Статистика Бозе — Эйнштейна
| Статистическая физика | ||||||||||||
| <math>S = k_B \, \ln\Omega</math>
| ||||||||||||
| Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория | ||||||||||||
| ||||||||||||
| См. также: Портал:Физика |
В статистической механике статистика Бо́зе — Эйнште́йна определяет распределение тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином (таковыми являются, например, фотоны и атомы гелия-4) по энергетическим уровням в состоянии термодинамического равновесия. Предложена в 1924 году Шатьендранатом Бозе для описания фотонов. В 1924—1925 годах Альберт Эйнштейн обобщил её на системы атомов с целым спином.
Статистика Бозе-Эйнштейна (так же как и статистика Ферми-Дирака) связана с квантовомеханическим принципом неразличимости тождественных частиц. Статистикам Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна подчиняются системы тождественных частиц, в которых нельзя пренебречь квантовыми эффектами. Квантовые эффекты проявляются при значениях концентрации частиц (N/V) ≥ nq, где nq — это т. н. квантовая концентрация, при которой среднее расстояние между частицами равно средней волне де Бройля для идеального газа при заданной температуре. При концентрации nq волновые функции частиц «касаются» друг друга, но практически не перекрываются. Статистике Ферми — Дирака подчиняются т. н. фермионы (частицы, для которых справедлив принцип запрета Паули), а статистике Бозе — Эйнштейна — бозоны. Поскольку квантовая концентрация растёт с увеличением температуры, большинство физических систем при высоких температурах подчиняется классической статистике Максвелла — Больцмана. Исключениями являются системы с очень высокой плотностью, например, белые карлики. В пределе высокой температуры или низкой концентрации частиц обе статистики переходят в классическую статистику Максвелла — Больцмана.
Бозоны, в отличие от фермионов, не подчиняются принципу запрета Паули — произвольное количество частиц может одновременно находиться в одном состоянии. Из-за этого их поведение сильно отличается от поведения фермионов при низких температурах. В случае бозонов при понижении температуры все частицы будут собираться в одном состоянии, обладающем наименьшей энергией, формируя так называемый конденсат Бозе — Эйнштейна.
Вывод и описание
Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов отдельных частиц. Собственные функции гамильтониана системы представляются как произведение собственных функций гамильтонианов отдельных частиц. А собственные значения (энергия) гамильтониана системы равна сумме энергий (собственных значений гамильтонианов) отдельных частиц. Если на данном энергетическом уровне <math>\varepsilon_i</math> находится <math>n_i</math> частиц, то энергия системы есть взвешенная сумма <math>E=\sum^{\infty}_{i=0}n_i \varepsilon_i</math>, а волновая функция системы есть произведение
<math>\psi(r)=\psi(r_1,r_2,...,r_n)=\psi_{i_1}(r_1)\psi_{i_2}(r_2)...\psi_{i_n}(r_n)</math>
где <math>\psi_{i_k}</math> - волновая функция для энергетического уровня <math>\varepsilon_{i_k}</math>.
Общая формула вероятности состояния системы с данным энергетическим уровнем определяется следующим образом (большой канонический ансамбль):
<math>W(E)=e^{\frac {\Omega+\mu n-E}{\Theta}}g(E)</math>
где <math>g(E)</math> - кратность вырождения данного уровня энергии.
Для описанной выше волновой функции перестановка координат меняет волновую функцию, то есть перестановка координат создает новое микросостояние. То есть выбор такой волновой функции предполагает микроскопическую различимость частиц. Однако макроскопически они соответствуют одному и тому же состоянию. Поэтому для такой волновой функции при характеристике макросостояний необходимо вышеуказанную формулу разделить на <math>n!</math> для исключения многократного учета одного и того же макросостояния в статистической сумме.
Однако, необходимо учесть, что, как известно, произвольная линейная комбинация волновых функций тоже является решением уравнения Шредингера. В силу тождественности частиц, то есть их микроскопической неразличимости, необходимо выбрать такую линейную комбинацию, чтобы перестановка координат не меняла волновую функцию, то есть
<math>\psi=\sum_P P\psi</math>
где <math>P</math> - операция перестановки координат частиц. Кроме того, по теореме Паули для бозонов волновые функции симметричны, то есть умножение на минус единицу координат также не меняет волновую функцию. Такие волновые функции описывают невырожденные состояния, поэтому <math>g(E)=1</math>. Кроме того, отпадает вышеуказанная необходимость деления на <math>n!</math>, поскольку для выбранной волновой функции перестановки не приводят к новым микросостояниям. Таким образом, окончательно можно выразить вероятность данного состояния следующим образом через числа заполнения <math>n_l</math>:
<math>W(n_0, n_1,...)=e^{\frac {\Omega+\sum^{\infty}_{l=0} n_i(\mu-\varepsilon_i)}{\Theta}}</math>
Отсюда можно показать, что:
<math>\Omega=\Theta \sum^{\infty}_{i=0}\ln(1-e^{(\mu-\varepsilon_i)/\Theta})</math>
Среднее число частиц в заданном состоянии можно выразить через эту величину как частную производную (с противоположным знаком) по <math>\mu_i</math> условно полагая, что <math>\mu</math> различаются для каждого <math>i</math>. Тогда для среднего числа частиц в заданном состоянии согласно статистике Бозе — Эйнштейна, получаем
- <math> \overline {n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1} </math>
где <math>\varepsilon_i > \mu</math>, ni — количество частиц в состоянии i, εi — энергия состояния i, μ — химпотенциал системы, k — постоянная Больцмана, T — абсолютное значение температуры.
В пределе <math> kT \ll \varepsilon_i-\mu </math> статистика Бозе-Эйнштейна переходит в статистику Максвелла — Больцмана, а в пределе <math> kT \gg \varepsilon_i-\mu </math> — в распределение Рэлея:
- <math> \overline {n}_i = \frac{g_i kT}{\varepsilon_i-\mu} </math>.
Напишите отзыв о статье "Статистика Бозе — Эйнштейна"
Литература
- Бозе — Эйнштейна статистика // Бари — Браслет. — М. : Советская энциклопедия, 1970. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 3).</span>
- [bigenc.ru/text/1869559 Бозе — Эйнштейна статистика] / А. Г. Башкиров // «Банкетная кампания» 1904 — Большой Иргиз. — М. : Большая Российская энциклопедия, 2005. — С. 674. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—, т. 3). — ISBN 5-85270-331-1.</span>
См. также
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Статистика Бозе — Эйнштейна
Войска отступали от Вильны по разным сложным государственным, политическим и тактическим причинам. Каждый шаг отступления сопровождался сложной игрой интересов, умозаключений и страстей в главном штабе. Для гусар же Павлоградского полка весь этот отступательный поход, в лучшую пору лета, с достаточным продовольствием, был самым простым и веселым делом. Унывать, беспокоиться и интриговать могли в главной квартире, а в глубокой армии и не спрашивали себя, куда, зачем идут. Если жалели, что отступают, то только потому, что надо было выходить из обжитой квартиры, от хорошенькой панны. Ежели и приходило кому нибудь в голову, что дела плохи, то, как следует хорошему военному человеку, тот, кому это приходило в голову, старался быть весел и не думать об общем ходе дел, а думать о своем ближайшем деле. Сначала весело стояли подле Вильны, заводя знакомства с польскими помещиками и ожидая и отбывая смотры государя и других высших командиров. Потом пришел приказ отступить к Свенцянам и истреблять провиант, который нельзя было увезти. Свенцяны памятны были гусарам только потому, что это был пьяный лагерь, как прозвала вся армия стоянку у Свенцян, и потому, что в Свенцянах много было жалоб на войска за то, что они, воспользовавшись приказанием отбирать провиант, в числе провианта забирали и лошадей, и экипажи, и ковры у польских панов. Ростов помнил Свенцяны потому, что он в первый день вступления в это местечко сменил вахмистра и не мог справиться с перепившимися всеми людьми эскадрона, которые без его ведома увезли пять бочек старого пива. От Свенцян отступали дальше и дальше до Дриссы, и опять отступили от Дриссы, уже приближаясь к русским границам.13 го июля павлоградцам в первый раз пришлось быть в серьезном деле.
12 го июля в ночь, накануне дела, была сильная буря с дождем и грозой. Лето 1812 года вообще было замечательно бурями.
Павлоградские два эскадрона стояли биваками, среди выбитого дотла скотом и лошадьми, уже выколосившегося ржаного поля. Дождь лил ливмя, и Ростов с покровительствуемым им молодым офицером Ильиным сидел под огороженным на скорую руку шалашиком. Офицер их полка, с длинными усами, продолжавшимися от щек, ездивший в штаб и застигнутый дождем, зашел к Ростову.
– Я, граф, из штаба. Слышали подвиг Раевского? – И офицер рассказал подробности Салтановского сражения, слышанные им в штабе.
Ростов, пожимаясь шеей, за которую затекала вода, курил трубку и слушал невнимательно, изредка поглядывая на молодого офицера Ильина, который жался около него. Офицер этот, шестнадцатилетний мальчик, недавно поступивший в полк, был теперь в отношении к Николаю тем, чем был Николай в отношении к Денисову семь лет тому назад. Ильин старался во всем подражать Ростову и, как женщина, был влюблен в него.
Офицер с двойными усами, Здржинский, рассказывал напыщенно о том, как Салтановская плотина была Фермопилами русских, как на этой плотине был совершен генералом Раевским поступок, достойный древности. Здржинский рассказывал поступок Раевского, который вывел на плотину своих двух сыновей под страшный огонь и с ними рядом пошел в атаку. Ростов слушал рассказ и не только ничего не говорил в подтверждение восторга Здржинского, но, напротив, имел вид человека, который стыдился того, что ему рассказывают, хотя и не намерен возражать. Ростов после Аустерлицкой и 1807 года кампаний знал по своему собственному опыту, что, рассказывая военные происшествия, всегда врут, как и сам он врал, рассказывая; во вторых, он имел настолько опытности, что знал, как все происходит на войне совсем не так, как мы можем воображать и рассказывать. И потому ему не нравился рассказ Здржинского, не нравился и сам Здржинский, который, с своими усами от щек, по своей привычке низко нагибался над лицом того, кому он рассказывал, и теснил его в тесном шалаше. Ростов молча смотрел на него. «Во первых, на плотине, которую атаковали, должна была быть, верно, такая путаница и теснота, что ежели Раевский и вывел своих сыновей, то это ни на кого не могло подействовать, кроме как человек на десять, которые были около самого его, – думал Ростов, – остальные и не могли видеть, как и с кем шел Раевский по плотине. Но и те, которые видели это, не могли очень воодушевиться, потому что что им было за дело до нежных родительских чувств Раевского, когда тут дело шло о собственной шкуре? Потом оттого, что возьмут или не возьмут Салтановскую плотину, не зависела судьба отечества, как нам описывают это про Фермопилы. И стало быть, зачем же было приносить такую жертву? И потом, зачем тут, на войне, мешать своих детей? Я бы не только Петю брата не повел бы, даже и Ильина, даже этого чужого мне, но доброго мальчика, постарался бы поставить куда нибудь под защиту», – продолжал думать Ростов, слушая Здржинского. Но он не сказал своих мыслей: он и на это уже имел опыт. Он знал, что этот рассказ содействовал к прославлению нашего оружия, и потому надо было делать вид, что не сомневаешься в нем. Так он и делал.
– Однако мочи нет, – сказал Ильин, замечавший, что Ростову не нравится разговор Здржинского. – И чулки, и рубашка, и под меня подтекло. Пойду искать приюта. Кажется, дождик полегче. – Ильин вышел, и Здржинский уехал.
Через пять минут Ильин, шлепая по грязи, прибежал к шалашу.
– Ура! Ростов, идем скорее. Нашел! Вот тут шагов двести корчма, уж туда забрались наши. Хоть посушимся, и Марья Генриховна там.
Марья Генриховна была жена полкового доктора, молодая, хорошенькая немка, на которой доктор женился в Польше. Доктор, или оттого, что не имел средств, или оттого, что не хотел первое время женитьбы разлучаться с молодой женой, возил ее везде за собой при гусарском полку, и ревность доктора сделалась обычным предметом шуток между гусарскими офицерами.
