Случайный процесс

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство <math>(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})</math>. Параметризованное семейство <math>\{X_t\}_{t\in T}</math> случайных величин

<math>X_t(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb{R},\quad t \in T</math>,

где <math>T</math> произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология

• Если <math>T \subset \mathbb{R}</math>, то параметр <math>t \in T</math> может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция <math>\{X_t\}</math> называется случайным процессом. Если множество <math>T</math> дискретно, например <math> T \subset \mathbb{N}</math>, то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

• Если <math>T \subset \mathbb{R}^n</math>, где <math>n \geqslant 1</math>, то параметр <math> t \in T</math> может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация

• Случайный процесс <math>X(t)</math> называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени <math>\;t_1, t_2, \ldots</math>, число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени <math>\;t_1, t_2, \ldots, t_n</math>, но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом.
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора <math>t_1, t_2, \ldots, t_n</math>, где <math>n>2</math>, а <math>t_1<t_2<\ldots<t_n</math>, случайные величины <math>(X_{t_2}-X_{t_1})</math>, <math>(X_{t_3}-X_{t_2})</math>, <math>\ldots</math>, <math>(X_{t_n}-X_{t_{n-1}})</math> независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.

Траектория случайного процесса

Пусть дан случайный процесс <math>\{X_t\}_{t \in T}</math>. Тогда для каждого фиксированного <math>t\in T</math> <math>X_t</math> — случайная величина, называемая сечением. Если фиксирован элементарный исход <math>\omega \in \Omega</math>, то <math>X_t\colon T \to \mathbb{R}</math> — детерминированная функция параметра <math>t</math>. Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции <math>\{X_t\}</math>.

Примеры

• <math>\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, где <math>\;X_i \sim \mathrm{N}(0,1)</math> называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
• Пусть <math>f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, и <math>Y</math> — случайная величина. Тогда

<math>X_t(\omega) = f(t) \cdot Y(\omega)</math>

является случайным процессом.

См. также

• Случайная величина
• Цепь Маркова
• Марковский процесс
• Немарковский процесс

Источники

• А. А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
• С. И. Баскаков. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.

Отрывок, характеризующий Случайный процесс

В октябре 1805 года русские войска занимали села и города эрцгерцогства Австрийского, и еще новые полки приходили из России и, отягощая постоем жителей, располагались у крепости Браунау. В Браунау была главная квартира главнокомандующего Кутузова.
11 го октября 1805 года один из только что пришедших к Браунау пехотных полков, ожидая смотра главнокомандующего, стоял в полумиле от города. Несмотря на нерусскую местность и обстановку (фруктовые сады, каменные ограды, черепичные крыши, горы, видневшиеся вдали), на нерусский народ, c любопытством смотревший на солдат, полк имел точно такой же вид, какой имел всякий русский полк, готовившийся к смотру где нибудь в середине России.
С вечера, на последнем переходе, был получен приказ, что главнокомандующий будет смотреть полк на походе. Хотя слова приказа и показались неясны полковому командиру, и возник вопрос, как разуметь слова приказа: в походной форме или нет? в совете батальонных командиров было решено представить полк в парадной форме на том основании, что всегда лучше перекланяться, чем не докланяться. И солдаты, после тридцативерстного перехода, не смыкали глаз, всю ночь чинились, чистились; адъютанты и ротные рассчитывали, отчисляли; и к утру полк, вместо растянутой беспорядочной толпы, какою он был накануне на последнем переходе, представлял стройную массу 2 000 людей, из которых каждый знал свое место, свое дело и из которых на каждом каждая пуговка и ремешок были на своем месте и блестели чистотой. Не только наружное было исправно, но ежели бы угодно было главнокомандующему заглянуть под мундиры, то на каждом он увидел бы одинаково чистую рубаху и в каждом ранце нашел бы узаконенное число вещей, «шильце и мыльце», как говорят солдаты. Было только одно обстоятельство, насчет которого никто не мог быть спокоен. Это была обувь. Больше чем у половины людей сапоги были разбиты. Но недостаток этот происходил не от вины полкового командира, так как, несмотря на неоднократные требования, ему не был отпущен товар от австрийского ведомства, а полк прошел тысячу верст.
Полковой командир был пожилой, сангвинический, с седеющими бровями и бакенбардами генерал, плотный и широкий больше от груди к спине, чем от одного плеча к другому. На нем был новый, с иголочки, со слежавшимися складками мундир и густые золотые эполеты, которые как будто не книзу, а кверху поднимали его тучные плечи. Полковой командир имел вид человека, счастливо совершающего одно из самых торжественных дел жизни. Он похаживал перед фронтом и, похаживая, подрагивал на каждом шагу, слегка изгибаясь спиною. Видно, было, что полковой командир любуется своим полком, счастлив им, что все его силы душевные заняты только полком; но, несмотря на то, его подрагивающая походка как будто говорила, что, кроме военных интересов, в душе его немалое место занимают и интересы общественного быта и женский пол.
– Ну, батюшка Михайло Митрич, – обратился он к одному батальонному командиру (батальонный командир улыбаясь подался вперед; видно было, что они были счастливы), – досталось на орехи нынче ночью. Однако, кажется, ничего, полк не из дурных… А?
Батальонный командир понял веселую иронию и засмеялся.
– И на Царицыном лугу с поля бы не прогнали.
– Что? – сказал командир.
В это время по дороге из города, по которой расставлены были махальные, показались два верховые. Это были адъютант и казак, ехавший сзади.
Адъютант был прислан из главного штаба подтвердить полковому командиру то, что было сказано неясно во вчерашнем приказе, а именно то, что главнокомандующий желал видеть полк совершенно в том положении, в котором oн шел – в шинелях, в чехлах и без всяких приготовлений.
К Кутузову накануне прибыл член гофкригсрата из Вены, с предложениями и требованиями итти как можно скорее на соединение с армией эрцгерцога Фердинанда и Мака, и Кутузов, не считая выгодным это соединение, в числе прочих доказательств в пользу своего мнения намеревался показать австрийскому генералу то печальное положение, в котором приходили войска из России. С этою целью он и хотел выехать навстречу полку, так что, чем хуже было бы положение полка, тем приятнее было бы это главнокомандующему. Хотя адъютант и не знал этих подробностей, однако он передал полковому командиру непременное требование главнокомандующего, чтобы люди были в шинелях и чехлах, и что в противном случае главнокомандующий будет недоволен. Выслушав эти слова, полковой командир опустил голову, молча вздернул плечами и сангвиническим жестом развел руки.
– Наделали дела! – проговорил он. – Вот я вам говорил же, Михайло Митрич, что на походе, так в шинелях, – обратился он с упреком к батальонному командиру. – Ах, мой Бог! – прибавил он и решительно выступил вперед. – Господа ротные командиры! – крикнул он голосом, привычным к команде. – Фельдфебелей!… Скоро ли пожалуют? – обратился он к приехавшему адъютанту с выражением почтительной учтивости, видимо относившейся к лицу, про которое он говорил.