Арифметическая функция

Арифметическая функция — функция, определенная на множестве натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, и принимающая значения во множестве комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math>.

Определение

Как следует из определения, арифметической функцией называется любая функция

<math>

f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{C}

</math>

Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел известно много функций <math>f(n)</math> натурального аргумента, выражающих те или иные арифметические свойства <math>n</math>. Поэтому, неформально говоря, под арифметической функцией понимают функцию <math>f(n)</math>, которая «выражает некоторое арифметическое свойство» натурального числа <math>n</math> (см. примеры арифметических функций ниже).

Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в действительности являются целозначными.

Операции и связанные понятия

• Суммой арифметической функции <math>f</math> называют функцию <math>F:[0,+\infty)\to \C</math>, определённую как

<math>

F(x)=\sum_{n\le x} f(n). </math> Эта операция является «дискретным аналогом» неопределённого интеграла; при этом, хотя исходная функция и была определена только на <math>\N</math>, её сумму оказывается удобным считать определённой на всей положительной полуоси (при этом она, естественно, кусочно-постоянна).

• Свёрткой Дирихле двух арифметических функций f и g называется арифметическая функция h, определённая по правилу

<math>

h(n)=\sum_{d|n} f(d) g(n/d). </math>

• Арифметической функции f можно сопоставить её «производящую функцию» — ряд Дирихле

<math>

\Phi_f(s)=\sum_n f(n) n^{-s}. </math> При этом свёртке Дирихле двух арифметических функций соответствует произведение их производящих функций.

• Поточечное умножение на логарифм,

<math>f\mapsto f', \quad f'(n)=f(n) \cdot \ln n,</math>

является дифференцированием алгебры арифметических функций: относительно свёртки оно удовлетворяет правилу Лейбница,

<math>

(f*g)' = f'*g + f*g'. </math> Переход к производящей функции превращает эту операцию в обычное дифференцирование.

Известные арифметические функции

Число делителей

Арифметическая функция <math>\tau \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}</math> определяется как число положительных делителей натурального числа <math>n</math>:

<math>\tau(n) = \sum_{d|n} 1 </math>

Если <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты, то каждый делитель произведения <math>mn</math> может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей <math>m</math> и <math>n</math>, и обратно, каждое такое произведение является делителем <math>mn</math>. Отсюда следует, что функция <math>\tau</math> мультипликативна:

<math>\tau(mn) = \tau(m) \tau(n) </math>

Если <math>n = \prod_{i=1}^{r} p_i^{s_i}</math> — каноническое разложение натурального <math>n</math>, то в силу мультипликативности

<math>\tau(n) = \tau(p_1^{s_1}) \tau(p_2^{s_2}) \ldots \tau(p_r^{s_r}) </math>

Так как положительными делителями числа <math>p_i^{s_i}</math> являются <math>s_i+1</math> чисел <math>1, p_i, \ldots, p_i^{s_i}</math>, то

<math>\tau(n) = (s_1+1) (s_2+1) \ldots (s_r+1) </math>

Число делителей большого целого числа n растёт в среднем как <math>\ln n</math>. Более точно — см. формулу Дирихле.

Сумма делителей

Функция <math>\sigma \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}</math> определяется как сумма делителей натурального числа <math>n</math>:

<math>\sigma (n) = \sum_{d|n} d </math>

Обобщая функции <math>\tau(n)</math> и <math>\sigma(n)</math> для произвольного, вообще говоря комплексного, <math>k</math> можно определить <math>\sigma_k(n)</math> — сумму <math>k</math>-х степеней положительных делителей натурального числа <math>n</math>:

<math>\sigma_k (n) = \sum_{d|n} d^k </math>

Используя нотацию Айверсона можно записать

<math>\sigma_k(n) = \sum_{d} d^k[\,d|n\,] </math>

Функция <math>\sigma_k</math> мультипликативна:

<math>

m \perp n \Rightarrow ~\sigma_k (mn) = \sigma_k (m) \sigma_k (n)

</math>

Если <math>n = \prod_{i=1}^{r} p_i^{s_i}</math> — каноническое разложение натурального <math>n</math>, то

<math>\sigma_k(n) = \prod_{i=1}^r \frac {p_i^{(s_i+1)k}-1} {p_i^k - 1} </math>

Сумма делителей числа n растёт в среднем как линейная функция cn, где постоянная c найдена Эйлером и есть <math>c=\zeta(2)=\pi^2/6</math>.

Функция Эйлера

Функция Эйлера <math>\varphi(n)</math>, или тотиента, определяется как количество положительных целых чисел, не превосходящих <math>n</math>, которые взаимно просты с <math>n</math>.

Пользуясь нотацией Айверсона можно записать:

<math>

\varphi(n) = \sum_{1 \leq k \leq n} [k \perp n]

</math>

Функция Эйлера мультипликативна:

<math>

m \perp n \Rightarrow ~\varphi (mn) = \varphi (m) \varphi (n)

</math>

В явном виде значение функции Эйлера выражается формулой:

<math>

\varphi (n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1} \right) \left(1 - \frac{1}{p_2} \right) \dots \left(1 - \frac{1}{p_r} \right)

</math>

где <math>p_1, p_2, \ldots, p_r</math> — различные простые делители <math>n</math>.

Функция Мёбиуса

Функцию Мёбиуса <math>\mu(n)</math> можно определить как арифметическую функцию, которая удовлетворяет следующему соотношению:

<math>

\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1\\ 0,&n>1 \end{cases}

</math>

То есть сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого положительного числа <math>n</math> равна нулю, если <math>n>1</math>, и равна <math>1</math>, если <math>n=1</math>.

Можно показать, что этому уравнению удовлетворяет лишь одна функция, и её можно явно задать следующей формулой:

<math>

\mu(n) = \begin{cases} (-1)^r, & n = p_1 p_2 \ldots p_r \\ 0, & p^2 | n \\ 1, & n=1 \end{cases}

</math>

Здесь <math>p_i</math> — различные простые числа, <math>p</math> — простое число. Иначе говоря, функция Мёбиуса <math>\mu(n)</math> равна <math>0</math>, если <math>n</math> не свободно от квадратов (то есть делится на квадрат простого числа), и равна <math>\pm 1</math> в противном случае (плюс или минус выбирается в зависимости от четности числа простых делителей <math>n</math>).

Функция Мёбиуса является мультипликативной функцией. Важное значение функции Мёбиуса в теории чисел связано с формулой обращения Мёбиуса.

См. также

• Мультипликативная функция

Литература

• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел = Introduction to Analytic Number Theory. — М.: «Мир», 1974. — 188 с.

Отрывок, характеризующий Арифметическая функция

«Диспозиция к атаке неприятельской позиции позади Кобельница и Сокольница, 20 ноября 1805 года».
Диспозиция была очень сложная и трудная. В оригинальной диспозиции значилось:
Da der Feind mit seinerien linken Fluegel an die mit Wald bedeckten Berge lehnt und sich mit seinerien rechten Fluegel laengs Kobeinitz und Sokolienitz hinter die dort befindIichen Teiche zieht, wir im Gegentheil mit unserem linken Fluegel seinen rechten sehr debordiren, so ist es vortheilhaft letzteren Fluegel des Feindes zu attakiren, besondere wenn wir die Doerfer Sokolienitz und Kobelienitz im Besitze haben, wodurch wir dem Feind zugleich in die Flanke fallen und ihn auf der Flaeche zwischen Schlapanitz und dem Thuerassa Walde verfolgen koennen, indem wir dem Defileen von Schlapanitz und Bellowitz ausweichen, welche die feindliche Front decken. Zu dieserien Endzwecke ist es noethig… Die erste Kolonne Marieschirt… die zweite Kolonne Marieschirt… die dritte Kolonne Marieschirt… [Так как неприятель опирается левым крылом своим на покрытые лесом горы, а правым крылом тянется вдоль Кобельница и Сокольница позади находящихся там прудов, а мы, напротив, превосходим нашим левым крылом его правое, то выгодно нам атаковать сие последнее неприятельское крыло, особливо если мы займем деревни Сокольниц и Кобельниц, будучи поставлены в возможность нападать на фланг неприятеля и преследовать его в равнине между Шлапаницем и лесом Тюрасским, избегая вместе с тем дефилеи между Шлапаницем и Беловицем, которою прикрыт неприятельский фронт. Для этой цели необходимо… Первая колонна марширует… вторая колонна марширует… третья колонна марширует…] и т. д., читал Вейротер. Генералы, казалось, неохотно слушали трудную диспозицию. Белокурый высокий генерал Буксгевден стоял, прислонившись спиною к стене, и, остановив свои глаза на горевшей свече, казалось, не слушал и даже не хотел, чтобы думали, что он слушает. Прямо против Вейротера, устремив на него свои блестящие открытые глаза, в воинственной позе, оперев руки с вытянутыми наружу локтями на колени, сидел румяный Милорадович с приподнятыми усами и плечами. Он упорно молчал, глядя в лицо Вейротера, и спускал с него глаза только в то время, когда австрийский начальник штаба замолкал. В это время Милорадович значительно оглядывался на других генералов. Но по значению этого значительного взгляда нельзя было понять, был ли он согласен или несогласен, доволен или недоволен диспозицией. Ближе всех к Вейротеру сидел граф Ланжерон и с тонкой улыбкой южного французского лица, не покидавшей его во всё время чтения, глядел на свои тонкие пальцы, быстро перевертывавшие за углы золотую табакерку с портретом. В середине одного из длиннейших периодов он остановил вращательное движение табакерки, поднял голову и с неприятною учтивостью на самых концах тонких губ перебил Вейротера и хотел сказать что то; но австрийский генерал, не прерывая чтения, сердито нахмурился и замахал локтями, как бы говоря: потом, потом вы мне скажете свои мысли, теперь извольте смотреть на карту и слушать. Ланжерон поднял глаза кверху с выражением недоумения, оглянулся на Милорадовича, как бы ища объяснения, но, встретив значительный, ничего не значущий взгляд Милорадовича, грустно опустил глаза и опять принялся вертеть табакерку.
– Une lecon de geographie, [Урок из географии,] – проговорил он как бы про себя, но довольно громко, чтобы его слышали.
Пржебышевский с почтительной, но достойной учтивостью пригнул рукой ухо к Вейротеру, имея вид человека, поглощенного вниманием. Маленький ростом Дохтуров сидел прямо против Вейротера с старательным и скромным видом и, нагнувшись над разложенною картой, добросовестно изучал диспозиции и неизвестную ему местность. Он несколько раз просил Вейротера повторять нехорошо расслышанные им слова и трудные наименования деревень. Вейротер исполнял его желание, и Дохтуров записывал.
Когда чтение, продолжавшееся более часу, было кончено, Ланжерон, опять остановив табакерку и не глядя на Вейротера и ни на кого особенно, начал говорить о том, как трудно было исполнить такую диспозицию, где положение неприятеля предполагается известным, тогда как положение это может быть нам неизвестно, так как неприятель находится в движении. Возражения Ланжерона были основательны, но было очевидно, что цель этих возражений состояла преимущественно в желании дать почувствовать генералу Вейротеру, столь самоуверенно, как школьникам ученикам, читавшему свою диспозицию, что он имел дело не с одними дураками, а с людьми, которые могли и его поучить в военном деле. Когда замолк однообразный звук голоса Вейротера, Кутузов открыл глава, как мельник, который просыпается при перерыве усыпительного звука мельничных колес, прислушался к тому, что говорил Ланжерон, и, как будто говоря: «а вы всё еще про эти глупости!» поспешно закрыл глаза и еще ниже опустил голову.
Стараясь как можно язвительнее оскорбить Вейротера в его авторском военном самолюбии, Ланжерон доказывал, что Бонапарте легко может атаковать, вместо того, чтобы быть атакованным, и вследствие того сделать всю эту диспозицию совершенно бесполезною. Вейротер на все возражения отвечал твердой презрительной улыбкой, очевидно вперед приготовленной для всякого возражения, независимо от того, что бы ему ни говорили.
– Ежели бы он мог атаковать нас, то он нынче бы это сделал, – сказал он.
– Вы, стало быть, думаете, что он бессилен, – сказал Ланжерон.
– Много, если у него 40 тысяч войска, – отвечал Вейротер с улыбкой доктора, которому лекарка хочет указать средство лечения.
– В таком случае он идет на свою погибель, ожидая нашей атаки, – с тонкой иронической улыбкой сказал Ланжерон, за подтверждением оглядываясь опять на ближайшего Милорадовича.
Но Милорадович, очевидно, в эту минуту думал менее всего о том, о чем спорили генералы.
– Ma foi, [Ей Богу,] – сказал он, – завтра всё увидим на поле сражения.