Стоячая волна
Стоя́чая волна́ — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует[1].
Стоячая волна (электромагнитная) — периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отраженной волн[2].
Стоячая волна — колебательный (волновой) процесс в распределённых колебательных системах с характерным устойчивым в пространстве расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Такой колебательный процесс возникает при интерференции нескольких когерентных волн.
Например, стоячая волна возникает при отражении волны от преград и неоднородностей в результате взаимодействия (интерференции) падающей и отражённой волн. На результат интерференции влияют частота колебаний, модуль и фаза коэффициента отражения, направления распространения падающей и отраженной волн друг относительно друга, изменение или сохранение поляризации волн при отражении, коэффициент затухания волн в среде распространения. Строго говоря, стоячая волна может существовать только при отсутствии потерь в среде распространения (или в активной среде) и полном отражении падающей волны. В реальной же среде наблюдается режим смешанных волн, поскольку всегда присутствует перенос энергии к местам поглощения и излучения. Если при падении волны происходит её полное поглощение, то отраженная волна отсутствует, интерференции волн нет, амплитуда волнового процесса в пространстве постоянна. Такой волновой процесс называют бегущей волной.
Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе[3]; в природе — волны Шумана. Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.
- Drum vibration mode01.gif
Двумерная стоячая волна на упругом диске. Основная мода.
- Drum vibration mode21.gif
Более высокая мода стоячей волны на упругом диске.
В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:
- <math> u = u_0 \cos kx \cos(\omega t - \varphi) </math>,
где u — возмущения в точке х в момент времени t, <math>u_0</math> — амплитуда стоячей волны, <math> \omega </math> — частота , k — волновой вектор, <math> \varphi </math> — фаза.
Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.
Содержание
Моды
Стоячие волны возникают в резонаторах. Конечные размеры резонатора накладывают дополнительные условия на существование таких волн. В частности, для систем конечных размеров волновой вектор (а, следовательно, длина волны) может принимать лишь определенные дискретные значения. Колебания с определенными значениями волнового вектора называются модами.
Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны.
Математическое описание стоячих волн
В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую же амплитуду и частоту, как и падающая волна.
Рассмотрим падающую и отраженную волны в виде:
- <math>y_1\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)</math>
- <math>y_2\; =\; y_0\, \sin(kx + \omega t)</math>
где:
- y0 — амплитуда волны,
- <math>\omega </math> — циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,
- k — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как <math>2\pi </math> поделённое на длину волны <math>\lambda </math>,
- x и t — переменные для обозначения длины и времени.
Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y будет в виде суммы y1 и y2:
- <math>y\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)\; +\; y_0\, \sin(kx + \omega t).</math>
Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:
- <math>y\; =\; 2\, y_0\, \cos(\omega t)\; \sin(kx).</math>
Если рассматривать моды <math>x = 0, \lambda /2, 3\lambda /2,... </math> и антимоды <math>x = \lambda /4, 3\lambda /4, 5\lambda /4,...</math>, то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны <math>\lambda /2</math>.
Волновое уравнение
Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера)
- <math display="block">\left (\nabla^2 - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right )u = 0</math>
необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).
В общем случае неоднородного дифференциального уравнения
- <math display="block"> \left (\nabla^2 - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2} \right) u = f_0 u </math>,
где <math>f_0</math> — выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определенной точке струны, стоячая волна возникает автоматически.
См. также
Напишите отзыв о статье "Стоячая волна"
Примечания
Ссылки
- Джо Вулфи «Струны, стоячие волны и гармоники»
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи по физике желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Стоячая волна
Тут князь Ипполит фыркнул и захохотал гораздо прежде своих слушателей, что произвело невыгодное для рассказчика впечатление. Однако многие, и в том числе пожилая дама и Анна Павловна, улыбнулись.– Она поехала. Незапно сделался сильный ветер. Девушка потеряла шляпа, и длинны волоса расчесались…
Тут он не мог уже более держаться и стал отрывисто смеяться и сквозь этот смех проговорил:
– И весь свет узнал…
Тем анекдот и кончился. Хотя и непонятно было, для чего он его рассказывает и для чего его надо было рассказать непременно по русски, однако Анна Павловна и другие оценили светскую любезность князя Ипполита, так приятно закончившего неприятную и нелюбезную выходку мсье Пьера. Разговор после анекдота рассыпался на мелкие, незначительные толки о будущем и прошедшем бале, спектакле, о том, когда и где кто увидится.
Поблагодарив Анну Павловну за ее charmante soiree, [очаровательный вечер,] гости стали расходиться.
Пьер был неуклюж. Толстый, выше обыкновенного роста, широкий, с огромными красными руками, он, как говорится, не умел войти в салон и еще менее умел из него выйти, то есть перед выходом сказать что нибудь особенно приятное. Кроме того, он был рассеян. Вставая, он вместо своей шляпы захватил трехугольную шляпу с генеральским плюмажем и держал ее, дергая султан, до тех пор, пока генерал не попросил возвратить ее. Но вся его рассеянность и неуменье войти в салон и говорить в нем выкупались выражением добродушия, простоты и скромности. Анна Павловна повернулась к нему и, с христианскою кротостью выражая прощение за его выходку, кивнула ему и сказала:
– Надеюсь увидать вас еще, но надеюсь тоже, что вы перемените свои мнения, мой милый мсье Пьер, – сказала она.
Когда она сказала ему это, он ничего не ответил, только наклонился и показал всем еще раз свою улыбку, которая ничего не говорила, разве только вот что: «Мнения мнениями, а вы видите, какой я добрый и славный малый». И все, и Анна Павловна невольно почувствовали это.
Князь Андрей вышел в переднюю и, подставив плечи лакею, накидывавшему ему плащ, равнодушно прислушивался к болтовне своей жены с князем Ипполитом, вышедшим тоже в переднюю. Князь Ипполит стоял возле хорошенькой беременной княгини и упорно смотрел прямо на нее в лорнет.
– Идите, Annette, вы простудитесь, – говорила маленькая княгиня, прощаясь с Анной Павловной. – C'est arrete, [Решено,] – прибавила она тихо.
Анна Павловна уже успела переговорить с Лизой о сватовстве, которое она затевала между Анатолем и золовкой маленькой княгини.
– Я надеюсь на вас, милый друг, – сказала Анна Павловна тоже тихо, – вы напишете к ней и скажете мне, comment le pere envisagera la chose. Au revoir, [Как отец посмотрит на дело. До свидания,] – и она ушла из передней.
Князь Ипполит подошел к маленькой княгине и, близко наклоняя к ней свое лицо, стал полушопотом что то говорить ей.
Два лакея, один княгинин, другой его, дожидаясь, когда они кончат говорить, стояли с шалью и рединготом и слушали их, непонятный им, французский говор с такими лицами, как будто они понимали, что говорится, но не хотели показывать этого. Княгиня, как всегда, говорила улыбаясь и слушала смеясь.
– Я очень рад, что не поехал к посланнику, – говорил князь Ипполит: – скука… Прекрасный вечер, не правда ли, прекрасный?
– Говорят, что бал будет очень хорош, – отвечала княгиня, вздергивая с усиками губку. – Все красивые женщины общества будут там.
– Не все, потому что вас там не будет; не все, – сказал князь Ипполит, радостно смеясь, и, схватив шаль у лакея, даже толкнул его и стал надевать ее на княгиню.
От неловкости или умышленно (никто бы не мог разобрать этого) он долго не опускал рук, когда шаль уже была надета, и как будто обнимал молодую женщину.
Она грациозно, но всё улыбаясь, отстранилась, повернулась и взглянула на мужа. У князя Андрея глаза были закрыты: так он казался усталым и сонным.
– Вы готовы? – спросил он жену, обходя ее взглядом.
Князь Ипполит торопливо надел свой редингот, который у него, по новому, был длиннее пяток, и, путаясь в нем, побежал на крыльцо за княгиней, которую лакей подсаживал в карету.
– Рrincesse, au revoir, [Княгиня, до свиданья,] – кричал он, путаясь языком так же, как и ногами.
Княгиня, подбирая платье, садилась в темноте кареты; муж ее оправлял саблю; князь Ипполит, под предлогом прислуживания, мешал всем.
– Па звольте, сударь, – сухо неприятно обратился князь Андрей по русски к князю Ипполиту, мешавшему ему пройти.
– Я тебя жду, Пьер, – ласково и нежно проговорил тот же голос князя Андрея.
Форейтор тронулся, и карета загремела колесами. Князь Ипполит смеялся отрывисто, стоя на крыльце и дожидаясь виконта, которого он обещал довезти до дому.
– Eh bien, mon cher, votre petite princesse est tres bien, tres bien, – сказал виконт, усевшись в карету с Ипполитом. – Mais tres bien. – Он поцеловал кончики своих пальцев. – Et tout a fait francaise. [Ну, мой дорогой, ваша маленькая княгиня очень мила! Очень мила и совершенная француженка.]
Ипполит, фыркнув, засмеялся.
– Et savez vous que vous etes terrible avec votre petit air innocent, – продолжал виконт. – Je plains le pauvre Mariei, ce petit officier, qui se donne des airs de prince regnant.. [А знаете ли, вы ужасный человек, несмотря на ваш невинный вид. Мне жаль бедного мужа, этого офицерика, который корчит из себя владетельную особу.]
Ипполит фыркнул еще и сквозь смех проговорил:
– Et vous disiez, que les dames russes ne valaient pas les dames francaises. Il faut savoir s'y prendre. [А вы говорили, что русские дамы хуже французских. Надо уметь взяться.]
Пьер, приехав вперед, как домашний человек, прошел в кабинет князя Андрея и тотчас же, по привычке, лег на диван, взял первую попавшуюся с полки книгу (это были Записки Цезаря) и принялся, облокотившись, читать ее из середины.
– Что ты сделал с m lle Шерер? Она теперь совсем заболеет, – сказал, входя в кабинет, князь Андрей и потирая маленькие, белые ручки.
Пьер поворотился всем телом, так что диван заскрипел, обернул оживленное лицо к князю Андрею, улыбнулся и махнул рукой.
– Нет, этот аббат очень интересен, но только не так понимает дело… По моему, вечный мир возможен, но я не умею, как это сказать… Но только не политическим равновесием…
Князь Андрей не интересовался, видимо, этими отвлеченными разговорами.
– Нельзя, mon cher, [мой милый,] везде всё говорить, что только думаешь. Ну, что ж, ты решился, наконец, на что нибудь? Кавалергард ты будешь или дипломат? – спросил князь Андрей после минутного молчания.
Пьер сел на диван, поджав под себя ноги.
– Можете себе представить, я всё еще не знаю. Ни то, ни другое мне не нравится.
– Но ведь надо на что нибудь решиться? Отец твой ждет.
Пьер с десятилетнего возраста был послан с гувернером аббатом за границу, где он пробыл до двадцатилетнего возраста. Когда он вернулся в Москву, отец отпустил аббата и сказал молодому человеку: «Теперь ты поезжай в Петербург, осмотрись и выбирай. Я на всё согласен. Вот тебе письмо к князю Василью, и вот тебе деньги. Пиши обо всем, я тебе во всем помога». Пьер уже три месяца выбирал карьеру и ничего не делал. Про этот выбор и говорил ему князь Андрей. Пьер потер себе лоб.
– Но он масон должен быть, – сказал он, разумея аббата, которого он видел на вечере.