Строфоида

Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-го порядка. Строится следующим образом (см. Рис. 1):

В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, задана фиксированная точка A на оси OX. Через т. А проводится произвольная прямая AL, которая пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду.

В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида, которая изображена на Рис.1. В косоугольной системе координат строится косая строфоида — Рис.2.

Уравнения

Уравнение строфоиды в декартовой системе координат, где O — начало координат, ось абсцисс направлена по лучу OB, ось ординат по лучу OD, угол <math>\alpha = \angle AOD </math>(для прямоугольной системы координат <math> \alpha = \frac {\pi }{2}</math>), записывается так:

<math>y^2 \left( x - a \right) - 2x^2y \cos \alpha + x^2 \left( a + x \right) = 0</math>.

Уравнение прямой строфоиды:

<math>y = \pm x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}}</math>.

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

<math> \rho = - \frac{a \cos2 \phi}{ \cos \phi}</math>.

Параметрическое уравнение строфоиды:

<math> x = a \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right)</math>

<math> y = au \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right)</math>, где

<math> u = \mathrm{tg}\, \phi</math>.

Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.

В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.

История

Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Он называл эту кривую «птероидой» (от греч. πτερον— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.

Дальнейшее относится только к прямой строфоиде.

Нахождение касательной

<math> y' = \sqrt { \frac {a + x}{a - x}} \left( 1 + \frac {ax}{a^2 - x^2} \right)</math>

В точке <math>O(0,0)</math> производная <math>y' = \pm 1</math>, то есть в точке <math>O(0,0)</math> существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен <math> \pm \frac{\pi}{4}</math>.

Вывод  

Тангенс угла наклона касательной равен значению первой производной функции. Перепишем уравнение строфоиды (прямой) в следующем виде:

<math> y = xz</math>, где <math> z = \sqrt{ \frac{a + x}{a - x

</math>.

<math> y' = z + xz'</math>

<math> z = \sqrt {\frac {a + x}{a - x}}</math>

<math> \ln {z} = \frac {1}{2} \ln {a + x} - \frac {1}{2} \ln {a - x}</math>

Дифференцируем данное уравнение:

<math> \frac{z'}{z} = \frac{1}{2} \frac{1}{a +x} + \frac {1}{2} \frac{1}{a - x} = \frac{a}{a^2 - x^2}</math>

<math> \frac{z'}{z} = \frac{1}{2} \frac{1}{a + x} + \frac{1}{2} \frac{1}{a - x} = \frac {a}{a^2 - x^2}</math>

<math> z' = \frac{a}{a^2 - x^2} \sqrt { \frac{a + x}{a - x}}</math>

отсюда

<math> y' = \sqrt { \frac {a + x}{a - x}} \left( 1 + \frac {ax}{a^2 - x^2} \right)</math>

}}

Радиус кривизны

<math>R = ON</math> в точке <math>O(0,0)</math> определяется так:

<math> R = \frac{a}{\cos \angle AON} = \frac{a}{\cos \frac{ \pi}{4}} = a \sqrt{2}</math>.

Площадь петли строфоиды и площадь между строфоидой и асимптотой

Площадь петли строфоиды слева от оси ординат

<math> S_1 = a^2 (2 - \frac {\pi}{2})</math>.

Площадь между строфоидой и асимптотой справа от оси ординат

<math> S_1 = a^2 (2 + \frac {\pi}{2})</math>.

Вывод  

Уравнение верхней дуги <math> AM_1O</math>:

<math> y = - x \sqrt { \frac {a+x} {a-x

\qquad</math>   (1)

Половина площади левой петли строфоиды равна интегралу от уравнения (1) в пределах от <math>-a</math> до <math>0</math>.

<math> \frac {1}{2} S_1 = - \int\limits_{-a}^ {0} x \sqrt { \frac {a+x} {a-x}}\,dx \qquad</math>   (2)

Подстановка:

<math> u = a - x,\qquad a + x = 2a - u, \qquad dx = -du</math>.

Пределы интегрирования:

<math> x = -a \Rightarrow\; u = 2a, \qquad x = 0 \Rightarrow\; u = a</math>

Интеграл (2) преобразуется к виду:

<math> \frac {1}{2} S_1 = \int\limits_{2a}^ {a} \left( a - u \right) \sqrt{ \frac {2a - u}{u}}\,du=</math>

<math> = - \int\limits_{2a}^ {a} u \sqrt{ \frac{2a - u}{u}}\,du + a \int\limits_{2a}^ {a} \sqrt { \frac{2a - u}{u}}\,du \qquad</math>   (3)

Первый интеграл из уравнения (3):

<math> - \int\limits_{2a}^ {a} u \sqrt{ \frac{2a - u}{u}}\,du = - \int\limits_{2a}^{a} \sqrt{2au - u^2}\,du \qquad</math>   (4)

Подстановка:

<math> v = u - a, \qquad u = v + a, \qquad dv = du</math>.

Пределы интегрирования:

<math> u = 2a \Rightarrow\; v = a, \qquad u = a \Rightarrow\; v = 0</math>.

Интеграл (4) преобразуется к виду:

<math> - \int\limits_{a}^ {0} \sqrt{2a \left(v + a \right) - \left(v + a \right)^2}\,dv = - \int\limits_{a}^ {0} \sqrt { a^2 - v^2}\,dv =</math>

<math> = - \left[ \frac{v}{2} \sqrt{a^2 - v^2}+ \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{v}{a} \right] \begin{cases} 0 \\ a \end{cases} =</math>

<math> = \frac{a^2}{2} \arcsin 1 = \frac{a^2 \pi}{4}</math>.

Второй интеграл из уравнения (3):

<math> a \int\limits_{2a}^ {a} \sqrt { \frac{2a - u}{u}}\,du \qquad</math>   (5)

Подстановка:

<math> u = v^2, \qquad du = 2vdv</math>.

Пределы интегрирования:

<math> u = 2a \Rightarrow\; v = \sqrt {2a}, \qquad u = a \Rightarrow\; v = \sqrt {a}</math>.

Интеграл (5) преобразуется к виду:

<math> 2a \int\limits_{ \sqrt{2a}}^{ \sqrt {a}} \sqrt{2a - v^2 }\,dv =</math>

<math> = 2a \left[ \frac{v}{2} \sqrt{2a - v^2} + a \arcsin \frac{v}{ \sqrt{2a}} \right] \begin{cases} \sqrt{a} \\ \sqrt{2a} \end{cases} =</math>

<math> = -\frac {a^2 \pi}{2} + a^2</math>.

Итак:

<math> \frac {1}{2}S_1 = \frac {a^2 \pi}{4} - \frac {a^2 \pi}{2} + a^2</math>

Площадь <math>S_1 </math> равна:

<math> S_1 = 2a^2 - \frac {a^2 \pi}{2}</math>.

Если координата <math> x </math> стремится к <math> a </math>, то правые ветви строфоиды стремятся к <math> \pm \infty </math>, но площадь между линией <math> U'OV' </math>и асимптотой <math>UV</math> конечна и определяется интегралом (2) в пределах от <math> 0 </math> до <math> a </math>. В этом случае площадь получится отрицательной, так как уравнение (1) описывает ветвь OU', а площадь, заключенная между этой ветвью и лучом OX и лучом BU — отрицательна. Если вычислить интеграл (2) в пределах от <math> 0 </math> до <math> a </math>, получим следующее выражение для площади <math> S_2 </math>:

<math> S_2 = 2a^2 + \frac {a^2 \pi}{2}</math>.

}}

Объём тела вращения

Объём (<math>V_1</math>) тела, образованного при вращении дуги <math>OM_1A</math> вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

<math> V_1 = \pi \int\limits_{-a}^{0} \left( x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \right)^2 \,dx = \qquad</math>   (6)

<math> = \pi \int\limits_{-a}^{0} x^2 \frac{a + x}{a - x} \,dx =</math>

<math> = - \pi \int\limits_{-a}^{0} x^2 \,dx - 2 \pi a \int\limits_{-a}^{0} x \,dx - 2 \pi a^2 \int\limits_{-a}^{0} dx + 2 \pi a^3 \int\limits_{-a}^{0} \frac{dx}{a - x} =</math>

<math> = - \frac{a^3 \pi}{3} + a^3 \pi - 2a^3 \pi + 2a^3 \pi \ln {2}</math>

Итак:

<math> V_1 = a^3 \pi \left( 2 \ln{2} - \frac{4}{3} \right)</math>.

Объём (<math>V_2</math>) тела, образованного при вращении ветви <math>OV'</math> вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из интеграла (6) в пределах от <math>0</math> до <math>b</math>, где <math> 0 =< b < a</math> :

<math> V_2 = \pi \int\limits_{0}^{b} \left( x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \right)^2 \,dx = \qquad</math>

<math> = - \pi \int\limits_{0}^{b} x^2 \,dx - 2 \pi a \int\limits_{0}^{b} x \,dx - 2 \pi a^2 \int\limits_{0}^{b} dx + 2 \pi a^3 \int\limits_{0}^{b} \frac{dx}{a - x} =</math>

<math> = - \frac {\pi b^3}{3} - a \pi b^2 - 2a^2 \pi b + 2a^3 \pi \left( \ln {a} - \ln {\left(a - b \right)} \right)</math>.

Если <math> b \Rightarrow\; a</math>, то <math> \ln {\left(a - b \right)} \Rightarrow\; - \infty</math>, то есть <math> V_2 \Rightarrow\; \infty</math>.