Статическая изотропная метрика

Статическая изотропная метрика — это метрика определяющая статическое изотропное гравитационное поле. Частным случаем этой метрики является метрика Шварцшильда, на случай пустого (ничем не заполненного) пространства-времени.

Определение

Под словами статическое и изотропное понимается следующее: всегда можно найти набор координат близких к координатам Минковского <math>x^1 , x^2 , x^3 , x^0 = t</math>, такой что инваринтное собственное время <math>d\tau^2 =-g_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu </math> не зависит от <math>t</math>, а зависит от <math> \mathbf{x}, \mathbf{dx} </math> только через инварианты группы поворотов: <math> \mathbf{x^2}, \mathbf{x}\cdot\mathbf{dx}, \mathbf{dx^2} </math>. Самый общий вид записи интервала: <math>d \tau^2 = F(r)dt^2 - 2E(r)dt\mathbf{x}\cdot\mathbf{dx} - D(r)(\mathbf{x}\cdot\mathbf{dx})^2 - C(r)\mathbf{dx^2},</math>

где <math>F, E, C, D </math> — неизвестные функции величины <math> r \equiv ( \mathbf{x}\cdot\mathbf{x} )^{1/2}</math>

Сведение к стандартному виду

Выгодно заменить <math>\mathbf{x}</math> сферическими полярными координатами <math>r,\theta,\phi </math>:

<math>x^1 = r \sin \theta \cos \varphi\,;</math>

<math>x^2 = r \sin \theta \sin \varphi\, ;</math>

<math>x^3 = r \cos\varphi\, .</math>

Интервал в таком случае примет вид:

<math>d \tau^2 = F(r)dt^2 - 2rE(r)dtdr - r^2 D(r)dr^2 - C(r)(dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2)</math>,

Мы можем установить наши часы по определению новой временной координаты

<math>t' \equiv t + \Phi (r)</math>

где <math>\Phi (r)</math> — произвольная функция от <math>r</math>. Это позволяет исключить недиагональных элемент <math>g_{tr}</math>, положив

<math>\frac{d\Phi}{dr} = - \frac{rE(r)}{F(r)}</math>

Тогда интервал выражается так:

<math>d \tau^2 = F(r)dt'^2 - r^2 G(r)dr^2 - C(r)(dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2)</math>

<math>G(r)\equiv r^2 \left (D(r)+ \frac{E^2(r)}{F(r)} \right)</math>

Мы можем переопределить радиус <math>r</math> и, тем самым, наложить ещё одно условие на функции <math>F,G,C</math>, например следующим образом <math>r' \equiv r^2C(r)</math> . Тогда мы получим так называемую стандартную форму для статической изотропной метрики:

<math>d \tau^2 = B(r')dt'^2 - A(r')dr'^2 - r'^2(d\theta^2 +\sin^2\theta d\varphi^2)</math>

где

<math>B(r)\equiv F(r')</math>

<math>A(r)\equiv (1 + \frac{G(r)}{C(r)})\left( 1 + \frac{r}{2C(r)} \frac{dC(r)}{dr} \right)^{-2}.</math>

После последнего преобразования метрический тензор имеет следующие ненулевые компоненты:

<math>g_{rr}=A(r)</math>

<math>g_{\theta \theta}=r^2</math>

<math>g_{\phi \phi}=r^2 sin^2\theta </math>

<math>g_{tt}=-B(r)</math>

Где функции <math>A(r)</math> і <math>B(r)</math> должны быть определении путём решения уравнений поля. Так как <math>g_{\mu \nu}</math> — диагональный тензор, легко написать ненулевые компоненты тензора, обратного к нему:

<math>g^{rr}=A^{-1}(r)</math>

<math>g^{\theta \theta}=r^{-2}</math>

<math>g^{\phi \phi}=r^{-2} sin^{-2}\theta </math>

<math>g^{tt}=-B^{-1}(r)</math>

Символы Кристоффеля и тензор Риччи

Аффинная связность может быть вычислена по обычной формуле:

<math> \Gamma^s_{ij} = {1 \over 2} \, g^{sk} \left ( \partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ki} - \partial_k g_{ij} \right )</math>

Её ненулевые компоненты оказываются равными:

<math> \Gamma^r_{rr} = \frac{1}{2A(r)}\frac{dA(r)}{dx}</math>,

<math> \Gamma^r_{\phi \phi} = - \frac{rsin^2\theta}{A(r)}</math>,

<math> \Gamma^\theta_{r \theta} = \Gamma^\theta_{\theta r} = \frac{1}{r}</math>,

<math> \Gamma^\phi_{r \phi} = \Gamma^\phi_{\phi r} = \frac{1}{r}</math>,

<math> \Gamma^r_{\theta \theta} = - \frac{r}{A(r)}</math>,

<math> \Gamma^r_{tt} = \frac{1}{2A(r)}\frac{dB(r)}{dx}</math>,

<math> \Gamma^\theta_{\phi \phi} = -sin\theta cos\theta</math>,

<math> \Gamma^\phi_{\theta \phi} = \Gamma^\phi_{\phi \theta} = ctg\theta </math>,

<math> \Gamma^t_{tr} = \Gamma^t_{rt} = \frac{1}{2B(r)}\frac{dB(r)}{dx}</math>,

Вычислим также тензор Риччи . Он задаетсья формуле

<math>

R_{\sigma\nu} = {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} = {\partial_\rho \Gamma^\rho_{\nu\sigma}} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\rho\sigma} + \Gamma^\rho_{\rho\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\sigma} .</math>

Подставляя ранее полученные компоненты аффинной связности получим:

<math>R_{rr} = \frac{B(r)}{2B(r)} - \frac{1}{4} \frac{B'(r)}{B(r)} \left (\frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) - \frac{1}{r} \frac{A'(r)}{A(r)}</math>,

<math>R_{\theta \theta} = -1 + \frac{r}{2A(r)} \left ( - \frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) + \frac{1}{A(r)}</math>,

<math>R_{\phi \phi} = sin^2 \theta R_{\theta \theta}</math>,

<math>R_{tt} = \frac{B(r)}{2A(r)} - \frac{1}{4} \frac{B'(r)}{A(r)} \left (\frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) - \frac{1}{r} \frac{B'(r)}{A(r)}</math>,

(Штрих теперь означает дифференцирование по <math>r</math>).Вывод о том, что <math>R_{\theta r}, R_{\theta \phi}, R_{\phi r}, R_{\phi t}, R_{\theta t}</math> исчезают и о том что <math>R_{\phi \phi} = sin^2R_{\theta \theta}</math> является следствием инвариантности метрики ртносительно поворотов. Равенство нулю <math>R_{tr}</math> связано с тем, что мы установили наши часы так что метрика оказалась инвариантина относительно обращения времени <math>t \leftrightarrow -t</math>.

Отрывок, характеризующий Статическая изотропная метрика

Анна Михайловна, часто ездившая к Карагиным, составляя партию матери, между тем наводила верные справки о том, что отдавалось за Жюли (отдавались оба пензенские именья и нижегородские леса). Анна Михайловна, с преданностью воле провидения и умилением, смотрела на утонченную печаль, которая связывала ее сына с богатой Жюли.
– Toujours charmante et melancolique, cette chere Julieie, [Она все так же прелестна и меланхолична, эта милая Жюли.] – говорила она дочери. – Борис говорит, что он отдыхает душой в вашем доме. Он так много понес разочарований и так чувствителен, – говорила она матери.
– Ах, мой друг, как я привязалась к Жюли последнее время, – говорила она сыну, – не могу тебе описать! Да и кто может не любить ее? Это такое неземное существо! Ах, Борис, Борис! – Она замолкала на минуту. – И как мне жалко ее maman, – продолжала она, – нынче она показывала мне отчеты и письма из Пензы (у них огромное имение) и она бедная всё сама одна: ее так обманывают!
Борис чуть заметно улыбался, слушая мать. Он кротко смеялся над ее простодушной хитростью, но выслушивал и иногда выспрашивал ее внимательно о пензенских и нижегородских имениях.
Жюли уже давно ожидала предложенья от своего меланхолического обожателя и готова была принять его; но какое то тайное чувство отвращения к ней, к ее страстному желанию выйти замуж, к ее ненатуральности, и чувство ужаса перед отречением от возможности настоящей любви еще останавливало Бориса. Срок его отпуска уже кончался. Целые дни и каждый божий день он проводил у Карагиных, и каждый день, рассуждая сам с собою, Борис говорил себе, что он завтра сделает предложение. Но в присутствии Жюли, глядя на ее красное лицо и подбородок, почти всегда осыпанный пудрой, на ее влажные глаза и на выражение лица, изъявлявшего всегдашнюю готовность из меланхолии тотчас же перейти к неестественному восторгу супружеского счастия, Борис не мог произнести решительного слова: несмотря на то, что он уже давно в воображении своем считал себя обладателем пензенских и нижегородских имений и распределял употребление с них доходов. Жюли видела нерешительность Бориса и иногда ей приходила мысль, что она противна ему; но тотчас же женское самообольщение представляло ей утешение, и она говорила себе, что он застенчив только от любви. Меланхолия ее однако начинала переходить в раздражительность, и не задолго перед отъездом Бориса, она предприняла решительный план. В то самое время как кончался срок отпуска Бориса, в Москве и, само собой разумеется, в гостиной Карагиных, появился Анатоль Курагин, и Жюли, неожиданно оставив меланхолию, стала очень весела и внимательна к Курагину.
– Mon cher, – сказала Анна Михайловна сыну, – je sais de bonne source que le Prince Basile envoie son fils a Moscou pour lui faire epouser Julieie. [Мой милый, я знаю из верных источников, что князь Василий присылает своего сына в Москву, для того чтобы женить его на Жюли.] Я так люблю Жюли, что мне жалко бы было ее. Как ты думаешь, мой друг? – сказала Анна Михайловна.
Мысль остаться в дураках и даром потерять весь этот месяц тяжелой меланхолической службы при Жюли и видеть все расписанные уже и употребленные как следует в его воображении доходы с пензенских имений в руках другого – в особенности в руках глупого Анатоля, оскорбляла Бориса. Он поехал к Карагиным с твердым намерением сделать предложение. Жюли встретила его с веселым и беззаботным видом, небрежно рассказывала о том, как ей весело было на вчерашнем бале, и спрашивала, когда он едет. Несмотря на то, что Борис приехал с намерением говорить о своей любви и потому намеревался быть нежным, он раздражительно начал говорить о женском непостоянстве: о том, как женщины легко могут переходить от грусти к радости и что у них расположение духа зависит только от того, кто за ними ухаживает. Жюли оскорбилась и сказала, что это правда, что для женщины нужно разнообразие, что всё одно и то же надоест каждому.