Степенной ряд

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

<math>F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,</math>

в котором коэффициенты <math>{a_n}</math> берутся из некоторого кольца <math>{R}</math>.

Пространство степенных рядов

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из <math>{R}</math> обозначается <math>RX</math>. Пространство <math>RX</math> имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом <math>{R}</math> (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо <math>{R}</math>). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В <math>RX</math> определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

<math>F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.</math>

Тогда:

<math>H = F + G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = a_n + b_n</math>

<math>H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l</math>

<math>H = F \circ G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s}</math> (при этом необходимо, чтобы соблюдалось <math>b_0=0</math>)

<math>H = F' \Leftrightarrow \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}</math>

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путём приписывания формальной переменной <math>{X}</math> какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

• Первая теорема Абеля: Пусть ряд <math>\Sigma \,a_n x^n</math> сходится в точке <math>{x_0}</math>. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге <math>{|x|<|x_0|}</math> и равномерно по <math>{x}</math> на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при <math>{x=x_0}</math>, он расходится при всех <math>{x}</math>, таких что <math>{|x|>|x_0|}</math>. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга <math>{R}</math> (возможно, нулевой или бесконечный), что при <math>{|x|<R}</math> ряд сходится абсолютно (и равномерно по <math>x</math> на компактных подмножествах круга <math>{|x|<R}</math>), а при <math>{|x|>R}</math> — расходится. Это значение <math>R</math> называется радиусом сходимости ряда, а круг <math>{|x|<R}</math> — кругом сходимости.

• Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:

<math> {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}</math>

(По поводу определения верхнего предела <math>\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}</math> см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть <math>F(x)</math> и <math>G(x)</math> — два степенных ряда с радиусами сходимости <math>{R_F}</math> и <math>{R_G}</math>. Тогда

<math>R_{F+G} \ge \min \{R_F,\, R_G\}</math>

<math>R_{F\cdot G} \ge \min \{R_F, R_G\}</math>

<math>R_{F'}\, = \,R_F</math>

Если у ряда <math>G(x)</math> свободный член нулевой, тогда

<math>R_{F\circ G} \ge {R_F \over {R_F+1}}R_G</math>

Вопрос о сходимости ряда в точках границы <math>{|x|=R}</math> круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

• Признак Д’Аламбера: Если при <math>n>N</math> и <math>\alpha>1</math> выполнено неравенство

<math>\left| {a_n \over a_{n+1}} \right|\ge R \left(1 + {\alpha \over n}\right)</math>

тогда степенной ряд <math>\Sigma \,a_n x^n</math> сходится во всех точках окружности <math>{|x|=R}</math> абсолютно и равномерно по <math>x</math>.

• Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда <math>\Sigma \,a_n x^n</math> положительны и последовательность <math>a_n</math> монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности <math>{|x|=1}</math>, кроме, быть может, точки <math>{x=1}</math>.

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра <math>x</math> является предметом изучения теории аналитических функций.

См.также

• Круг сходимости
• Теорема Адамара о степенном ряде

Вариации и обобщения

Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:

<math>F(X_1,X_2,\dots,X_n) = \sum\limits_{k_1,k_2,\dots,k_n=0}^{+\infty} a_{k_1,k_2,\dots,k_n}X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}</math>

или, в мультииндексных обозначениях,

<math>F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha},</math>

где <math>X</math> — это вектор <math>X=(X_1,X_2,\dots,X_n)</math>, <math>\alpha</math> — мультииндекс <math>\alpha = (k_1, k_2, \dots, k_n)</math>, <math>X^{\alpha}</math> — одночлен <math>X^{\alpha} = X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}</math>. Пространство степенных рядов от <math>n</math> переменных и коэффициентами из <math>R</math> обозначается <math>RX_1,X_2,\dots,X_n</math>. В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и <math>n</math>-местной суперпозиции. Пусть

<math>F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha}, G(X) = \sum\limits_{\alpha} b_{\alpha}X^{\alpha}, H(X) = \sum\limits_{\alpha}c_{\alpha}X^{\alpha}.</math>

Тогда:

<math>H = F + G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = a_{\alpha} + b_{\alpha}</math>

<math>H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = \sum\limits_{\beta+\gamma=\alpha} a_{\beta} b_{\gamma}</math>

<math>H = {\partial F \over \partial X_i} \Leftrightarrow \forall (k_1, k_2, \dots, k_n) \, c_{k_1, k_2, \dots, k_n} = (k_i+1)a_{(k_1, k_2, \dots, k_i+1, \dots, k_n)}</math>

Про пространство <math>RX_1,X_2,\dots,X_n</math> можно сказать практически то же самое, что и про <math>RX</math>.

См.также

• Ряд Пюизё
• Теорема Харди — Литтлвуда

Отрывок, характеризующий Степенной ряд

Сказав дочери, что она заблуждается, что Анатоль намерен ухаживать за Bourienne, старый князь знал, что он раздражит самолюбие княжны Марьи, и его дело (желание не разлучаться с дочерью) будет выиграно, и потому успокоился на этом. Он кликнул Тихона и стал раздеваться.
«И чорт их принес! – думал он в то время, как Тихон накрывал ночной рубашкой его сухое, старческое тело, обросшее на груди седыми волосами. – Я их не звал. Приехали расстраивать мою жизнь. И немного ее осталось».
– К чорту! – проговорил он в то время, как голова его еще была покрыта рубашкой.
Тихон знал привычку князя иногда вслух выражать свои мысли, а потому с неизменным лицом встретил вопросительно сердитый взгляд лица, появившегося из под рубашки.
– Легли? – спросил князь.
Тихон, как и все хорошие лакеи, знал чутьем направление мыслей барина. Он угадал, что спрашивали о князе Василье с сыном.
– Изволили лечь и огонь потушили, ваше сиятельство.
– Не за чем, не за чем… – быстро проговорил князь и, всунув ноги в туфли и руки в халат, пошел к дивану, на котором он спал.
Несмотря на то, что между Анатолем и m lle Bourienne ничего не было сказано, они совершенно поняли друг друга в отношении первой части романа, до появления pauvre mere, поняли, что им нужно много сказать друг другу тайно, и потому с утра они искали случая увидаться наедине. В то время как княжна прошла в обычный час к отцу, m lle Bourienne сошлась с Анатолем в зимнем саду.
Княжна Марья подходила в этот день с особенным трепетом к двери кабинета. Ей казалось, что не только все знают, что нынче совершится решение ее судьбы, но что и знают то, что она об этом думает. Она читала это выражение в лице Тихона и в лице камердинера князя Василья, который с горячей водой встретился в коридоре и низко поклонился ей.
Старый князь в это утро был чрезвычайно ласков и старателен в своем обращении с дочерью. Это выражение старательности хорошо знала княжна Марья. Это было то выражение, которое бывало на его лице в те минуты, когда сухие руки его сжимались в кулак от досады за то, что княжна Марья не понимала арифметической задачи, и он, вставая, отходил от нее и тихим голосом повторял несколько раз одни и те же слова.
Он тотчас же приступил к делу и начал разговор, говоря «вы».
– Мне сделали пропозицию насчет вас, – сказал он, неестественно улыбаясь. – Вы, я думаю, догадались, – продолжал он, – что князь Василий приехал сюда и привез с собой своего воспитанника (почему то князь Николай Андреич называл Анатоля воспитанником) не для моих прекрасных глаз. Мне вчера сделали пропозицию насчет вас. А так как вы знаете мои правила, я отнесся к вам.
– Как мне вас понимать, mon pere? – проговорила княжна, бледнея и краснея.
– Как понимать! – сердито крикнул отец. – Князь Василий находит тебя по своему вкусу для невестки и делает тебе пропозицию за своего воспитанника. Вот как понимать. Как понимать?!… А я у тебя спрашиваю.
– Я не знаю, как вы, mon pere, – шопотом проговорила княжна.
– Я? я? что ж я то? меня то оставьте в стороне. Не я пойду замуж. Что вы? вот это желательно знать.
Княжна видела, что отец недоброжелательно смотрел на это дело, но ей в ту же минуту пришла мысль, что теперь или никогда решится судьба ее жизни. Она опустила глаза, чтобы не видеть взгляда, под влиянием которого она чувствовала, что не могла думать, а могла по привычке только повиноваться, и сказала:
– Я желаю только одного – исполнить вашу волю, – сказала она, – но ежели бы мое желание нужно было выразить…
Она не успела договорить. Князь перебил ее.
– И прекрасно, – закричал он. – Он тебя возьмет с приданным, да кстати захватит m lle Bourienne. Та будет женой, а ты…
Князь остановился. Он заметил впечатление, произведенное этими словами на дочь. Она опустила голову и собиралась плакать.
– Ну, ну, шучу, шучу, – сказал он. – Помни одно, княжна: я держусь тех правил, что девица имеет полное право выбирать. И даю тебе свободу. Помни одно: от твоего решения зависит счастье жизни твоей. Обо мне нечего говорить.
– Да я не знаю… mon pere.
– Нечего говорить! Ему велят, он не только на тебе, на ком хочешь женится; а ты свободна выбирать… Поди к себе, обдумай и через час приди ко мне и при нем скажи: да или нет. Я знаю, ты станешь молиться. Ну, пожалуй, молись. Только лучше подумай. Ступай. Да или нет, да или нет, да или нет! – кричал он еще в то время, как княжна, как в тумане, шатаясь, уже вышла из кабинета.
Судьба ее решилась и решилась счастливо. Но что отец сказал о m lle Bourienne, – этот намек был ужасен. Неправда, положим, но всё таки это было ужасно, она не могла не думать об этом. Она шла прямо перед собой через зимний сад, ничего не видя и не слыша, как вдруг знакомый шопот m lle Bourienne разбудил ее. Она подняла глаза и в двух шагах от себя увидала Анатоля, который обнимал француженку и что то шептал ей. Анатоль с страшным выражением на красивом лице оглянулся на княжну Марью и не выпустил в первую секунду талию m lle Bourienne, которая не видала ее.
«Кто тут? Зачем? Подождите!» как будто говорило лицо Анатоля. Княжна Марья молча глядела на них. Она не могла понять этого. Наконец, m lle Bourienne вскрикнула и убежала, а Анатоль с веселой улыбкой поклонился княжне Марье, как будто приглашая ее посмеяться над этим странным случаем, и, пожав плечами, прошел в дверь, ведшую на его половину.