитами электрона являются эллипсы. Модель Зоммерфельда предсказывала тот факт, что магнитный момент атома, который измеряется вдоль некоторой оси, будет иметь только дискретные значения. Этот результат, казалось, противоречил изотропности пространства, но был подтверждён опытом Штерна — Герлаха. Теория Бора — Зоммерфельда являлась одним из самых важных этапов развития квантовой механики, поскольку описывала возможность расщепления энергетических уровней атома в магнитном поле, то есть объясняла эффект Зеемана.

Релятивистская орбита (кеплеровская проблема)

Релятивистское решение для энергетических уровней атома нашёл Арнольд Зоммерфельд. Запишем релятивистское уравнение для энергии с электростатическим потенциалом:

<math>E = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) - k \frac{Z e^2}{r}</math>

и сделаем замену <math>u = \frac{1}{r}</math>:

<math>\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{E}{m_0 c^2} + k \frac{Z e^2}{m_0 c^2} u.</math>

Выпишем выражения для импульсов:

<math>p_r = m \dot r,</math>

<math>p_{\varphi} = mr^2 \dot \varphi,</math>

тогда их соотношение будет равно <math>\frac{p_r}{p_{\varphi}} = - \frac{du}{d\varphi}</math>, и отсюда можно получить уравнение движения (уравнение Бине):

<math>\frac{d^2 u}{d \varphi ^2} = - \left( 1 - k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 p_{\varphi}^2} \right) u + \frac{m_0 kZe^2}{p_{\varphi}^2} \left( 1 + \frac{E}{m_0 c^2} \right) = - \omega_0^2 u + K,</math>

решение которого имеет вид:

<math>u = \frac{1}{r} = K + A \cos \omega_0 \varphi.</math>

Угловое смещение перицентра за один период составляет:

<math>\Delta \varphi = 2 \pi \left( \frac{1}{\omega_0} - 1 \right).</math>

Условия квантования в нашем случае будут выглядеть следующим образом:

<math>\oint p_{\varphi} d \varphi = 2 \pi p_{\varphi} = n_{\varphi} h,</math>

<math>\oint p_r dr = p_{\varphi} \oint \left(\frac{1}{r} \frac{dr}{d \varphi} \right) ^2 d \varphi = n_r h,</math>

откуда можно вычислить энергетические уровни:

<math>\frac{E_{n_r, n_{\varphi}}}{m_0 c^2} = \left( 1 + \frac{\alpha ^2 Z^2}{(n_r + \sqrt{n_{\varphi} ^2 - \alpha ^2 Z^2} )^2} \right) ^{-1/2} - 1,</math>

где <math>\alpha = \frac{2\pi ke^2}{hc}</math> — постоянная тонкой структуры. Этот результат совпадает с решением уравнения Дирака. Кроме того, если сделать замены квантовых чисел <math>n_r \to n_r + 1/2</math> и <math>n_{\varphi} \to l + 1/2</math>, то полученная формула будет совпадать с точным решением уравнения Клейна — Гордона.

Волны де Бройля

В 1905 году Эйнштейн заметил, что энтропия электромагнитного поля в ящике, которое по Планку изображается квантованными гармоническими осцилляторами, для случая коротких волн равна энтропии газа точечных частиц в таком же самом ящике, причём количество частиц равно количеству квантов. Поэтому Эйнштейн пришёл к выводу, что квант можно интерпретировать как локализованную частицу, частицу света — фотон.

Аргументация Эйнштейна основывалась на термодинамике, на подсчёте числа состояний, поэтому была довольно неубедительной. Несмотря на это, он выдвинул гипотезу о том, что свет имеет как волновые, так и корпускулярные свойства, точнее, что это стоячая электромагнитная волна с частотой <math>\omega</math> и квантованной энергией:

<math>E = n \hbar \omega,</math>

которую можно представить в виде n фотонов с энергиями <math>\hbar \omega</math>. Но Эйнштейн не мог объяснить, каким образом фотоны связаны с волной.

Фотоны имеют энергию и импульс, равный <math>\hbar \bold{k}</math>, где <math>\bold{k}</math> — волновой вектор электромагнитной волны. Этого требует теория относительности, согласно которой импульс и энергия образуют 4-вектор, как и частота с волновым вектором.

В 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу о том, что материя, в частности электрон, аналогично фотону, описывается волной, которая удовлетворяет следующему соотношению:

<math>p = \hbar k,</math>

или, записывая волновое число <math>k</math> через длину волны <math>\lambda</math>,

<math>p = \frac{h}{\lambda}.</math>

Потом он заметил, что условие квантования:

<math>\int p dx = \hbar \int k dx = 2 \pi \hbar n</math>

определяет смену фазы волны, когда она проходит вдоль классической орбиты. Поэтому для конструктивной интерференции число длин волн, которое помещается на классической орбите, должно быть целым. Такое условие объясняет факт, что орбиты должны быть квантованными: волны материи образуют стоячие волны только при некоторых дискретных частотах и энергиях.

Например, для частицы, помещённой в ящик, стоячая волна должна вмещать целое число длин волны между стенками ящика. Тогда условие квантования имеет вид:

<math>n \lambda = 2L,</math>

поэтому импульс квантуется так:

<math>p = \frac{nh}{2L},</math>

определяя тем самым энергетические уровни.

Эйнштейн развил эту гипотезу дальше и придал ей более математическую форму, заметив, что фазовую функцию для волн в механической системе следует отождествить с решением уравнения Гамильтона — Якоби. Позже на основе этих идей Шрёдингер предложил своё квантовомеханическое уравнение, заложив тем самым основы волновой механики.

Матрица переходов Крамерса

Старая квантовая теория была сформулирована только для некоторого класса механических систем. Например, она не работала с поглощением и эмиссией излучения. Но Хендрик Крамерс попытался найти правила, по которым можно рассчитывать поглощения и излучения.

Крамерс допустил, что орбиту квантовой системы можно разложить в ряд Фурье по гармоникам с кратными к частоте <math>\omega</math> орбиты частотами:

<math>X_n(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{ik\omega t} X_{nk}.</math>

Здесь под индексом n имеется в виду набор квантовых чисел, который характеризует орбиту и должен совпадать с набором n, l, m модели Зоммерфельда. Частота <math>\omega = 2\pi / T_n</math> — это угловая частота орбиты, k — индекс фурье-компоненты. Бор допускал, что k-тая гармоника классического движения соответствует переходу с уровня n на уровень n-k.

Крамерс считал, что переход между состояниями аналогичен классической эмиссии излучения, которая происходит с частотами, кратными к орбитальным частотам. Интенсивность излучения будет пропорциональной <math>|X_k|^2</math>, как и должно быть в классической механике. Но такое описание неточно, если частоты фурье-компонент не соответствуют точно энергиям переходу между уровнями.

Позже эти идеи были развиты Гейзенбергом, Борном и Йорданом, что привело к появлению матричной механики.

Ограничения старой квантовой теории

Старая квантовая теория и, в частности, модель Бора являлись важным шагом в развитии теории строения атома. В начале XX века, когда применение квантовых гипотез было скорее искусством, чем наукой, успехи старой квантовой теории производили глубокое впечатление. Она показала неприменимость классической физики к внутриатомным явлениям и большое значение квантовых законов на микроскопическом уровне. Но старая квантовая теория является всего лишь переходным этапом к созданию последовательной теории атомных явлений, поскольку в её рамках можно решать только ограниченный круг задач. Основными причинами кризиса старой квантовой теории, который привёл к необходимости построения новой квантовой механики, были:

• внутренняя логическая противоречивость: теория не является ни последовательно квантовой, ни последовательно классической;
• невозможность объяснить аномальный эффект Зеемана;
• невозможность расчёта интенсивности спектральных линий;
• невозможность построения теории многоэлектронного атома (в частности, атома гелия).

Позже стало понятным, что старая квантовая теория фактически является квазиклассическим приближением уравнения Шрёдингера.

См. также

• История квантовой механики
• Квазиклассическое приближение
• Квантовая механика
• Матричная квантовая механика
• Боровская модель атома

Литература

• Типлер П. А., Ллуэллин Р. А. Современная физика. — М.: Мир, 2007. — Т. 1. — 496 с.
• Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. — М.: ГИТТЛ, 1956. — 592+696 с.
• Planck M. Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum // Verhandl. Deutsch. phys. Ges. — 1900. — Т. 2. (рус. перевод: Планк М. К теории распределения энергии излучения нормального спектра // Избранные труды. — М.: Наука, 1975. — 788 с.).
• Planck M. Über das Gesetz der Energieverteilung in Normalspektrum // Ann. Physik. — 1901. — Т. 4. (рус. перевод: Планк М. О законе распределения энергии в нормальном спектре // Избранные труды. — М.: Наука, 1975. — 788 с.).
• Dirac P. A. M. The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics // Proc. R. Soc. Lond. A. — 1927. — Vol. 113. (рус. перевод: Дирак П. А. М. Физическая интерпретация квантовой динамики // Собрание научных трудов. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 2. — 848 с.).
• Strutt J. W. (Rayleigh). Remarks upon the law of complete radiation // Phil. Mag. — 1900. — Vol. 49.
• Jeans J. H. On the laws of radiation // Proc. R. Soc. Lond. A. — 1905. — Vol. 76.
• Franck J., Hertz G. L. Über Zusammenstöße zwischen Elektronen und Molekülen des Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung desselben // Verh. Dtsch. Phys. Ges. — 1914. — Vol. 16.
• Грановский Я. И. [ufn.ru/ru/articles/2004/5/h/references.html Формула Зоммерфельда и теория Дирака]. — УФН, 2004. — Т. 174, № 5.
• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Einstein A. [myweb.rz.uni-augsburg.de/~eckern/adp/history/einstein-papers/1905_17_132-148.pdf Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt // Ann. Physik]. — 1905. — (Bd. 17, № 6). (рус. перевод: Эйнштейн А. Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света // Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1966. — Т. 3. — 632 с.).
• Kramers H. A. Intensities of Spectral Lines. On the Application of the Quantum Theory to the Problem of Relative Intensities of the Components of the Fine Structure and of the Stark Effect of the Lines of the Hydrogen Spectrum // Roy. Danish Academy. — 1919. — 287 p.
• Kramers H. A. Über den Einfluß eines elektrischen Feldes auf die Feinstruktur der Wasserstofflinien // Zs. Phys. — 1920. — (Bd. 3).
• Kramers H. A. The Law of Dispersion and Bohr's Theory of Spectra // Nature. — 1924. — Vol. 113.
• Heisenberg W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zs. Phys. — 1925. — (Bd. 33). (рус. перевод: Гейзенберг В. О квантовотеоретической интерпретации кинематических и механических соотношений // Избранные труды (В. Гейзенберг). — М.: URSS, 2001. — 616 с.).
• Born M., Jordan P. Zur Quantenmechanik // Zs. Phys. — 1925. — (Bd. 34). (рус. перевод: Борн М., Йордан П. К квантовой механике // Избранные труды (В. Гейзенберг). — М.: URSS, 2001. — 616 с.).
• Heisenberg W., Born M., Jordan P. Zur Quantenmechanik. II // Zs. Phys. — 1926. — (Bd. 35). (рус. перевод: Гейзенберг В., Борн М., Йордан П. К квантовой механике. II // Избранные труды (В. Гейзенберг). — М.: URSS, 2001. — 616 с.).
• Шпольский Э. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 1. — 576 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.
• ter Haar D. The old quantum theory. — Pergamon Press, 1967. — 206 p.
• Tomonaga S. Quantum mechanics. — North Holland, 1962. — Vol. 1: Old quantum theory. — 313 p.
• Пономарев Л. И. Под знаком кванта. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 416 с. — ISBN 5-9221-0653-8.
• Спасский Б. И. История физики. — М.: Высшая школа, 1977.

• Том 1: [osnovanija.narod.ru/History/Spas/T1_1.djvu часть 1-я], [osnovanija.narod.ru/History/Spas/T1_2.djvu часть 2-я].
• Том 2: [osnovanija.narod.ru/History/Spas/T2_1.djvu часть 1-я], [osnovanija.narod.ru/History/Spas/T2_2.djvu часть 2-я].

• Кудрявцев П. С. [historik.ru/books/item/f00/s00/z0000027/ Курс истории физики]. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Просвещение, 1982. — 448 с.
• Данин Д. С. Неизбежность странного мира. — 1961.

Физика   Наука

Отрывок, характеризующий Старая квантовая теория

– После, после, завтра. Поздно…
Ростов повернулся и хотел выйти, но человек в помочах остановил его.
– От кого? Вы кто?
– От майора Денисова, – отвечал Ростов.
– Вы кто? офицер?
– Поручик, граф Ростов.
– Какая смелость! По команде подайте. А сами идите, идите… – И он стал надевать подаваемый камердинером мундир.
Ростов вышел опять в сени и заметил, что на крыльце было уже много офицеров и генералов в полной парадной форме, мимо которых ему надо было пройти.
Проклиная свою смелость, замирая от мысли, что всякую минуту он может встретить государя и при нем быть осрамлен и выслан под арест, понимая вполне всю неприличность своего поступка и раскаиваясь в нем, Ростов, опустив глаза, пробирался вон из дома, окруженного толпой блестящей свиты, когда чей то знакомый голос окликнул его и чья то рука остановила его.
– Вы, батюшка, что тут делаете во фраке? – спросил его басистый голос.
Это был кавалерийский генерал, в эту кампанию заслуживший особенную милость государя, бывший начальник дивизии, в которой служил Ростов.
Ростов испуганно начал оправдываться, но увидав добродушно шутливое лицо генерала, отойдя к стороне, взволнованным голосом передал ему всё дело, прося заступиться за известного генералу Денисова. Генерал выслушав Ростова серьезно покачал головой.
– Жалко, жалко молодца; давай письмо.
Едва Ростов успел передать письмо и рассказать всё дело Денисова, как с лестницы застучали быстрые шаги со шпорами и генерал, отойдя от него, подвинулся к крыльцу. Господа свиты государя сбежали с лестницы и пошли к лошадям. Берейтор Эне, тот самый, который был в Аустерлице, подвел лошадь государя, и на лестнице послышался легкий скрип шагов, которые сейчас узнал Ростов. Забыв опасность быть узнанным, Ростов подвинулся с несколькими любопытными из жителей к самому крыльцу и опять, после двух лет, он увидал те же обожаемые им черты, то же лицо, тот же взгляд, ту же походку, то же соединение величия и кротости… И чувство восторга и любви к государю с прежнею силою воскресло в душе Ростова. Государь в Преображенском мундире, в белых лосинах и высоких ботфортах, с звездой, которую не знал Ростов (это была legion d'honneur) [звезда почетного легиона] вышел на крыльцо, держа шляпу под рукой и надевая перчатку. Он остановился, оглядываясь и всё освещая вокруг себя своим взглядом. Кое кому из генералов он сказал несколько слов. Он узнал тоже бывшего начальника дивизии Ростова, улыбнулся ему и подозвал его к себе.
Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю.
Государь сказал ему несколько слов и сделал шаг, чтобы подойти к лошади. Опять толпа свиты и толпа улицы, в которой был Ростов, придвинулись к государю. Остановившись у лошади и взявшись рукою за седло, государь обратился к кавалерийскому генералу и сказал громко, очевидно с желанием, чтобы все слышали его.
– Не могу, генерал, и потому не могу, что закон сильнее меня, – сказал государь и занес ногу в стремя. Генерал почтительно наклонил голову, государь сел и поехал галопом по улице. Ростов, не помня себя от восторга, с толпою побежал за ним.


На площади куда поехал государь, стояли лицом к лицу справа батальон преображенцев, слева батальон французской гвардии в медвежьих шапках.
В то время как государь подъезжал к одному флангу баталионов, сделавших на караул, к противоположному флангу подскакивала другая толпа всадников и впереди их Ростов узнал Наполеона. Это не мог быть никто другой. Он ехал галопом в маленькой шляпе, с Андреевской лентой через плечо, в раскрытом над белым камзолом синем мундире, на необыкновенно породистой арабской серой лошади, на малиновом, золотом шитом, чепраке. Подъехав к Александру, он приподнял шляпу и при этом движении кавалерийский глаз Ростова не мог не заметить, что Наполеон дурно и не твердо сидел на лошади. Батальоны закричали: Ура и Vive l'Empereur! [Да здравствует Император!] Наполеон что то сказал Александру. Оба императора слезли с лошадей и взяли друг друга за руки. На лице Наполеона была неприятно притворная улыбка. Александр с ласковым выражением что то говорил ему.
Ростов не спуская глаз, несмотря на топтание лошадьми французских жандармов, осаживавших толпу, следил за каждым движением императора Александра и Бонапарте. Его, как неожиданность, поразило то, что Александр держал себя как равный с Бонапарте, и что Бонапарте совершенно свободно, как будто эта близость с государем естественна и привычна ему, как равный, обращался с русским царем.
Александр и Наполеон с длинным хвостом свиты подошли к правому флангу Преображенского батальона, прямо на толпу, которая стояла тут. Толпа очутилась неожиданно так близко к императорам, что Ростову, стоявшему в передних рядах ее, стало страшно, как бы его не узнали.
– Sire, je vous demande la permission de donner la legion d'honneur au plus brave de vos soldats, [Государь, я прошу у вас позволенья дать орден Почетного легиона храбрейшему из ваших солдат,] – сказал резкий, точный голос, договаривающий каждую букву. Это говорил малый ростом Бонапарте, снизу прямо глядя в глаза Александру. Александр внимательно слушал то, что ему говорили, и наклонив голову, приятно улыбнулся.
– A celui qui s'est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Тому, кто храбрее всех показал себя во время войны,] – прибавил Наполеон, отчеканивая каждый слог, с возмутительным для Ростова спокойствием и уверенностью оглядывая ряды русских, вытянувшихся перед ним солдат, всё держащих на караул и неподвижно глядящих в лицо своего императора.
– Votre majeste me permettra t elle de demander l'avis du colonel? [Ваше Величество позволит ли мне спросить мнение полковника?] – сказал Александр и сделал несколько поспешных шагов к князю Козловскому, командиру батальона. Бонапарте стал между тем снимать перчатку с белой, маленькой руки и разорвав ее, бросил. Адъютант, сзади торопливо бросившись вперед, поднял ее.
– Кому дать? – не громко, по русски спросил император Александр у Козловского.
– Кому прикажете, ваше величество? – Государь недовольно поморщился и, оглянувшись, сказал:
– Да ведь надобно же отвечать ему.
Козловский с решительным видом оглянулся на ряды и в этом взгляде захватил и Ростова.
«Уж не меня ли?» подумал Ростов.
– Лазарев! – нахмурившись прокомандовал полковник; и первый по ранжиру солдат, Лазарев, бойко вышел вперед.
– Куда же ты? Тут стой! – зашептали голоса на Лазарева, не знавшего куда ему итти. Лазарев остановился, испуганно покосившись на полковника, и лицо его дрогнуло, как это бывает с солдатами, вызываемыми перед фронт.
Наполеон чуть поворотил голову назад и отвел назад свою маленькую пухлую ручку, как будто желая взять что то. Лица его свиты, догадавшись в ту же секунду в чем дело, засуетились, зашептались, передавая что то один другому, и паж, тот самый, которого вчера видел Ростов у Бориса, выбежал вперед и почтительно наклонившись над протянутой рукой и не заставив ее дожидаться ни одной секунды, вложил в нее орден на красной ленте. Наполеон, не глядя, сжал два пальца. Орден очутился между ними. Наполеон подошел к Лазареву, который, выкатывая глаза, упорно продолжал смотреть только на своего государя, и оглянулся на императора Александра, показывая этим, что то, что он делал теперь, он делал для своего союзника. Маленькая белая рука с орденом дотронулась до пуговицы солдата Лазарева. Как будто Наполеон знал, что для того, чтобы навсегда этот солдат был счастлив, награжден и отличен от всех в мире, нужно было только, чтобы его, Наполеонова рука, удостоила дотронуться до груди солдата. Наполеон только прило жил крест к груди Лазарева и, пустив руку, обратился к Александру, как будто он знал, что крест должен прилипнуть к груди Лазарева. Крест действительно прилип.
Русские и французские услужливые руки, мгновенно подхватив крест, прицепили его к мундиру. Лазарев мрачно взглянул на маленького человечка, с белыми руками, который что то сделал над ним, и продолжая неподвижно держать на караул, опять прямо стал глядеть в глаза Александру, как будто он спрашивал Александра: всё ли еще ему стоять, или не прикажут ли ему пройтись теперь, или может быть еще что нибудь сделать? Но ему ничего не приказывали, и он довольно долго оставался в этом неподвижном состоянии.
Государи сели верхами и уехали. Преображенцы, расстроивая ряды, перемешались с французскими гвардейцами и сели за столы, приготовленные для них.
Лазарев сидел на почетном месте; его обнимали, поздравляли и жали ему руки русские и французские офицеры. Толпы офицеров и народа подходили, чтобы только посмотреть на Лазарева. Гул говора русского французского и хохота стоял на площади вокруг столов. Два офицера с раскрасневшимися лицами, веселые и счастливые прошли мимо Ростова.
– Каково, брат, угощенье? Всё на серебре, – сказал один. – Лазарева видел?
– Видел.
– Завтра, говорят, преображенцы их угащивать будут.
– Нет, Лазареву то какое счастье! 10 франков пожизненного пенсиона.
– Вот так шапка, ребята! – кричал преображенец, надевая мохнатую шапку француза.
– Чудо как хорошо, прелесть!
– Ты слышал отзыв? – сказал гвардейский офицер другому. Третьего дня было Napoleon, France, bravoure; [Наполеон, Франция, храбрость;] вчера Alexandre, Russie, grandeur; [Александр, Россия, величие;] один день наш государь дает отзыв, а другой день Наполеон. Завтра государь пошлет Георгия самому храброму из французских гвардейцев. Нельзя же! Должен ответить тем же.
Борис с своим товарищем Жилинским тоже пришел посмотреть на банкет преображенцев. Возвращаясь назад, Борис заметил Ростова, который стоял у угла дома.
– Ростов! здравствуй; мы и не видались, – сказал он ему, и не мог удержаться, чтобы не спросить у него, что с ним сделалось: так странно мрачно и расстроено было лицо Ростова.
– Ничего, ничего, – отвечал Ростов.
– Ты зайдешь?
– Да, зайду.
Ростов долго стоял у угла, издалека глядя на пирующих. В уме его происходила мучительная работа, которую он никак не мог довести до конца. В душе поднимались страшные сомнения. То ему вспоминался Денисов с своим изменившимся выражением, с своей покорностью и весь госпиталь с этими оторванными руками и ногами, с этой грязью и болезнями. Ему так живо казалось, что он теперь чувствует этот больничный запах мертвого тела, что он оглядывался, чтобы понять, откуда мог происходить этот запах. То ему вспоминался этот самодовольный Бонапарте с своей белой ручкой, который был теперь император, которого любит и уважает император Александр. Для чего же оторванные руки, ноги, убитые люди? То вспоминался ему награжденный Лазарев и Денисов, наказанный и непрощенный. Он заставал себя на таких странных мыслях, что пугался их.
Запах еды преображенцев и голод вызвали его из этого состояния: надо было поесть что нибудь, прежде чем уехать. Он пошел к гостинице, которую видел утром. В гостинице он застал так много народу, офицеров, так же как и он приехавших в статских платьях, что он насилу добился обеда. Два офицера одной с ним дивизии присоединились к нему. Разговор естественно зашел о мире. Офицеры, товарищи Ростова, как и большая часть армии, были недовольны миром, заключенным после Фридланда. Говорили, что еще бы подержаться, Наполеон бы пропал, что у него в войсках ни сухарей, ни зарядов уж не было. Николай молча ел и преимущественно пил. Он выпил один две бутылки вина. Внутренняя поднявшаяся в нем работа, не разрешаясь, всё также томила его. Он боялся предаваться своим мыслям и не мог отстать от них. Вдруг на слова одного из офицеров, что обидно смотреть на французов, Ростов начал кричать с горячностью, ничем не оправданною, и потому очень удивившею офицеров.
– И как вы можете судить, что было бы лучше! – закричал он с лицом, вдруг налившимся кровью. – Как вы можете судить о поступках государя, какое мы имеем право рассуждать?! Мы не можем понять ни цели, ни поступков государя!
– Да я ни слова не говорил о государе, – оправдывался офицер, не могший иначе как тем, что Ростов пьян, объяснить себе его вспыльчивости.
Но Ростов не слушал.
– Мы не чиновники дипломатические, а мы солдаты и больше ничего, – продолжал он. – Умирать велят нам – так умирать. А коли наказывают, так значит – виноват; не нам судить. Угодно государю императору признать Бонапарте императором и заключить с ним союз – значит так надо. А то, коли бы мы стали обо всем судить да рассуждать, так этак ничего святого не останется. Этак мы скажем, что ни Бога нет, ничего нет, – ударяя по столу кричал Николай, весьма некстати, по понятиям своих собеседников, но весьма последовательно по ходу своих мыслей.
– Наше дело исполнять свой долг, рубиться и не думать, вот и всё, – заключил он.
– И пить, – сказал один из офицеров, не желавший ссориться.
– Да, и пить, – подхватил Николай. – Эй ты! Еще бутылку! – крикнул он.



В 1808 году император Александр ездил в Эрфурт для нового свидания с императором Наполеоном, и в высшем Петербургском обществе много говорили о величии этого торжественного свидания.
В 1809 году близость двух властелинов мира, как называли Наполеона и Александра, дошла до того, что, когда Наполеон объявил в этом году войну Австрии, то русский корпус выступил за границу для содействия своему прежнему врагу Бонапарте против прежнего союзника, австрийского императора; до того, что в высшем свете говорили о возможности брака между Наполеоном и одной из сестер императора Александра. Но, кроме внешних политических соображений, в это время внимание русского общества с особенной живостью обращено было на внутренние преобразования, которые были производимы в это время во всех частях государственного управления.
Жизнь между тем, настоящая жизнь людей с своими существенными интересами здоровья, болезни, труда, отдыха, с своими интересами мысли, науки, поэзии, музыки, любви, дружбы, ненависти, страстей, шла как и всегда независимо и вне политической близости или вражды с Наполеоном Бонапарте, и вне всех возможных преобразований.
Князь Андрей безвыездно прожил два года в деревне. Все те предприятия по именьям, которые затеял у себя Пьер и не довел ни до какого результата, беспрестанно переходя от одного дела к другому, все эти предприятия, без выказыванья их кому бы то ни было и без заметного труда, были исполнены князем Андреем.
Он имел в высшей степени ту недостававшую Пьеру практическую цепкость, которая без размахов и усилий с его стороны давала движение делу.
Одно именье его в триста душ крестьян было перечислено в вольные хлебопашцы (это был один из первых примеров в России), в других барщина заменена оброком. В Богучарово была выписана на его счет ученая бабка для помощи родильницам, и священник за жалованье обучал детей крестьянских и дворовых грамоте.
Одну половину времени князь Андрей проводил в Лысых Горах с отцом и сыном, который был еще у нянек; другую половину времени в богучаровской обители, как называл отец его деревню. Несмотря на выказанное им Пьеру равнодушие ко всем внешним событиям мира, он усердно следил за ними, получал много книг, и к удивлению своему замечал, когда к нему или к отцу его приезжали люди свежие из Петербурга, из самого водоворота жизни, что эти люди, в знании всего совершающегося во внешней и внутренней политике, далеко отстали от него, сидящего безвыездно в деревне.
Кроме занятий по именьям, кроме общих занятий чтением самых разнообразных книг, князь Андрей занимался в это время критическим разбором наших двух последних несчастных кампаний и составлением проекта об изменении наших военных уставов и постановлений.
Весною 1809 года, князь Андрей поехал в рязанские именья своего сына, которого он был опекуном.
Пригреваемый весенним солнцем, он сидел в коляске, поглядывая на первую траву, первые листья березы и первые клубы белых весенних облаков, разбегавшихся по яркой синеве неба. Он ни о чем не думал, а весело и бессмысленно смотрел по сторонам.
Проехали перевоз, на котором он год тому назад говорил с Пьером. Проехали грязную деревню, гумны, зеленя, спуск, с оставшимся снегом у моста, подъём по размытой глине, полосы жнивья и зеленеющего кое где кустарника и въехали в березовый лес по обеим сторонам дороги. В лесу было почти жарко, ветру не слышно было. Береза вся обсеянная зелеными клейкими листьями, не шевелилась и из под прошлогодних листьев, поднимая их, вылезала зеленея первая трава и лиловые цветы. Рассыпанные кое где по березнику мелкие ели своей грубой вечной зеленью неприятно напоминали о зиме. Лошади зафыркали, въехав в лес и виднее запотели.
Лакей Петр что то сказал кучеру, кучер утвердительно ответил. Но видно Петру мало было сочувствования кучера: он повернулся на козлах к барину.
– Ваше сиятельство, лёгко как! – сказал он, почтительно улыбаясь.
– Что!
– Лёгко, ваше сиятельство.
«Что он говорит?» подумал князь Андрей. «Да, об весне верно, подумал он, оглядываясь по сторонам. И то зелено всё уже… как скоро! И береза, и черемуха, и ольха уж начинает… А дуб и не заметно. Да, вот он, дуб».
На краю дороги стоял дуб. Вероятно в десять раз старше берез, составлявших лес, он был в десять раз толще и в два раза выше каждой березы. Это был огромный в два обхвата дуб с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюжими, несимметрично растопыренными, корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами. Только он один не хотел подчиняться обаянию весны и не хотел видеть ни весны, ни солнца.
«Весна, и любовь, и счастие!» – как будто говорил этот дуб, – «и как не надоест вам всё один и тот же глупый и бессмысленный обман. Всё одно и то же, и всё обман! Нет ни весны, ни солнца, ни счастия. Вон смотрите, сидят задавленные мертвые ели, всегда одинакие, и вон и я растопырил свои обломанные, ободранные пальцы, где ни выросли они – из спины, из боков; как выросли – так и стою, и не верю вашим надеждам и обманам».
Князь Андрей несколько раз оглянулся на этот дуб, проезжая по лесу, как будто он чего то ждал от него. Цветы и трава были и под дубом, но он всё так же, хмурясь, неподвижно, уродливо и упорно, стоял посреди их.
«Да, он прав, тысячу раз прав этот дуб, думал князь Андрей, пускай другие, молодые, вновь поддаются на этот обман, а мы знаем жизнь, – наша жизнь кончена!» Целый новый ряд мыслей безнадежных, но грустно приятных в связи с этим дубом, возник в душе князя Андрея. Во время этого путешествия он как будто вновь обдумал всю свою жизнь, и пришел к тому же прежнему успокоительному и безнадежному заключению, что ему начинать ничего было не надо, что он должен доживать свою жизнь, не делая зла, не тревожась и ничего не желая.


По опекунским делам рязанского именья, князю Андрею надо было видеться с уездным предводителем. Предводителем был граф Илья Андреич Ростов, и князь Андрей в середине мая поехал к нему.
Был уже жаркий период весны. Лес уже весь оделся, была пыль и было так жарко, что проезжая мимо воды, хотелось купаться.
Князь Андрей, невеселый и озабоченный соображениями о том, что и что ему нужно о делах спросить у предводителя, подъезжал по аллее сада к отрадненскому дому Ростовых. Вправо из за деревьев он услыхал женский, веселый крик, и увидал бегущую на перерез его коляски толпу девушек. Впереди других ближе, подбегала к коляске черноволосая, очень тоненькая, странно тоненькая, черноглазая девушка в желтом ситцевом платье, повязанная белым носовым платком, из под которого выбивались пряди расчесавшихся волос. Девушка что то кричала, но узнав чужого, не взглянув на него, со смехом побежала назад.
Князю Андрею вдруг стало от чего то больно. День был так хорош, солнце так ярко, кругом всё так весело; а эта тоненькая и хорошенькая девушка не знала и не хотела знать про его существование и была довольна, и счастлива какой то своей отдельной, – верно глупой – но веселой и счастливой жизнию. «Чему она так рада? о чем она думает! Не об уставе военном, не об устройстве рязанских оброчных. О чем она думает? И чем она счастлива?» невольно с любопытством спрашивал себя князь Андрей.
Граф Илья Андреич в 1809 м году жил в Отрадном всё так же как и прежде, то есть принимая почти всю губернию, с охотами, театрами, обедами и музыкантами. Он, как всякому новому гостю, был рад князю Андрею, и почти насильно оставил его ночевать.
В продолжение скучного дня, во время которого князя Андрея занимали старшие хозяева и почетнейшие из гостей, которыми по случаю приближающихся именин был полон дом старого графа, Болконский несколько раз взглядывая на Наташу чему то смеявшуюся и веселившуюся между другой молодой половиной общества, всё спрашивал себя: «о чем она думает? Чему она так рада!».
Вечером оставшись один на новом месте, он долго не мог заснуть. Он читал, потом потушил свечу и опять зажег ее. В комнате с закрытыми изнутри ставнями было жарко. Он досадовал на этого глупого старика (так он называл Ростова), который задержал его, уверяя, что нужные бумаги в городе, не доставлены еще, досадовал на себя за то, что остался.
Князь Андрей встал и подошел к окну, чтобы отворить его. Как только он открыл ставни, лунный свет, как будто он настороже у окна давно ждал этого, ворвался в комнату. Он отворил окно. Ночь была свежая и неподвижно светлая. Перед самым окном был ряд подстриженных дерев, черных с одной и серебристо освещенных с другой стороны. Под деревами была какая то сочная, мокрая, кудрявая растительность с серебристыми кое где листьями и стеблями. Далее за черными деревами была какая то блестящая росой крыша, правее большое кудрявое дерево, с ярко белым стволом и сучьями, и выше его почти полная луна на светлом, почти беззвездном, весеннем небе. Князь Андрей облокотился на окно и глаза его остановились на этом небе.
Комната князя Андрея была в среднем этаже; в комнатах над ним тоже жили и не спали. Он услыхал сверху женский говор.
– Только еще один раз, – сказал сверху женский голос, который сейчас узнал князь Андрей.
– Да когда же ты спать будешь? – отвечал другой голос.
– Я не буду, я не могу спать, что ж мне делать! Ну, последний раз…
Два женские голоса запели какую то музыкальную фразу, составлявшую конец чего то.
– Ах какая прелесть! Ну теперь спать, и конец.
– Ты спи, а я не могу, – отвечал первый голос, приблизившийся к окну. Она видимо совсем высунулась в окно, потому что слышно было шуршанье ее платья и даже дыханье. Всё затихло и окаменело, как и луна и ее свет и тени. Князь Андрей тоже боялся пошевелиться, чтобы не выдать своего невольного присутствия.
– Соня! Соня! – послышался опять первый голос. – Ну как можно спать! Да ты посмотри, что за прелесть! Ах, какая прелесть! Да проснись же, Соня, – сказала она почти со слезами в голосе. – Ведь этакой прелестной ночи никогда, никогда не бывало.
Соня неохотно что то отвечала.
– Нет, ты посмотри, что за луна!… Ах, какая прелесть! Ты поди сюда. Душенька, голубушка, поди сюда. Ну, видишь? Так бы вот села на корточки, вот так, подхватила бы себя под коленки, – туже, как можно туже – натужиться надо. Вот так!
– Полно, ты упадешь.
Послышалась борьба и недовольный голос Сони: «Ведь второй час».
– Ах, ты только всё портишь мне. Ну, иди, иди.
Опять всё замолкло, но князь Андрей знал, что она всё еще сидит тут, он слышал иногда тихое шевеленье, иногда вздохи.
– Ах… Боже мой! Боже мой! что ж это такое! – вдруг вскрикнула она. – Спать так спать! – и захлопнула окно.
«И дела нет до моего существования!» подумал князь Андрей в то время, как он прислушивался к ее говору, почему то ожидая и боясь, что она скажет что нибудь про него. – «И опять она! И как нарочно!» думал он. В душе его вдруг поднялась такая неожиданная путаница молодых мыслей и надежд, противоречащих всей его жизни, что он, чувствуя себя не в силах уяснить себе свое состояние, тотчас же заснул.


На другой день простившись только с одним графом, не дождавшись выхода дам, князь Андрей поехал домой.
Уже было начало июня, когда князь Андрей, возвращаясь домой, въехал опять в ту березовую рощу, в которой этот старый, корявый дуб так странно и памятно поразил его. Бубенчики еще глуше звенели в лесу, чем полтора месяца тому назад; всё было полно, тенисто и густо; и молодые ели, рассыпанные по лесу, не нарушали общей красоты и, подделываясь под общий характер, нежно зеленели пушистыми молодыми побегами.
Целый день был жаркий, где то собиралась гроза, но только небольшая тучка брызнула на пыль дороги и на сочные листья. Левая сторона леса была темна, в тени; правая мокрая, глянцовитая блестела на солнце, чуть колыхаясь от ветра. Всё было в цвету; соловьи трещали и перекатывались то близко, то далеко.
«Да, здесь, в этом лесу был этот дуб, с которым мы были согласны», подумал князь Андрей. «Да где он», подумал опять князь Андрей, глядя на левую сторону дороги и сам того не зная, не узнавая его, любовался тем дубом, которого он искал. Старый дуб, весь преображенный, раскинувшись шатром сочной, темной зелени, млел, чуть колыхаясь в лучах вечернего солнца. Ни корявых пальцев, ни болячек, ни старого недоверия и горя, – ничего не было видно. Сквозь жесткую, столетнюю кору пробились без сучков сочные, молодые листья, так что верить нельзя было, что этот старик произвел их. «Да, это тот самый дуб», подумал князь Андрей, и на него вдруг нашло беспричинное, весеннее чувство радости и обновления. Все лучшие минуты его жизни вдруг в одно и то же время вспомнились ему. И Аустерлиц с высоким небом, и мертвое, укоризненное лицо жены, и Пьер на пароме, и девочка, взволнованная красотою ночи, и эта ночь, и луна, – и всё это вдруг вспомнилось ему.
«Нет, жизнь не кончена в 31 год, вдруг окончательно, беспеременно решил князь Андрей. Мало того, что я знаю всё то, что есть во мне, надо, чтобы и все знали это: и Пьер, и эта девочка, которая хотела улететь в небо, надо, чтобы все знали меня, чтобы не для одного меня шла моя жизнь, чтоб не жили они так независимо от моей жизни, чтоб на всех она отражалась и чтобы все они жили со мною вместе!»

Возвратившись из своей поездки, князь Андрей решился осенью ехать в Петербург и придумал разные причины этого решенья. Целый ряд разумных, логических доводов, почему ему необходимо ехать в Петербург и даже служить, ежеминутно был готов к его услугам. Он даже теперь не понимал, как мог он когда нибудь сомневаться в необходимости принять деятельное участие в жизни, точно так же как месяц тому назад он не понимал, как могла бы ему притти мысль уехать из деревни. Ему казалось ясно, что все его опыты жизни должны были пропасть даром и быть бессмыслицей, ежели бы он не приложил их к делу и не принял опять деятельного участия в жизни. Он даже не понимал того, как на основании таких же бедных разумных доводов прежде очевидно было, что он бы унизился, ежели бы теперь после своих уроков жизни опять бы поверил в возможность приносить пользу и в возможность счастия и любви. Теперь разум подсказывал совсем другое. После этой поездки князь Андрей стал скучать в деревне, прежние занятия не интересовали его, и часто, сидя один в своем кабинете, он вставал, подходил к зеркалу и долго смотрел на свое лицо. Потом он отворачивался и смотрел на портрет покойницы Лизы, которая с взбитыми a la grecque [по гречески] буклями нежно и весело смотрела на него из золотой рамки. Она уже не говорила мужу прежних страшных слов, она просто и весело с любопытством смотрела на него. И князь Андрей, заложив назад руки, долго ходил по комнате, то хмурясь, то улыбаясь, передумывая те неразумные, невыразимые словом, тайные как преступление мысли, связанные с Пьером, с славой, с девушкой на окне, с дубом, с женской красотой и любовью, которые изменили всю его жизнь. И в эти то минуты, когда кто входил к нему, он бывал особенно сух, строго решителен и в особенности неприятно логичен.
– Mon cher, [Дорогой мой,] – бывало скажет входя в такую минуту княжна Марья, – Николушке нельзя нынче гулять: очень холодно.
– Ежели бы было тепло, – в такие минуты особенно сухо отвечал князь Андрей своей сестре, – то он бы пошел в одной рубашке, а так как холодно, надо надеть на него теплую одежду, которая для этого и выдумана. Вот что следует из того, что холодно, а не то чтобы оставаться дома, когда ребенку нужен воздух, – говорил он с особенной логичностью, как бы наказывая кого то за всю эту тайную, нелогичную, происходившую в нем, внутреннюю работу. Княжна Марья думала в этих случаях о том, как сушит мужчин эта умственная работа.


Князь Андрей приехал в Петербург в августе 1809 года. Это было время апогея славы молодого Сперанского и энергии совершаемых им переворотов. В этом самом августе, государь, ехав в коляске, был вывален, повредил себе ногу, и оставался в Петергофе три недели, видаясь ежедневно и исключительно со Сперанским. В это время готовились не только два столь знаменитые и встревожившие общество указа об уничтожении придворных чинов и об экзаменах на чины коллежских асессоров и статских советников, но и целая государственная конституция, долженствовавшая изменить существующий судебный, административный и финансовый порядок управления России от государственного совета до волостного правления. Теперь осуществлялись и воплощались те неясные, либеральные мечтания, с которыми вступил на престол император Александр, и которые он стремился осуществить с помощью своих помощников Чарторижского, Новосильцева, Кочубея и Строгонова, которых он сам шутя называл comite du salut publique. [комитет общественного спасения.]
Теперь всех вместе заменил Сперанский по гражданской части и Аракчеев по военной. Князь Андрей вскоре после приезда своего, как камергер, явился ко двору и на выход. Государь два раза, встретив его, не удостоил его ни одним словом. Князю Андрею всегда еще прежде казалось, что он антипатичен государю, что государю неприятно его лицо и всё существо его. В сухом, отдаляющем взгляде, которым посмотрел на него государь, князь Андрей еще более чем прежде нашел подтверждение этому предположению. Придворные объяснили князю Андрею невнимание к нему государя тем, что Его Величество был недоволен тем, что Болконский не служил с 1805 года.
«Я сам знаю, как мы не властны в своих симпатиях и антипатиях, думал князь Андрей, и потому нечего думать о том, чтобы представить лично мою записку о военном уставе государю, но дело будет говорить само за себя». Он передал о своей записке старому фельдмаршалу, другу отца. Фельдмаршал, назначив ему час, ласково принял его и обещался доложить государю. Через несколько дней было объявлено князю Андрею, что он имеет явиться к военному министру, графу Аракчееву.
В девять часов утра, в назначенный день, князь Андрей явился в приемную к графу Аракчееву.
Лично князь Андрей не знал Аракчеева и никогда не видал его, но всё, что он знал о нем, мало внушало ему уважения к этому человеку.
«Он – военный министр, доверенное лицо государя императора; никому не должно быть дела до его личных свойств; ему поручено рассмотреть мою записку, следовательно он один и может дать ход ей», думал князь Андрей, дожидаясь в числе многих важных и неважных лиц в приемной графа Аракчеева.
Князь Андрей во время своей, большей частью адъютантской, службы много видел приемных важных лиц и различные характеры этих приемных были для него очень ясны. У графа Аракчеева был совершенно особенный характер приемной. На неважных лицах, ожидающих очереди аудиенции в приемной графа Аракчеева, написано было чувство пристыженности и покорности; на более чиновных лицах выражалось одно общее чувство неловкости, скрытое под личиной развязности и насмешки над собою, над своим положением и над ожидаемым лицом. Иные задумчиво ходили взад и вперед, иные шепчась смеялись, и князь Андрей слышал sobriquet [насмешливое прозвище] Силы Андреича и слова: «дядя задаст», относившиеся к графу Аракчееву. Один генерал (важное лицо) видимо оскорбленный тем, что должен был так долго ждать, сидел перекладывая ноги и презрительно сам с собой улыбаясь.
Но как только растворялась дверь, на всех лицах выражалось мгновенно только одно – страх. Князь Андрей попросил дежурного другой раз доложить о себе, но на него посмотрели с насмешкой и сказали, что его черед придет в свое время. После нескольких лиц, введенных и выведенных адъютантом из кабинета министра, в страшную дверь был впущен офицер, поразивший князя Андрея своим униженным и испуганным видом. Аудиенция офицера продолжалась долго. Вдруг послышались из за двери раскаты неприятного голоса, и бледный офицер, с трясущимися губами, вышел оттуда, и схватив себя за голову, прошел через приемную.
Вслед за тем князь Андрей был подведен к двери, и дежурный шопотом сказал: «направо, к окну».
Князь Андрей вошел в небогатый опрятный кабинет и у стола увидал cорокалетнего человека с длинной талией, с длинной, коротко обстриженной головой и толстыми морщинами, с нахмуренными бровями над каре зелеными тупыми глазами и висячим красным носом. Аракчеев поворотил к нему голову, не глядя на него.
– Вы чего просите? – спросил Аракчеев.
– Я ничего не… прошу, ваше сиятельство, – тихо проговорил князь Андрей. Глаза Аракчеева обратились на него.
– Садитесь, – сказал Аракчеев, – князь Болконский?
– Я ничего не прошу, а государь император изволил переслать к вашему сиятельству поданную мною записку…
– Изволите видеть, мой любезнейший, записку я вашу читал, – перебил Аракчеев, только первые слова сказав ласково, опять не глядя ему в лицо и впадая всё более и более в ворчливо презрительный тон. – Новые законы военные предлагаете? Законов много, исполнять некому старых. Нынче все законы пишут, писать легче, чем делать.