Статистика Ферми — Дирака

Статистическая физика

<math>S = k_B \, \ln\Omega</math>

Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория

Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-Дирака Parastatistics · Энионная статистика Braid statistics Ансамбли Микроканонический · Канонический Большой канонический Изотермо-изобарический Изоэнтальпи-изобарический Открытый Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пти Модели Модель Дебая · Эйнштейна · Модель Изинга Потенциалы Внутренняя энергия · Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал Известные учёные Максвелл · Гиббс · Больцман

См. также: Портал:Физика

Статистика Фе́рми — Дира́ка в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние не может занимать более одной частицы); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926 году, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией <math>\varepsilon_i</math> есть

<math>n_i=\frac{g_i}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)+1},</math>

где

<math>n_i</math> — среднее число частиц в состоянии <math>i</math>,

<math>\varepsilon_i</math> — энергия состояния <math>i</math>,

<math>g_i</math> — кратность вырождения состояния <math>i</math> (число состояний с энергией <math>\varepsilon_i</math>),

<math>\mu</math> — химический потенциал (который равен энергии Ферми <math>E_F</math> при абсолютном нуле температуры),

<math>k</math> — постоянная Больцмана,

<math>T</math> — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур <math>\mu=E_F</math>. В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными <math>g_i=1</math>), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

<math>F(E)=\frac{1}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-E_F}{kT}\right)+1}.</math>

Применение

Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц <math>N/V\geqslant n_q</math> (где <math>n_q</math> — квантовая концентрация).

Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры. Статистика Ферми — Дирака (Ф — Д) применяется к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), статистика Бозе — Эйнштейна (Б — Э) применяется к бозонам. Оба этих распределения становятся распределением Максвелла — Больцмана при высоких температурах и низких концентрациях.

Распределением Максвелла — Больцмана часто описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурация частицы <math>A</math> в состоянии 1 и частицы <math>B</math> в состоянии 2 отличается от конфигурации частицы <math>B</math> в состоянии 1 и частицы <math>A</math> в состоянии 2. Когда эта идея была проработана полностью, оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно, как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы. И Ф — Д, и Б — Э приближаются к статистике Максвелла — Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей. Статистика Максвелла — Больцмана хорошо описывает поведение газов. Ф — Д часто используется для описания электронов в твердых телах, на ней, к примеру, базируются основные положения теории полупроводников в частности и электроники в целом.

Вывод распределения

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Энергия такой частицы равна <math>\varepsilon</math>. Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

<math>Z=\sum_s e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},</math>

где

<math>E(s)</math> — энергия состояния <math>s</math>,

<math>N(s)</math> — число частиц, находящихся в состоянии <math>s</math>,

<math>\mu</math> — химический потенциал,

<math>s</math> — это индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте, система имеет фиксированные состояния. Итак, если какое либо состояние занято <math>n</math> частицами, то энергия системы — <math>n\cdot\varepsilon</math>. Если состояние свободно, то энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся <math>s_1</math> и <math>s_2</math> соответственно. Видно, что <math>E(s_1)=\varepsilon</math>, <math>N(s_1)=1</math>, и <math>E(s_2)=0</math>, <math>N(s_2)=0</math>. Поэтому функция распределения принимает вид:

<math>Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1.</math>

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии <math>s_\alpha</math> вычисляется по формуле

<math>P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha))/kT}}{Z}.</math>

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии <math>s_1</math>, вероятность которого

<math>\bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.</math>

<math>\bar{n}</math> называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры <math>T</math>, <math>\bar{n}(\varepsilon)</math> есть вероятность того, что состояние с энергией <math>\varepsilon</math> будет занято фермионом. Обратите внимание, что <math>\bar{n}</math> является убывающей функцией от <math>\varepsilon</math>. Это соответствует нашим ожиданиям: высокоэнергетические состояния занимаются с меньшей вероятностью.

Обратите внимание, что энергетический уровень <math>\varepsilon</math> имеет вырождение <math>g_\varepsilon</math>. Теперь можно произвести простую модификацию:

<math>\bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.</math>

Это число — ожидаемое число частиц, в суммарном состоянии с энергией <math>\varepsilon</math>.

Для всех температур <math>T</math>, <math>\bar{n}(\mu)=\frac{1}{2}</math>. Это означает, что состояния с энергией <math>\mu</math> всегда будут иметь одинаковую вероятность быть заполненными или свободными.

В пределе <math>T\to 0</math>, <math>\bar{n}</math> становится ступенчатой функцией (см. первый график). Все состояния с энергией меньше химического потенциала <math>\mu</math> будут заняты с вероятностью 1. Состояния с энергией выше химического потенциала <math>\mu</math> будут свободны. Химический потенциал при нулевой температуре — энергия Ферми, обозначается <math>E_F</math>, то есть <math>E_F=\mu(T=0).</math>

Влияние температуры

Необходимо заметить, что химический потенциал зависит от температуры. Однако для систем, имеющих температуру ниже температуры Ферми <math>T_F=\frac{E_F}{k_B}</math>, что часто используется, как аппроксимация, <math>\mu\approx E_F</math>. В реальности же:

<math>\mu=E_F\sum_Шаблон:N=0,1,2\dots{\left[(-1)^n\frac{\pi^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^{2n}\right]}=E_F\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^2+\frac{\pi^4}{80}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^4+\ldots\right].</math>

См. также

• Интеграл Ферми-Дирака
• Статистика Бозе — Эйнштейна
• Статистика Максвелла — Больцмана
• Распределение Максвелла
• Закон Видемана — Франца

Отрывок, характеризующий Статистика Ферми — Дирака

Марья Дмитриевна любила воскресные дни и умела праздновать их. Дом ее бывал весь вымыт и вычищен в субботу; люди и она не работали, все были празднично разряжены, и все бывали у обедни. К господскому обеду прибавлялись кушанья, и людям давалась водка и жареный гусь или поросенок. Но ни на чем во всем доме так не бывал заметен праздник, как на широком, строгом лице Марьи Дмитриевны, в этот день принимавшем неизменяемое выражение торжественности.
Когда напились кофе после обедни, в гостиной с снятыми чехлами, Марье Дмитриевне доложили, что карета готова, и она с строгим видом, одетая в парадную шаль, в которой она делала визиты, поднялась и объявила, что едет к князю Николаю Андреевичу Болконскому, чтобы объясниться с ним насчет Наташи.
После отъезда Марьи Дмитриевны, к Ростовым приехала модистка от мадам Шальме, и Наташа, затворив дверь в соседней с гостиной комнате, очень довольная развлечением, занялась примериваньем новых платьев. В то время как она, надев сметанный на живую нитку еще без рукавов лиф и загибая голову, гляделась в зеркало, как сидит спинка, она услыхала в гостиной оживленные звуки голоса отца и другого, женского голоса, который заставил ее покраснеть. Это был голос Элен. Не успела Наташа снять примериваемый лиф, как дверь отворилась и в комнату вошла графиня Безухая, сияющая добродушной и ласковой улыбкой, в темнолиловом, с высоким воротом, бархатном платье.
– Ah, ma delicieuse! [О, моя прелестная!] – сказала она красневшей Наташе. – Charmante! [Очаровательна!] Нет, это ни на что не похоже, мой милый граф, – сказала она вошедшему за ней Илье Андреичу. – Как жить в Москве и никуда не ездить? Нет, я от вас не отстану! Нынче вечером у меня m lle Georges декламирует и соберутся кое кто; и если вы не привезете своих красавиц, которые лучше m lle Georges, то я вас знать не хочу. Мужа нет, он уехал в Тверь, а то бы я его за вами прислала. Непременно приезжайте, непременно, в девятом часу. – Она кивнула головой знакомой модистке, почтительно присевшей ей, и села на кресло подле зеркала, живописно раскинув складки своего бархатного платья. Она не переставала добродушно и весело болтать, беспрестанно восхищаясь красотой Наташи. Она рассмотрела ее платья и похвалила их, похвалилась и своим новым платьем en gaz metallique, [из газа цвета металла,] которое она получила из Парижа и советовала Наташе сделать такое же.
– Впрочем, вам все идет, моя прелестная, – говорила она.
С лица Наташи не сходила улыбка удовольствия. Она чувствовала себя счастливой и расцветающей под похвалами этой милой графини Безуховой, казавшейся ей прежде такой неприступной и важной дамой, и бывшей теперь такой доброй с нею. Наташе стало весело и она чувствовала себя почти влюбленной в эту такую красивую и такую добродушную женщину. Элен с своей стороны искренно восхищалась Наташей и желала повеселить ее. Анатоль просил ее свести его с Наташей, и для этого она приехала к Ростовым. Мысль свести брата с Наташей забавляла ее.
Несмотря на то, что прежде у нее была досада на Наташу за то, что она в Петербурге отбила у нее Бориса, она теперь и не думала об этом, и всей душой, по своему, желала добра Наташе. Уезжая от Ростовых, она отозвала в сторону свою protegee.
– Вчера брат обедал у меня – мы помирали со смеху – ничего не ест и вздыхает по вас, моя прелесть. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chere. [Он сходит с ума, но сходит с ума от любви к вам, моя милая.]
Наташа багрово покраснела услыхав эти слова.
– Как краснеет, как краснеет, ma delicieuse! [моя прелесть!] – проговорила Элен. – Непременно приезжайте. Si vous aimez quelqu'un, ma delicieuse, ce n'est pas une raison pour se cloitrer. Si meme vous etes promise, je suis sure que votre рromis aurait desire que vous alliez dans le monde en son absence plutot que de deperir d'ennui. [Из того, что вы любите кого нибудь, моя прелестная, никак не следует жить монашенкой. Даже если вы невеста, я уверена, что ваш жених предпочел бы, чтобы вы в его отсутствии выезжали в свет, чем погибали со скуки.]
«Стало быть она знает, что я невеста, стало быть и oни с мужем, с Пьером, с этим справедливым Пьером, думала Наташа, говорили и смеялись про это. Стало быть это ничего». И опять под влиянием Элен то, что прежде представлялось страшным, показалось простым и естественным. «И она такая grande dame, [важная барыня,] такая милая и так видно всей душой любит меня, думала Наташа. И отчего не веселиться?» думала Наташа, удивленными, широко раскрытыми глазами глядя на Элен.
К обеду вернулась Марья Дмитриевна, молчаливая и серьезная, очевидно понесшая поражение у старого князя. Она была еще слишком взволнована от происшедшего столкновения, чтобы быть в силах спокойно рассказать дело. На вопрос графа она отвечала, что всё хорошо и что она завтра расскажет. Узнав о посещении графини Безуховой и приглашении на вечер, Марья Дмитриевна сказала:
– С Безуховой водиться я не люблю и не посоветую; ну, да уж если обещала, поезжай, рассеешься, – прибавила она, обращаясь к Наташе.


Граф Илья Андреич повез своих девиц к графине Безуховой. На вечере было довольно много народу. Но всё общество было почти незнакомо Наташе. Граф Илья Андреич с неудовольствием заметил, что всё это общество состояло преимущественно из мужчин и дам, известных вольностью обращения. M lle Georges, окруженная молодежью, стояла в углу гостиной. Было несколько французов и между ними Метивье, бывший, со времени приезда Элен, домашним человеком у нее. Граф Илья Андреич решился не садиться за карты, не отходить от дочерей и уехать как только кончится представление Georges.
Анатоль очевидно у двери ожидал входа Ростовых. Он, тотчас же поздоровавшись с графом, подошел к Наташе и пошел за ней. Как только Наташа его увидала, тоже как и в театре, чувство тщеславного удовольствия, что она нравится ему и страха от отсутствия нравственных преград между ею и им, охватило ее. Элен радостно приняла Наташу и громко восхищалась ее красотой и туалетом. Вскоре после их приезда, m lle Georges вышла из комнаты, чтобы одеться. В гостиной стали расстанавливать стулья и усаживаться. Анатоль подвинул Наташе стул и хотел сесть подле, но граф, не спускавший глаз с Наташи, сел подле нее. Анатоль сел сзади.
M lle Georges с оголенными, с ямочками, толстыми руками, в красной шали, надетой на одно плечо, вышла в оставленное для нее пустое пространство между кресел и остановилась в ненатуральной позе. Послышался восторженный шопот. M lle Georges строго и мрачно оглянула публику и начала говорить по французски какие то стихи, где речь шла о ее преступной любви к своему сыну. Она местами возвышала голос, местами шептала, торжественно поднимая голову, местами останавливалась и хрипела, выкатывая глаза.
– Adorable, divin, delicieux! [Восхитительно, божественно, чудесно!] – слышалось со всех сторон. Наташа смотрела на толстую Georges, но ничего не слышала, не видела и не понимала ничего из того, что делалось перед ней; она только чувствовала себя опять вполне безвозвратно в том странном, безумном мире, столь далеком от прежнего, в том мире, в котором нельзя было знать, что хорошо, что дурно, что разумно и что безумно. Позади ее сидел Анатоль, и она, чувствуя его близость, испуганно ждала чего то.
После первого монолога всё общество встало и окружило m lle Georges, выражая ей свой восторг.
– Как она хороша! – сказала Наташа отцу, который вместе с другими встал и сквозь толпу подвигался к актрисе.
– Я не нахожу, глядя на вас, – сказал Анатоль, следуя за Наташей. Он сказал это в такое время, когда она одна могла его слышать. – Вы прелестны… с той минуты, как я увидал вас, я не переставал….